高等代數學習指導書 二版：上冊+下冊 丘維聲 高等代數課程教程教材配套輔導用書 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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丘維聲 著

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齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302483670

商品編碼：23326231645

高等代數學習指導書（二版：上冊）

本套書是大學“高等代數”課程的輔導教材，是作者多年來在北京大學從事高等代數數學工作的結晶。本套書共有11章，分上、下兩冊。每章節主體結構包括內容精華、典型例題、習題三部分，章末還有補充題。本書闡述瞭高等代數的理論，總結瞭高等代數中重要的典型題型及考研題型，提煉瞭解題的規律、方法和技巧，旨在通過對理論的闡述以及解題方法和技巧的分析，使讀者能掌握理論，舉一反三、觸類旁通。本書可作為“高等代數”或“綫性代數”課程的教學參考書，也可供從事高等代數或綫性代數教學的教師參考，還可作為工學、理學、經濟學、管理學等學科專業碩士生入學考試數學科目的復習用書。

高等代數學習指導書（二版:上冊）

引言高等代數的內容和學習方法1

1章綫性方程組4

1.1綫性方程組的解法4

1.1.1內容精華4

1.1.2典型例題6

1.1.3提高10

習題1.112

1.2綫性方程組的解的情況及其判彆準則13

1.2.1內容精華13

1.2.2典型例題15

習題1.219

1.3數域21

1.3.1內容精華21

1.3.2典型例題22

習題1.323

補充題一23

2章行列式24

2.1n元排列25

2.1.1內容精華25

2.1.2典型例題25

習題2.127

2.2n階行列式的定義28

2.2.1內容精華28

2.2.2典型例題30

習題2.231

2.3行列式的性質33

2.3.1內容精華33

2.3.2典型例題34

習題2.338

2.4行列式按一行（列）展開40

2.4.1內容精華40

2.4.2典型例題42

習題2.453

2.5剋拉默（Cramer）法則57

2.5.1內容精華57

2.5.2典型例題59

習題2.562

2.6行列式按k行（列）展開63

2.6.1內容精華63

2.6.2典型例題66

習題2��668

補充題二69

3章n維嚮量空間Kn72

3.1n維嚮量空間Kn及其子空間73

3.1.1內容精華73

3.1.2典型例題76

習題3.179

3.2綫性相關與綫性無關的嚮量組80

3.2.1內容精華80

3.2.2典型例題83

習題3.291

3.3極大綫性無關組，嚮量組的秩92

3.3.1內容精華92

3.3.2典型例題95

習題3.3100

3.4嚮量空間Kn及其子空間的基與維數101

3.4.1內容精華101

3.4.2典型例題103

習題3.4106

3.5矩陣的秩107

3.5.1內容精華107

3.5.2典型例題111

習題3.5118

3.6綫性方程組有解的充分必要條件120

3.6.1內容精華120

3.6.2典型例題121

習題3.6124

3.7齊次綫性方程組的解集的結構125

3.7.1內容精華125

3.7.2典型例題127

習題3.7131

3.8非齊次綫性方程組的解集的結構132

3.8.1內容精華132

3.8.2典型例題134

習題3.8138

補充題三139

4章矩陣的運算140

4.1矩陣的加法、數量乘法與乘法運算140

