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英阿姆斯特朗，孫以豐 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 點集拓撲
• 一般拓撲
• 代數拓撲
• 拓撲空間
• 連續映射
• 連通性
• 緊緻性
• Hausdorff空間
• 拓撲群

店鋪： 碧海簫音圖書專營店

齣版社： 人民郵電齣版社

ISBN：9787115218865

商品編碼：29212531601

包裝：平裝

齣版時間：2010-04-01

基本信息

書名：基礎拓撲學

定價：29.00元

作者：(英)阿姆斯特朗,孫以豐

齣版社：人民郵電齣版社

齣版日期：2010-04-01

ISBN：9787115218865

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.322kg

編輯推薦

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內容提要

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本書是一本拓撲學入門圖書，注重培養學生的幾何直觀能力，突齣單純同調的處理要點，並使抽象理論與具體應用保持平衡。全書內容包括連續性、緊緻性與連通性、粘閤空間、基本群、單純剖分、麯麵、單純同調、映射度與Lefschetz數、紐結與覆疊空間。
　　本書的讀者對象為高等院校數學及其相關專業的學生、研究生，以及需要拓撲學知識的科技人員、教師等。

目錄

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章　引論
　1.1　Euler定理　
　1.2　拓撲等價　
　1.3　麯麵　
　1.4　抽象空間　
　1.5　一個分類定理　
　1.6　拓撲不變量　
第2章　連續性　
　2.1　開集與閉集　
　2.2　連續映射　
　2.3　充滿空間的麯綫　
　2.4　Tietze擴張定理　
第3章　緊緻性與連通性　
　3.1　En的有界閉集　
　3.2　Heine Borel定理　
　3.3　緊緻空間的性質　
　3.4　乘積空間　
　3.5　連通性　
　3.6　道路連通性　
第4章　粘閤空間　
　4.1　Mbius帶的製作　
　4.2　粘閤拓撲　
　4.3　拓撲群　
　4.4　軌道空間　
第5章　基本群　
　5.1　同倫映射　
　5.2　構造基本群　
　5.3　計算　
　5.4　同倫型　
　5.5　Brouwer不動點定理　
　5.6　平麵的分離　
　5.7　麯麵的邊界　
第6章　單純剖分　
　6.1　空間的單純剖分　
　6.2　重心重分　
　6.3　單純逼近　
　6.4　復形的棱道群　
　6.5　軌道空間的單純剖分　
　6.6　無窮復形　
第7章　麯麵　
　7.1　分類　
　7.2　單純剖分與定嚮　
　7.3　Euler示性數　
　7.4　剜補運算　
　7.5　麯麵符號　
第8章　單純同調　
　8.1　閉鏈與邊緣　
　8.2　同調群　
　8.3　例子　
　8.4　單純映射　
　8.5　輻式重分　
　8.6　不變性　
第9章　映射度與Lefschetz數　
　9.1　球麵的連續映射　
　9.2　Euler Poincaré公式　
　9.3　Borsuk Ulam定理　
　9.4　Lefschetz不動點定理　
　9.5　維數　
0章　紐結與覆疊空間　
　10.1　紐結的例子　
　10.2　紐結群　
　10.3　Seifert麯麵　
　10.4　覆疊空間　
　10.5　Alexander多項式　
附錄　生成元與關係　
參考文獻

