偏微分方程數值解法 9787030424273 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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陳艷萍，魯祖亮，劉利斌 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 數值方法
• 科學計算
• 數學模型
• 數值分析
• 高等教育
• 理工科
• 數值解
• 計算數學
• 工程數學

店鋪： 中頤圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030424273

商品編碼：27299303330

包裝：圓脊精裝

齣版時間：2016-05-17

基本信息

書名：偏微分方程數值解法

定價：88.0元

作者：陳艷萍,魯祖亮,劉利斌

齣版社：科學齣版社

齣版日期：2016-05-17

ISBN：9787030424273

字數：280

頁碼：

版次：31

裝幀：圓脊精裝

開本：B5

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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內容提要

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目錄

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作者介紹

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文摘

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精彩頁

序言

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偏微分方程數值解法導論：理論、方法與應用 ISBN：978-7-030-42427-3 （注：此處為示例ISBN，實際簡介內容不涉及該書特定信息） --- 叢書導言：計算科學前沿的基石 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是描述自然界和工程領域中各種連續介質現象（如流體力學、電磁學、熱傳導、量子力學等）的核心數學工具。然而，對於絕大多數復雜的幾何結構和非綫性問題，解析解幾乎是不可求得的。這使得偏微分方程的數值解法成為瞭現代科學計算中不可或缺的核心技術。 本書旨在為研究生、高年級本科生以及從事計算科學、工程仿真和應用數學的研究人員，提供一個全麵、深入且實用的偏微分方程數值解法導論。我們聚焦於理論基礎的構建、主流離散方法的深入剖析，以及在實際工程問題中的應用與挑戰。 本書結構嚴謹，邏輯清晰，不僅涵蓋瞭經典的有限差分法，更係統地介紹瞭現代計算數學中占據主導地位的有限元法、有限體積法，並對先進的譜方法和快速迭代求解器進行瞭必要的介紹。 --- 第一部分：理論基礎與離散化原理 (Foundations and Discretization) 本部分為後續所有數值方法的理論基石。我們首先迴顧必要的泛函分析和算子理論知識，為嚴格的誤差分析奠定基礎。 1. 偏微分方程的數學模型與適定性： 詳細討論橢圓型、拋物型和雙麯型方程的物理意義和數學分類。重點講解瞭弱解（Variational Formulation）的概念，特彆是針對邊界值問題（BVP）的能量不等式和解的存在性、唯一性討論，這是理解有限元法的關鍵前提。 2. 穩定性、一緻性和收斂性： 數值方法的“三要素”是評價其可靠性的黃金標準。我們采用嚴格的數學工具（如CFL條件、離散Sobolev空間）來分析方法的穩定性（Stability）和與原問題的接近程度（Consistency），並最終證明數值解收斂於真實解（Convergence）。特彆地，我們將深入探討離散算子在特定範數下的收斂速度。 3. 離散化誤差的來源與估計： 清晰區分截斷誤差（Truncation Error）和捨入誤差（Round-off Error）。引入局部特截誤差（LTE）和全局誤差的概念，並展示如何通過對流守恒或能量一緻性來控製和減小誤差。 --- 第二部分：經典數值方法深度剖析 (Core Numerical Methods) 本部分詳述三種最重要且應用最廣泛的數值離散技術。 4. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： FDM是曆史最悠久的方法，基於泰勒展開進行局部近似。 網格生成與坐標變換： 討論均勻網格和非均勻網格下的差分格式構造。 高階精度格式： 介紹中心差分、緊格式（Compact Schemes）以及如何處理非綫性項的離散化。 處理復雜邊界： 重點講解瞭如何在高階FDM中精確處理 Neumann 邊界條件和麯麵邊界的逼近問題。 5. 有限元法（Finite Element Method, FEM）： FEM是處理復雜幾何和高維問題的首選工具，其核心在於變分原理。 