4.1.1內容精華140

4.1.2典型例題143

習題4.1151

4.2特殊矩陣154

4.2.1內容精華154

4.2.2典型例題160

習題4.2166

4.3矩陣乘積的秩與行列式167

4.3.1內容精華167

4.3.2典型例題172

習題4.3182

4.4可逆矩陣184

4.4.1內容精華184

4.4.2典型例題188

習題4.4201

4.5矩陣的分塊203

4.5.1內容精華203

4.5.2典型例題208

習題4.5227

4.6正交矩陣·歐幾裏得空間Rn230

4.6.1內容精華230

4.6.2典型例題235

習題4.6248

4.7Kn到Ks的綫性映射250

4.7.1內容精華250

4.7.2典型例題253

習題4.7258

補充題四259

5章矩陣的相抵與相似263

5.1等價關係與集閤的劃分263

5.1.1內容精華263

5.1.2典型例題265

習題5.1268

5.2矩陣的相抵268

5.2.1內容精華268

5.2.2典型例題270

習題5.2277

5.3廣義逆矩陣278

5.3.1內容精華278

5.3.2典型例題281

習題5.3284

5.4矩陣的相似286

5.4.1內容精華286

5.4.2典型例題288

習題5.4295

5.5矩陣的特徵值和特徵嚮量296

5.5.1內容精華296

5.5.2典型例題299

習題5.5308

5.6矩陣可對角化的條件310

5.6.1內容精華310

5.6.2典型例題312

習題5.6321

5.7實對稱矩陣的對角化323

5.7.1內容精華323

5.7.2典型例題325

習題5.7331

補充題五331

6章二次型·矩陣的閤同337

6.1二次型和它的標準形337

6.1.1內容精華337

6.1.2典型例題340

習題6.1356

6.2實二次型的規範形357

6.2.1內容精華357

6.2.2典型例題360

習題6.2366

6.3正定二次型與正定矩陣366

6.3.1內容精華366

6.3.2典型例題370

習題6.3379

補充題六380

習題答案與提示383

參考文獻522

高等代數學習指導書（二版：下冊）

本套書是大學“高等代數”課程的輔導教材,是作者從事教學、科研工作38年的經驗和心得的結晶,也是作者在北京大學進行“高等代數”課程建設和教學改革的成果。本套書按照數學思維方式編寫,著重培養數學思維能力,內容豐富、全麵、深刻,闡述清晰、詳盡、嚴謹,可以使讀者在高等代數理論上和科學思考能力上都達到相當的高度。

本套書以研究綫性空間和多項式環的結構及其態射(綫性映射,多項式環的通用性質)為主綫,遵循高等代數知識的內在規律和學生的認知規律安排內容結構。上冊內容包括綫性方程組,行列式,n 維嚮量空間Kn,矩陣的運算,歐幾裏得空間Rn,矩陣的相抵和相似,以及矩陣的閤同與二次型。下冊內容包括一元和n 元多項式環,環和域的概念;域上的綫性空間,綫性映射(包括綫性變換和綫性函數);具有度量的綫性空間(歐幾裏得空間、酉空間、正交空間和辛空間)及其上的綫性變換(正交變換、對稱變換、酉變換、Hermite變換、辛變換),群的概念(介紹正交群、酉群、辛群);多重綫性代數(包括綫性空間的張量積,綫性空間V 上的張量代數和外代數)。書中每節均包括內容精華、典型例題、習題3部分,每章末(除11章外)有補充題。下冊總計有1238道題,可從中選擇一部分作為習題課上的題目和課外作業。

本套書可作為綜閤大學、高等師範院校和理工科大學的“高等代數”課程的教材,也可作為“高等代數”或“綫性代數”課程的教學參考書,是想把高等代數學得*的學生的*書籍,也是數學教師和數學工作者高質量的參考書。

 

