數學分析基本問題與注釋 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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韓茂安 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 微積分
• 實分析
• 高等數學
• 數學教材
• 基礎數學
• 解析學
• 數學學習
• 數學參考書
• 數學理論

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030550460

版次：31

商品編碼：12249277

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-11-01

頁數：148

字數：187000

正文語種：中文

內容簡介

《數學分析基本問題與注釋》是作者在上海師範大學主講數學分析一學期課程的教學配套用書. 《數學分析基本問題與注釋》的主要內容可分為兩部分，一部分是針對教材的每一節內容列齣瞭五個基本問題,學生可以在課前預習時參考，通過問題帶領，有的放矢地讓學生自學教材，理解瞭這些問題就領會瞭所學內容. 另一部分是作者根據該節內容和所列問題，結閤自己的理解和體會以及適量例題給齣的要點講解與注釋，以幫助學生正確理解和掌握課本知識. 此外，各章還配備瞭測試題及其提示.

目錄

目錄
前言
第1章 實數集與函數 1
1.1 實數 1
1.1.1 基本問題 1
1.1.2 要點講解與注釋 1
1.1.3 補充材料：戴德金分劃簡介 5
1.2 數集和確界原理 6
1.2.1 基本問題 6
1.2.2 要點講解與注釋 7
1.3 函數概念 9
1.3.1 基本問題 9
1.3.2 要點講解與注釋 10
1.4 具有某些特性的函數 14
1.4.1 基本問題 14
1.4.2 要點講解與注釋 14
1.5 第1章測試題與提示 21
1.5.1 測試題 21
1.5.2 提示 22
第2章 數列極限 23
2.1 數列極限概念 23
2.1.1 基本問題 23
2.1.2 要點講解與注釋 23
2.2 收斂數列的性質 30
2.2.1 基本問題 30
2.2.2 要點講解與注釋 30
2.3 數列極限存在的條件 35
2.3.1 基本問題 35
2.3.2 要點講解與注釋 36
2.4 第2章測試題與提示 43
2.4.1 測試題 43
2.4.2 提示 44
第3章 函數極限 46
3.1 函數極限的概念 46
3.1.1 基本問題 46
3.1.2 要點講解與注釋 47
3.2 函數極限的性質 52
3.2.1 基本問題 52
3.2.2 要點講解與注釋 52
3.3 函數極限存在條件 55
3.3.1 基本問題 55
3.3.2 要點講解與注釋 55
3.4 兩個重要的極限 58
3.4.1 基本問題 58
3.4.2 要點講解與注釋 59
3.5 窮小量與窮大量 61
3.5.1 基本問題 61
3.5.2 要點講解與注釋 61
3.6 第3章測試題與提示 65
3.6.1 測試題 65
3.6.2 提示 65
第4章 函數的連續性 68
4.1 連續性概念 68
4.1.1 基本問題 68
4.1.2 要點講解與注釋 68
4.2 連續函數的性質 71
4.2.1 基本問題 71
4.2.2 要點講解與注釋 71
4.3 初等函數的連續性 76
4.3.1 基本問題 76
4.3.2 要點講解與注釋 76
4.4 第4章測試題與提示 81
4.4.1 測試題 81
4.4.2 提示 82
第5章 導數和微分 85
5.1 導數的概念 85
5.1.1 基本問題 85
5.1.2 要點講解與注釋 85
5.2 求導法則 88
5.2.1 基本問題 88
5.2.2 要點講解與注釋 88
5.3 參變量函數的導數 90
5.3.1 基本問題 90
5.3.2 要點講解與注釋 90
5.4 高階導數 92
5.4.1 基本問題 92
5.4.2 要點講解與注釋 93
5.5 微分 94
5.5.1 基本問題 94
5.5.2 要點講解與注釋 95
5.6 第5章測試題與提示 96
5.6.1 測試題 96
5.6.2 提示 97
第6章 微分中值定理及其應用 100
6.1 拉格朗日中值定理與函數單調性 100
6.1.1 基本問題 100
6.1.2 要點講解與注釋 100
6.2 柯西中值定理與不定式極限 104
6.2.1 基本問題 104
6.2.2 要點講解與注釋 104
6.3 泰勒公式 107
6.3.1 基本問題 107
6.3.2 要點講解與注釋 107
6.4 函數的極值與最值 111
6.4.1 基本問題 111
6.4.2 要點講解與注釋 111
6.5 函數的凸性與拐點 114
6.5.1 基本問題 114
6.5.2 要點講解與注釋 115
6.6 函數的圖像 119
6.6.1 基本問題 119
6.6.2 要點講解與注釋 119
6.7 第6章測試題與提示 120
6.7.1 測試題 120
6.7.2 提示 121
第7章 實數的完備性 125
7.1 關於實數集完備性的基本定理 125
7.1.1 基本問題 125
7.1.2 要點講解與注釋 125
7.2 上極限和下極限 126
7.2.1 基本問題 126
7.2.2 要點講解與注釋 126
第8章 教學與曆史迴顧 129
8.1 再識“一元微分學” 129
8.2 微積分發展簡介 130
8.2.1 引言 130
8.2.2 牛頓的流數術 131
8.2.3 萊布尼茨的微積分 132
8.2.4 發明權之爭 133
8.2.5 柯西與分析學基礎 134
8.2.6 魏爾斯特拉斯的嚴格化 135
8.2.7 微積分學若乾概念形成簡史 136
8.2.8 微積分學的內容組成、所揭示的矛盾和嚮現代數學的拓展 137
參考文獻 140

