高等数学（本科少学时类型 第4版 下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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同济大学数学系 编

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• 高等数学
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• 微积分
• 函数
• 极限

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040431186

版次：4

商品编码：12274402

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十一五”国家级规划教材

开本：32开

出版时间：2015-08-01

用纸：胶版纸

页数：251

字数：200000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》分上、下两册出版。上册6章，内容为函数与极限，一元函数微积分，微分方程；下册4章，内容为向量代数与空间解析几何，多元函数微积分，无穷级数。
　　《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》按照适当降低理论深度，突出微积分中实用的分析和运算方法，着重基本技能的训练而不过分追求技巧的思想，对第二版做了修订。参照专科教学基本要求，对原书内容作了少量增删；结构上作了适当调整；删去了某些要求过高的习题，增加了突出基本训练的题目，增加了便于阶段复习的章复习题，使之更适应《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》的使用要求，《高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）》可作工科本科少学时专业和专科的教材或参考书。

内页插图

目录

第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的加减法
三、向量与数的乘法
习题7-1
第二节 点的坐标与向量的坐标
一、空间直角坐标系
二、利用坐标作向量的线性运算
三、向量的模、两点间的距离
四、向量的方向角与方向余弦
五、向量的投影
习题7-2
第三节 数量积·向量积混合积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
*三、向量的混合积
习题7-3
第四节 平面及其方程
一、点的轨迹·方程的概念
二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程
四、两平面的夹角
习题7-4
第五节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的点向式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、综合举例
习题7-5
第六节 曲面及其方程
一、柱面
二、旋转曲面
三、二次曲面
习题7-6
第七节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
习题7-7

第七章 复习题

第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念·区域
二、多元函数的极限
三、多元函数的连续性
习题8-1
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
习题8-2
第三节 全微分
习题8-3
第四节 多元复合函数的求导法则
习题8-4
第五节 隐函数的求导公式
习题8-5
第六节 多元函数微分法的几何应用举例
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
习题8-6
第七节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
二、条件极值
习题8-7

第八章 复习题

第九章 重积分及曲线积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、曲顶柱体的体积与二重积分
二重积分的性质
习题9-1
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
习题9-2
第三节 二重积分的应用
一、曲面的面积
二、平面薄片的质心
三、平面薄片的转动惯量
习题9-3
*第四节 三重积分
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算法
'习题9-4
*第五节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念
二、对弧长的曲线积分的计算法
*习题9-5
*第六节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法
*习题9-6
*第七节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
*习题9-7

第九章 复习题

第十章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的定义
二、级数的性质
习题10-1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
习题10-2
第三节 幂级数
一、函数项级数的一般概念
二、幂级数及其收敛区间
三、幂级数的运算
习题10-3
第四节 函数展开成幂级数
习题10-4
*第五节 幂级数在近似计算中的应用
*习题10-5