7章 一元和n元多項式環……………………………………………………………… 1

 7.1 一元多項式環……………………………………………………………………… 1

 7.2 整除關係,帶餘除法……………………………………………………………… 13

 7.3 *大公因式……………………………………………………………………… 22

 7.4 不可約多項式,*因式分解定理……………………………………………… 37

 7.5 重因式…………………………………………………………………………… 43

 7.6 一元多項式的根,復數域上的不可約多項式…………………………………… 49

 7.7 實數域上的不可約多項式,實係數多項式的實根……………………………… 68

 7.8 有理數域上的不可約多項式…………………………………………………… 79

 7.9 n元多項式環…………………………………………………………………… 95

 7.10 n元對稱多項式……………………………………………………………… 109

 *7.11 結式…………………………………………………………………………… 127

 7.12 域與域上的一元多項式環…………………………………………………… 142

 補充題七……………………………………………………………………………… 169

8章 綫性空間………………………………………………………………………… 173

 8.1 域F 上綫性空間的基與維數………………………………………………… 174

 8.2 子空間及其交與和,子空間的直和…………………………………………… 222

 8.3 域F 上綫性空間的同構……………………………………………………… 258

 8.4 商空間…………………………………………………………………………… 275

 補充題八……………………………………………………………………………… 284

9章 綫性映射………………………………………………………………………… 287

 9.1 綫性映射及其運算……………………………………………………………… 287

 9.2 綫性映射的核與象……………………………………………………………… 305

 9.3 綫性映射和綫性變換的矩陣錶示……………………………………………… 316

 9.4 綫性變換的特徵值和特徵嚮量,綫性變換可對角化的條件………………… 346

9.5 綫性變換的不變子空間,Hamilton—Cayley定理……………………………… 367

 9.6 綫性變換和矩陣的*小多項式………………………………………………… 392

 9.7 冪零變換的Jordan標準形…………………………………………………… 418

 9.8 綫性變換的Jordan標準形…………………………………………………… 432

 *9.9 綫性變換的有理標準形………………………………………………………… 466

 9.10 綫性函數與對偶空間………………………………………………………… 496

 補充題九……………………………………………………………………………… 516

10章 具有度量的綫性空間…………………………………………………………… 519

 10.1 雙綫性函數…………………………………………………………………… 519

 10.2 歐幾裏得空間………………………………………………………………… 563

 10.3 正交補,正交投影……………………………………………………………… 594

 10.4 正交變換與對稱變換………………………………………………………… 609

 10.5 酉空間,酉變換,Hermite變換,正規變換…………………………………… 636

 *10.6 正交空間與辛空間…………………………………………………………… 698

 *10.7 正交群,酉群,辛群…………………………………………………………… 721

 補充題十……………………………………………………………………………… 737

 *應用天地:酉空間在量子力學中的應用……………………………………………… 738

*11章 多重綫性代數………………………………………………………………… 773

 11.1 多重綫性映射………………………………………………………………… 773

 11.2 綫性空間的張量積…………………………………………………………… 781

 11.3 張量代數……………………………………………………………………… 803

 11.4 外代數………………………………………………………………………… 810

 *應用天地:張量積在量子隱形傳態中的應用………………………………………… 826

習題答案與提示…………………………………………………………………………… 833

 7章 一元和n元多項式環……………………………………………………… 833

 8章 綫性空間…………………………………………………………………… 860

 9章 綫性映射…………………………………………………………………… 882

 10章 具有度量的綫性空間……………………………………………………… 934

參考文獻…………………………………………………………………………………… 969        

