微分方程數值解法/中國科學院研究生教學叢書 餘徳浩 湯華中編著 計算數學工作者 科學與工程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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餘德浩 編

圖書標籤:

• 微分方程
• 數值解法
• 計算數學
• 科學計算
• 工程數學
• 高等教育
• 研究生教材
• 餘德浩
• 湯華中
• 數值分析

店鋪： 世紀恒悅圖書專營店

齣版社： 科學

ISBN：7030113128

商品編碼：26768228949

叢書名： 微分方程數值解法中國科學院研究生教學叢書

齣版時間：2003-10-01

 

基本信息

書名:微分方程數值解法
：34
作者:餘徳浩 湯華中編著
齣版社：科學齣版社
齣版日期：2003-10-01
ISBN：9787030113122

字數：396000
頁碼：471
版次：1
裝幀：平裝
開本：16
商品重量：

 

 

目錄

第一章 常微分方程初、邊值問題數值解法
1.1 引言
1.2 Euler方法
1.2.1 Euler方法及其幾何意義
1.2.2 Euler方法的誤差分析
1.2.3 Euler方法的穩定性
1.2.4 改進的Euler方法
1.3 Runge-Kutta方法
1.3.1 顯式Runge-Kutta方法
1.3.2 隱式Runge-Kutta方法
1.3.3 半隱式Runge-Kutta方法，
1.3.4 單步法的穩定性和收斂性
1.4 綫性多步方法
1.4.1 Adams外插法
1.4.2 Adams內插法
1.4.3 一般綫性多步公式
1.5 綫性多步法的穩定性和收斂性
1.5.1 綫性差分方程
1.5.2 綫性多步法的局部截斷誤差
1.5.3 綫性多步法的穩定性和收斂性
1.5.4 絕對穩定性
1.6 預估-校正算法
1.7 剛性方程組的解法
1.8 解常微分方程邊值問題的試射法
1.8.1 二階綫性常微分方程的試射法
1.8.2 二階非綫性常微分方程的試射法
1.9 解兩點邊值問題的有限差分方法
1.9.1 有限差分近似的基本概念
1.9.2 用差商代替導數的方法
1.9.3 積分插值法
1.9.4 解三對角方程組的追趕法
1.1O Hamilton係統的辛幾何算法
1.10.1 辛幾何與辛代數的基本概念
1.10.2 綫性哈密頓係統的辛差分格式
1.10.3 辛Runge-Kutta方法
習題

第二章 拋物型方程的差分方法
2.1 有限差分方法的基礎
2.2 一維拋物型方程的差分方法
2.2.1 常係數熱傳導方程
2.2.2 變係數熱傳導方程
2.3 差分格式的穩定性和收斂性
2.3.1 ε圖方法
2.3.2 穩定性分析的矩陣方法
2.3.3 Gerschgorin定理及其應用
2.3.4 穩定性分析的Fourier方法
2.3.5 能量方法
2.3.6 差分方程的收斂性
2.4 二維拋物型方程的差分方法
2.4.1 顯式差分格式
2.4.2 隱式差分格式
2.4.3 差分格式的穩定性分析
2.4.4 交替方嚮隱式差分格式
2.4.5 輔助應變量的邊界條件
習題
……

第三章 雙麯型方程的差分方法
第四章 橢圓型方程的差分方法
第五章 有限元方法
第六章 邊界元方法
參考文獻

 

內容提要

 

 

《微分方程數值解法》為《中國科學院研究生教學叢書》之一。《微分方程數值解法》內容包括常微分方程初邊值問題數值解法、偏微分方程的差分方法、偏微分方程和邊界積分方程的有限元方法和邊界元方法。《微分方程數值解法》選材力求通用新穎，敘述力求深入淺齣，既介紹瞭在科學和工程計算中常用的計算方法，又包含瞭近年來研究的進展，還有作者的若乾研究成果。
《微分方程數值解法》可作為高等院校理工科高年級學生和研究生的教材或參考書，也可作為計算數學工作者和從事科學與工程計算人員的參考讀物。

 

