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内容简介

　　《中国大学先修课程微积分学习指导》为中国大学先修课程《微积分》教材的配套指导书，共分为六章，主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用。每章由以下内容组成：CAP微积分大纲解读、知识结构、经典例题解析、教材习题解答、内容小结、同步跟踪强化训练、参考答案。结合《中国大学先修课程微积分学习指导》学习不但可以培养中学生及早地了解并把握微积分的基本思想，掌握*核心内容，更重要的是培养中学生抽象思维、逻辑推理的能力，处理、解答数学问题的能力。

作者简介

张天德，山东大学教授。长期从事大学数学教学工作，出版了关于高等数学、微积分、线性代数和考研辅导等一系列图书，受到广泛好评。参与编写山东大学《微积分1、2》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变量》等教材并提出了独创观点。

内页插图

目录

第一章 函数
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关集合的运算
二、函数定义域的讨论
三、有关函数的定义及表达式
四、关于函数的性质
五、关于函数的运算
六、有关证明题
七、有关应用题
【教材习题解答】
同步习题1．1
同步习题1．2
同步习题1．3
同步习题1．4
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第二章 极限与连续
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关极限存在性的讨论
二、初等函数求极限
三、分段函数求极限
四、有关无穷小与无穷大
五、函数的连续性与间断点
六、方程根的讨论
七、有关证明题
【教材习题解答】
同步习题2．1
同步习题2．2
同步习题2．3
同步习题2．4
同步习题2．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第三章 导数与微分
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关导数的定义
二、导数的几何意义
三、求导法则
四、函数的微分
五、应用题
【教材习题解答】
同步习题3．1
同步习题3．2
同步习题3．3
同步习题3．4
同步习题3．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第四章 微分中值定理和导数的应用
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关中值定理的题目
二、函数单调性、极值
三、曲线的凹凸性与拐点
四、有关渐近线的讨论
五、函数的最值
六、证明不等式
七、使用洛必达法则求极限
八、导数在经济学中的应用
【教材习题解答】
同步习题4．1
同步习题4．2
同步习题4．3
同步习题4．4
同步习题4．5
同步习题4．6
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第五章 不定积分
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关不定积分的定义
二、使用基本积分公式计算不定积分
三、使用第一换元法求不定积分
四、使用第二换元法计算不定积分
五、使用分部积分公式求不定积分
六、三角函数有理式的积分
七、抽象函数的不定积分
【教材习题解答】
同步习题5．1
同步习题5．2
同步习题5．3
同步习题5．4
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第六章 定积分及其应用
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关定积分的概念与性质
二、直接使用牛顿一莱布尼兹公式求定积分
三、使用定积分的换元法计算定积分
四、使用定积分的分部积分公式计算
五、有关广义积分
六、有关积分上限函数的运算
七、平面图形面积的计算
八、平面曲线的弧长
九、有关旋转体体积的计算
十、定积分的物理应用举例
十一、定积分在经济中的应用
【教材习题解答】
同步习题6．1
同步习题6．2
同步习题6．3
同步习题6．4
同步习题6．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

附录：重要公式及性质

前言/序言

　　大学先修课程（Advanced Placement，简称AP）始于20世纪50年代初期，是由三所顶尖高中（安多弗、埃克塞特和劳伦斯维尔）和三所顶尖大学（哈佛、普林斯顿和耶鲁），针对当时美国大学与中学之间教育衔接存在的断层问题开设的。大学先修课程为充分利用好高中最后两年学习时间，实现大学与中学教育有效衔接，为培养拔尖创新人才提供了重要的教育教学改革路径。大学先修课程由美国大学理事会（The College Board）接管并提供在高中授课，经过半个世纪的发展，目前已开设艺术、语言、人文、数理类及分层课程等22个领域的37大门类课程。已有40多个国家的3600多所大学承认AP学分，将其作为录取学生的参考标准之一，有些学校还可将AP学分转为考生的大学学分，其中有哈佛、耶鲁、牛津、剑桥等世界知名大学。随着出国留学热的兴起，近年来，美国AP课程被引进中国，在国内中学日益火爆，许多中学的国际部将其列为专修课程。
　　中国大学先修课程（Chinese Advanced Placement，简称CAP）联手高等教育出版社，中国教育学会希望借助高等教育出版社在教育领域特别是高等教育领域的专家等资源优势，旨在让学有余力的高中生及早接触大学课程内容，接受大学思维方式、学习方法的训练，让学生真正享受到最符合其能力水平和兴趣的教育，帮助其为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备；同时也为深化我国高中教育教学改革，推进人才培养模式创新起到积极的促进作用。
　　大学先修课是大学的内容，教学方法采用大学的教学方式，引导学生用自主学习的方式去学习和思考。大学先修课考试的目的是体现学生的自主学习和独立思考能力，而不是仅仅考量知识的掌握程度。
　　《微积分》是中国大学先修课程的主要课程之一。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。17世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分学的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算的，所以直到19世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用相联系发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。随着社会的发展和科技的进步，微积分课程的重要地位日显突出，既是高等学校非数学类各专业一年级的一门必修课，也是其他后继课程的基础。学习任何一门近代数学或工程技术都必须先学微积分，学好这门课会对今后的大学阶段学习奠定坚实的基础。
　　本书为中国大学先修课程《微积分》教材的配套指导书，共分为六章，主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用。每章由以下内容组成：CAP微积分大纲解读、知识结构、经典例题解析、教材习题解答、内容小结、同步跟踪强化训练、参考答案。结合本书学习不但可以培养中学生及早地了解并把握微积分的基本思想，掌握最核心内容，更重要的是培养中学生抽象思维、逻辑推理的能力，处理、解答数学问题的能力。
　　本书的学习结合中国大学MOOC（慕课）效果更佳。中国大学MOOC是承接教育部国家精品开放课程任务的在线教育平台，向大众提供中国知名高校的MOOC课程。在这里，每一个有意愿提升自己的人都可以免费获得更优质的高等教育。对应本书在中国大学MOOC开设有课程，网址：http：//www.icourse163.org/course/sdu-1001617002#/info。
　　本书由山东大学张天德、王玮、张焕玲编著。山东大学吴臻教授对本书作了仔细的校审，并提出了修改建议。该书可与中国大学先修课程《微积分》教材配套使用，也可以单独使用，为广大高中生了解、自学大学数学提供富有成效的帮助。
　　书中不足之处，恳请指正。

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