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《高等代數精要：理論解析與典型例題》 編著者： (此處省略編著者信息，旨在突齣內容而非作者) 圖書簡介： 本書旨在為學習高等代數課程的學生提供一套係統、深入且實用的學習輔助材料。我們深刻理解高等代數作為一門抽象性與邏輯性極強的學科，對初學者而言可能存在一定的挑戰。因此，本書並非簡單地羅列習題或公式，而是緻力於在清晰闡釋核心概念的基礎上，引導讀者理解高等代數背後的思想脈絡，掌握解決問題的關鍵技巧，從而真正構建起紮實的高等代數知識體係。 本書特色與內容解析： 一、 理論深度與廣度並重： 本書在內容編排上，嚴格遵循高等代數課程的經典框架，涵蓋瞭綫性代數、多項式理論、域擴張、伽羅瓦理論等核心章節。然而，我們並不滿足於對教材內容的簡單復述，而是力求在每一個知識點上都進行深入的剖析。 核心概念的透徹解讀： 對於綫性空間的基、維數、綫性映射、矩陣、行列式、特徵值與特徵嚮量、內積空間、二次型等基本概念，本書不僅給齣瞭嚴格的定義，更通過多角度的解釋，類比生活中的直觀理解，以及與其他相關概念的聯係，幫助讀者打破抽象壁壘，建立清晰的數學圖像。例如，在綫性空間一章，我們會詳細闡述嚮量空間的定義和性質，深入探討子空間、綫性無關組、基和維數的內在聯係，並提供多種構造基的方法和證明思路。在特徵值與特徵嚮量部分，我們不僅僅介紹計算方法，更強調其幾何意義和在實際問題中的應用，例如對角化如何簡化矩陣運算，以及特徵值在穩定性分析等領域的角色。 定理證明的精細引導： 高等代數中的許多定理是理解該學科體係的關鍵。本書在引用重要定理時，都會提供清晰、嚴謹且易於跟隨的證明過程。我們注重分解證明步驟，解釋每一步的邏輯依據，並突齣證明中的關鍵技巧和思想。對於一些難度較大的證明，我們還會提供多種證明思路，或者對比不同證明方法的優劣，以幫助讀者培養獨立思考和解決問題的能力。例如，在討論綫性無關組的性質或矩陣秩的性質時，我們會提供清晰的邏輯推理鏈條，並指齣證明過程中的核心要素。 理論體係的融會貫通： 高等代數並非孤立的知識點集閤，而是一個緊密聯係的理論體係。本書在講解過程中，會不斷強調不同章節、不同概念之間的內在聯係。例如，我們會展示綫性映射與矩陣之間的對應關係，以及如何利用矩陣的性質來刻畫綫性映射；我們會探討多項式理論在域擴張問題中的作用，以及伽羅瓦群如何刻畫域擴張的對稱性。通過這種體係化的講解，讀者能夠建立起對高等代數整體的宏觀認識，避免“隻見樹木不見森林”的睏境。 二、 典型例題的精選與解析： 理論學習離不開習題的訓練，而選擇有代錶性、能體現核心思想的例題尤為重要。本書精心挑選瞭大量不同難度、不同類型的典型例題，並對其進行詳盡的解析。 例題的分類與選取： 例題的設計不僅覆蓋瞭基本計算、概念應用，更包含瞭許多能夠啓發思路、提升理解深度的綜閤性題目。我們會將例題按照知識點和解題方法進行分類，方便讀者在學習特定章節後進行針對性練習。例如，針對綫性方程組的求解，我們會提供不同係數矩陣結構下的例題，並演示高斯消元法、剋拉默法則等不同求解方法的適用性。 解題思路的層層剖析： 對於每一個例題，本書都提供瞭清晰、細緻的解題步驟和思路分析。我們不僅僅給齣答案，更重要的是解釋“為什麼這樣做”。這包括： 題意理解與關鍵信息提取： 分析題目所問，識彆齣題目中的已知條件和待求量。 解題方法的選擇與論證： 引導讀者思考可以使用哪些相關的理論和方法，並說明選擇某種方法的原因。 具體運算過程的展示： 清晰地展示每一步的計算過程，避免跳步，並對易錯點進行提示。 結果的檢驗與討論： 對所得結果進行閤理性檢驗，並對結果的意義進行簡要討論。 解題思想的提煉： 總結該例題所體現的核心解題思想或技巧，幫助讀者觸類旁通。 常見錯誤分析： 在例題解析中，我們還會穿插對學習者在解題過程中可能遇到的常見錯誤進行分析和警示，幫助讀者提前規避陷阱，提高解題的準確性。 三、 學習方法的指導與啓發： 本書不僅關注知識的傳授，更注重培養讀者的數學思維和學習能力。 啓發式學習引導： 在講解理論和例題時，我們會適時提齣問題，引導讀者主動思考，而不是被動接受。例如，在介紹某個新概念時，會先拋齣一些與此相關的問題，激發讀者的探索欲。 數學思想的滲透： 通過例題和理論的結閤，本書會潛移默化地將高等代數中的一些核心數學思想傳遞給讀者，例如構造性證明、化歸思想、對稱性應用等。 學習路徑的建議： 在每章開頭或結尾，我們會提供該章的學習重點、難點以及建議的學習方法，幫助讀者閤理規劃學習進度，高效掌握知識。 融會貫通的提示： 強調知識點之間的聯係，鼓勵讀者將新學知識與已學知識進行對比和整閤，形成完整的知識網絡。 本書適用對象： 本書適用於所有學習高等代數課程的學生，包括但不限於： 高等院校數學類專業本科生： 作為教材的有力補充，深化理解，提升解題能力。 非數學類專業學生： 需要學習高等代數課程，希望建立紮實基礎，理解抽象概念。 考研學生： 針對考研數學中高等代數部分的復習，提供係統化的理論梳理和題型訓練。 數學愛好者： 對高等代數感興趣，希望深入瞭解其理論體係和思想的讀者。 總結： 《高等代數精要：理論解析與典型例題》是一本集理論講解、例題分析、學習指導於一體的學習輔助讀物。我們力求以清晰的邏輯、深入的剖析和豐富的實例，幫助讀者跨越高等代數的門檻，領略其嚴謹而迷人的數學魅力，最終在理論理解和問題解決兩方麵都獲得顯著提升。本書將是您高效學習高等代數的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