現代計算方法與科學計算前沿探索 本書匯集瞭計算數學領域多個前沿方嚮的最新研究成果與經典理論，旨在為高等院校師生、科研人員及工程技術人員提供一套係統且深入的計算方法理論框架與實踐指導。全書內容覆蓋麵廣，理論推導嚴謹，並結閤大量的實際應用案例，展現瞭數值計算在解決復雜科學與工程問題中的強大能力。 第一部分：大型科學計算基礎與高性能計算 本部分深入探討瞭在現代高性能計算（HPC）環境下，如何高效求解大規模科學問題的數學基礎和算法優化策略。 1. 稀疏綫性係統的迭代求解器： 針對有限元、有限體積等方法産生的超大規模稀疏綫性方程組，本書係統梳理瞭經典的Krylov子空間方法，如GMRES、BiCGSTAB及其變種。重點分析瞭預處理器的設計與性能優化，詳細介紹瞭代數多重網格（AMG）方法的構建原理，尤其關注其在非結構化網格和各嚮異性問題中的魯棒性。此外，探討瞭基於圖論的稀疏矩陣重排技術，以最大化計算的局部性和數據訪問效率。 2. 譜方法與高精度計算： 闡述瞭譜方法（Spectral Methods）的理論基礎，包括Chebyshev譜方法、Legendre譜方法以及相關的快速傅裏葉變換（FFT）在求解偏微分方程（PDEs）中的應用。著重分析瞭譜方法的指數收斂特性，並將其與有限差分、有限元方法的代數收斂性進行對比，為需要極高精度的流體力學、波傳播等問題提供瞭理論工具。 3. 並行計算與可擴展性分析： 本章聚焦於如何將復雜的數值算法並行化。詳細討論瞭數據並行（如MPI）和任務並行（如OpenMP）的結閤使用策略，特彆是針對三維網格劃分和數據通信開銷的最小化技術。書中包含瞭對算法可擴展性的嚴格分析，定義並計算瞭效率、負載均衡因子，並展示瞭如何利用現代GPU架構（如CUDA/OpenCL）進行大規模矩陣運算的加速。 第二部分：非綫性問題與優化算法 本部分關注如何有效地處理和求解復雜的非綫性代數方程組和優化問題，這是許多工程優化設計和係統辨識的核心。 4. 擬牛頓法與信賴域方法： 對非綫性方程組的求解，除瞭經典的牛頓法外，重點闡述瞭擬牛頓方法，如BFGS和DFP算法，及其在海森矩陣難以精確計算時的優勢。詳細介紹瞭信賴域（Trust-Region）方法的迭代框架，包括如何動態確定信賴域半徑以及如何利用二次模型逼近原函數，確保收斂的安全性和效率。 5. 全局優化與隨機搜索算法： 針對工程中普遍存在的非凸優化問題，本書介紹瞭全局優化策略。內容涵蓋模擬退火（Simulated Annealing）、遺傳算法（Genetic Algorithms）以及粒子群優化（PSO）等啓發式方法。書中結閤具體的工程案例，分析瞭這些隨機方法的參數設置、收斂性探討，並對比瞭它們與確定性梯度方法的適用場景。 6. 非綫性約束優化： 深入探討瞭處理帶有復雜約束的優化問題的方法。重點介紹內點法（Interior-Point Methods）的原理，包括其將約束問題轉化為一係列無約束問題的過程，以及KKT條件的迭代求解。同時，對拉格朗日乘子法的穩定性和二次懲罰函數方法的應用進行瞭詳盡的討論。 第三部分：時變係統與動態過程的數值模擬 本部分專注於常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs）中涉及時間演化的係統的數值處理技術。 7. ODEs的時間積分方案： 係統梳理瞭求解一階和高階常微分方程的顯式和隱式積分方法。詳細分析瞭Runge-Kutta方法的精度、穩定域以及剛性（Stiffness）問題的識彆與處理。針對剛性係統，重點講解瞭後嚮歐拉法、Crank-Nicolson方法以及BDF（Backward Differentiation Formulas）方法的穩定性和局部截斷誤差分析。 8. 綫性與非綫性PDEs的時間-空間離散化： 針對熱傳導、波動、對流擴散等經典PDEs，本書對比瞭有限差分法（FDM）、有限體積法（FVM）和有限元法（FEM）在處理不同邊界條件和復雜幾何時的優缺點。在時間方嚮上，重點分析瞭迎風格式（Upwind Schemes）在對流項處理中的數值耗散問題，並介紹瞭高分辨率格式如MUSCL格式的構造。 9. 穩定性、收斂性與精度分析： 嚴格闡述瞭數值方法的穩定性和收斂性判據，特彆是馮·諾依曼穩定性分析在雙麯型方程求解中的應用。通過Von Neumann分析，明確瞭顯式格式的CFL條件，並詳細推導瞭離散化誤差的階數，為選擇閤適的空間和時間步長提供瞭堅實的理論依據。 第四部分：數據驅動的數值方法與不適定問題 本部分探討瞭在數據不完備或問題本身具有內在不穩定性（不適定性）時，如何應用計算方法進行可靠的求解與重構。 10. 反問題與正則化技術： 針對圖像重建、地球物理反演等不適定問題，本書詳細介紹瞭Tikhonov正則化、L-麯綫方法以及Tracer方法在確定最佳正則化參數中的應用。重點分析瞭如何將不適定問題轉化為具有良好穩定性的最小二乘問題或約束優化問題。 11. 徑嚮基函數（RBF）插值與近似： 介紹瞭RBF作為一種強大的、不受網格限製的函數逼近工具。討論瞭不同核函數（如高斯核、多二次方核）的選擇，及其在麯麵擬閤、高維插值和Meshless方法中的應用，尤其適用於復雜或移動邊界問題。 12. 機器學習在數值分析中的融閤： 探討瞭深度學習技術在加速傳統數值求解器中的潛力。內容包括使用神經網絡替代傳統預處理器、利用PINNs（Physics-Informed Neural Networks）直接求解PDEs的框架，以及使用神經網絡來學習復雜係統的湧現行為，從而指導參數選擇和模型簡化。 全書結構緊湊，理論深度與工程實踐緊密結閤，是計算數學領域一次全麵的、麵嚮未來的知識梳理與方法論介紹。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本書的時候，心裏是抱著“又是一本老掉牙的教材”的預期。畢竟在這個領域，經典教材層齣不窮，要齣彩太難瞭。然而，這本書的章節編排和內容取捨，透露齣一種對當代研究前沿的深刻洞察力。它並非僅僅復述牛頓-拉普森或者辛普森法則的皮毛，而是對現代高效求解器背後的數學機理進行瞭深入剖析，例如處理剛性問題的特定數值格式的收斂性證明，那邏輯的嚴密和論證的精妙，簡直是一件藝術品。我尤其欣賞它在選擇例子和案例分析時所展現齣的“剋製”與“精準”，不貪多而求精，每一個例子都服務於闡明一個核心的數學特性或數值障礙。這使得整本書讀起來節奏感極強，不會讓人感到冗餘和拖遝，仿佛作者在用一種極簡主義的哲學來構建復雜的數值世界。

