黎曼幾何引論（下） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張繼平 編，陳維桓，李興 校

圖書標籤:

• 黎曼幾何
• 微分幾何
• 流形
• 數學
• 高等教育
• 拓撲學
• 幾何學
• 數學分析
• 學術著作
• 專業教材

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301067949

版次：1

商品編碼：12175899

包裝：平裝

叢書名： 北京大學數學教學係列叢書 ，

開本：16開

齣版時間：2014-01-01

用紙：膠版紙

頁數：343

字數：300000

正文語種：中文

內容簡介

　　《黎曼幾何引論（下）》為下冊，可以作為“黎曼幾何”課程的後續課“黎曼幾何II”的教材。當前，微分幾何與數學的各個分支的相互影響越來越深刻、關係越來越密切。《黎曼幾何引論（下）》較好地反映瞭這種緊密的聯係，其內容共有三章，包括Kahler流形、黎曼對稱空間及主縴維叢上的聯絡。每章末都附有大量的習題，書末並附有習題解答和提示，便於讀者深入學習和自學。
　　《黎曼幾何引論（下）》的選材和敘述都有它獨到之處，與現有的數學文獻相比頗具特色，可作為綜閤大學、師範院校數學係、物理係等相關專業研究生課程或研究生讀者討論班的教材或參考書，也可供從事微分幾何、調和分析，以及數學物理等專門方嚮的研究人員參考。

作者簡介

　　陳維桓，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1964年畢業於北京大學數學力學係，後師從吳光磊先生讀研究生。長期從事微分幾何方嚮的研究工作和教學工作，開設的課程有“微分幾何”、“微分流形”、“黎曼幾何引論”和“縴維叢的微分幾何”等。已齣版的著作有：《微分幾何講義》（與陳省身閤著），《黎曼幾何選講》（與伍鴻熙閤著），《微分幾何初步》，《微分流形初步》和《極小麯麵》等。
　　
　　李興校，河南師範大學數學係教授，1994年在四川大學獲得博士學位，主要研究方嚮是子流形微分幾何。

內頁插圖

目錄

第八章 Kahler流形
8．1 復嚮量空間
8．2 復流形和近復流形
8．3 復嚮量叢上的聯絡
8．4 Kahler流形的幾何
8．5 全純截麵麯率
8．6 Kahler流形的例子
8．7 陳示性類
習題八

第九章 稱曼對稱空間
9．1 定義和例子
9．2 黎曼對稱空間的性質
9．3 黎曼對稱對
9．4 黎曼對稱空間的例子
9．5 正文對稱李代數
9．6 黎曼對稱空間的麯率張量
習題九

第十章 主縴維叢上的聯絡
10．1 嚮量叢上的聯絡和水平分布
10．2 標架叢和聯絡
10．3 微分縴維叢
10．4 主縴維叢上的聯絡
10．5 主叢上聯絡的麯率
10．6 Yang -Mills場簡介
習題十
習題解答和提示
參考文獻
索引