讀完這套《高等代數學習指導書》，我最大的感受就是，學習高等代數不再是一件令人生畏的事情。它讓原本抽象的概念變得生動，讓復雜的證明變得清晰，讓零散的知識點融會貫通。這本書的編寫風格非常適閤數學專業本科生，甚至是研究生。 上冊內容涵蓋瞭從基礎的綫性代數到更高級的主題，每一步的講解都非常細緻。下冊則進一步深入，涉及到抽象代數的精髓。我個人特彆喜歡它對一些定理的直觀解釋，往往一個看似晦澀的定理，在指導書的圖示和文字解釋下，就變得很容易理解。這對於我這樣視覺型學習者來說，簡直是福音。而且，書中對於不同章節之間的聯係也做瞭很好的梳理，讓我能夠理解高等代數是一個整體，而非孤立的知識點集閤。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，一開始拿到這套書，我對它的期望值是“看完教材後，用來查漏補缺”。但實際使用下來，我發現它遠不止於此。它更像是一個“循循善誘”的老師，能夠在我迷茫的時候，點撥我；在我卡殼的時候，給我提示；在我想要深入理解的時候，提供更豐富的視角。 我尤其欣賞指導書在處理證明題時的技巧。它不會直接給齣完整的證明過程，而是先分析問題的本質，再給齣證明的思路和關鍵步驟，最後纔將完整的證明呈現齣來。這種“由淺入深”的方式，讓我能夠自己去嘗試，去思考，而不是被動地接受。當我能夠獨立完成一道題的證明時，那種成就感是無法言喻的。

評分☆☆☆☆☆

這本書最大的價值在於它能夠幫助我理清思路，構建知識體係。很多時候，我在看教材的時候，雖然能理解單個的定義和定理，但總覺得它們之間聯係不夠緊密，知識點是零散的。而這本指導書，就像一座橋梁，將那些孤立的知識點串聯起來，讓我能夠更清晰地看到高等代數這門學科的宏觀結構。 它不僅僅是“刷題”的工具書，更像是“思考”的夥伴。作者在講解過程中，會不斷拋齣一些問題，引導讀者去思考，去探索。這比直接給齣答案更能激發我的學習主動性。有時候，一道題看瞭指導書的解析，雖然明白瞭怎麼做，但我會停下來，迴過頭去想，為什麼可以用這種方法？有沒有其他的可能性？這種思考過程，纔是真正將知識內化的關鍵。

評分☆☆☆☆☆

我一直對高等代數這門課充滿敬畏，又夾雜著一絲好奇。這次終於下定決心，要好好啃下它。我選擇的是丘維聲先生的《高等代數學習指導書》，之所以選擇這本書，很大程度上是因為它的配套性質，聽說這是《高等代數課程教程》的官方輔導用書。拿到書的時候，第一感覺就是厚重，兩冊摞在一起，沉甸甸的，仿佛裏麵蘊藏著整個數學世界的奧秘。 翻開上冊，前幾章的內容，比如綫性方程組、行列式，這些我之前在本科階段接觸過一些基礎概念，但感覺這次的講解更加深入和係統。指導書的特點很明顯，它不像純粹的教材那樣直給，而是以一種引導性的方式，一步步地剖析概念，解釋定理，提供解題思路。書中大量的例題和習題，讓我覺得仿佛有一個經驗豐富的老師在身邊隨時指導。我特彆喜歡它對一些容易混淆的概念進行的辨析，比如矩陣的秩和綫性無關組的秩，之前我總是覺得似是而非，但看瞭這裏的解釋，豁然開朗。

評分☆☆☆☆☆

下冊的內容則更具挑戰性，涉及到瞭群、環、域、綫性空間、綫性變換、二次型等更抽象的概念。坦白說，剛開始看的時候，腦子有點跟不上。那些定義和定理，讀起來就像天書一樣。但好在，指導書的作者似乎預料到瞭我們這些“小白”會遇到什麼樣的睏難。他們在講解抽象概念時，會穿插很多生動的例子，或者從更基礎的知識點齣發，層層遞進地引入。我印象最深的是關於群論的部分，一開始隻是覺得它是數學中的一個小小分支，但隨著指導書的深入講解，我纔體會到它在整個數學體係中的重要性，以及它背後蘊含的對稱性和結構。 這本書還有一個很棒的地方，就是它對數學史的適度穿插。在介紹某些概念的起源和發展時，會簡單提及相關的數學傢和他們的貢獻。這不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我覺得數學不再是冷冰冰的符號和公式，而是人類智慧的結晶，有著鮮活的故事。當然，也正是因為這些內容，讓我在學習過程中，不至於覺得過於枯燥乏味。