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考研学子们口口相传的考研数学《复习全书》+ 《660题》 +《 历年真题 》 2019考研数学李永乐数学团队倾力打造 赠送高等数学+线性代数 +概率视频课程
建议考生在使用本书时要多动脑,通过对例题和练习题的学习,思考,总结并发现题目设置和解答的规律性,真正掌握应试解题的金钥匙,从而迅速提高知识水平和应试能力,取得理想分数。
想要考研数学成绩提高,做题是必不可少的。《660题》是值得广大考生选择的题目质量很好的题集,并且解析注重基础知识、基本方法。
真题是很好的练习题,建议考生在使用本书时不要就题论题,而是要多动脑,通过对题目的练习、比较、思考,总结并发现题目设置和解答的规律性。请大家一定要在今后的复习中,时刻想到将各个方面的知识融会贯通,做好知识的串联和总结,从而检验自己对问题的把握程度,真正掌握应试解题的金钥匙,从而迅速提高知识水平和应试能力,取得理想分数。
内容简介
复习全书数二分二篇,分别是高等数学、线性代数,各篇按大纲设置章节,每章的编排如下:
1.考点与要求设置本部分的目的是使考生明白考试内容和考试要求,从而在复习时有明确的目标和重点。
2.内容精讲本部分对考试大纲所要求的知识点进行全面阐述,并对考试重点、难点以及常考知识点进行深度剖析。
3.例题分析本部分对历年考题所涉及的题型进行归纳分类,总结各种题型的解题方法,注重对所学知识的应用,以便能够开阔考生的解题思路,使所学知识融会贯通,并能建议考生在使用本书时不要就题论题,而是要多动脑,通过对题目的练习、比较、思考,总结并发现题目设置和解答的规律性,真正掌握应试解题的金钥匙,从而迅速提高知识水平和应试能力,取得理想分数。
4.习题分阶只有适量的练习才能巩固所学的知识,数学复习离不开做题。为了使考生更好地巩固所学知识,提高实际解题能力,本书作者精心优化设计了一定数量的练习题,供考生练习,以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上,达到轻松解答真题的水平。同时,本书对精选的练习题,进行了难度分阶,从基础概念,到综合应用,层层递进,实现练习、巩固、提高三维一体。
660题数二,本书内容包括高等数学、线性代数,题型为选择题和填空题。在题目的编制设计上我们有两个基本构思:一是选择题与填空题的模拟题,二是为解答题铺路的基础板块。
历年真题数二,本书完整收录了1987~2018年的考研数学(二)的试题,还精心挑选了之前年份的试题和数学一、三的试题做练习题。
历年真题二,全书共分三篇。篇给出新的真题和解析,目的是让读者了解新考题的结构形式和难易程度,方便复习备考。第二篇是历年的试题。第三篇将真题按考点所属内容分类并进行解析。
作者简介
李永乐,
清华大学应用数学系教授,北京高教学会数学研究会副理事长。全国的考研数学线性代数辅导专家,多次参加考研数学大纲修订和全国性数学考试命题工作。
王式安,
1987-2001年间担任全国研究生入学考试数学命题组组长,教育部考研数学命题组专家。原北京理工大学研究生院院长、应用数学系系主任、教授,享受国务院特殊津贴。王老师是2004年电视台采访的考研辅导名师!凭着王老师多年参加考研数学命题工作的经验,使他对考研数学的命题思路和命题方向了如指掌。
武忠祥,