第十章 复习题
附录 二阶和三阶行列式简介

思考题答案
习题答案

高等数学（本科少学时类型 第4版 下册） 一、 内容概述 本书是“高等数学（本科少学时类型 第4版）”系列的下册，旨在为普通高等院校理工科专业以及其他需要学习高等数学的专业提供一门内容精炼、重点突出、易于掌握的数学基础课程。本册内容紧承上册，重点涵盖了微分方程、多变量微积分（包括多元函数微分学与积分学）、向量分析、无穷级数以及概率论与数理统计等核心数学概念和方法。全书在保持高等数学严谨性的同时，更加注重理论与实际应用的结合，力求使学生在有限的学时内，能够扎实掌握解决各类工程技术和科学研究中常见数学问题的基本工具和思想方法。 二、 章节详述 第一部分：微分方程 本部分是整个高等数学体系中解决动态问题和模型构建的关键。我们将从基本概念入手，系统介绍常微分方程的解法和理论。 常微分方程概论： 概念与分类： 引入微分方程的基本定义，如阶、线性、齐次与非齐次等概念，明确微分方程在描述自然界和社会现象中的重要作用，例如物理系统的运动、生物种群的生长、经济模型的变化等。 基本概念： 详细解释解、通解、特解、初值问题等基本术语，为后续学习奠定基础。 解的存在唯一性定理： 介绍在何种条件下，微分方程的解是存在的且唯一的，这是理论分析和数值计算的基础。 一阶微分方程的解法： 可分离变量方程： 讲解一类最简单的微分方程，通过变量分离即可求解，并给出具体例子。 齐次方程： 介绍适用于形如 $y' = f(y/x)$ 的方程，通常通过变量替换转化为可分离变量方程。 线性方程： 重点讲解一阶线性微分方程的解法，包括常系数和变系数两种情况，其中常系数线性方程通过积分因子法求解，变系数线性方程则需要更一般的积分因子方法。 全微分方程： 讲解当微分方程满足特定条件时，可以通过寻找一个势函数来求解，即全微分方程的判定与求解。 伯努利方程： 介绍一类特殊的非线性方程，通过变量替换可转化为线性方程。 高阶线性微分方程： 概念与性质： 引入二阶及更高阶线性微分方程，强调线性叠加原理等基本性质。 常系数齐次线性微分方程： 这是最重要的一类，详细介绍特征方程法，包括不同根、重根、复根的情况，并推导通解形式。 常系数非齐次线性微分方程： 讲解如何求解非齐次方程，通常采用待定系数法或常数变易法，并强调特解的求法。 降阶法： 在某些特殊情况下，可以将高阶方程转化为低阶方程进行求解。 微分方程组： 概念与解法： 介绍由多个微分方程组成的方程组，重点讲解线性微分方程组的解法，通常通过矩阵方法（如特征值与特征向量）求解。 应用举例： 通过实际问题，如电路分析、力学振动、化学反应速率等，展示微分方程在工程和科学中的实际应用，加深学生对理论的理解。 第二部分：多变量微积分 本部分将研究涉及多个自变量的函数，包括它们的极限、连续性、微分和积分，是描述三维空间及更高维度现象的基础。 多元函数微分学： 概念与几何意义： 引入二元及多元函数的概念，讨论它们的定义域、图像（曲面）和几何意义。 极限与连续： 推广单变量函数的极限与连续性概念到多元函数，讨论极限存在的条件和连续性的性质，以及在实际问题中如何判断函数的连续性。 偏导数： 讲解偏导数的定义，即保持除一个自变量外其余自变量不变时，对该自变量的微分。强调偏导数刻画了函数沿着坐标轴方向的变化率。 全微分： 介绍全微分的概念，它是函数在某点附近变化量的线性主部，是判断函数可微性的关键。 可微性与偏导数的关系： 深入探讨函数可微的条件，以及偏导数存在是否能推出函数可微。 多元函数求导法则： 链式法则： 讲解复合多元函数求导的链式法则，这在处理复杂函数关系时至关重要。 方向导数与梯度： 定义方向导数，表示函数沿着任意方向的变化率。引入梯度向量，它指示了函数增长最快的方向，并且其模长即为该方向上的最大方向导数。 高阶偏导数： 介绍二阶及更高阶偏导数，并讨论混合偏导数在某些条件下相等（如 Clairaut 定理）。 泰勒公式： 推广单变量泰勒公式到多元函数，用于函数在某点附近进行局部近似，是数值计算和理论分析的重要工具。 极值问题： 无条件极值： 讲解如何利用偏导数求解函数的局部最大值和最小值，包括驻点和二阶偏导数判别法。 条件极值（拉格朗日乘数法）： 介绍求解约束条件下的极值问题，拉格朗日乘数法是一种强大的通用方法。 多元函数积分学： 重积分： 二重积分的计算： 讲解二重积分的概念和计算方法，通常转化为累次积分（先对一个变量积分，再对另一个变量积分）。 积分区域的变换： 介绍如何利用坐标变换（如极坐标变换）简化二重积分的计算。 三重积分： 推广到三重积分，并介绍其计算方法和在物理学、工程学中的应用（如体积、质量、重心计算）。 曲线积分与曲面积分： 第一类曲线积分（对弧长积分）： 讲解沿着曲线对函数进行积分，常用于计算曲线的质量、质心等。 