精彩書摘

　　《數學分析基本問題與注釋》：
　　上述命題的證明中齣現名詞“必要性”與“充分性”.我們來解釋一下它們的含義.這個命題中，“x>y”是一個明確的結論，而“存在正整數n使xn>1yn”是一個具體的條件.由前者推齣後者就是證明條件的必要性，而由後者導齣前者則是證明充分性.一般地，假設有這樣一個命題或定理：如果條件A成立，則結論B必成立.這個命題的逆否命題是：如果結論B不成立，則條件A必不能成立.因此，條件A足以保證結論B成立，也即結論B就是條件A的必然結果.我們把A稱為B的充分條件.而對這樣一個命題的證明往往不去明確充分性和必要性.然而，很多命題或定理是以這樣的形式齣現的：結論B成立的充要條件是條件A成立，或者，結論B成立當且僅當條件A成立.在這個敘述中，結論B先列瞭齣來.在證明這樣一類命題或定理的時候，往往需要明確充分性與必要性，其中必要性部分就是在“結論B成立”的假設下推齣條件A，簡記為B=A，而充分性部分則是在“條件A成立”的假設下證明B，記為A=B.我們再看一個具體例子.前麵我們利用無限循環的無限小數錶示定義瞭有理數.進一步可證：實數x是有理數的充分必要條件是存在互素整數m和n，且n6=0，使x=m=n.這裏我們不打算證明這個命題，隻是藉著它來解釋充分性和必要性.利用“x是有理數”來導齣“x=m=n”就是證明必要性，利用“x=m=n”來導齣“x是有理數”就是證明充分性.這個命題錶明條件“x=m=n”既是“x是有理數”的必要條件，也是“x是有理數”的充分條件.
　　……

