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沈小芳 著

图书标签:

• 复变函数
• 积分变换
• 数学分析
• 应用数学
• 高等数学
• 复分析
• 工程数学
• 数学物理
• 数值分析
• 函数论

出版社： 华中科技大学出版社

ISBN：9787568028226

版次：1

商品编码：12153991

包装：平装

丛书名： 普通高等院校数学类课程教材

开本：16开

出版时间：2017-08-01

用纸：胶版纸

页数：290

字数：400000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：本书可作为综合性大学、理工科大学非数学专业教材，也可供一般的数学、电子通信、控制等领域的工作者和工程技术人员作为参考书.
本书内容丰富，条理清晰，紧密联系工程实际，语言通俗流畅，图文并茂，可读性强.

内容简介

本书是依据zui新《工科类本科数学基础课程教学基本要求》，并参考国内外优秀教材和课程教学改革新成果编写而成的。全书分三个篇章：第1篇为复变函数论，包含第1章至第6章，主要介绍复数及其几何属性，复变函数及其导数、积分，解析函数及其相关定理，复变函数的级数，留数及其应用，以及共形映射.第2篇为积分变换，主要介绍了Fourier变换和Laplace变换，以及它们在工程技术中的应用.第3篇是基于MATLAB的数学实验，主要介绍MATLAB在复变函数和积分变换中的应用.各章节后配有丰富的习题，书后附有部分习题的答案供读者参考.本书中的某些章节标记了“*”，表示其为选讲内容，讲授与否视课时多寡而定.本书内容丰富，条理清晰，紧密联系工程实际，语言通俗流畅，图文并茂，可读性强.本书可作为综合性大学、理工科大学非数学专业教材，也可供一般的数学、电子通信、控制等领域的工作者和工程技术人员作为参考书.

精彩书评

本书内容丰富，条理清晰，紧密联系工程实际，语言通俗流畅，图文并茂，可读性强.在本书编写中，编者坚持“工科数学回归工程”这一原则，充分考虑到工科学生的特点和实际，特别注意到以下几点：（1） 语言通俗流畅，在概念、定理、性质阐述严谨的同时，增加了一些引导性和解说性的文字，力求深入浅出、循序渐进，增强了可读性.（2） 条理清晰，尽量做到重要知识点模块化、重难点处理恰当，同时调整了一些章节的编排和内容，使全书的结构更趋合理.（3） 图文并茂，插图与正文相辅相成.例题选择上参考相关专业课程，紧密联系工程实际.

