包郵 近世代數三百題 馮剋勤 章璞著 高等教育齣版社 近世代數300題 數學係本 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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馮剋勤，章璞 著

圖書標籤:

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• 習題集
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• 章璞
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齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040283242

商品編碼：13614446858

包裝：平裝

齣版時間：2010-01-01

書名：近世代數三百題

：18.90元

作者：馮剋勤,章璞

齣版社：高等教育齣版社

齣版日期：2010-01-01

ISBN：9787040283242

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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由馮剋勤、李尚誌、查建國、章璞編寫的《近世代數引論》，曆經三版反復修改，作為數學係本科生教材使用已二十餘年。這本教材有不少較難的習題。本書則把編者們在教學過程中對這些習題的解答匯集成冊，並不斷增加一些新的問題。旨在幫助同學和年輕教師進一步瞭解解近世代數的真諦，掌握它的思想和方法，提高抽象思維能力。

內容提要

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本書為近世代數的教學提供瞭豐富的例子，內容包括群論、環論、域論和Galois理論。全書包含瞭500多個習題(包括一大題中若乾小題)的解答；有近三分之一或更多的題目對初學者是較難的；有的題目是很難的(例如，華羅庚恒等式等題，在一般的書中也很難找到解答)。為幫助學生迴顧所學內容，在每一節前加瞭“知識要點”。
本書可作為數學係本科生和研究生及其他相關專業學生的教學參考書和課外讀物。

目錄

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部分 問題總匯
　第1章 群論
　 1 集閤與映射
　 2 群的概念
　 3 子群和陪集分解
　 4 循環群
　 5 正規子群和商群
　 6 置換群
　 7 群在集閤上的作用
　 8 sylow定理
　 9 自由群和群的錶現
　 10 有限生成Abel群
　 11 小階群的結構
　 12 可解群和冪零群
　第2章 環論
　 1 基本概念
　 2 環的同構定理
　 3 同態的應用
　 4 各類整環
　 5 多項式環
　第3章 域論
　 1 域的擴張
　 2 分裂域
　 3 有限域的結構
　 4 有限域上的不可約多項式
　 5 有限域上的綫性代數
　 6 可分擴張
　 7 正規擴張
　第4章 Galois理論
　 1 基本定理
　 2 方程的Galois群
　 3 方程的根式可解性
第二部分 問題解答
　第1章 群論
　 1 集閤與映射
　 2 群的概念
　 3 子群和陪集分解
　 4 循環群
　 5 正規子群和商群
　 6 置換群
　 7 群在集閤上的作用
　 8 Sylow定理
　 9 自由群和群的錶現
　 10 有限生成Abel群
　 11 小階群的結構
　 12 可解群和冪零群
　第2章 環論
　 1 基本概念
　 2 環的同構定理
　 3 同態的應用
　 4 各類整環
　 5 多項式環
　第3章 域論
　 1 域的擴張
　 2 分裂域
　 3 有限域的結構
　 4 有限域上的不可約多項式
　 5 有限域上的綫性代數
　 6 可分擴張
　 7 正規擴張
　第4章 Galois理論
　 1 基本定理
　 2 方程的Galois群
　 3 方程的根式可解性
參考文獻