西安交通大学数学系教授,国家教学成果二等奖和陕西省及西安交大教学成果特等奖获得者,具有丰富的教学、命题及辅导经验。从事高等数学教学和考研辅导二十多年,国家高等数学试题库骨干专家,多次参加考研数学大纲修订及全国性数学考试命题工作。高教版工科教材编写者。考研数学历年真题研究骨干专家。长期的考研辅导和对考研试题深入细致的研究与分析,以及书写工整,字迹流畅,儒家风范,透析经典一针见血,对学生在高数上存在的弱点了如指掌,使得他的考研辅导针对性强,切题率高,效果显著。
季文铎
全国研究生入学考试数学试卷命题组组长,北京交通大学教授(享受国家津贴),教学成果奖获得者。季文铎教授自1989年以来至今一直致力研究生入学考试数学科目的命题工作,常年担任该命题组组长、阅卷组组长,对硕士研究生入学考试命题有着精准的把握及深刻的洞察;长期承担大学生数学竞赛、数学建模竞赛及大学基础数学的教学和理论研究工作。
内页插图
复习全书二
基础过关660题二
历年真题解析二
前言/序言
为了帮助广大考生能够在较短的时间内,准确理解和熟练掌握考试大纲知识点的内容,全面提高解题能力和应试水平,本书编写团队依据15年的命题与阅卷经验,并结合10多年的考研辅导和研究精华,精心编写了本书,真正起到帮助同学们提高综合分析和综合解题的能力。
一、本书的编排结构
全书分二篇,分别是高等数学、线性代数,各篇按大纲设置章节,每章的编排如下:
1.考点与要求设置本部分的目的是使考生明白考试内容和考试要求,从而在复习时有明确的目标和重点。
2.内容精讲本部分对考试大纲所要求的知识点进行全面阐述,并对考试重点、难点以及常考知识点进行深度剖析。
3.例题分析本部分对历年考题所涉及的题型进行归纳分类,总结各种题型的解题方法,注重对所学知识的应用,以便能够开阔考生的解题思路,使所学知识融会贯通,并能灵活地解决问题。针对以往考生在解题过程中普遍存在的问题及常犯的,给出相应的注意事项,对有难度的例题给出解题思路的分析,以便加强考生对基本概念、公式和定理等内容的理解和正确运用。
4.习题分阶只有适量的练习才能巩固所学的知识,数学复习离不开做题。为了使考生更好地巩固所学知识,提高实际解题能力,本书作者精心优化设计了一定数量的练习题,供考生练习,以便使考生在熟练掌握基本知识的基础上,达到轻松解答真题的水平。同时,本书对精选的练习题,进行了难度分阶,从基础概念,到综合应用,层层递进,实现练习、巩固、提高三维一体。
二、本书的主要特色
1.打造命题专家和阅卷专家联袂打造,站在命题专家的角度命题,站在阅卷专家的角度解题,为考生提供的复习指导。
2.综合提升与其他同类图书相比,本书加强了考查知识点交叉出题的综合性,真正起到帮助考生提高综合分析和综合解题的能力。
3.分析透彻本书既从宏观上把握考研对知识的要求,又从微观层面对重要知识点进行深入细致的剖析,让考生思路清晰、顺畅。
4.一题多解对于常考热点题型,均给出巧妙、新颖、简便的几种解法,拓展考生思维,锻炼考生知识应用的灵活性。这些解法均来自各位专家多年教学实践总结和长期命题阅卷经验。
5.贴心服务本书赠送《分阶习题同步训练》,以便于考生迅速检验学习效果,巩固所学内容。
建议考生在使用本书时不要就题论题,而是要多动脑,通过对题目的练习、比较、思考,总结并发现题目设置和解答的规律性,真正掌握应试解题的金钥匙,从而迅速提高知识水平和应试能力,取得理想分数。
另外,为了更好地帮助同学们进行复习,“李永乐考研数学辅导团队”特在新浪微博上开设答疑专区,同学们在考研数学复习中,如若遇到任何问题,即可在线留言,团队老师将尽心为你解答。
后,本书的成稿还要感谢考研数学原命题组组长单立波老师在编校过程中所付出的努力。
希望本书能对同学们的复习备考带来更大的帮助。对书中的不足和疏漏之处,恳请读者批评指正。
祝同学们复习顺利,心想事成,考研成功!
