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[日] 儿玉之宏，永见启应 著

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 拓扑空间
• 连续映射
• 连通性
• 紧致性
• 分离性
• 公理化
• 数学分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030090799

版次：1

商品编码：12126974

包装：平装

丛书名： 数学名著译丛

开本：32开

出版时间：2001-07-01

用纸：胶版纸

页数：412

正文语种：中文

内容简介

　　《拓扑空间论》是点集拓扑学方面的一本经典著作，全书共十章，内容为：拓扑空间、积空间、仿紧空间、紧空间、一致空间、复形和扩张子、逆极限和展开定理、Arhangel'skiI空间、商空间和映射空间、可数可乘的空间族，正文前的绪论简要地叙述了阅读《拓扑空间论》所需的集合论的基本知识，书中有大量的例题和习题，有益于加强基本训练。
　　《拓扑空间论》可供大学数学系高年级学生、研究生、教师及有关方面的研究人员参考。
　　参加《拓扑空间论》校订工作的还有白苏华、胡师度同志。

内页插图

目录

前言
记号表
绪论集合论
1．集合
2．基数，序数
3．归纳法，良序定理，Zorn引理

第一章 拓扑空间
4．拓扑的导入
5．度量空间
6．相对拓扑
7．初等用语
8．分离公理
9．连续映射
10．连通性
习题

第二章 积空间
11．积拓扑
12．嵌入平行体空间
13．Michael直线
14．0维空间
习题

第三章 仿紧空间
15．正规列
16．局部有限性和可数仿紧空间
17．仿紧空间
18．可展空间和距离化定理
习题

第四章 紧空间
19．紧空间的重数
20．紧化
21．紧化的剩余
22．可数紧空间和伪紧空间
23．Glicksberg定理
24．Whitehead弱拓扑和Tamano定理
25．不可数个空间的积
习题

第五章 一致空间
第六章 复形和扩张子
第七章 逆极限和展开定理
第八章 Arhangel'skii空间
第九章 商空间和映射空间
第十章 可数可乘的空间族

前言/序言

　　本书可以作为拓扑空间论的教科书。对此理论及其应用有兴趣的各分支的研究工作者，也可将此书作为一本入门书。了解大学低年级的集合论基本内容的读者，即可顺利阅读，不需要其他任何预备知识。为了阅读方便，在绪论中简要叙述了本书所需要的集合论的基本知识。
　　本书正文共十章。其中前三章是最基本的部分，对于理解以后各章是必需的。第四章以后分为第四、五章，第六，七章，第八、九、十章三部分，各部分之间可以独立地阅读（定义等例外）。