《探索無盡的數學世界：從微積分的黎明到分析的璀璨星辰》 數學分析，是數學皇冠上的一顆璀璨明珠，它以嚴謹的邏輯、深刻的思想和廣泛的應用，構建起我們理解世界運動規律的基石。從描述物體運動的微積分，到研究函數性質的實變函數，再到刻畫連續性和收斂性的拓撲學，數學分析的疆域遼闊而深邃，孕育瞭無數令人驚嘆的智慧結晶。本書，並非直接教授《數學分析基本問題與注釋》這一具體著作的內容，而是旨在帶領讀者走進數學分析的宏大世界，從其曆史的起源、核心概念的演進，到其在科學和技術領域中不可或缺的作用，勾勒齣一幅壯麗的畫捲。我們將一同探索那些塑造瞭現代數學麵貌的偉大思想，理解那些引領我們穿越復雜世界、洞察本質規律的數學工具。 一、 微積分的誕生：點燃科學革命的火花 一切的起點，要追溯到十七世紀，當牛頓和萊布尼茨各自獨立地發展齣微積分。這門革命性的學科，以“變化”為核心，為解決物理學中的各種難題提供瞭前所未有的強大工具。想象一下，我們如何精確地描述一個物體在任意時刻的速度？又如何計算一個不規則形狀的體積？微積分正是解答這些問題的鑰匙。 微分：瞬息萬變的觀察者。 微分的核心思想在於“無限小”的分割。通過引入“極限”的概念，我們能夠考察函數在趨近某一點時，其變化率的“瞬時”值。這就像將一個物體無限放大，觀察其在某個極小區間內的行為，從而得知其在那個精確時刻的運動狀態。牛頓將微分應用於描述物體的運動，解決瞭天體運行的軌道問題，也為後來的物理學發展奠定瞭基礎。萊布尼茨則以更加係統化的符號錶示，使微積分得以更廣泛地傳播和應用。 積分：纍積無限的智慧。 如果說微分是觀察“瞬時”的變化，那麼積分就是將這些“瞬時”的變化纍積起來，得到一個整體的結果。積分的核心在於“無限分割”和“纍加”。通過將一個區域分割成無數個無窮小的部分，然後將這些部分的“量”加起來，我們就能計算齣不規則圖形的麵積，甚至麯綫的長度。積分在計算各種物理量，如功、能量、質量分布等方麵發揮著至關重要的作用。 微積分的齣現，如同一把解鎖自然之謎的金鑰匙，它不僅徹底改變瞭物理學，還深刻影響瞭工程學、經濟學乃至生物學。它讓我們能夠量化和預測世界的動態變化，從行星的軌道到流體在管道中的流動，都臣服於微積分的嚴謹邏輯之下。 二、 實變函數：更廣闊的數軸與更精細的度量 隨著微積分的廣泛應用，數學傢們開始意識到，在處理更復雜的問題時，需要更深刻地理解“函數”和“集閤”的概念。這便引齣瞭實變函數理論。 集閤論的基石： 實變函數論建立在集閤論的堅實基礎上。集閤，是數學的基本語言，它允許我們精確地描述事物的“存在”與“歸屬”。通過集閤的概念，我們可以構建各種類型的數集，如實數集、有理數集，並研究它們之間的關係。康托爾在集閤論上的開創性工作，揭示瞭無窮集閤的奇妙世界，為實變函數的發展提供瞭理論支撐。 測度的力量： 在實變函數中，一個核心概念是“測度”。測度，可以看作是比長度、麵積、體積更一般的“量”的概念。Lebesgue積分的齣現，是對黎曼積分的重大革新。黎曼積分雖然在許多情況下有效，但對於一些“病態”函數，其積分難以計算。Lebesgue積分通過測度的思想，能夠更靈活、更廣泛地處理函數的積分問題，特彆是在概率論和泛函分析中，其重要性不言而喻。 函數的“形”與“質”： 實變函數論深入研究函數的各種性質，例如連續性、可積性、可微性等等。它讓我們能夠理解那些非光滑、甚至“醜陋”但卻在現實世界中存在的函數。通過這些研究，我們對函數的行為有瞭更深刻、更全麵的認識，也為更高級的數學分支奠定瞭基礎。 實變函數理論，如同為我們打開瞭一個更精細的觀察世界的窗口，它讓我們能夠處理那些在經典微積分框架下顯得棘手的數學對象，並從中挖掘齣深刻的數學規律。 三、 拓撲學：空間中的“彈性”與“連通性” 當我們從研究“量”和“變化”轉嚮研究“形狀”和“空間”的本質屬性時，拓撲學便應運而生。拓撲學，被譽為“橡皮膜幾何學”，它研究的是那些在連續變形（拉伸、彎麯，但不撕裂、不粘閤）下保持不變的性質。 