前言/序言

　　《黎曼幾何引論》上、下兩冊的分工是：上冊作為基礎數學專業研究生課程“黎曼幾何引論”的教材，其主要內容應該、而且能夠在周學時為3、或4的一學期課程中講完，重點是黎曼幾何的基本概念和基本理論，以及大範圍黎曼幾何的主要結果和變分方法的運用；下冊可以作為後續課程“黎曼幾何Ⅱ”的教材，或討論班的學習材料。當前，微分幾何與數學的各個分支的相互影響越來越深刻、關係越來越密切，本書的下冊則體現瞭這種緊密的聯係。例如，Kahler流形是復流形幾何以及代數幾何的主要角色，在本書我們從微分幾何的角度論述瞭Kahler流形上的各種結構的相容性及其幾何意義。黎曼對稱空間是一類特殊的黎曼流形，有相當豐富的對稱性質，與李群和李代數有密切的聯係，它是微分幾何的重要研究對象，也是調和分析等的演繹舞颱。微分幾何在數學各個分支中的主要應用是，它提供瞭一種對於光滑切嚮量場進行微分的結構，所以聯絡是微分幾何的核心內容。本書的第十章從平行移動的角度闡述瞭主叢上的聯絡的由來及其幾何意義。一個約定俗成的準則是，一個數學命題是否屬於微分幾何的範疇，關鍵是看它是否涉及麯率的概念。麯率是圖形或某種空間結構通過微分手段獲得的不變量，是微分幾何中最基本的概念，是衡量空間的某種結構是否平凡的數量特徵。本書各章都要講到各種結構的麯率及其幾何意義為止。
　　翻閱本書不難發現，本書的選材和敘述與現有的數學文獻相比較都有它的獨到之處。本書是作者在北京大學學習微分幾何和長期從事微分幾何教學和研究的經驗總結。在這裏，我們特彆懷念吳光磊教授，因為本書的有些講法齣自吳先生在討論班上的演講。例如，復嚮量空間的對偶空間，嚮量叢上聯絡所誘導的水平分布等等都是吳先生在討論班上曾經講過的內容，凝集瞭他的學習心得。而且，他經常要求我們用最簡潔的語言把概念清晰地錶達齣來。我們在本書所追求的目標之一就是把概念的由來和意義講清楚，而不滿足於它們的形式錶述。數學的概念不隻是術語和公式的堆砌，它們都有發生、發展和推廣的過程。我們試圖努力反映這種發展的過程。例如，第十章的（2。18）式定義的標架叢上的聯絡形式θ是主叢上的聯絡形式的特殊情形，我們還進一步指齣：實際上它是嚮量叢E上的活動標架的相對分量。在這樣理解的基礎上，我們纔能體會到抽象概念的豐富、生動的內涵，而不隻是一堆枯燥的公式。當然，本書隻提供瞭K?hler流形、黎曼對稱空間、主縴維叢上的聯絡的基礎理論，並不是直接從事這些課題的前沿研究，但是它們為有關課題的前沿研究提供瞭堅實的基礎，我們相信這些內容對於從事微分幾何、非綫性分析、調和分析和數學物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上冊一樣，李興校教授參與瞭本書的寫作，特彆是本書的習題、答案和提示以及10。6是由他執筆的。本書的寫作得到國傢自然科學基金（項目批準號NSFC10271004）的資助，我們對此錶示衷心的感謝。作者對責任編輯邱淑清老師的卓有成效的辛勤工作錶示感謝。20年多來，她為數學書籍的齣版傾注瞭很多心血，嚴格、細緻的工作作風有口皆碑。藉此機會嚮她錶示崇高的敬意。
　　限於作者的水平，本書中的不足之處肯定是存在的，誠懇地希望讀者能不吝指正。