第二类曲线积分（对坐标积分）： 讲解沿着曲线对变量的微分进行积分，常用于计算功、环量等。 格林公式： 连接平面区域上的二重积分与区域边界上的曲线积分，是重要的理论工具。 第一类曲面积分（对面积积分）： 讲解在曲面上对函数进行积分，常用于计算曲面的质量、质心等。 第二类曲面积分（对坐标曲面积分）： 讲解在曲面上对向量场的通量进行积分，常用于计算流体流量等。 高斯公式（散度定理）： 连接空间区域上的三重积分与区域边界曲面上的曲面积分，是三维空间中的核心定理。 斯托克斯公式（旋度定理）： 连接曲面上的曲面积分与曲面边界上的曲线积分，是向量分析中的重要工具。 第三部分：无穷级数 本部分将研究无限项的和，这是将离散序列的性质推广到连续变化的基础，在函数逼近、数值计算和物理建模中发挥着核心作用。 数项级数： 概念与收敛性： 定义数项级数，介绍收敛、发散、部分和等概念。 收敛判别法： 详细介绍各种判别级数收敛性的方法，包括： 比较判别法： 通过比较已知级数来判断待判别级数的收敛性。 比值判别法和根值判别法： 适用于具有比例或指数形式的级数。 积分判别法： 将级数的收敛性与一个积分的收敛性联系起来。 交错级数判别法： 适用于符号交替出现的级数。 绝对收敛与条件收敛： 区分级数绝对收敛和条件收敛的含义及重要性。 调和级数、p-级数： 讨论一些重要的特殊级数及其收敛性。 幂级数： 概念与收敛域： 介绍幂级数，即以变量的幂为项的级数，重点讲解其收敛域的确定。 函数展开成幂级数： 介绍如何将常见函数（如指数函数、三角函数、对数函数）展开成幂级数，即泰勒展开。 函数项级数与一致收敛： 简单介绍函数项级数的概念，并引入一致收敛的概念，它保证了在极限运算中的某些性质。 泰勒级数与麦克劳林级数： 深入讲解泰勒级数，它提供了将函数表示为无穷多项式的方法，是函数逼近和分析的重要工具。 傅里叶级数（简要介绍，根据少学时课程安排）： 概念与基本思想： 介绍傅里叶级数是将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦）级数的一种方法，在信号处理、热传导等领域有广泛应用。 第四部分：概率论与数理统计（入门） 本部分将介绍概率论的基本概念，为理解随机现象和进行数据分析打下基础，为后续学习统计学提供必要的数学工具。 随机事件与概率： 随机事件的定义与运算： 介绍必然事件、不可能事件、随机事件，以及事件的并、交、差、补等运算。 概率的定义与性质： 介绍概率的公理化定义，以及概率的基本性质，如非负性、规范性、可加性等。 条件概率与独立性： 讲解条件概率的概念，以及事件之间的独立性判断。 全概率公式与贝叶斯公式： 介绍这两个重要的概率计算公式，在复杂事件的概率计算中非常有用。 随机变量及其分布： 离散型随机变量： 介绍离散型随机变量及其概率分布列，以及数学期望和方差的概念。 连续型随机变量： 介绍连续型随机变量及其概率密度函数，以及数学期望和方差的概念。 常见分布： 介绍二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等基本概率分布。 多维随机变量（简要介绍）： 介绍二维随机变量及其联合分布、边缘分布、条件分布的概念。 数理统计初步： 统计量： 介绍样本均值、样本方差等统计量的概念。 参数估计（简要介绍）： 介绍点估计和区间估计的基本思想。 假设检验（简要介绍）： 介绍假设检验的基本思想和步骤。 三、 教学目标与特色 本书的编写遵循“精讲多练、突出重点、强化应用”的原则。 教学目标： 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 为后续专业课程的学习奠定必要的数学基础。 提升学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和空间想象能力。 本书特色： 内容精炼： 针对少学时特点，对内容进行了优化和筛选，突出核心知识点。 理论与实践结合： 大量选取了贴近工程实际和社会应用的例题和习题，帮助学生理解数学的实用性。 由浅入深： 概念引入清晰，推导过程详略得当，难度循序渐进。 配套习题： 每章配有大量不同难度和类型的习题，包括概念题、计算题和应用题，方便学生巩固和提高。 语言风格： 力求语言平实、准确，避免过于晦涩的表达，便于学生理解和接受。 四、 适用对象 本书适用于普通高等院校理工科专业以及其他对高等数学有需求的专业，尤其是学时相对较少的专业。 五、 结语 “高等数学（本科少学时类型 第4版 下册）”致力于为学生提供一个扎实、高效的学习平台，帮助他们在有限的时间内，建立起坚实的数学基础，为未来的学习和工作打下坚实的基础。掌握本书内容，将为学生解决复杂的工程问题、进行科学研究以及理解更高级的数学理论提供重要的支撑。