評分☆☆☆☆☆

對於一個剛從數學專業轉嚮計算物理方嚮的學生來說，最大的痛苦莫過於如何將抽象的數學語言轉化為計算機能理解的、高效的算法。這本書在這方麵的銜接工作做得堪稱業界典範。它不僅僅是告訴你“應該用什麼方法”，更重要的是深入解釋瞭“為什麼這個方法在這個特定物理模型下錶現更優”。那種對誤差源的細緻入微的探討，對離散化誤差和截斷誤差的平衡藝術的描繪，讓我對“數值穩定性”這個玄之又玄的概念有瞭具體的、可操作的理解。我甚至發現，書中的某些論述啓發瞭我去重新審視自己正在進行的一個有限元模擬中的網格細化策略，這直接解決瞭睏擾我半年的收斂性問題。這種將理論深度與工程敏感度完美結閤的特質，是它超越一般教科書的顯著標誌。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大感受，是一種“嚴謹而充滿人文關懷”的敘事風格。它不像某些冷冰冰的數學著作，隻關注公式的正確性，而是在字裏行間流露齣對學習者睏惑的體察。比如，在解釋為什麼某些迭代法在高精度計算時會遭遇瓶頸時，作者並非簡單地給齣一個結論，而是會追溯到數值分析早期的嘗試與失敗，這種曆史的縱深感，讓讀者在理解當前最優方法的同時，也對數值方法的演進有瞭更宏大的視角。它成功地將一個看似枯燥的數值計算領域，描繪成一幅由嚴密邏輯和精巧設計交織而成的壯麗畫捲。對於渴望真正掌握這門學科精髓，而不隻是學會套用公式的讀者來說，這本書提供的知識的“質感”是其他任何讀物都無法替代的。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，初讀此書時，我的第一反應是“它好厚實”。然而，翻開內頁纔發現，這種厚重感並非來自於不必要的填充，而是源自內容的密度與廣度。它像是一部詳盡的工具箱，而不是一本快速入門手冊。特彆是關於高維偏微分方程數值解的部分，作者沒有迴避那些棘手的問題，反而直麵瞭網格生成、邊界條件處理這些實際操作中的難點。更讓人稱道的是，它在介紹特定算法時，往往會附帶上不同求解器在不同計算平颱上的性能對比的宏觀討論，這顯示瞭編著者們深厚的工程背景和對實際計算環境的深刻理解。對於有誌於從事高性能計算（HPC）的讀者而言，書中關於並行化和矩陣求解器的提及，雖然篇幅有限，但其指引方嚮的價值是無可估量的，它為你鋪設瞭通往更深層次研究的階梯。

評分☆☆☆☆☆

這部著作，簡直是為我們這些在計算科學的泥潭裏摸爬滾打的研究生量身定做的寶典！我記得我剛接觸數值方法那會兒，那些教科書上的推導簡直是天書，公式密密麻麻，邏輯鏈條跳躍得讓人抓狂。這本書最絕妙的地方就在於，它沒有一上來就砸給你一堆抽象的符號，而是用一種非常直觀且富有條理性的方式，將復雜的概念層層剝開。尤其對於常微分方程的穩定性分析部分，作者簡直像是手把手帶著你走過瞭一個個思維的陷阱，讓我這個之前對BDF方法總有一絲模糊認識的人，茅塞頓開。讀完後，那種“原來如此，竟是如此簡單”的豁然開朗，是其他同類書籍難以給予的酣暢淋灕的體驗。它不是那種隻停留在理論錶麵的高談闊論，而是真正深入到瞭計算實踐的骨髓裏，讓理論指導實踐的路徑清晰可見，這點對於工程應用背景的讀者來說，價值連城。