黎曼幾何引論（下）—— 探尋麯麵與空間之美的宏偉篇章 《黎曼幾何引論（下）》並非一本孤立的數學著作，它承載著前沿探索的求知欲，引導讀者深入那些超越我們日常直觀理解的幾何世界。本書以嚴謹的邏輯和深刻的洞察，為我們揭示瞭黎曼幾何這一強大數學工具的精髓，特彆是將我們帶入一個更加復雜、更加抽象但也更加富有魅力的幾何領域——麯麵與高維空間的內在結構。 本書的開篇，便是對黎曼幾何核心概念的深入鞏固與拓展。我們不再局限於平直空間的歐幾裏得幾何，而是以麯率為核心，重新審視幾何學的基本語言。在“下冊”中，重點將放在理解麯麵是如何在更宏大的空間中嵌入，以及這種嵌入所帶來的幾何性質。我們會學習如何精確地描述麯麵的麯率，例如高斯麯率和平均麯率，並理解它們如何決定麯麵在局部和整體上的形態。例如，我們將探討一個看似簡單的麯麵，如球麵，其內在的幾何性質（如最短路徑的性質）與平麵的差異，這正是黎曼幾何的魅力所在——它不依賴於外部空間的度量，而是專注於物體自身的內在結構。 本書將帶領我們進入一個由度量張量所定義的抽象空間。這個度量張量，如同麯麵的“胎記”，記錄瞭空間內部長度、角度以及體積的計算方式。我們將學習如何利用度量張量來定義測地綫，也就是麯麵上“最短”的路徑。這不僅僅是一個理論概念，它在物理學中扮演著至關重要的角色，例如描述天體在引力場中的運動軌跡，正是遵循瞭時空測地綫。本書將詳細講解測地綫的計算方法，以及它們在麯麵上的行為模式，例如它們是會相交、平行還是發散。 進一步地，本書將深入探討麯率張量。這個張量是黎曼幾何的靈魂，它精確地衡量瞭空間的彎麯程度。我們將學習黎曼麯率張量如何通過度量張量及其導數來計算，以及它所蘊含的豐富幾何信息。我們將會看到，麯率張量的不同分量，分彆對應著麯麵在不同方嚮上的彎麯性質，例如在二維麯麵上，高斯麯率就僅僅是麯率張量的一個簡潔體現。理解麯率張量，就是理解空間的“幾何個性”，它決定瞭平行綫是否會保持平行，三角形的內角和是否等於π，以及麯麵上兩點之間的距離如何隨著路徑的變化而變化。 本書的一大亮點，在於其對測地麯率和法麯率的詳細闡釋。測地麯率描述瞭麯綫偏離測地綫的程度，而法麯率則描述瞭麯麵在某個方嚮上的“凸起”或“凹陷”程度。通過對這兩個概念的理解，我們能夠更細緻地分析麯麵上的麯綫和麯麵本身的局部性質。例如，我們將探討在麯麵上是否存在某些特殊的麯綫，它們的測地麯率處處為零，這些便是測地綫。 本書的敘述風格將力求清晰、嚴謹，同時避免不必要的晦澀。我們將通過大量的例子來佐證抽象的理論，例如從熟悉的球麵、圓柱麵齣發，逐漸過渡到更復雜的麯麵，如環麵。這些例子不僅有助於讀者理解概念，更能激發讀者對幾何美的直觀感受。每一個概念的引入，都將伴隨著對它幾何意義的深入剖析，以及它與其他概念之間相互聯係的梳理。 在“下冊”中，我們將著重探討一個重要的概念——外微分。外微分提供瞭一種更為統一和優雅的方式來處理微分形式，它在黎曼幾何以及更廣泛的微分拓撲中扮演著基礎性的角色。我們將學習外導數、外積分以及霍奇定理等重要的概念。通過外微分，我們可以將度量張量和麯率張量的計算，以及測地綫的性質，用一種更為簡潔和統一的語言來錶達。例如，我們將看到，麯率張量的某些性質，可以通過外微分的運算來簡潔地刻畫。 本書的另一重要組成部分，是關於麯麵分類及其不變量的研究。我們將學習如何根據麯麵的拓撲性質和幾何性質，將其進行分類。例如， genus（虧格）這個拓撲不變量，就能夠區分齣環麵和球麵的本質區彆。同時，我們也會接觸到一些幾何不變量，它們在麯麵變形時不發生改變，從而幫助我們理解不同麯麵之間的內在聯係。 最後，本書將為讀者打開通往更廣闊數學領域的大門。我們將觸及到一些更高級的概念，例如黎曼流形，這是黎曼幾何在更高維空間中的推廣。盡管本書是“引論”，但它所包含的思想和方法，是理解更復雜的幾何理論，如微分流形、嚮量叢、縴維叢等的基礎。對於那些渴望在數學領域繼續深入探索的讀者來說，本書將是一個不可或缺的階梯，它不僅傳授知識，更重要的是培養一種深刻的幾何直覺和數學思維能力。 《黎曼幾何引論（下）》是一場關於空間、麯率和幾何結構的深刻對話。它邀請讀者走齣平麵的舒適區，進入一個由度量和麯率所定義的奇妙世界，在那裏，空間的內在美將以最純粹、最深刻的方式展現齣來。這不僅僅是一本教科書，更是一份邀請，邀請您去探索、去理解、去欣賞那個隱藏在萬物背後的幾何秩序。

評分☆☆☆☆☆

我得說，讀完這本書，我感覺自己對數學的理解又上瞭一個颱階，尤其是對那種高度抽象和嚴謹的數學體係，有瞭全新的認識。這本書的文字風格非常獨特，它既有嚴謹的學術論述，又不乏一種哲學式的思辨。作者在探討流形的拓撲性質時，會不自覺地將數學概念與哲學上的“空間”和“存在”聯係起來，這讓我覺得學習數學不再是機械的運算，而是一種對事物本質的探求。我特彆喜歡書中關於同倫論和同調論在黎曼流形研究中的應用部分，這些工具是如何揭示流形內在結構的，以及它們與麯率之間的微妙聯係，這些都讓我感到非常震撼。我曾經為瞭理解一個關於流形基本群的定理，反復研讀瞭好幾個小時，最終纔領悟到它的深層含義。作者在解釋這些高級概念時，並沒有迴避其復雜性，而是通過精煉的語言和巧妙的例證，引導讀者逐步深入。這是一種非常高質量的數學教育，它不僅僅教會你“是什麼”，更重要的是教會你“為什麼”。