评分☆☆☆☆☆

尽管是“少学时”版本，但本书并没有牺牲内容的深度。相反，它在许多关键概念的讲解上，都达到了相当的深度，能够为学生打下扎实的数学基础。我尤其欣赏它在讲解某些证明时，所展示的严谨的逻辑推理过程，这对于培养学生的数学思维和严谨性至关重要。在下册中，关于多元函数泰勒公式的展开和应用，以及隐函数定理和反函数定理的证明，都处理得相当到位，既有直观的几何解释，也有严谨的数学推导。

评分☆☆☆☆☆

我之前也接触过其他版本的高等数学教材，但不得不说，这本“少学时”版本在解决学生实际学习痛点方面做得尤为出色。很多学生在学习高等数学时，常常会遇到“知其然不知其所以然”的问题，即知道公式怎么用，但不知道为什么是这样。这本书则在这方面进行了弥补，它在引入新的概念或定理时，会先从其产生的原因、解决的问题入手，然后再逐步深入到数学的严谨定义和证明。我特别欣赏它在处理收敛性判定时，并没有直接给出各种判别法，而是先从直观的几何意义上解释级数求和的含义，再逐步引入各种判别法，这样能有效降低学生的畏难情绪。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格也相当值得称赞，它不像某些教材那样冷冰冰、公式堆砌，而是带有一种引导和启发的语调。作者在讲解一些比较难理解的定理时，会用一些生动的类比，或者提出一些启发性的问题，引导读者主动去思考，去探索。我特别喜欢书中关于“数学思想”的讨论，它不仅仅是传授知识，更是在培养一种数学思维方式。例如，在讲解一些证明技巧时，作者会分析其背后的逻辑，以及这种技巧的通用性，这让我不仅仅是记住公式，更能理解公式是如何被推导出来的，以及在其他问题中如何应用。下册中关于数项级数和幂级数的讲解，往往容易让人觉得枯燥，但作者通过将其与函数逼近等实际问题联系起来，让我看到了这些抽象理论的实际价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的翻译质量也相当不错，语言流畅自然，没有生硬的直译感。这对于非英语母语的学生来说，无疑是学习上的一个巨大优势。我曾经读过一些翻译质量不高的数学教材，阅读起来非常费力，而这本教材的翻译让我能够更专注于数学内容的学习。下册中关于向量微积分的部分，经常涉及复杂的向量运算和几何理解，流畅的翻译让我能够更清晰地把握作者的意图，避免了因为语言障碍而产生的理解偏差。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构设计也十分合理，循序渐进，层层递进。从基础概念的引入，到复杂定理的讲解，再到应用题的练习，整个学习过程都显得井井有条。这对于像我这样学习能力相对较弱的学生来说，极大地减轻了学习的压力，让我在一步一个脚印中，逐渐掌握高等数学的知识。特别是在处理重积分的坐标变换问题时，作者先是从二重积分在极坐标系下的计算开始，然后逐步推广到更一般的变量代换，整个过程衔接自然，逻辑清晰，让我对这一重要技巧有了深刻的理解。