　　在第一章中引入拓扑空间和连续性的概念，在第二章中引入积拓扑，证明了Tychonoff积定理和选择公理的等价性、可分空间、完全可分空间、完全正则空间的嵌入定理等，第三章的目的是证明关于仿紧空间、可列仿紧空间的基本定理群，给出了对于这些空间的Dieudonne，Dowker，Michael，Stone等的特征定理。
　　第四章中更深入地考察了拓扑空间论中最有趣味的对象之一，即有广泛应用的紧空间，关于可数紧性以及伪紧性也予以注意，但这些是为了更深刻地理解紧性概念的一个侧面。在此介绍了关于Stone-Cech紧化的保积性的Glicksberg定理，Tamano积定理等。第五章考察了一致空间及艿空间。只需要大体上了解一下关于这些空间的知识的读者，本章的前半部分就已足够，理解它并不需要第四章的知识。
　　第六章讨论了扩张子和收缩核的理论，第七章讨论了各种展开定理。这两章特别有助于从集合论的侧面更深刻地理解代数拓扑学。
　　第八、九、十章是以展望拓扑空间论最近发展趋势的观点来写的，在第八、九章主要着眼于Arhangel'skil创始的新空间概念、新映射概念以及它们之间的某种相互关系。根据这个新观点，在第九章中指出了关于基数的Alcxandroff问题的解决方法。为了解决这个半个世纪以前提出的问题，Arhangcl'skil用了自由列的概念，这是必须注意的重要概念，但本书中限于篇幅未能采取他的证明方法。最后，第十章讨论了各种可数可乘空间族。可以预期这些空间族将是有广泛应用的领域。
　　为了更深刻地理解数学内容，习题是不可少的。在这种意义下，在各章末配置了习题，对于难题全部给予提示，估计自学的读者也不会有困难。另外，为了能够接触本文以外尽可能多的重要概念及定理，在习题中也常常涉及它们。
　　数学的历史也可以说是解决问题的历史。问题有时由反例直接否定，有时由新理论肯定地予以解决，这种情况，在拓扑空间论中也不例外。特别是用例子给新概念以可靠的基础，保证了它不是空洞的理论。在此意义下，在本书中许多例子与理论占有相同的比重，二者互为表里，另外，随时随地提出了未解决的问题。它们未必都是经受历史考验的重要问题，但向读者传授这个理论的生动面貌是作者的强烈愿望，这就是敢于做这个尝试的原因。
　　为了知道拓扑空间论的概略，作为大学中期的一门课程，用第一、二章即可。继续的课程可以考虑如下的组合，即用第三章，第四、五章的前半部分或第三章和第九章的k空间、映射空间两节。再以后的选择可以自由进行。记号口表示证明完了。
　　在小松醇郎先生不断的鼓励下我们写出了这本书，吉田耕作先生关心本书的出版，并给予了有力的精神支持，木村信夫、津田满、奥山晃弘诸教授细心地通读了原稿，提出了许多有益的意见。野仓嗣纪、宇都宫京子、永见缘诸位先生帮助作成索引等烦杂琐事。京都大学数理解析研究所在作者共同研究期间提供了讨论本书的场所。也应提到岩波书店的各方协助。由于各方热情关怀，本书才得以出版。在此向以上各方表示作者衷心的感谢。