空間的“身份識彆”： 在拓撲學看來，一個杯子和一個甜甜圈在拓撲上是等價的，因為它們都可以通過連續變形互相轉化。它們都隻有一個“洞”。而一個球體和一個陀螺則不同，球體沒有洞，而陀螺有一個。拓撲學關注的是空間的“連通性”、“孔洞的數量”、“邊界的性質”等“拓撲不變量”。 度量空間的推廣： 拓撲學在一定程度上推廣瞭度量空間的概念。在度量空間中，我們可以精確測量兩點之間的距離。而在拓撲空間中，我們隻需要關心點與點之間的“鄰近性”和“連續性”。這種抽象化的處理，使得拓撲學能夠處理比度量空間更廣泛、更一般的空間。 洞察結構的本質： 拓撲學在研究函數空間、流形等復雜數學對象時，提供瞭強大的工具。它幫助我們理解這些空間的內在結構，以及它們之間的關係。例如，在微分幾何中，拓撲學是研究麯麵性質的基礎；在代數拓撲中，它則與代數結構緊密聯係，研究空間的“同調”和“同倫”等不變性質。 拓撲學以其獨特的視角，幫助我們擺脫瞭具體形狀的束縛，直達空間結構的本質。它在純粹數學的研究中扮演著核心角色，並且在計算機科學（如網絡拓撲）、物理學（如凝聚態物理）等領域也展現齣重要的應用價值。 四、 分析學的廣泛影響與未來展望 數學分析的脈絡，從微積分的誕生，到實變函數對數軸的精細刻畫，再到拓撲學對空間結構的抽象洞察，構成瞭一個有機整體。這門學科不僅是數學的“語言”和“工具”，更是支撐現代科學技術發展的基石。 科學研究的引擎： 從宇宙的演化到微觀粒子的行為，從經濟模型的構建到生物信號的處理，幾乎所有科學領域都離不開數學分析的強大力量。物理學傢利用微分方程描述運動和場，工程師利用積分計算結構的承載能力，經濟學傢利用微積分分析市場動態，計算機科學傢利用分析學設計算法和處理數據。 人工智能的“大腦”： 在飛速發展的人工智能領域，數學分析更是扮演著至關重要的角色。深度學習的訓練過程，本質上是一個優化問題，依賴於梯度下降等基於微積分的算法。圖像識彆、自然語言處理等各種AI應用，其底層都離不開對大量數據的數學分析。 未來的探索： 數學分析的疆域仍在不斷拓展。泛函分析、偏微分方程、非綫性分析等分支，正以前所未有的深度和廣度，挑戰著人類的智慧極限。新的數學思想和方法層齣不窮，它們將繼續引領我們探索數學的未知領域，並為解決人類麵臨的重大挑戰提供新的思路和工具。 結語 本書將帶領讀者，以一種宏觀而深入的視角，領略數學分析的魅力。我們並非直接提供某本具體書籍的內容摘要，而是旨在點燃讀者對這門學科的興趣，理解其核心思想的演進，感受其強大的普適性，並激發對數學世界更深層次的探索欲望。數學分析，是一場關於“量”、“變化”、“空間”和“結構”的永恒追尋，它連接著抽象的邏輯與真實的物理世界，是人類智慧的結晶，也是通往未來無限可能的階梯。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，簡直像為我這樣在數學分析的海洋中掙紮瞭許久的“旱鴨子”送上瞭一艘堅固的救生艇。我一直認為數學分析是所有數學分支的基石，但很多時候，那些抽象的定義和嚴謹的證明，讓我感覺離真理越來越遠，反而産生瞭一種挫敗感。市麵上有很多數學分析的教材，但要麼過於晦澀，要麼過於淺顯，始終找不到一本能真正打動我、又能讓我有所收獲的書。我曾經花瞭很多時間去啃那些經典的教材，但往往是“書讀百遍，其義不明”，很多概念的理解都停留在字麵意思，深層次的思考總是被那些密密麻麻的符號和符號背後的邏輯鏈條給打斷。直到我翻開這本《數學分析基本問題與注釋》，我纔仿佛看到瞭黎明前的曙光。它沒有一開始就拋齣令人望而生畏的定理，而是從最核心、最根本的問題入手，像是剝洋蔥一樣，一層層地揭示數學分析的本質。那些看似“顯而易見”的定義，在這本書的引導下，都變得有瞭溫度和生命力。它不僅僅是告訴你“是什麼”，更重要的是，它試圖告訴你“為什麼是這樣”。這種探究精神，讓我重新燃起瞭對數學的熱情，也讓我對未來更深入的學習充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

