拓撲空間論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[日] 兒玉之宏，永見啓應 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 點集拓撲
• 一般拓撲
• 拓撲空間
• 連續映射
• 連通性
• 緊緻性
• 分離性
• 公理化
• 數學分析

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030090799

版次：1

商品編碼：12126974

包裝：平裝

叢書名： 數學名著譯叢

開本：32開

齣版時間：2001-07-01

用紙：膠版紙

頁數：412

正文語種：中文

內容簡介

　　《拓撲空間論》是點集拓撲學方麵的一本經典著作，全書共十章，內容為：拓撲空間、積空間、仿緊空間、緊空間、一緻空間、復形和擴張子、逆極限和展開定理、Arhangel'skiI空間、商空間和映射空間、可數可乘的空間族，正文前的緒論簡要地敘述瞭閱讀《拓撲空間論》所需的集閤論的基本知識，書中有大量的例題和習題，有益於加強基本訓練。
　　《拓撲空間論》可供大學數學係高年級學生、研究生、教師及有關方麵的研究人員參考。
　　參加《拓撲空間論》校訂工作的還有白蘇華、鬍師度同誌。

內頁插圖

目錄

前言
記號錶
緒論集閤論
1．集閤
2．基數，序數
3．歸納法，良序定理，Zorn引理

第一章 拓撲空間
4．拓撲的導入
5．度量空間
6．相對拓撲
7．初等用語
8．分離公理
9．連續映射
10．連通性
習題

第二章 積空間
11．積拓撲
12．嵌入平行體空間
13．Michael直綫
14．0維空間
習題

第三章 仿緊空間
15．正規列
16．局部有限性和可數仿緊空間
17．仿緊空間
18．可展空間和距離化定理
習題

第四章 緊空間
19．緊空間的重數
20．緊化
21．緊化的剩餘
22．可數緊空間和僞緊空間
23．Glicksberg定理
24．Whitehead弱拓撲和Tamano定理
25．不可數個空間的積
習題

第五章 一緻空間
第六章 復形和擴張子
第七章 逆極限和展開定理
第八章 Arhangel'skii空間
第九章 商空間和映射空間
第十章 可數可乘的空間族

前言/序言

　　本書可以作為拓撲空間論的教科書。對此理論及其應用有興趣的各分支的研究工作者，也可將此書作為一本入門書。瞭解大學低年級的集閤論基本內容的讀者，即可順利閱讀，不需要其他任何預備知識。為瞭閱讀方便，在緒論中簡要敘述瞭本書所需要的集閤論的基本知識。
　　本書正文共十章。其中前三章是最基本的部分，對於理解以後各章是必需的。第四章以後分為第四、五章，第六，七章，第八、九、十章三部分，各部分之間可以獨立地閱讀（定義等例外）。
　　在第一章中引入拓撲空間和連續性的概念，在第二章中引入積拓撲，證明瞭Tychonoff積定理和選擇公理的等價性、可分空間、完全可分空間、完全正則空間的嵌入定理等，第三章的目的是證明關於仿緊空間、可列仿緊空間的基本定理群，給齣瞭對於這些空間的Dieudonne，Dowker，Michael，Stone等的特徵定理。
　　第四章中更深入地考察瞭拓撲空間論中最有趣味的對象之一，即有廣泛應用的緊空間，關於可數緊性以及僞緊性也予以注意，但這些是為瞭更深刻地理解緊性概念的一個側麵。在此介紹瞭關於Stone-Cech緊化的保積性的Glicksberg定理，Tamano積定理等。第五章考察瞭一緻空間及艿空間。隻需要大體上瞭解一下關於這些空間的知識的讀者，本章的前半部分就已足夠，理解它並不需要第四章的知識。
　　第六章討論瞭擴張子和收縮核的理論，第七章討論瞭各種展開定理。這兩章特彆有助於從集閤論的側麵更深刻地理解代數拓撲學。
　　第八、九、十章是以展望拓撲空間論最近發展趨勢的觀點來寫的，在第八、九章主要著眼於Arhangel'skil創始的新空間概念、新映射概念以及它們之間的某種相互關係。根據這個新觀點，在第九章中指齣瞭關於基數的Alcxandroff問題的解決方法。為瞭解決這個半個世紀以前提齣的問題，Arhangcl'skil用瞭自由列的概念，這是必須注意的重要概念，但本書中限於篇幅未能采取他的證明方法。最後，第十章討論瞭各種可數可乘空間族。可以預期這些空間族將是有廣泛應用的領域。
　　為瞭更深刻地理解數學內容，習題是不可少的。在這種意義下，在各章末配置瞭習題，對於難題全部給予提示，估計自學的讀者也不會有睏難。另外，為瞭能夠接觸本文以外盡可能多的重要概念及定理，在習題中也常常涉及它們。
　　數學的曆史也可以說是解決問題的曆史。問題有時由反例直接否定，有時由新理論肯定地予以解決，這種情況，在拓撲空間論中也不例外。特彆是用例子給新概念以可靠的基礎，保證瞭它不是空洞的理論。在此意義下，在本書中許多例子與理論占有相同的比重，二者互為錶裏，另外，隨時隨地提齣瞭未解決的問題。它們未必都是經受曆史考驗的重要問題，但嚮讀者傳授這個理論的生動麵貌是作者的強烈願望，這就是敢於做這個嘗試的原因。
　　為瞭知道拓撲空間論的概略，作為大學中期的一門課程，用第一、二章即可。繼續的課程可以考慮如下的組閤，即用第三章，第四、五章的前半部分或第三章和第九章的k空間、映射空間兩節。再以後的選擇可以自由進行。記號口錶示證明完瞭。
　　在小鬆醇郎先生不斷的鼓勵下我們寫齣瞭這本書，吉田耕作先生關心本書的齣版，並給予瞭有力的精神支持，木村信夫、津田滿、奧山晃弘諸教授細心地通讀瞭原稿，提齣瞭許多有益的意見。野倉嗣紀、宇都宮京子、永見緣諸位先生幫助作成索引等煩雜瑣事。京都大學數理解析研究所在作者共同研究期間提供瞭討論本書的場所。也應提到岩波書店的各方協助。由於各方熱情關懷，本書纔得以齣版。在此嚮以上各方錶示作者衷心的感謝。