《2019考研数学(二)精研手册:理论梳理、题型攻克与实战演练》 前言 考研数学,作为研究生入学考试中的重要科目,历来是众多考生望而却步的难关。其知识体系庞杂、解题技巧多样,对考生的逻辑思维、分析能力和计算能力提出了极高的要求。尤其数学(二),更是以其严谨的理论推导、深入的数学分析和贴近实际应用的题型,成为了众多理工科类考生必须攻克的堡垒。 本书旨在为2019年度考研数学(二)的考生提供一套系统、全面、高效的复习解决方案。我们深知,考研复习之路,离不开扎实的基础、精妙的解题策略以及充分的实战演练。因此,本书并非简单地堆砌知识点,而是力求将理论知识与解题技巧有机融合,帮助考生构建清晰的知识脉络,掌握各类题型的解题思路,并最终在考场上游刃有余。 本书的编写,借鉴了多年来考研数学的命题规律与教学经验,紧密围绕考研数学(二)的考试大纲,力求做到内容之精,方法之准,练习之实。我们相信,通过本书的学习,广大考生定能有效提升数学能力,在考研战场上披荆斩棘,取得理想的成绩。 第一部分:理论精讲与脉络梳理 考研数学的精髓在于其严谨的理论体系。许多考生在复习过程中,往往容易陷入“题海战术”,却忽略了对基础理论的深入理解。殊不知,脱离了理论基础的技巧,如同无源之水,难以长久。本部分将带领您系统梳理数学(二)的知识体系,构建清晰的逻辑框架。 第一章:高等数学(一)——函数、极限与连续 一、 函数的概念与性质: 本节将详细阐述函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本概念。我们将通过大量的实例,帮助考生深刻理解函数作为变量之间对应关系的本质,掌握判断和刻画函数性质的方法。特别会强调函数的复合、反函数以及分段函数等在考研中的常见考点。 二、 极限的求解与性质: 极限是微积分的基石。本节将深入讲解极限的定义、性质以及各种求极限的方法,包括代数法(如通分、分子分母同乘共轭式)、夹逼定理、洛必达法则以及等价无穷小代换等。我们将重点分析常考的数列极限、函数极限,以及利用洛必达法则和等价无穷小求解复杂极限的技巧。同时,还会对无穷小与无穷大的概念进行辨析。 三、 连续性与间断点: 函数的连续性是可导性的前提。本节将解释连续性的定义、性质,并重点介绍函数在一点处连续的充要条件。我们还会深入探讨各种类型的间断点,以及如何判断函数在闭区间上的连续性。特别会涉及在实际问题中,如何判断一个函数是否连续,以及连续函数在闭区间上具有的两个重要性质(有界性、最值定理和介值定理)的应用。 第二章:高等数学(二)——导数与微分 一、 导数的概念与计算: 导数是描述函数变化率的关键概念。本节将从定义出发,系统讲解导数的几何意义(切线斜率)和物理意义(瞬时速度)。我们将详细介绍基本初等函数的导数公式,以及求导的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、参数方程求导法等。特别会强化对高阶导数的计算,以及导数在实际问题中的应用,如瞬时变化率的求解。 二、微分的概念与计算: 微分是导数在代数运算上的具体体现。本节将阐述微分的概念、几何意义(切线的纵坐标变化量)以及它与增量的关系。我们将详细介绍微分的计算方法,以及微分的运算法则。特别会强调微分在近似计算中的应用,以及微分形式不变性。 三、 导数的应用: 导数在分析函数性质、解决实际问题方面有着广泛的应用。本节将重点讲解导数在研究函数单调性、求极值与最值、判断函数凹凸性与拐点,以及求解函数图像的渐近线等方面的应用。我们将通过大量例题,演示如何综合运用导数知识解决实际应用问题,如优化问题、速率问题等。 第三章:高等数学(三)——不定积分 一、 不定积分的概念与性质: 不定积分是微分的逆运算。本节将阐述不定积分的概念、几何意义(原函数簇)以及基本性质。我们将详细介绍基本积分公式,并通过实例演示如何利用这些公式进行积分。 二、 不定积分的常用方法: 掌握不定积分的计算技巧是攻克难关的关键。本节将系统讲解各种常用的不定积分方法,包括第一类换元法(凑微分法)、第二类换元法、分部积分法。我们将深入剖析每种方法的适用条件、操作步骤和注意事项,并提供大量典型例题,指导考生如何灵活运用这些方法解决不同类型的积分问题。 第四章:高等数学(四)——定积分 一、 定积分的概念与性质: 定积分是函数在闭区间上“累积”的度量。本节将从黎曼积分的定义出发,解释定积分的概念、几何意义(曲边梯形的面积)和物理意义(功、路程等)。我们将详细介绍定积分的七条重要性质,并分析其在简化计算和证明题目中的应用。 二、 定积分的计算: 定积分的计算是高等数学中的核心内容。本节将重点讲解牛顿-莱布尼茨公式,并结合不定积分的计算方法,指导考生如何求解各种形式的定积分。