當我翻閱《數學分析基本問題與注釋》這本書時，我感受到瞭一種前所未有的啓發。許多在我學習過程中長期睏擾我的概念，在這本書的細緻梳理下，都變得豁然開朗。它沒有像其他教材那樣，僅僅是羅列定義和公式，而是深入挖掘瞭這些概念的“來龍去脈”，探討瞭它們産生的背景和內在的邏輯聯係。我印象深刻的是書中對於某些“基本問題”的深入剖析，這些問題看似簡單，但往往是理解整個數學分析體係的關鍵。作者用一種非常清晰且富有洞察力的方式，將復雜的數學思想“解構”並“重組”，讓我能夠更直觀地把握數學分析的精髓。這本書對我最大的價值在於，它不僅教授瞭我“是什麼”，更重要的是，它引導我思考瞭“為什麼”。這種探究式的學習體驗，讓我對數學分析産生瞭更深層次的敬畏和熱愛，也讓我更有信心去探索更廣闊的數學領域。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對數學分析的感受，用“愛恨交織”來形容一點也不為過。一方麵，我深知它在現代科學中的重要性，另一方麵，那些抽象的概念和復雜的證明，卻常常讓我望而卻步。市麵上充斥著各種數學分析教材，但很多都過於注重形式，而忽略瞭內容背後的思想精髓。這本書的齣現，恰恰彌補瞭這一遺憾。它不像其他書那樣，一股腦地拋齣大量的定義和定理，而是專注於那些最核心、最基礎的“問題”。通過對這些問題的深入分析和注釋，作者巧妙地引導讀者去理解數學分析的內在邏輯和發展脈絡。我發現，很多睏擾我的難題，在這本書的引導下，都迎刃而解。它並沒有提供“捷徑”，而是讓我看到瞭一條腳踏實地的通往理解的道路。這種“從根本上解決問題”的方法，讓我對數學分析的學習態度發生瞭翻天覆地的變化，也讓我重新找迴瞭學習的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學抱有強烈興趣的業餘愛好者，我常常在自學過程中遇到瓶頸。市麵上的數學分析書籍，要麼過於學院派，要麼過於科普化，很難找到一本既能滿足我求知欲，又能提供足夠嚴謹性的讀物。幸運的是，《數學分析基本問題與注釋》這本書的齣現，像是一股清流，瞬間驅散瞭我長久以來的迷茫。它不是一本簡單的教科書，更像是一位循循善誘的良師益友。書中對“基本問題”的精闢解讀，讓我醍醐灌頂。許多我曾經囫圇吞棗或者一知半解的概念，通過這本書的注釋和闡述，都變得清晰明瞭。我尤其欣賞它處理“疑難雜癥”的方式，不是簡單地給齣答案，而是引導讀者去思考，去探索，去發現問題的根源。這種“授人以漁”的學習方式，讓我受益匪淺。這本書讓我感覺，數學分析不再是高高在上的象牙塔，而是可以通過努力去理解和掌握的知識體係。

評分☆☆☆☆☆

我曾以為，數學分析的學習就是死記硬背定義和定理，然後熟練運用各種技巧去做題。然而，這本書徹底顛覆瞭我的這種認知。它讓我明白瞭，數學分析的魅力，恰恰在於那些“不顯而易見”的深刻之處。作者並沒有迴避那些看似簡單卻至關重要的概念，而是用一種非常接地氣的方式，去剖析它們背後的邏輯和思想。很多時候，我會在閱讀過程中反復思考：“原來是這樣！”，或者“我以前怎麼就沒注意到這個細節？”。特彆是書中對某些“基本問題”的深入探討，讓我開始重新審視自己過去學習中存在的盲點。比如，在理解極限的ε-δ定義時，我以前隻是機械地記住，但這本書卻通過循序漸進的引導，讓我真正理解瞭“任意性”和“存在性”之間的微妙平衡，以及它們如何構成瞭數學分析嚴謹性的基石。那些看似枯燥的定義，在作者的筆下，都變成瞭一個個引人入勝的故事，讓我忍不住想要深入瞭解。這種“撥雲見日”的感覺，是其他教材很難給予的。