現代代數結構導論 內容提要： 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的現代代數基礎，重點探討群、環、域等核心代數結構及其在數學其他分支中的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，從最基本的集閤論和映射概念齣發，逐步構建起抽象代數的宏偉藍圖。我們力求通過大量的實例和習題，幫助讀者掌握代數思維，理解結構背後的深刻聯係。 第一部分：基礎與群論的基石 第一章：預備知識與集閤論迴顧 本章首先迴顧瞭讀者可能已知的集閤、映射、二元關係等基礎概念，並引入瞭構造函數、笛卡爾積、等價關係和劃分的嚴格定義。隨後，我們詳細討論瞭有限集的計數原理，特彆是皮亞諾公理在構造自然數集時的作用。重點在於形式化地建立數學對象的基礎，為後續的抽象奠定堅實的語言基礎。 第二章：群的概念與基本性質 群作為最基礎的代數結構，占據瞭本章的核心。我們從二元運算的封閉性、結閤律、單位元和逆元開始，給齣瞭群的嚴格定義。緊接著，我們探索瞭群的初級性質，例如單位元和逆元的唯一性，以及左/右消去律。冪運算、子群的概念和判定準則被引入，並給齣瞭大量經典例子，包括整數加法群 $mathbb{Z}$、非零有理數乘法群 $mathbb{Q}^$、矩陣群 $GL_n(F)$ 以及對稱群 $S_n$。 第三章：循環群與置換群 本章專注於最簡單但最富啓發性的群結構。循環群的生成元、階的概念得到瞭詳盡的闡述。我們證明瞭循環群的子群結構具有高度的規律性——每一個子群都是循環的。隨後，我們將視角轉嚮置換群 $S_n$。我們詳細分解瞭置換的循環結構，定義瞭對換，並引入瞭奇偶性概念，從而導齣瞭交錯群 $A_n$。對 $S_3$ 和 $S_4$ 的具體分析，展示瞭有限群的豐富多樣性。 第四章：同態、同構與群的分類 同態和同構是代數結構之間聯係的橋梁。我們定義瞭群同態的性質，特彆是核（Kernel）和像（Image）的結構。第一個同構定理——商群存在的充要條件——被清晰地證明和應用。基於此，本章深入探討瞭正規子群的概念，並詳細介紹瞭商群（或因子群）的構造及其性質。拉格朗日定理作為有限群論的基石，被作為同態理論的直接推論給齣，並應用於計算群的階。 第五章：群作用與Sylow定理 群作用的概念極大地擴展瞭我們理解群結構的方式，將代數與幾何、組閤學緊密聯係起來。我們定義瞭群作用，並引入瞭軌道（Orbit）和穩定子（Stabilizer）的概念。軌道-穩定子定理被證明並用於計數問題。在此基礎上，本章的重點是Sylow定理。我們詳細論證瞭Sylow $p$-子群的存在性及其數量的性質，這些定理為分析有限群（特彆是$p$-群）的結構提供瞭強大的工具。 第二部分：環論的拓展 第六章：環的基本概念與例子 從群到環的過渡自然地引入瞭第二個二元運算。我們定義瞭環的公理係統，區分瞭交換環、單位環、整環和域。書中涵蓋瞭廣泛的例子，包括整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $F[x]$、矩陣環 $M_n(R)$ 以及高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$。子環、理想（Ideals）的概念作為環中的“正規子群”被定義，並討論瞭主理想、主理想整環（PID）的初步概念。 第七章：同態、同構與商環 環同態與群同態的結構非常相似，但涉及兩個運算。本章重點討論瞭環同態的核、像，以及它們作為環的理想的性質。第一個同構定理在環的情境下得到瞭重申。商環的構造依賴於極大理想或素理想，我們詳細闡述瞭如何利用理想來構造新的環結構，這為理解域的擴張提供瞭基礎。 第八章：整環的特殊結構 本章專注於無零因子環（整環）的深層結構。我們引入瞭積分域（Integral Domain）的概念，並詳細研究瞭唯一因子域（UFD）和主理想域（PID）。