我们将详细介绍定积分的换元法和分部积分法,以及如何处理含绝对值、分段函数和周期函数等特殊情况下的定积分。 三、 定积分的应用: 定积分在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。本节将详细介绍定积分在计算平面图形的面积、体积(旋转体体积、截面求体积),以及计算弧长、曲面面积等方面的应用。同时,还将涉及定积分在物理学中的应用,如计算变力做功、压力、引力等。 第五章:高等数学(五)——微分方程 一、 微分方程的基本概念: 本节将介绍微分方程、阶数、解、通解、特解等基本概念,为后续学习打下基础。 二、 一阶微分方程的求解: 将系统讲解可分离变量微分方程、齐次方程、线性微分方程、伯努利方程等常见一阶微分方程的求解方法,并提供相应的例题。 三、 高阶线性微分方程的求解: 重点讲解二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的求解方法,包括特征方程法、常数变易法等。 第六章:线性代数——行列式与矩阵 一、 行列式的计算与性质: 行列式是线性代数中的基本概念。本节将详细介绍二阶、三阶及n阶行列式的定义、计算方法(如对角线法则、代数余子式展开法)及其重要性质。我们将通过大量实例,指导考生如何运用性质简化行列式的计算。 二、 矩阵的概念与运算: 矩阵是线性代数的核心对象。本节将介绍矩阵的定义、分类(如方阵、零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等)、矩阵的加法、数乘、乘法以及矩阵的转置。我们将重点分析矩阵乘法的性质,以及可逆矩阵的定义、性质和计算方法。 三、 矩阵的秩与初等变换: 矩阵的秩是描述矩阵线性无关行(列)向量个数的重要概念。本节将详细讲解初等行变换(列变换)的概念、性质以及如何利用初等行变换(列变换)求矩阵的秩。我们将深入探讨矩阵秩与方程组解的关系。 第七章:线性代数——向量组与方程组 一、 向量组的线性相关与线性无关: 向量组的线性相关与线性无关是判断向量组性质、理解线性空间的基础。本节将从定义出发,详细讲解判断向量组线性相关与线性无关的方法,包括利用定义法、系数行列式法以及通过行阶梯矩阵判断。 二、 向量组的秩与基: 本节将介绍向量组的秩的概念,以及如何找到向量组的极大线性无关组(即向量组的基)。我们将通过实例演示,如何确定向量组的秩以及求出其基。 三、 线性方程组的解结构: 线性方程组的解是考研数学中的重点和难点。本节将深入分析非齐次线性方程组解的结构,即解是特解与齐次方程组通解之和。我们将详细讲解如何判断线性方程组是否有解,以及如何求出其解(特解和齐次方程组的基)。 第八章:概率论与数理统计——随机事件与概率 一、 随机事件及其运算: 本节将介绍随机事件的概念,以及事件的包含、相等、并、交、差、对立等运算。我们将通过具体实例,帮助考生理解不同事件之间的关系。 二、 概率的基本性质与公理化定义: 本节将阐述概率的公理化定义,并推导出概率的各种基本性质,如概率的非负性、规范性、可列可加性等。我们将重点分析等可能事件的概率计算方法。 三、 条件概率与全概率公式、贝叶斯公式: 条件概率是描述事件发生条件下另一事件发生的概率。本节将详细讲解条件概率的定义、性质,并重点介绍全概率公式和贝叶斯公式的应用,这对于解决实际问题中的概率计算至关重要。 四、 独立性: 事件的独立性是概率论中的重要概念。本节将区分条件独立与绝对独立,并介绍多个事件相互独立的概念,以及如何判断事件的独立性。 第九章:概率论与数理统计——随机变量及其分布 一、 离散型随机变量及其分布律: 本节将介绍离散型随机变量的概念,以及其分布律的表示方法。我们将重点讲解二项分布、泊松分布等常见离散型随机变量的分布。 二、 连续型随机变量及其概率密度函数: 本节将介绍连续型随机变量的概念,以及其概率密度函数的定义、性质和计算。我们将重点讲解均匀分布、指数分布、正态分布等常见连续型随机变量的分布。 三、 随机变量的数学期望与方差: 数学期望和方差是描述随机变量集中趋势和离散程度的重要指标。本节将详细讲解数学期望和方差的定义、性质以及计算方法,并分析其在实际问题中的应用。 四、 常见重要分布: 将系统梳理并讲解泊松分布、二项分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等考研中常考的随机变量分布。 五、 联合分布与边缘分布: 对于多个随机变量,我们将介绍联合分布函数、联合概率密度函数以及边缘分布的计算方法,并分析随机变量的独立性。 