基函數與插值： 詳細介紹 P1、P2 等階次的形函數（Shape Functions）及其性質，包括剛度矩陣和載荷嚮量的組裝過程。 對流-擴散問題的挑戰： 深入探討標準Galerkin方法在小粘度或高對流主導問題中齣現的振蕩現象，並引入迎風格式（Upwinding）和穩定化技術（如 SUPG, DG 方法的初步概念）。 裝配與求解： 介紹全局剛度矩陣的稀疏性、對稱性，以及基於自然邊界條件的求解流程。 6. 有限體積法（Finite Volume Method, FVM）： FVM在流體力學和守恒律方程中占據絕對主導地位，其優勢在於內在的守恒性。 通量守恒與積分形式： 強調FVM是從積分形式齣發，確保瞭物理量（如質量、動量）在控製體積上的精確守恒。 通量重建技術： 詳細講解黎曼求解器（Riemann Solvers）在處理激波和接觸間斷時的作用，如 Roe, HLL, Lax-Friedrichs 等格式的構建與比較。 TVD 格式與ENO/WENO 格式： 討論如何通過限製器（Limiters）來避免在高梯度區域産生非物理振蕩，實現高分辨率的解。 --- 第三部分：綫性係統的求解與效率提升 (Linear System Solvers and Efficiency) 無論采用何種離散方法，最終都會歸結為求解一個大型、稀疏的綫性代數方程組 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$。本部分著重於高效求解策略。 7. 直接法與稀疏矩陣存儲： 介紹 LU 分解、Cholesky 分解的原理，並討論稀疏矩陣存儲格式（如 CSR, CSC）對內存和計算效率的影響。 8. 迭代求解器： 迭代法是求解大規模問題的關鍵。 預處理技術（Preconditioning）： 強調預處理器的重要性，深入講解 Jacobi, Gauss-Seidel, 綴減超鬆弛法（SOR）作為基本的迭代格式。 Krylov 子空間方法： 詳細推導和分析共軛梯度法 (CG)（適用於對稱正定係統）和 雙共軛梯度法 (BiCG) 及其變種 (GMRES, BiCGSTAB)（適用於非對稱係統）的收斂機理。 9. 預處理器設計： 重點介紹代數多重網格法（AMG）和不完全 LU 分解（ILU）作為高效預處理器的設計與應用，它們是實現大規模計算加速的核心技術。 --- 第四部分：特定類型方程的數值處理 (Specific Equation Treatments) 本部分將理論方法應用於不同類型的偏微分方程，凸顯其特性。 10. 拋物型方程（熱傳導/擴散）： 時間離散化： 對比前嚮歐拉（顯式）、後嚮歐拉（隱式）和 Crank-Nicolson（半隱式）方案的穩定性和精度。重點分析隱式方法的代數求解負擔。 11. 雙麯型方程（波動/對流）： 時間積分： 介紹高階龍格-庫塔法（Runge-Kutta）在求解 ODE 集（ODE Systems）時的應用。 非綫性雙麯問題的挑戰： 討論激波捕捉技術和 CFL 條件對時間步長的嚴格限製。 12. 橢圓型方程（穩態/泊鬆方程）： 處理非綫性： 介紹牛頓迭代法（Newton's Method）在綫性化非綫性 PDE 時的應用，以及如何與迭代求解器結閤。 --- 總結與展望 本書最終將讀者帶到計算科學的前沿，不僅掌握瞭數值求解的“工具箱”，更培養瞭對不同物理模型應選擇何種數值方法的批判性思維。內容嚴格遵循數學推導的嚴謹性，輔以清晰的算法描述和必要的算例分析，確保讀者能夠將其理論知識轉化為可靠的計算實踐。本書旨在成為一本理論與實踐並重的，麵嚮復雜工程問題解決的權威參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我這種理論基礎尚可，但實戰經驗嚴重不足的人量身定做的“救星”。它的側重點完全偏嚮於算法的實現和性能分析。作者花費瞭大量的篇幅來比較不同數值方法的優劣，比如收斂速度、穩定性和計算資源的消耗。我以前總是在選擇算法時感到迷茫，不知道在特定精度要求下，A方法是否真的比B方法更高效。這本書裏通過大量的圖錶和案例分析，給齣瞭非常明確的指導方針。特彆是關於大規模綫性係統的求解部分，介紹瞭幾種迭代法的預處理技術，講解得極其透徹，連我這個對編程實現不太擅長的人，都能對照著代碼框架把思路理順。唯一的小遺憾是，某些高級的優化技巧涉及的細節內容略顯跳躍，可能需要讀者具備一定的背景知識纔能完全領會。總的來說，這本書極大地提升瞭我工程計算的實操水平。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的閱讀體驗是充滿挑戰性的，但迴報絕對是巨大的。它的數學推導部分極其嚴謹，幾乎沒有跳過任何關鍵步驟，對於基礎的分析能力要求非常高。我感覺自己仿佛迴到瞭研究生時代，需要不斷地拿起筆，跟著作者的思路一步步推導驗證。但正是這種“硬核”的風格，保證瞭書中所述理論的絕對可靠性。它不是一本可以輕鬆翻閱的讀物，更像是一部需要反復研讀的工具書和參考手冊。我注意到作者在引用文獻時非常考究，涵蓋瞭從上世紀經典文獻到近幾年頂級期刊的最新成果，這使得書中的內容既有曆史的厚重感，又不失時代的尖銳性。對於那些追求極緻精確性和對數學本質有強烈探求欲的專業人士而言，這本書的價值是無可替代的，它像一塊堅硬的磨刀石，能讓你的思維更加鋒利。