歐幾裏得整環作為最強的結構，首先被引入，其核心在於歐幾裏得算法的推廣。通過構造最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM），我們展示瞭這些結構在代數運算上的優越性。 第九章：多項式環與域的構造 多項式環 $F[x]$ 在代數和分析中都具有核心地位。我們證明瞭多項式環的帶餘除法（除法算法），這保證瞭 $F[x]$ 是一個Eucidean Domain，進而是一個UFD和PID。隨後，我們探討瞭不可約多項式和根的概念。最後，本章以域的構造達到高潮：我們證明瞭任何不可約多項式在一個擴張域中都存在根，從而建立瞭域擴張的代數基礎，這是伽羅瓦理論的起點。 第十-十二章：域論與伽羅瓦理論的引入 第十章：域的擴張 域擴張 $E/F$ 的概念被正式引入。我們研究瞭擴張的次數 $[E:F]$，以及代數元和超越元。最關鍵的是對 $F$ 上元素的極小多項式的研究，證明瞭極小多項式的唯一性及其不可約性。我們詳細分析瞭有限擴張的乘法性。 第十一章：正規擴張與可分擴張 本章聚焦於域擴張的性質。正規擴張（Normal Extension）被定義為在某個大域中，擴張中所有不可約多項式的根都包含在內的擴張。可分擴張（Separable Extension）的討論涉及到特徵 $p$ 域中多項式的導數性質。這些概念的精確理解是理解伽羅瓦理論復雜性的前提。 第十二章：伽羅瓦群 伽羅瓦理論的核心是建立域擴張與群之間的精確對應關係。本章定義瞭伽羅瓦群 $Gal(E/F)$，並探討瞭固定域的概念。我們闡述瞭基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的初步形式：在有限、正規、可分擴張下，擴張的子域與伽羅瓦群的子群之間存在一一反演的對應關係。我們利用這一對應關係，解釋瞭如何利用群論工具來解決多項式方程的可解性問題，例如五次及以上方程的不可解性。 全書的編排旨在引導讀者從具體運算（如置換、整數運算）齣發，逐步抽象到群、環、域的公理化結構，並最終將這些結構應用於解決核心的代數問題。每章末尾均附有難度分級的習題，以鞏固理論理解和訓練計算能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常吸引我，一種深邃而神秘的藍色調，點綴著一些抽象的幾何圖形，仿佛預示著即將展開的智慧之旅。我一直對數學的抽象美有著濃厚的興趣，而拓撲學，作為其中一個充滿魅力的分支，總讓我心生嚮往。拿到《拓撲空間論》這本書，我首先就被它嚴謹而優美的排版所摺服。書頁的質感很好，油墨印刷清晰，字體大小適中，閱讀起來十分舒適。目錄頁的設計也很人性化，清晰地羅列瞭章節標題，讓我能夠快速地對全書的知識脈絡有一個整體的把握。我尤其喜歡它在每章開頭引入的引言部分，它們不僅簡要地概括瞭本章的核心概念，還常常引用一些曆史典故或者與現實生活的類比，使得抽象的數學理論不那麼令人望而卻步。盡管我還沒有深入到書本的核心內容，但單憑這精心設計的開篇，就足以讓我對這本書的品質充滿瞭信心。我期待著它能為我揭開拓撲空間那奇妙的麵紗，讓我在這片數學的星空中遨遊。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀《拓撲空間論》的過程中，我最大的感受是這本書給瞭我一種“豁然開朗”的感覺。很多之前在我腦海中模糊不清的概念，在這本書的引導下，變得清晰而具體。例如，在學習同胚這個概念時，我曾經對“形變”的理解有些局限，但書中通過一係列形象的比喻和例子，讓我明白瞭同胚所描述的，不僅僅是視覺上的相似，更是數學結構上的等價。這種對“不變性”的深刻揭示，讓我對數學的本質有瞭更深的體會。我尤其喜歡書中對一些拓撲不變量的討論，比如基本群、同調群等。它們如同數學世界的“指紋”，能夠區分齣在視覺上可能相似但內在結構不同的空間。這種通過抽象工具來洞察事物本質的方法，讓我對數學的威力感到驚嘆，也激發瞭我對進一步學習更高級拓撲學概念的強烈興趣。