现代代数结构导论 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数基础，重点探讨群、环、域等核心代数结构及其在数学其他分支中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的集合论和映射概念出发，逐步构建起抽象代数的宏伟蓝图。我们力求通过大量的实例和习题，帮助读者掌握代数思维，理解结构背后的深刻联系。 第一部分：基础与群论的基石 第一章：预备知识与集合论回顾 本章首先回顾了读者可能已知的集合、映射、二元关系等基础概念，并引入了构造函数、笛卡尔积、等价关系和划分的严格定义。随后，我们详细讨论了有限集的计数原理，特别是皮亚诺公理在构造自然数集时的作用。重点在于形式化地建立数学对象的基础，为后续的抽象奠定坚实的语言基础。 第二章：群的概念与基本性质 群作为最基础的代数结构，占据了本章的核心。我们从二元运算的封闭性、结合律、单位元和逆元开始，给出了群的严格定义。紧接着，我们探索了群的初级性质，例如单位元和逆元的唯一性，以及左/右消去律。幂运算、子群的概念和判定准则被引入，并给出了大量经典例子，包括整数加法群 $mathbb{Z}$、非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$、矩阵群 $GL_n(F)$ 以及对称群 $S_n$。 第三章：循环群与置换群 本章专注于最简单但最富启发性的群结构。循环群的生成元、阶的概念得到了详尽的阐述。我们证明了循环群的子群结构具有高度的规律性——每一个子群都是循环的。随后，我们将视角转向置换群 $S_n$。我们详细分解了置换的循环结构，定义了对换，并引入了奇偶性概念，从而导出了交错群 $A_n$。对 $S_3$ 和 $S_4$ 的具体分析，展示了有限群的丰富多样性。 第四章：同态、同构与群的分类 同态和同构是代数结构之间联系的桥梁。我们定义了群同态的性质，特别是核（Kernel）和像（Image）的结构。第一个同构定理——商群存在的充要条件——被清晰地证明和应用。基于此，本章深入探讨了正规子群的概念，并详细介绍了商群（或因子群）的构造及其性质。拉格朗日定理作为有限群论的基石，被作为同态理论的直接推论给出，并应用于计算群的阶。 第五章：群作用与Sylow定理 群作用的概念极大地扩展了我们理解群结构的方式，将代数与几何、组合学紧密联系起来。我们定义了群作用，并引入了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。轨道-稳定子定理被证明并用于计数问题。在此基础上，本章的重点是Sylow定理。我们详细论证了Sylow $p$-子群的存在性及其数量的性质，这些定理为分析有限群（特别是$p$-群）的结构提供了强大的工具。 第二部分：环论的拓展 第六章：环的基本概念与例子 从群到环的过渡自然地引入了第二个二元运算。我们定义了环的公理系统，区分了交换环、单位环、整环和域。书中涵盖了广泛的例子，包括整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$、矩阵环 $M_n(R)$ 以及高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$。子环、理想（Ideals）的概念作为环中的“正规子群”被定义，并讨论了主理想、主理想整环（PID）的初步概念。 第七章：同态、同构与商环 环同态与群同态的结构非常相似，但涉及两个运算。本章重点讨论了环同态的核、像，以及它们作为环的理想的性质。第一个同构定理在环的情境下得到了重申。商环的构造依赖于极大理想或素理想，我们详细阐述了如何利用理想来构造新的环结构，这为理解域的扩张提供了基础。 第八章：整环的特殊结构 本章专注于无零因子环（整环）的深层结构。我们引入了积分域（Integral Domain）的概念，并详细研究了唯一因子域（UFD）和主理想域（PID）。欧几里得整环作为最强的结构，首先被引入，其核心在于欧几里得算法的推广。通过构造最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM），我们展示了这些结构在代数运算上的优越性。 第九章：多项式环与域的构造 多项式环 $F[x]$ 在代数和分析中都具有核心地位。我们证明了多项式环的带余除法（除法算法），这保证了 $F[x]$ 是一个Eucidean Domain，进而是一个UFD和PID。随后，我们探讨了不可约多项式和根的概念。最后，本章以域的构造达到高潮：我们证明了任何不可约多项式在一个扩张域中都存在根，从而建立了域扩张的代数基础，这是伽罗瓦理论的起点。 第十-十二章：域论与伽罗瓦理论的引入 第十章：域的扩张 域扩张 $E/F$ 的概念被正式引入。我们研究了扩张的次数 $[E:F]$，以及代数元和超越元。最关键的是对 $F$ 上元素的极小多项式的研究，证明了极小多项式的唯一性及其不可约性。我们详细分析了有限扩张的乘法性。 第十一章：正规扩张与可分扩张 本章聚焦于域扩张的性质。正规扩张（Normal Extension）被定义为在某个大域中，扩张中所有不可约多项式的根都包含在内的扩张。可分扩张（Separable Extension）的讨论涉及到特征 $p$ 域中多项式的导数性质。这些概念的精确理解是理解伽罗瓦理论复杂性的前提。 第十二章：伽罗瓦群 伽罗瓦理论的核心是建立域扩张与群之间的精确对应关系。本章定义了伽罗瓦群 $Gal(E/F)$，并探讨了固定域的概念。我们阐述了基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的初步形式：在有限、正规、可分扩张下，扩张的子域与伽罗瓦群的子群之间存在一一反演的对应关系。我们利用这一对应关系，解释了如何利用群论工具来解决多项式方程的可解性问题，例如五次及以上方程的不可解性。 全书的编排旨在引导读者从具体运算（如置换、整数运算）出发，逐步抽象到群、环、域的公理化结构，并最终将这些结构应用于解决核心的代数问题。每章末尾均附有难度分级的习题，以巩固理论理解和训练计算能力。