目录

目录
第1篇复变函数论
第1章复数及其几何属性(3)
1.1复数(3)
1.1.1复数的基本概念(3)
1.1.2复数的代数运算(5)
练习题1.1(9)
1.2平面点集(9)
1.2.1平面区域(10)
1.2.2平面曲线(11)
1.2.3单连通域与多连通域(13)
练习题1.2(14)
*1.3复数的应用(14)
1.3.1复球面与穷远点(15)
1.3.2复数的应用举例(16)
练习题1.3(18)
综合练习题1(18)
第2章复变函数及其导数、积分(21)
2.1复变函数(21)
2.1.1复变函数的概念(21)
2.1.2初等复变函数(23)
练习题2.1(30)
2.2复变函数的极限、连续与导数(30)
2.2.1复变函数的极限(30)
2.2.2复变函数的连续性(33)
2.2.3复变函数的导数(34)
练习题2.2(36)
2.3复变函数的积分(37)
2.3.1复积分的定义(37)
2.3.2复积分的存在条件(38)
2.3.3复积分的性质(39)
2.3.4复积分的计算(40)
练习题2.3(43)
*2.4复变函数的应用举例(43)
2.4.1复变函数的物理意义(43)
2.4.2复积分的物理意义(45)
练习题2.4(45)
综合练习题2(46)
第3章解析函数及其相关定理(48)
3.1解析函数(48)
3.1.1解析的概念(48)
3.1.2解析的充要条件(49)
练习题3.1(53)
3.2柯西积分定理及其推广(54)
3.2.1柯西积分定理(54)
3.2.2原函数与不定积分(55)
3.2.3复合闭路定理(57)
练习题3.2(59)
3.3柯西积分公式与高阶导数(60)
3.3.1柯西积分公式(60)
3.3.2高阶导数公式(62)
练习题3.3(64)
3.4调和函数(64)
3.4.1解析函数与调和函数的关系(64)
3.4.2解析函数的构造(66)
练习题3.4(69)
*3.5解析函数的应用(69)
练习题3.5(72)
综合练习题3(72)
第4章复变函数的级数(76)
4.1复函数项级数(76)
4.1.1复数序列(76)
4.1.2复级数的概念及其收敛性(77)
练习题4.1(80)
4.2幂级数(80)
4.2.1幂级数的概念(80)
4.2.2幂级数的收敛性(81)
4.2.3幂级数的运算及性质(85)
练习题4.2(87)
4.3Taylor级数(87)
4.3.1Taylor展开定理(87)
4.3.2函数展开成幂级数(89)
练习题4.3(92)
4.4Taylor级数(92)
4.4.1双边幂级数及其收敛性(92)
4.4.2函数的洛朗展开式(94)
练习题4.4(98)
综合练习题4(99)
第5章留数及其应用(102)
5.1孤立奇点(102)
5.1.1孤立奇点的概念及其分类(102)
5.1.2函数的零点与极点的关系(105)
*5.1.3函数在穷远点的性态(107)
练习题5.1(110)
5.2留数的概念与计算(110)
5.2.1留数与留数定理(110)
5.2.2留数的计算规则(112)
练习题5.2(117)
*5.3留数在实积分计算中的应用(118)
5.3.1有理函数的积分(118)
5.3.2三角函数有理式的积分(119)
5.3.3有理函数与三角函数乘积的积分(120)
练习题5.3(122)
综合练习题5(122)
第6章共形映射(126)
6.1共形映射的基本概念(126)
6.1.1共形映射的定义(126)
6.1.2解析函数的导数的几何意义(128)
6.1.3共形映射的基本问题(130)
练习题6.1(132)
6.2分式线性映射(132)
6.2.1基本概念(132)
6.2.2性质(135)
6.2.3唯一确定分式线性映射的条件(139)
6.2.4区域间分式线性映射的建立(140)
练习题6.2(144)
6.3几个初等函数所构成的映射(144)
6.3.1幂函数ω=zn(n为整数且n≥2)(144)
6.3.2指数函数ω=ez(147)
练习题6.3(149)
��6.4共形映射的应用(149)
6.4.1黎曼存在定理(150)
6.4.2Laplace方程的边值问题(151)
练习题6.4(153)
综合练习题6(154)
第2篇积分变换
第7章Fourier变换及其应用(161)
7.1Fourier级数与积分(161)
7.1.1Fourier级数(161)
7.1.2Fourier积分(164)
练习题7.1(168)
7.2Fourier变换(169)
7.2.1Fourier变换的定义(169)
��7.2.2非周期函数的频谱(170)
练习题7.2(172)
7.3单位脉冲函数与广义Fourier变换(172)
7.3.1δ函数的概念(173)
7.3.2δ函数的性质(174)
7.3.3广义的Fourier变换(176)
练习题7.3(178)
7.4Fourier变换及其逆变换的性质(179)
7.4.1基本性质(179)
7.4.2Fourier变换的导数与积分(182)
7.4.3卷积与卷积定理(184)
练习题7.4(188)
*7.5Fourier变换的应用(189)
练习题7.5(192)
综合练习题7(193)
第8章Laplace变换及其应用(195)
8.1Laplace变换的概念(195)
8.1.1Laplace变换的定义(196)
8.1.2Laplace变换的存在定理(197)
8.1.3周期函数的Laplace变换(198)
8.1.4δ函数的Laplace变换(199)
练习题8.1(200)
8.2Laplace逆变换(200)
8.2.1反演积分公式(201)
8.2.2利用留数计算反演积分公式(201)
练习题8.2(203)
8.3Laplace变换的性质(204)
8.3.1基本性质(204)
8.3.2微分与积分性质(208)
8.3.3Laplace变换的卷积(211)
练习题8.3(214)
��8.4Laplace变换的若干应用(215)
8.4.1利用Laplace变换求微分方程(215)
8.4.2电路分析(219)
8.4.3线性系统分析(222)
练习题8.4(225)
综合练习题8(225)
第3篇基于MATLAB数学实验(229)
第3篇基于MATLAB数学实验
第9章MATLAB在复变函数与积分变换中的应用(231)
9.1MATLAB简介(231)
9.1.1MATLAB的基本功能(231)
9.1.2MATLAB的指令窗(232)
9.1.3MATLAB的演示窗(236)
9.1.4MATLAB的编辑窗(237)
9.1.5MATLAB的图形窗(239)
练习题9.1(243)
9.2利用MATLAB求解复变函数与积分变换中的运算(243)
9.2.1复数运算和复变函数的图形(243)
9.2.2复变函数的极限与导数(251)
9.2.3复变函数的积分与留数定理(253)
9.2.4复变函数的级数(257)
9.2.5Fourier变换及其逆变换(259)
9.2.6Laplace变换及其逆变换(260)
练习题9.2(262)
综合练习题9(262)
附录AFourier变换简表(265)
附录BLaplace变换简表(270)
部分练习题参考答案(275)
参考文献(290)