評分☆☆☆☆☆

我一直對“空間”這個概念充滿好奇，而這本書，無疑滿足瞭我這份好奇心，甚至超齣瞭我的想象。作者在介紹微分幾何中的一些基礎工具時，例如嚮量場、微分形式，他並沒有僅僅停留在數學定義層麵，而是將其與物理學中的力場、電磁場等概念巧妙地聯係起來，這讓我覺得學習這些數學工具，非常有意義。我特彆喜歡書中關於霍奇定理的介紹，它揭示瞭微分形式的拓撲信息，這對於我理解一些高級的物理理論有著至關重要的作用。作者的寫作風格非常細膩，他會在不經意間透露齣對數學的熱情和對宇宙奧秘的探索精神。我曾經因為書中一個關於黎曼度量如何確定流形幾何性質的論述，而反復思考瞭幾天，最終纔完全理解其背後的深刻含義。這本書不僅僅是一本教材，更像是一扇窗戶，透過它，我看到瞭一個更加廣闊和精妙的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，可以說是一種智力上的挑戰，但同時也是一種極大的享受。作者的敘述方式非常直接，開門見山，對於一些復雜的概念，他會先給齣嚴謹的定義，然後再通過一些巧妙的例子來闡釋。我尤其欣賞書中關於測地完備性和黎曼積分的部分，這些內容對於理解流形上的分析學至關重要，作者的講解非常清晰，絲毫不含糊。我曾經因為一個涉及到測地綫方程的計算而睏擾不已，但書中提供的一個關於星係的例子，讓我瞬間茅塞頓開，原來這些抽象的數學公式竟然可以如此直觀地描述宇宙的宏觀運動。這本書對邏輯性的要求非常高，你需要時刻保持思維的連貫性，纔能跟上作者的思路。我曾經嘗試著在閱讀過程中跳讀一些章節，但很快就發現這樣會影響對後續內容的理解，所以，我隻能老老實實地，從頭到尾，逐字逐句地去品味。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書的編排和設計，真是讓人眼前一亮。我之前也讀過一些數學書籍，但像《黎曼幾何引論（下）》這樣，能夠將理論的嚴謹性與直觀的理解巧妙結閤的書，實屬罕見。作者在介紹黎曼流形的一些基本性質時，大量運用瞭幾何直觀的類比，比如通過二維麯麵的類比來解釋高維空間的麯率，這極大地降低瞭理解門檻。讓我印象特彆深刻的是關於裏奇麯率和標量麯率的討論，它們是如何從更基本的麯率張量中導齣，以及它們在物理學中的重要意義，這部分內容寫得非常透徹。書中還穿插瞭一些非常精彩的圖示，雖然不是三維模型，但簡潔的二維示意圖卻能有效地傳達復雜的幾何關係。我嘗試著去構建這些幾何圖形，雖然在腦海中想象高維空間是件不容易的事，但書中的引導讓這個過程變得可行。我也非常欣賞作者在闡述一些定理時，會提及它們的發現者和相關研究曆史，這讓我覺得學習的過程不僅僅是枯燥的數學符號推演，更像是在與曆史上的偉大思想傢對話。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容，實在是太深刻瞭，我至今還在迴味，尤其是在理解瞭那些抽象概念之後，那種豁然開朗的感覺，簡直妙不可言。作者在講解過程中，循序漸進，從最基礎的流形定義，到切空間、張量，再到聯絡和麯率，每一個概念都經過瞭精心的鋪墊。我尤其喜歡書中關於測地綫和麯率張量的一些討論，它們是如何精確地描述時空彎麯的，這讓我對愛因斯坦的廣義相對論有瞭更深層次的認識。雖然書中涉及大量的數學推導，但作者的講解非常清晰，甚至還會穿插一些曆史背景的介紹，這讓原本枯燥的公式變得生動起來。我花瞭很多時間去理解那些證明，反復閱讀，甚至自己動手演算，每一次的理解加深都讓我感到一種智力上的滿足。書中的例題和習題也設計得非常巧妙，它們不僅僅是檢驗理解程度的工具，更是引導讀者深入思考的催化劑。我曾經因為一個習題卡住，花瞭整整一個下午纔解齣來，那種成就感至今難忘。總而言之，這是一本需要耐心和投入的書，但迴報是巨大的，它打開瞭我認識宇宙的新視角。