第二部分:题型解析与解题策略 理论知识的掌握,最终是为了解决实际问题。本部分将针对考研数学(二)的常见题型,逐一进行深度剖析,并提炼出高效的解题策略。 第一节:极限与连续题型攻克 1.1 求解各种类型的极限: 详细讲解利用洛必达法则、等价无穷小代换、夹逼定理等方法求解数列极限和函数极限。特别会分析含参极限、夹逼定理的构造技巧等。 1.2 判断函数在一点的连续性: 强调利用定义法,结合左右极限、函数值的关系来判断函数在某点是否连续。 1.3 判断函数在区间上的连续性: 重点讲解如何分析分段函数的端点处以及定义域的边界处的连续性。 1.4 利用连续函数的性质解题: 重点讲解介值定理、最值定理在证明存在性问题中的应用。 第二节:导数与微分应用题型精析 2.1 求解高阶导数: 重点讲解如何利用归纳法、微分算子法等方法求解高阶导数。 2.2 求解隐函数、参数方程的导数: 强调公式的应用及注意事项。 2.3 利用导数研究函数性质: 详细讲解如何通过一阶导数判断单调性、求极值,通过二阶导数判断凹凸性、求拐点,以及如何结合极限求渐近线。 2.4 导数在实际问题中的应用: 重点讲解利用导数解决优化问题(如求最大值、最小值)、速率问题等。 2.5 微分在近似计算中的应用: 讲解利用微分进行近似计算的原理和方法。 第三节:积分计算与应用题型突破 3.1 不定积分的灵活运用: 重点讲解换元法和分部积分法的技巧,以及如何根据被积函数的特点选择合适的积分方法。 3.2 定积分的计算技巧: 详细讲解定积分的换元法、分部积分法,以及如何处理绝对值、分段函数等情况。 3.3 定积分在几何中的应用: 重点讲解如何利用定积分计算平面图形面积、旋转体体积、曲线长度等。 3.4 定积分在物理学中的应用: 讲解定积分在计算变力做功、压力、密度变化等问题中的应用。 第四节:微分方程求解与应用 4.1 掌握各类一阶微分方程的求解方法: 熟练运用分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。 4.2 掌握高阶常系数线性微分方程的求解: 重点讲解特征方程法和常数变易法。 4.3 微分方程在实际问题中的应用: 讲解微分方程在描述物理、生物、经济等现象中的应用。 第五节:线性代数方程组与向量组题型精练 5.1 行列式的巧算与应用: 讲解如何利用行列式的性质简化计算,以及行列式在判断线性方程组解的情况中的应用。 5.2 矩阵运算与性质的理解: 强调矩阵乘法、逆矩阵等重要概念的掌握。 5.3 矩阵秩的求解与应用: 重点讲解利用初等行变换求矩阵秩,以及矩阵秩与方程组解的关系。 5.4 线性方程组解的判定与求解: 详细讲解如何判断方程组有无解,以及如何求出其解的结构。 5.5 向量组的线性相关与无关判定: 重点讲解利用定义法和初等行变换法。 5.6 极大线性无关组的求解: 演示如何通过行阶梯形矩阵求向量组的基。 第六节:概率论与数理统计核心题型解析 6.1 概率计算的策略: 重点讲解如何正确运用条件概率、全概率公式、贝叶斯公式进行概率计算。 6.2 离散型随机变量的分布计算: 掌握二项分布、泊松分布等常见分布的概率计算。 6.3 连续型随机变量的分布计算: 掌握均匀分布、指数分布、正态分布等常见分布的概率计算,包括概率密度函数的积分。 6.4 数学期望与方差的计算: 详细讲解如何计算各类随机变量的数学期望和方差。 6.5 联合分布与边缘分布的计算: 讲解如何由联合分布求边缘分布,以及如何判断随机变量的独立性。 第三部分:实战演练与能力提升 理论与方法的掌握,最终需要通过大量的练习来巩固和提升。本部分精选了具有代表性的练习题,旨在帮助考生检验学习效果,熟悉考场节奏,锻炼解题速度和准确性。 基础过关660题: 本部分精选了660道涵盖数学(二)各章节、各知识点的基础性练习题。这些题目侧重于考查考生对基本概念、基本公式、基本方法的掌握程度,旨在帮助考生夯实基础,扫清知识盲点,为后续的综合训练打下坚实基础。每道题目都配有详细的解题思路和步骤,帮助考生理解解题过程,掌握解题技巧。 历年真题解析: 本部分精选了近年的考研数学(二)真题,并进行了深入细致的解析。通过对真题的分析,考生可以全面了解考研数学的命题风格、题型分布、难度变化和易错点,从而有针对性地调整复习策略。解析不仅提供了详细的解题步骤,更深入剖析了题目的考查意图、解题的关键所在以及其他可能的解题思路,帮助考生举一反三,融会贯通。 结语 考研之路,道阻且长,行则将至。我们深知,本书提供的仅是复习的工具和方法,最终的成功,离不开考生自身的努力和坚持。希望本书能成为您考研数学复习道路上最忠实的伙伴,助您理清思路,攻克难关,在2019年的考研战场上,取得优异的成绩!祝您金榜题名!