前言/序言

“复变函数与积分变换”是工科相关专业的一门重要数学基础课.它的理论和方法在自然科学和工程技术中有广泛的应用，是工程技术人员常用的数学工具.本书按照zui新的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》，遵循“工科数学回归工程”的理念编写而成.本书主要分为三篇，即复变函数论、积分变换和基于MATLAB的数学实验.第1篇“复变函数论”共有6章.第1章讲述复数及其几何属性.这一章主要通过复数的几何属性使读者对复数的概念有直观的理解，为学习复变函数论打好基础，并初步引入复数的应用.第2章介绍复变函数的概念，并引入复变函数极限、连续、导数和积分的概念.这一章尽量与实变函数相关内容衔接.复变函数是实变函数在复数领域内的推广和发展.两者有许多相似之处，但又有许多不同之处，尤其是在技巧和方法上.我们在指出它们共性的同时，着力揭示它们的区别，并注意分析产生这些区别的原因，以便读者进一步加深对复变函数中新概念、新理论、新方法的理解与认识.第3章介绍复变函数研究的主要对象——解析函数，论述函数解析的充要条件，分析初等函数的解析性，并通过积分进一步研究解析函数及其相关定理，同时在zui后介绍了解析函数在平面场等理论中的实际应用，让读者理论联系实际，加深对概念、定理的理解.第4章介绍复变函数的级数理论，重点讲述了Taylor级数和洛朗级数.在此基础上，第5章讨论了函数的孤立奇点，介绍了留数的概念，阐述了留数定理及其应用.第6章介绍共形映射.共形映射是复变函数论中zui具特色的内容之一.它从几何角度研究了解析函数.本书从理清各个基本概念入手，逐步导出共形映射的概念，使读者易于接受.第2篇“积分变换”共有2章。第7章主要讲述Fourier变换，从Fourier级数入手，逐步引入Fourier积分和Fourier变换，同时将频谱的概念融入其中，接着介绍了Fourier变换的性质，zui后讲述Fourier变换具有代表性的应用.第8章介绍Laplace变换，重点介绍Laplace变换及其逆变换的概念、性质和求解方法，同时还讲述了Laplace变换在求解微分方程和线性系统分析中的应用.第3篇是“基于MATLAB的数学实验”，主要介绍MATLAB在复变函数和积分变换中的应用.本书由武昌首义学院长期从事工程数学教学与研究工作的经验丰富的教师编写而成.在本书编写中，编者坚持“工科数学回归工程”这一原则，充分考虑到工科学生的特点和实际，特别注意到以下几点：（1） 语言通俗流畅，在概念、定理、性质阐述严谨的同时，增加了一些引导性和解说性的文字，力求深入浅出、循序渐进，增强了可读性.（2） 条理清晰，尽量做到重要知识点模块化、重难点处理恰当，同时调整了一些章节的编排和内容，使全书的结构更趋合理.（3） 图文并茂，插图与正文相辅相成.例题选择上参考相关专业课程，紧密联系工程实际.由于编者水平所限，书中错误和不妥之处在所难免，诚恳欢迎读者批评指正，以期日后再做改进。