评分☆☆☆☆☆

我之所以选择《拓扑空间论》，是因为我对几何学和集合论有着一定程度的了解，并希望能够将这些知识融会贯通，进入更深层次的数学领域。这本书恰好提供了一个绝佳的平台。它并非一本单纯的数学定理汇编，而更像是一次深入的数学思维的引导。作者在讲解过程中，经常会穿插一些对数学思想史的介绍，以及不同数学分支之间的联系，这让我能够跳出单一学科的限制，从更宏观的角度去理解拓扑学在整个数学体系中的位置和意义。书中对各种拓扑空间的构造方法和性质的探讨，例如度量空间、紧致空间、连通空间等，都让我对“空间”这一概念有了全新的认识。我发现，很多在经典几何中看似理所当然的性质，在拓扑学的框架下，需要用更抽象、更普适的方式来定义和刻画。这种思想的升华，正是吸引我继续深入阅读的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引我，一种深邃而神秘的蓝色调，点缀着一些抽象的几何图形，仿佛预示着即将展开的智慧之旅。我一直对数学的抽象美有着浓厚的兴趣，而拓扑学，作为其中一个充满魅力的分支，总让我心生向往。拿到《拓扑空间论》这本书，我首先就被它严谨而优美的排版所折服。书页的质感很好，油墨印刷清晰，字体大小适中，阅读起来十分舒适。目录页的设计也很人性化，清晰地罗列了章节标题，让我能够快速地对全书的知识脉络有一个整体的把握。我尤其喜欢它在每章开头引入的引言部分，它们不仅简要地概括了本章的核心概念，还常常引用一些历史典故或者与现实生活的类比，使得抽象的数学理论不那么令人望而却步。尽管我还没有深入到书本的核心内容，但单凭这精心设计的开篇，就足以让我对这本书的品质充满了信心。我期待着它能为我揭开拓扑空间那奇妙的面纱，让我在这片数学的星空中遨游。

评分☆☆☆☆☆

作为一个希望提升自己数学分析能力的读者，《拓扑空间论》为我提供了一个非常宝贵的视角。在学习分析学时，我们常常需要处理连续性、收敛性等概念，而这些概念的根基，很大程度上都建立在拓扑学的思想之上。这本书中对开集、闭集、邻域等基本概念的精确定义，让我对这些分析学中的核心概念有了更扎实的理解。例如，书中对序列的收敛性与拓扑空间的开集结构之间的联系的阐述，让我明白了为什么在更一般的拓扑空间中，收敛性仍然能够有意义。此外，书中关于紧致性的讨论，更是为理解分析学中的一些重要定理，如连续函数在紧集上的性质，提供了坚实的理论基础。我觉得，这本书不仅仅是关于拓扑学本身，更是对整个数学分析学科的重塑和深化，让我能够以更深刻、更本质的眼光去审视那些熟悉的分析学理论。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学理论的严谨性有着极高要求的读者，我在翻阅《拓扑空间论》时，首先关注的是其逻辑结构的清晰程度。这本书在概念的引入和定理的推导上，展现出了一种令人拍案叫绝的条理性。它并非一次性抛出大量的定义和符号，而是循序渐进，从基础的概念开始，逐步构建起复杂的拓扑空间。每一次新概念的出现，都与之前的知识点有着紧密的联系，并且伴随着详尽的解释和直观的例子。我特别欣赏书中对于一些关键定理的证明过程，作者并没有选择最简略的写法，而是尽可能地将每一步推理都梳理得一清二楚，即使是对于初学者来说，也能够跟随其思路，理解其内在的逻辑。书中的插图也起到了至关重要的作用，它们不是简单的装饰，而是对抽象概念的形象化展示，帮助我更好地理解例如连通性、紧致性等概念的几何意义。这种严谨又不失启发性的讲解方式，让我觉得即使是面对那些初见时显得“困难”的数学理论，也能够逐步攻克，体会到数学的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

在阅读《拓扑空间论》的过程中，我最大的感受是这本书给了我一种“豁然开朗”的感觉。很多之前在我脑海中模糊不清的概念，在这本书的引导下，变得清晰而具体。例如，在学习同胚这个概念时，我曾经对“形变”的理解有些局限，但书中通过一系列形象的比喻和例子，让我明白了同胚所描述的，不仅仅是视觉上的相似，更是数学结构上的等价。这种对“不变性”的深刻揭示，让我对数学的本质有了更深的体会。我尤其喜欢书中对一些拓扑不变量的讨论，比如基本群、同调群等。它们如同数学世界的“指纹”，能够区分出在视觉上可能相似但内在结构不同的空间。这种通过抽象工具来洞察事物本质的方法，让我对数学的威力感到惊叹，也激发了我对进一步学习更高级拓扑学概念的强烈兴趣。