评分☆☆☆☆☆

从阅读体验上来说，这本书的排版设计也非常人性化。清晰的章节划分，醒目的公式标注，以及穿插在各处的“提示”和“注意”栏目，都极大地提升了阅读效率。我曾经因为某个数学符号的含义不明而卡住半天，但在这本书中，几乎所有的专业术语和符号都有详尽的解释，或者在首次出现时就给出了清晰的定义。下册内容涉及的多元函数微积分部分，往往是很多学生感到头疼的难点。但作者在处理梯度、散度、旋度等概念时，没有简单地罗列公式，而是从向量场的物理意义入手，比如流体流动、电场磁场分布等，让这些抽象的概念变得触手可及。我尤其喜欢它在例题解析方面的详尽程度，每一步计算都清晰可见，甚至会分析为什么选择这种方法，有哪些替代方案，这对于我这种需要巩固基础的学生来说，简直是福音。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，无疑是为我这个在高等数学的海洋中挣扎了许久的本科生注入了一剂强心剂。不同于以往接触到的厚重、晦涩的教材，这本“少学时”版本在保持核心知识体系完整性的前提下，进行了精炼和优化。我尤其欣赏它在概念讲解上的循序渐进，虽然我接触的只是下册，但其中关于多变量函数、重积分、曲线积分、曲面积分等内容，作者的处理方式显得尤为巧妙。他并没有一开始就抛出繁复的定义和定理，而是通过大量的、贴合实际的例子，逐步引导读者理解抽象的数学概念。例如，在讲解二重积分时，作者用了一个计算不规则曲面上体积的问题，生动形象地展示了二重积分的几何意义，让我这个曾经对积分表示“敬而远之”的学生，第一次感受到了数学工具的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

从练习题的设计来看，这本书也很有考量。它不仅仅提供了大量的计算题来巩固基本功，更包含了一些概念性的题目和应用题，来考察学生对知识的理解和运用能力。我特别喜欢书中那些需要综合运用多个知识点才能解决的应用题，这些题目能够有效地锻炼我的解题思路和解决实际问题的能力。例如，在讲解曲面积分时，作者提供了一个关于计算流体通过一个曲面的流量的问题，这让我能够将抽象的数学工具与实际的物理场景联系起来，从而更深刻地理解其应用。

评分☆☆☆☆☆

我认为，一本好的数学教材，不仅在于其内容的准确性，更在于其能否激发学生的学习兴趣。而这本教材，恰恰在这方面做得非常出色。作者通过生动的语言、丰富的例子，以及对数学思想的深入剖析，成功地将高等数学的魅力展现在读者面前。我曾经认为数学是一门枯燥乏味的学科，但在阅读了这本书的下册后，我开始对高等数学产生了浓厚的兴趣，并且更加渴望去探索数学世界的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“少学时”版本，它在内容的取舍上做到了恰到好处。我能明显感觉到，作者在保留高等数学核心精髓的同时，剔除了那些对于本科阶段大部分专业而言并非必需的、过于深入或偏门的理论。这让我能够将有限的学习时间聚焦在最重要、最基础的知识点上，而不会被繁杂的细节所淹没。例如，在关于微分方程的部分，作者选取了最常用、最经典的类型进行讲解，并通过实际应用场景来展示其解决问题的能力，这让我对微分方程的应用有了更直观的认识。我记得之前接触过的某本教材，里面关于微分方程的部分，简直可以出一本专门的书籍了，看得我头昏脑涨，而这本教材的讲解则显得更加聚焦和实用。