好的，这是一份基于您的要求撰写的图书简介，重点在于介绍其他相关领域的内容，避免提及您提供的书名及其具体内容： 导论：数学分析的深层结构与现代应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索在纯粹数学与应用科学领域中扮演核心角色的几大关键分支——拓扑学、泛函分析以及微分几何。这些领域不仅构成了现代数学理论的基石，也是理解物理学、工程学乃至信息科学等交叉学科复杂现象的必备工具。我们着重于概念的严谨性、定理的证明逻辑，并辅以丰富的应用实例，以期搭建起理论与实践之间的坚实桥梁。 第一部分：拓扑空间的几何直觉与抽象基础 拓扑学，被誉为“几何学的软化”，关注的是空间在连续形变下保持不变的性质。它从集合论的基础上出发，用开集、闭集、邻域等概念取代了传统欧几里得几何中的距离和角度的精确测量，从而处理更为广阔和抽象的空间结构。 1. 拓扑空间的基本构造： 我们将从点集拓扑学的基本定义入手，详细探讨如何构造一个拓扑空间，理解开集系、闭集系、基与子基的概念。重点分析了紧致性和连通性这两个至关重要的拓扑性质。紧致性是收敛性理论的推广，它确保了在某些“良好”的空间中，任何开复盖都能找到有限子复盖，这对于后续的分析学至关重要。连通性则描述了空间是否可以被分割成不相交的开放集合，直观地对应于空间的“完整性”。 2. 连续性与映射的性质： 拓扑学中的连续映射是保持空间结构的最基本方式。我们将深入研究连续函数的拓扑定义，探讨连续函数的组合性质。进一步地，我们将引入同胚的概念，作为拓扑空间之间“等价”的严格标准，并探讨如何利用拓扑不变量（如基本群）来区分本质上不同的空间。 3. 度量空间与一致性： 作为拓扑学和分析学之间的重要交汇点，度量空间提供了量化距离的框架。本书将详述完备性（Completeness）的概念，即度量空间中所有柯西序列都收敛的性质。完备性在不动点定理（如巴拿赫不动点定理）的应用中扮演着不可或缺的角色，是证明许多迭代算法收敛性的核心保证。 第二部分：泛函分析——无限维空间的线性代数 泛函分析将线性代数的思想扩展到无穷维向量空间，特别是函数空间。它为处理偏微分方程的解、概率论中的随机过程以及量子力学中的状态描述提供了强有力的数学语言。 1. 赋范线性空间与巴拿赫空间： 我们从向量空间出发，引入范数（Norm）的概念，构建赋范线性空间。随后，引入算子理论的视角，将函数视为向量，将微分和积分等操作视为线性算子。巴拿赫空间（完备的赋范线性空间）是本章的核心，它提供了在无限维空间中进行“极限运算”的保证。 2. 希尔伯特空间与内积结构： 希尔伯特空间是内积赋范的巴拿赫空间，它不仅具有距离结构，还拥有角度和正交性的概念。我们将深入探讨内积和正交性的强大威力，特别是傅里叶级数和傅里叶变换在希尔伯特空间上的严格定义和性质。这些工具是信号处理和偏微分方程分离变量法的理论基础。 3. 有界线性算子与谱理论的初探： 泛函分析的重心在于研究作用于这些函数空间上的算子。我们将分析有界线性算子的范数、开映射定理、闭图像定理等三大基本定理。虽然不对谱理论进行全面展开，但我们会初步介绍紧算子的概念，以及自伴算子（在希尔伯特空间中）的谱性质，这直接与物理学中的可观测量的本征值问题相关联。 第三部分：微分几何与流形——现代物理的几何框架 微分几何专注于在光滑空间（即流形）上进行微积分和几何度量。它是广义相对论、规范场论等现代物理学理论中描述时空结构和物理定律不可或缺的数学工具。 1. 流形的概念与局部坐标： 我们将从微分拓扑的角度介绍流形——局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。重点在于“光滑结构”的引入，即如何定义流形上的光滑函数和可微结构。图册（Atlas）和坐标变换是理解流形局部性质的关键。 2. 张量场与微分形式： 为了在曲面上进行微积分，我们需要推广向量和梯度的概念。本书将详述切空间的概念，以及在此基础上定义的张量场，特别关注二阶以上的张量，如度量张量。随后，我们将介绍微分形式（Exterior Forms），它们是微分几何中积分和外微分的自然语言，是推广微积分基本定理的工具。 3. 向量场、流与微分方程的几何视角： 向量场描述了流形上每一点的“速度”或“方向”。我们将分析向量场诱导的流，即将常微分方程的解视为流形上的曲线。最后，我们将简要介绍外微分算子 $d$ 的性质，以及它如何统一了梯度、旋度和散度等经典向量分析的概念，预示着更为宏大的几何积分定理。 通过对拓扑学、泛函分析和微分几何的系统性梳理，本书期望读者不仅掌握严谨的数学技巧，更能建立起对连续性、维度、结构和变化的深刻洞察力，为未来深入探索任何需要处理复杂函数空间或非欧几何结构的领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