評分☆☆☆☆☆

我是在準備一個跨學科項目的過程中偶然接觸到這本著作的，它的廣度讓我感到非常驚喜。它不僅僅局限於單一的數學分支，而是巧妙地將概率論、信息論甚至一些基礎的量子力學概念融入到瞭數值模擬的框架之中。這種融會貫通的處理方式，使得整本書的視野非常開闊。我尤其欣賞作者在曆史背景介紹上的用心，每一項關鍵技術的誕生和發展，都被賦予瞭鮮活的故事性，這讓學習過程不再是單純的知識灌輸，而更像是一次探尋科學真理的旅程。對於想要構建全景式知識體係的讀者來說，這本書無疑提供瞭絕佳的藍圖。它教會我的不僅僅是“如何計算”，更是“為什麼要用這種方式計算”，這種哲學層麵的思考，遠比單純的技巧傳授來得寶貴得多。

評分☆☆☆☆☆

最近沉迷於一本關於數學建模的書，這本書的結構和內容的深度簡直讓人欲罷不能。它沒有像很多教材那樣堆砌公式和定理，而是非常注重實際應用的場景。書裏舉的例子都緊密貼閤工業生産和科學研究的前沿，比如流體力學中的復雜邊界問題，以及金融領域中隨機過程的模擬。作者的行文風格非常細膩，尤其是在解釋那些抽象概念時，總能找到一個非常直觀的比喻，讓人茅塞頓開。我特彆喜歡它在每一章末尾設置的“思考與拓展”部分，這些問題往往能引導讀者跳齣書本的框架，去思考更深層次的數學原理是如何與真實世界聯係起來的。說實話，這本書完全顛覆瞭我對傳統數學類書籍的刻闆印象，它更像是一本由經驗豐富的工程師撰寫的實踐指南，而不是枯燥的學術著作。讀完之後，我感覺自己對如何將數學工具應用到解決實際工程難題上，有瞭質的飛躍。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我最大的感受是它的“人文關懷”。在講解那些冷冰冰的算法和方程組時，作者總是能穿插一些關於教學方法和學習心得的片段。比如，他會詳細說明為什麼在教學中應該先引入離散化思想而不是直接給齣有限差分公式，這種站在學習者角度的考量，讓閱讀過程變得異常順暢和友好。書中的排版設計也值得稱贊，公式的間距和符號的標注都非常清晰，極大地減輕瞭長時間閱讀帶來的視覺疲勞。此外，這本書提供瞭一個非常棒的在綫資源鏈接，裏麵包含瞭許多用於驗證算法的代碼示例和數據集，極大地彌補瞭紙質書無法動態展示的缺陷。它不僅教會瞭我知識，更讓我感受到瞭一個優秀教育者對讀者群體深切的理解與支持，這是一本充滿溫度的學術著作。