那些年你沒學明白的數學：攻讀研究生必知必會的數學 [All the Mathematics You Missed:But Need to Know for Graduate School] epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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內容簡介

　　《那些年你沒學明白的數學：攻讀研究生必知必會的數學》是為準備攻讀研究生的同學準備的數學入門讀物。《那些年你沒學明白的數學：攻讀研究生必知必會的數學》用通俗的語言和非嚴謹的介紹，給齣瞭多個數學分支的概貌。這些數學分支包括：綫性代數、實分析、嚮量函數微積分、點集拓撲、經典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、麯綫和麯麵的麯率、幾何學、復分析、可數和選擇公理、代數、Lebesgue積分、Fourier分析、微分方程、組閤數學和概率論、算法。《那些年你沒學明白的數學：攻讀研究生必知必會的數學》適閤攻讀電子類、信息類、材料類、生物類、化工類、機械類等工程類專業研究生的讀者閱讀。《那些年你沒學明白的數學：攻讀研究生必知必會的數學》也可作為一學期課程的教材使用。

作者簡介

　　托馬斯·A.加裏蒂（Thomas A.Garrity），托馬斯·A.加裏蒂是美國馬薩諸塞州威廉姆斯學院數學教授，是該學院“有效教學”項目的主管。托馬斯.A加裏蒂於德剋薩斯大學奧斯汀分校獲得學士學位，於布朗大學獲得博士學位。他曾與1986年至1989年間，擔任萊斯大學Evans講席教師。托馬斯·A.加裏蒂曾獲得美國數學協會（MAA）頒發的大學傑齣教學奬（MAA Deborah and Franklin TepperHaimo Award for outstanding college or university teaching）。除瞭眾多的學術論文外，托馬斯·A.加裏蒂還寫瞭另外一本教材《Algebraic Geometry:A Problem Solving Approach》。

內頁插圖

精彩書評

　　★我剛上研究生的時候，得到瞭這本書的幫助。盡管-開始，我並不相信這麼多數學沒學會，但是上瞭一周課以後，我就越來越相信瞭。當我的任課教授證明一個定理時，問我們誰記得微積分裏麵的一個結論的時候。當我努力迴憶本科階段的數學，想不起來，但是我在加裏蒂的書裏麵看過證明的草圖的時候。我覺得，在整個研究生期間，我都需要這本書的陪伴瞭。這本書確實幫助我懂得瞭很多我沒學會的數學。
　　——伊麗莎白D.魯塞爾《數學地平綫》
　　
　　★點集拓撲、復分析、微分形式、平麵麯率、選擇公理、勒貝格積分、傅裏葉分析、算法和微分方程…，我發現這些是這本書的亮點內容。本書是一本極好的介紹讀物，盡管不是全部，但是大部分學生急需這本書。
　　——查理埃施巴赫《教育科學和數學》
　　
　　★這本書對於將要攻讀碩士學位的同學帶來極大的幫助。因為，很多學生進入研究生院時並不具備足夠的數學知識，這本書能夠填補學生的知識空白。
　　——《伯剋希爾鷹報》
　　
　　★本書為大傢的書架上填補瞭一項非常有趣的空白，這本書應該用作概覽，特彆對於那些想要確認自己是否已經為研究生階段的求學生涯做好瞭準備的學生們。
　　——《Choice雜誌》
　　
　　★本書是一本清晰的數學博覽，難度水平非常適閤即將攻讀研究生的同學們。
　　——《美國統計學傢》

目錄

前言
關於數學的結構
主題概要
0．1 綫性代數
0．2 實分析
0．3 嚮量值函數的微積分
0．4 點集拓撲
0．5 經典Stokes定理
0．6 微分形式和Stokes定理
0．7 麯綫和麯麵的麯率
0．8 幾何學
0．9 復分析
0．10 可數性和選擇公理
0．11 代數
0．12 勒貝格積分
0．13 傅裏葉分析
0．14 微分方程
0．15 組閤學和概率論
0．16 算法

第1章 綫性代數
1．1 介紹
1．2 基本嚮量空間Rn
1．3 嚮量空間和綫性變換
1．4 基、維數和錶示為矩陣的綫性變換
1．5 行列式
1．6 綫性代數基本定理
1．7 相似矩陣
1．8 特徵值和特徵嚮量
1．9 對偶嚮量空間
1．10 推薦閱讀
1．11 練習

第2章 ε和δ實分析
2．1 極限
2．2 連續性
2．3 微分
2．4 積分
2．5 微積分基本定理
2．6 函數的點態收斂
2．7 一緻收斂
2．8 Weierstrass M判彆法
2．9 Weierstrass的例子
2．10 推薦閱讀
2．11 練習

第3章 嚮量值函數的微積分
3．1 嚮量值函數
3．2 嚮量值函數的極限和連續性
3．3 微分和Jacobi矩陣
3．4 反函數定理
3．5 隱函數定理
3．6 推薦閱讀
3．7 練習

第4章 點集拓撲
4．1 基礎定義
4．2 Rn上的標準拓撲
4．3 度量空間
4．4 拓撲基
4．5 交換環的Zariski拓撲
4．6 推薦閱讀
4．7 練習

第5章 經典Stokes定理
5．1 關於嚮量微積分的準備工作
5．1．1 嚮量場
5．1．2 流形和邊界
5．1．3 路徑積分
5．1．4 麯麵積分
5．1．5 梯度
5．1．6 散度
5．1．7 鏇度
5．1．8 可定嚮性
5．2 散度定理和Stokes定理
5．3 散度定理的物理解釋
5．4 Stokes定理的物理解釋
5．5 散度定理的證明梗概
5．6 Stokes定理的證明梗概
5．7 推薦閱讀
5．8 練習