不同于某些教科书那种冷冰冰的、纯粹的知识灌输，这本书的叙述风格中流露出一种学者对学科的热爱和对读者的关怀。作者的语言虽然严谨，但并不枯燥，偶尔会出现一些精妙的比喻或历史背景的简短回顾，让整个学习过程变得更加人性化和有趣味性。例如，在介绍某些重要定理的起源时，作者简要提及了数学家们在攻克难题时的心路历程，这使得那些看似亘古不变的数学真理也染上了一层鲜活的人文色彩。这种温和而坚定的引导，让人感觉像是在一位经验丰富、且富有激情的导师的带领下进行一次深入的学术漫游，而非被动地接收信息，因此，我向所有严肃对待数学学习的人士强烈推荐这本书。

评分☆☆☆☆☆

书中对核心概念的阐述逻辑性极强，它不是简单地堆砌公式和定理，而是构建了一套由浅入深的知识体系。作者在引入新概念时，往往会首先回顾读者可能已经掌握的前置知识，比如扎实的微积分基础，然后巧妙地搭建起一座通往更高维度数学殿堂的阶梯。我尤其欣赏它在处理那些抽象的、非直观的数学对象时所采用的类比和几何解释。例如，对于某些复变量函数的性质，作者并没有满足于代数上的证明，而是辅以生动的空间想象，使得原本晦涩难懂的抽象概念变得可感、可把握。这种由具体到抽象，再由抽象回归具体解释的教学路径，极大地降低了初学者的入门难度，让我在阅读过程中，每解开一个知识点，都有一种豁然开朗的成就感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计是其价值的又一体现，它们绝非简单的计算练习，而是具有层次感和启发性的思维训练。基础的巩固型习题确保了基本运算的熟练度，而中等难度的综合题则开始要求读者灵活运用所学知识，进行多步骤的推理和组合。最令我受益的是那些难度较高的挑战性题目，它们往往需要读者跳出原有的思维定式，去探索定理背后的深层含义。更难能可贵的是，书中对一些关键例题提供了详尽的解题思路分析，而非仅仅给出最终答案。这种“授人以渔”的设置，让我能够真正理解思考过程中的关键转折点，有效地提升了解决实际问题的能力，这对于任何希望将理论应用于工程或物理领域的人来说，都是无价的财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计颇具匠心，封面采用了深邃的藏青色，配以烫金的书名，整体散发出一种严谨而又不失典雅的气质。初次捧读时，便被它散发出的专业气息所吸引。内页纸张质量上乘，触感细腻，印刷清晰度极高，即便是长时间阅读，眼睛也不易感到疲劳。排版布局也充分考虑了读者的使用习惯，数学公式的呈现尤为工整规范，逻辑线条清晰，这对于学习和查阅复杂的数学概念至关重要。装帧的稳固性也值得称赞，厚实的书脊确保了即使经常翻阅，书本也能保持原有的形态，可见出版方在细节之处的用心。这种对物理形态的精雕细琢，无疑为内容本身的深度和广度奠定了良好的物质基础，让人在开始探索那些抽象的数学世界之前，就已心生敬意。

评分☆☆☆☆☆

在阅读体验中，我发觉这本书的“应用”层面讨论得相当到位，它成功地架设了纯数学理论与实际科学需求之间的桥梁。书中并非孤立地介绍数学工具，而是穿插了大量贴近现实世界的案例分析，比如在信号处理、流体力学或者电磁场理论中的具体应用场景。这些案例的选取非常具有代表性，它们清晰地展示了如何运用复变函数或积分变换的强大工具来简化和求解那些原本极其复杂的微分方程。这种理论与实践的紧密结合，极大地激发了我学习的内在动力。它让我清晰地认识到，这些精妙的数学结构并非空中楼阁，而是驱动现代科学和工程进步的核心引擎，这使得枯燥的公式推导也充满了探索的乐趣。