作者介紹

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文摘

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序言

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深入探索抽象代數的精妙與嚴謹：一本麵嚮進階學習者的獨立代數教材簡介 本書是一本專注於現代抽象代數核心概念的深度學習教材，旨在為已經掌握基礎綫性代數和初級抽象代數概念的學生提供一個堅實而富有挑戰性的進階平颱。全書結構嚴謹，內容覆蓋麵廣，特彆強調理論的內在聯係、證明的邏輯嚴密性以及重要定理的應用實例。 本書的定位與目標讀者 本書並非麵嚮初次接觸抽象代數的學生，而是定位於數學係本科高年級學生、準備進入研究生學習的優秀本科生，以及需要係統迴顧和深化代數基礎的研究人員。我們的目標是培養讀者在代數結構中進行抽象思維、獨立構建復雜證明以及靈活運用代數工具解決問題的能力。讀者應具備紮實的集閤論基礎、群論初步知識（如群的定義、子群、陪集、同態與同構）以及對抽象結構有初步的理解。 核心內容模塊劃分與深度解析 全書內容緊密圍繞現代代數的三大支柱——群論、環論和域論展開，並輔以必要的模和伽羅瓦理論作為橋梁。 第一部分：群論的深化與結構分析 (Group Theory Refined) 本部分將超越基礎教材對群的初步介紹，深入探討群的復雜結構和分解。 1. 深入正規子群與商群結構： 我們將詳細分析正規子群在構建商群中的核心作用，並引入中心（Center）、中心化子（Centralizer）和正規化子（Normalizer）的概念。重點論述它們之間的關係，例如它們如何定義李雅普諾夫–希爾伯特分解的局部結構。 2. 群作用與經典定理的精妙證明： 群作用（Group Action）的理論將被係統展開，著重分析軌道-穩定化子定理的深層含義。隨後，本書將詳盡論證柯西定理（Cauchy's Theorem）、西洛夫三定理（Sylow's Theorems）的完整證明及其在判斷有限群結構時的關鍵作用。特彆是，我們將用群作用的語言重新闡述西洛夫定理的構造性證明。 3. 可解群與冪零群： 這是區分基礎與進階群論的關鍵部分。我們將定義換位子子群（Commutator Subgroup），並基於此構建正閤列，從而引入可解群（Solvable Groups）的概念。我們將證明有限 $p$-群必然是冪零的，並探究冪零群的結構分解，例如其與直積結構的關係。這將為理解有限群的分類提供理論工具。 4. 自由群與錶示： 本部分將引入自由群（Free Groups）的概念及其生成元和關係。隨後，我們將探討群的錶示論的初步概念，特彆是群錶示的定義，以及如何通過綫性代數工具來研究群的結構。 第二部分：環論的廣闊天地 (Ring Theory Exploration) 環論部分將從更抽象的角度審視環的結構，著重於理想、整環和域的構建。 1. 理想、同態與環的分解： 在迴顧理想和商環的基礎上，本書將深入探討主理想域（Principal Ideal Domains, PID）、唯一因子分解域（Unique Factorization Domains, UFD）和迪德金環（Dedekind Domains）的層級關係。我們將清晰地證明，每一個PID都是一個UFD，並給齣反例說明UFD不一定是PID。 2. Noetherian 和 Artinian 環： 這是處理無限環結構的關鍵工具。我們將定義Noetherian 環和Artinian 環，並證明Hilbert 不可降解定理。重點討論Krull 維度的概念，特彆是對於多項式環和代數擴張中維度的計算。 3. 分式域的構造與推廣： 我們將係統地構造整環的分式域（Field of Fractions），並證明其唯一性。這為理解有理數域 $mathbb{Q}$ 構造於整數域 $mathbb{Z}$ 之上的過程提供瞭普遍的代數框架。 第三部分：域論與伽羅瓦理論的宏偉結構 (Field Theory and Galois Correspondence) 本部分是全書的理論高潮，旨在建立有限域、代數擴張與群論之間的深刻聯係。 1. 代數擴張與超越擴張： 我們將嚴格區分代數擴張（Algebraic Extensions）和超越擴張（Transcendental Extensions）。重點分析最小多項式（Minimal Polynomial）的唯一性和構造，並計算域擴張的次數 $[ ext{L}: ext{K}]$。 2. 正規擴張與可分擴張： 精確定義正規域擴張（Normal Extensions）和可分域擴張（Separable Extensions）。特彆關注在特徵為零域（如 $mathbb{Q}$）上，所有代數擴張自動是可分的這一重要結論。 3. 伽羅瓦群的構建與基本定理： 我們將定義伽羅瓦群（Galois Group） $ ext{Gal}( ext{L}/ ext{K})$，並詳細證明伽羅瓦理論的基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。該定理建立瞭域擴張塔與子群之間的一一對應關係，這是代數中最美的對應之一。 4. 經典問題的解決： 利用伽羅瓦理論的工具，本書將迴溯性地論證五次及更高次方程的不可解性（即阿貝爾-魯菲尼定理），並分析圓周率的構造性問題（即高斯證明的正多邊形可尺規作圖問題）。 教學特色與方法論 結構化證明鏈條： 每一步的引理和定理都基於前文已證明的結果，強調推理的完整性。 側重於核心概念的辨析： 對容易混淆的概念（如 PID/UFD，正規群/子群，正規擴張/可分擴張）進行深入對比分析。 引入現代代數語言： 鼓勵讀者使用範疇論的初步思想來理解同態和函子，提升對抽象性的駕馭能力。 本書力求提供一個既具有理論深度又兼顧邏輯清晰度的學習體驗，幫助讀者真正掌握現代抽象代數這一數學的“骨架語言”。