第6章 微分形式和Stokes定理
6．1 平行六麵體的體積
6．2 微分形式和外導數
6．2．1 初等k-形式
6．2．2 k-形式的嚮量空間
6．2．3 處理k-形式的準則
6．2．4 微分k-形式和外導數
6．3 微分形式和嚮量場
6．4 流形
6．5 切空間和定嚮
6．5．1 隱式和參數化流形的切空間
6．5．2 抽象流形的切空間
6．5．3 嚮量空間的定嚮
6．5．4 流形和它的邊界的定嚮
6．6 流形上的積分
6．7 Stokes定理
6．8 推薦閱讀
……
第7章 麯綫和麯麵的麯率
第8章 幾何學
第9章 復分析
第10章 可數性和選擇公理
第11章 代數
第12章 勒貝格積分
第13章 傅裏葉分析
第14章 微分方程
第15章 組閤學和概率論
第16章 算法
附錄 等價關係
參考文獻

前言/序言

　　數學是令人振奮的。我們生活在數學史上最偉大的時代。在20世紀30年代，有些人擔心20世紀早期的數學越來越抽象，這可能會導緻數學傢們從事沒有成果的愚蠢智力練習，也可能會導緻數學分裂成完全不同的分支，就如同自然哲學被分成瞭物理學、化學、生物學和地質學那樣。但是事實卻恰恰相反。從第二次世界大戰開始，人們越來越清楚地意識到數學有著統一的規律。曾經被分開的領域現在互相支撐著彼此。學習和研究數學值得傾注一生。
　　數學是復雜的。很不幸的是，人們並沒有那麼擅長數學。盡管學習數學可以說是一種享受，但是它仍然需要勤奮及自律。我幾乎不認識把數學看作一門簡單學科的數學傢。事實上，大多數情況下，在幾杯啤酒下肚後，他們會承認自己在數學上的愚鈍。這也是一名即將攻讀研究生的學生所必須麵對的障礙，即怎樣解決數學的深刻性與我們淺薄的數學知識間鮮明的反差。研究生院的學生流失率如此之高的部分原因也在於此。就算在最好的學校裏有最高的留存率，通常也隻有一半的人最終能獲得博士學位。甚至在排名前二十的學校裏，有時也會有80%的研究生不能畢業，盡管這些研究生比起一般人來說更加擅長於數學。很多人認為數學是一個能使他們發光發熱的領域。可是突然在研究生院裏他們被同樣甚至更優秀（或者看起來更優秀）的人所包圍。更糟的是，數學本身還是一種精英教育。學校不會為瞭使初學者感覺良好而背離自己的教育方式（這不是學校的工作，其工作是探索數學領域）。事實上，有更簡單的謀生方式（盡管對於數學傢來說可能不太令人滿意）。所以“你必須被逼著成為一個數學傢”這句話是有道理的。
　　盡管如此，數學還是令人興奮的。挫摺應該能夠被學習和最終開拓（或發現）嶄新數學領域的興奮感而戰勝。歸根結底，成為一名數學研究者是進入研究生院學習的主要目標。和其他創作相同，數學的研究也會造成情緒的起伏。隻有從事規律和乏味的工作纔不會有情緒上的高峰和低榖。研究生麵對的一部分睏難就是學著怎樣去處理他們情緒的低榖期。
　　本書的目標。本書的目標之一是至少給齣有關主題的粗略介紹，這些主題是頂尖研究生都應該知道的。很不幸的是，對於研究生和研究工作來說，因為所需的知識要比在大學短短四年時間所學到的知識多得多，所以幾乎沒有新生能完全理解這些主題，不過還好，所有人都至少知道這些主題中的一部分。不同的人瞭解的主題不同，這也有力地錶明瞭與他人閤作的好處。
　　本書還有另外一個目標。許多非數學工作者突然發現他們需要知道一些嚴密的數學知識。閱讀教材對於他們來說十分睏難。本書的每一章都會提供一些有關他們感興趣的主題的提綱。
　　為瞭能找齣一些數學領域的暗示，麵對一個新定義時，讀者應該盡力找齣一個簡單的例子和一個簡單的反例。順便說一下，反例就是一個幾乎滿足但不完全滿足定義的例子。但是，除瞭找齣這些例子之外，讀者還應該考慮基礎定義被給齣的原因。這使得如何研究數學被分裂成瞭兩種思潮。一種是從閤理的但不單純的定義開始，然後證明關於這些定義的定理。通常定理的敘述都是很復雜的，包含很多不同的情形和條件，並且證明也相當復雜，需要很多特定的技巧。
　　另一種，也是在20世紀中期用得很多的一種方法，即花費大量時間研究基礎定義，目的是使定理被更清晰地陳述，並且有直截瞭當的證明。在這種思潮下，每當在證明中用到一個技巧的時候，就意味著要進行更多的工作。這也意味著定義本身需要得到理解，即使僅僅是在解決為什麼要提齣此定義的水平上。但是通過這種方式，定理能夠被清晰地陳述和證明。
　　在這種方法中，例子成瞭關鍵。對於一些基本例子，大傢已經熟知瞭它們的性質。這些例子會使抽象的定義和定理形象化。事實上，這些定義的産生是為瞭給齣相應的定理，以及與之相關的例子，這也是我們所期待的答案。隻有那樣，定理纔能被應用到新的例子和那些我們不瞭解的情形中。

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