評分☆☆☆☆☆

我之所以選擇《拓撲空間論》，是因為我對幾何學和集閤論有著一定程度的瞭解，並希望能夠將這些知識融會貫通，進入更深層次的數學領域。這本書恰好提供瞭一個絕佳的平颱。它並非一本單純的數學定理匯編，而更像是一次深入的數學思維的引導。作者在講解過程中，經常會穿插一些對數學思想史的介紹，以及不同數學分支之間的聯係，這讓我能夠跳齣單一學科的限製，從更宏觀的角度去理解拓撲學在整個數學體係中的位置和意義。書中對各種拓撲空間的構造方法和性質的探討，例如度量空間、緊緻空間、連通空間等，都讓我對“空間”這一概念有瞭全新的認識。我發現，很多在經典幾何中看似理所當然的性質，在拓撲學的框架下，需要用更抽象、更普適的方式來定義和刻畫。這種思想的升華，正是吸引我繼續深入閱讀的動力。

評分☆☆☆☆☆

作為一個希望提升自己數學分析能力的讀者，《拓撲空間論》為我提供瞭一個非常寶貴的視角。在學習分析學時，我們常常需要處理連續性、收斂性等概念，而這些概念的根基，很大程度上都建立在拓撲學的思想之上。這本書中對開集、閉集、鄰域等基本概念的精確定義，讓我對這些分析學中的核心概念有瞭更紮實的理解。例如，書中對序列的收斂性與拓撲空間的開集結構之間的聯係的闡述，讓我明白瞭為什麼在更一般的拓撲空間中，收斂性仍然能夠有意義。此外，書中關於緊緻性的討論，更是為理解分析學中的一些重要定理，如連續函數在緊集上的性質，提供瞭堅實的理論基礎。我覺得，這本書不僅僅是關於拓撲學本身，更是對整個數學分析學科的重塑和深化，讓我能夠以更深刻、更本質的眼光去審視那些熟悉的分析學理論。

評分☆☆☆☆☆

作為一個對數學理論的嚴謹性有著極高要求的讀者，我在翻閱《拓撲空間論》時，首先關注的是其邏輯結構的清晰程度。這本書在概念的引入和定理的推導上，展現齣瞭一種令人拍案叫絕的條理性。它並非一次性拋齣大量的定義和符號，而是循序漸進，從基礎的概念開始，逐步構建起復雜的拓撲空間。每一次新概念的齣現，都與之前的知識點有著緊密的聯係，並且伴隨著詳盡的解釋和直觀的例子。我特彆欣賞書中對於一些關鍵定理的證明過程，作者並沒有選擇最簡略的寫法，而是盡可能地將每一步推理都梳理得一清二楚，即使是對於初學者來說，也能夠跟隨其思路，理解其內在的邏輯。書中的插圖也起到瞭至關重要的作用，它們不是簡單的裝飾，而是對抽象概念的形象化展示，幫助我更好地理解例如連通性、緊緻性等概念的幾何意義。這種嚴謹又不失啓發性的講解方式，讓我覺得即使是麵對那些初見時顯得“睏難”的數學理論，也能夠逐步攻剋，體會到數學的魅力所在。