評分☆☆☆☆☆

我對數學書籍的“手感”和閱讀體驗很看重，這直接影響到我願意花多少時間沉浸其中。這本《近世代數三百題》，如果它能像一本好的文學作品那樣，擁有令人愉悅的閱讀體驗，那簡直是太棒瞭。我不是說要花哨的插圖，而是指文字的敘述風格。近世代數往往需要一種優雅而有力的語言來描述其深刻的內在聯係。如果作者能用一種既保持數學的精準性，又不失人文關懷的筆觸來闡述，比如在介紹某個定理的背景或曆史意義時稍微展開一下，那學習過程就會變得生動起來。我特彆不喜歡那種寫得像機器翻譯的教科書，冰冷而缺乏生命力。一個優秀的代數教材，應該能讓人感受到數學傢在發現這些優美結構時的那種“頓悟”時刻。希望這本書的行文能透露齣作者對這門學科的熱愛與洞察力。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數論和代數幾何都有涉獵的愛好者，我對任何一本深入探討群、環、域的書都會抱有很高的期望值。我個人更偏愛那種“以問題驅動”的講解方式，而不是純粹的“定理堆砌”。這本書的標題點明瞭“三百題”，這讓我對它的習題質量非常好奇。好的習題不隻是檢驗你是否記住瞭公式，更是引導你進行更深層次的思考和構造。我希望這些題目不僅僅是計算性的，更要有體現深刻數學思想的構造性或證明性難題。比如，關於伽羅瓦理論的某些關鍵步驟，如果能通過一兩道設計巧妙的習題來引導讀者自己去發掘其中的美妙之處，那這本書的價值就直綫上升瞭。如果隻是重復課本上的標準證明，那吸引力就大打摺扣瞭。我期待它能提供一些“非標答案”的視角，展現數學傢們解決問題時的那種靈活性和創造力，畢竟數學的魅力就在於此，不是嗎？

評分☆☆☆☆☆

最近在準備一個進階的數學考試，對清晰度和準確性有著近乎苛刻的要求。很多參考書在印刷和術語規範上總是存在一些小瑕疵，雖然不影響整體理解，但對於追求嚴謹性的學習者來說，總像是一根刺。我希望這本由高等教育齣版社齣版的書籍在校對方麵能做到教科書級彆的水準。具體到內容上，近世代數中的同態、商結構、乃至更復雜的模和域擴張理論，每一個定義和證明的細節都必須滴水不漏。如果書中對一些關鍵引理的證明步驟過於跳躍，沒有給齣足夠的中間過渡，那對於需要係統梳理知識點的學習者來說，無疑是增加瞭額外的理解負擔。我更欣賞那種詳盡到近乎囉嗦，但每一步都清晰可循的講解風格，它能確保你在建立知識網絡時，每一根“綫”都是牢固可靠的，而不是靠猜測來連接兩個論點。

評分☆☆☆☆☆

我之前學習抽象代數時，最大的睏難點在於如何將理論知識有效地應用到具體的例子中去，尤其是在處理一些不太常見的群或環的例子時，往往會束手無策。因此，我對這本書中關於“應用”和“例子”的部分抱有極大的興趣。我期待它能提供不同於標準教材的、更具啓發性的實例分析。比如，在討論正規子群時，能否穿插一些關於有限群的結構定理的實際應用，或者在介紹域擴張時，能清晰地展現它與多項式根的緊密聯係。如果這些題目和例子能夠巧妙地引導我們去探究那些“邊緣”情況——那些容易被標準課程忽略的特殊結構或反例——那這本書的價值就遠超一本普通的習題集瞭。一個好的題目集，應該能幫助讀者建立起從抽象到具體的橋梁，而不是讓理論和實例各自孤立存在。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計挺有意思的，那種復古的色調和簡潔的排版，一下子就讓人聯想到經典的數學教材。拿到手裏掂量瞭一下，分量感十足，顯然內容是相當紮實的。我最看重的是它在知識體係構建上的完整性。我一直覺得，學抽象的數學理論，最怕的就是東一塊西一塊的碎片化知識點，看完一章，下一章就開始懷疑前麵學的到底是怎麼串聯起來的。這本書的編排邏輯似乎很流暢，從基礎的概念引入，到深入的結構分析，每一步都像是經過精心設計的階梯，讓你能穩穩地往上爬。我特彆期待它在給齣定義和定理後，有沒有提供足夠多的直觀的例子來幫助理解。畢竟近世代數這種東西，太抽象瞭，沒有“腳手架”式的解釋，很容易就迷失在符號的海洋裏瞭。希望它的例題選擇能兼顧基礎概念的鞏固和思維深度的拓展，而不是隻堆砌難度，讓人望而卻步。如果能做到這一點，那它絕對是自學者的福音，能有效降低學習的挫敗感。

評分☆☆☆☆☆

很不錯。

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可

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書很好

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