作者介紹

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文摘

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序言

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《數學分析：嚴謹的理論構建與經典應用》 一、本書概述與定位 《數學分析：嚴謹的理論構建與經典應用》是一部旨在為讀者，無論是高等院校的數學專業學生，還是需要深厚數學基礎的理工科研究人員，提供一個全麵、深刻且邏輯嚴密的數學分析知識體係的專著。本書的核心目標在於，不僅傳授分析學的基本工具和結論，更重要的是培養讀者對極限、連續性、微分和積分等基本概念背後的嚴格邏輯推理能力的深刻理解。 本書的撰寫遵循瞭經典分析學的傳統敘事脈絡，但同時融入瞭現代數學對嚴謹性要求的最新視角。我們相信，真正的數學洞察力來源於對基本定義的精確把握和對定理證明過程的親手實踐。因此，本書在內容組織上力求清晰流暢，推理過程詳盡無遺，避免瞭在基礎概念闡述上的任何模糊含糊之處。 二、內容結構與深度剖析 本書共分為五大部分，共二十個章節，從實數係的構造齣發，逐步邁嚮多變量函數分析的高級領域。 第一部分：實數係統與基本概念的奠基（第1章至第3章） 本部分緻力於構建分析學的基石——實數係統 ($mathbb{R}$)。 第1章：集閤論預備與自然數構造： 簡要迴顧必要的集閤論工具，重點在於皮亞諾公理下的自然數構造，並推廣至整數和有理數的構造過程。這為後續的極限論證提供瞭堅實的邏輯起點。 第2章：實數係的完備性與拓撲性質： 詳細闡述實數係的定義，包括域的結構和序關係。核心內容集中於“完備性”公理（如“每一個非空有上界的實數集都有上確界”），並基於此導齣諸如“區間套定理”、“聚點定理”（Bolzano-Weierstrass定理的預備形式）等關鍵性質。我們對上確界的定義和應用進行瞭深入探討。 第3章：數列的收斂性與極限： 基於 $varepsilon-N$ 語言，嚴格定義數列的極限。內容涵蓋極限的代數性質、單調收斂定理、柯西收斂準則。本章特彆強調瞭對極限概念的直觀理解與形式化描述之間的橋梁搭建。 第二部分：函數與連續性（第4章至第7章） 本部分將視角從數列擴展到函數，探討函數在點上的局部性質。 第4章：函數的極限與連續性： 采用 $varepsilon-delta$ 語言，精確定義函數的極限和連續性。討論瞭連續函數的代數性質，並引入瞭對不連續點的分類討論。 第5章：閉區間上的連續函數性質： 深入分析在閉區間 $[a, b]$ 上連續函數的兩個核心定理：有界性定理（最大值與最小值定理）和介值定理。這些定理是後續積分理論建立的基石。 第6章：一緻收斂性： 引入一緻收斂的概念，並將其與逐點收斂進行對比。重點論證瞭極限與連續性、極限與積分、極限與微分運算之間的交換性（或不交換性）的條件。 第7章：函數列與函數級數： 探討函數序列和級數的收斂性質，特彆是魏爾斯特拉斯 $M$ 檢驗法在判斷一緻收斂性中的應用。 第三部分：微分學（第8章至第11章） 本部分聚焦於變化率的研究，即導數的概念及其在函數分析中的廣泛應用。 第8章：導數的定義與微分法則： 從局部綫性逼近的角度定義導數，詳細推導瞭基本初等函數的求導法則。探討瞭導數存在的幾何意義和物理意義。 第9章：中值定理： 嚴格證明瞭羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。本章的重點在於對中值定理的嚴謹證明及其在不等式證明中的應用。 第10章：導數的應用（一）：單變量函數分析： 利用導數分析函數的單調性、極值、凹凸性，並詳細討論瞭洛必達法則的嚴格運用條件。 第11章：高階導數與泰勒公式： 引入高階導數，並完整推導瞭帶有各種餘項形式（拉格朗日型、柯西型、佩亞諾型）的泰勒公式。這部分內容為後續的函數逼近奠定瞭基礎。 第四部分：積分學（第12章至第15章） 本部分構建瞭定積分和不定積分的理論框架，是分析學中最為核心的部分之一。 第12章：黎曼可積性： 嚴格定義瞭黎曼和與黎曼積分。詳細分析瞭可積函數的充要條件（幾乎處處連續性）。我們對上和、下和的概念及其逼近過程進行瞭細緻的刻畫。 第13章：微積分基本定理： 證明瞭連接微分學與積分學的兩大基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）。詳細分析瞭原函數存在的條件和積分的性質。 第14章：廣義積分： 引入瞭瑕積分（第一類和第二類），討論瞭廣義積分的收斂判彆法（如比較判彆法、阿貝爾判彆法），這對物理和工程應用至關重要。 第15章：積分學的應用： 運用定積分計算麯綫長度、麵積和鏇轉體的體積，並簡要探討瞭積分在物理中的初步應用，如功的計算。 第五部分：多元函數微積分基礎（第16章至第20章） 本書的最後部分將分析工具推廣到多維空間，為學習泛函分析或微分幾何打下堅實基礎。 第16章：歐幾裏得空間與嚮量值函數： 介紹 $mathbb{R}^n$ 空間的基本拓撲概念（開集、閉集、鄰域），並定義嚮量值函數的極限和連續性。 第17章：偏導數與微分： 引入偏導數的概念，並重點討論全微分的定義及其與偏導數的關係。強調瞭全微分存在的嚴格條件。 第18章：多元函數的極值與條件極值： 討論多元函數的臨界點、二階偏導數判彆法（Hessian矩陣）。詳細講解拉格朗日乘數法用於處理帶約束的優化問題。 第19章：多重積分： 介紹二重積分和三重積分的定義（基於 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的黎曼和），並闡述瞭 Fubini 定理（積分次序的交換）。 第20章：綫積分與麯麵積分初步： 簡要介紹麯綫積分（第一類和第二類）以及麯麵積分的預備知識，為讀者理解更高級的嚮量分析（如格林公式、斯托剋斯定理）做好鋪墊。 三、本書的教學特色與優勢 1. 強調嚴謹性： 全書嚴格遵循數學分析對證明的苛刻要求，避免瞭使用直覺代替邏輯的論證方式。所有關鍵定理的證明都力求完備且易於跟蹤。 2. 豐富的習題設計： 每章末尾配有難度分層的習題集。部分習題側重於概念的直接應用，部分則要求讀者運用所學知識進行創造性的構造或復雜的證明。習題的難度階梯式上升，以確保讀者能夠真正掌握分析的精髓。 3. 概念的曆史脈絡： 在介紹關鍵概念（如極限、積分）時，本書穿插瞭對這些概念發展曆程的簡要概述，幫助讀者理解為何分析學需要經曆從直覺到嚴格化的漫長過程。 4. 清晰的符號係統： 全書采用一緻且標準的數學符號係統，所有定義、引理、定理和推論的編號清晰有序，便於查閱和引用。 《數學分析：嚴謹的理論構建與經典應用》不僅是一本教科書，更是一本培養嚴謹數學思維的工具書。它要求讀者付齣努力，但迴報將是堅實可靠的分析學基礎。

評分☆☆☆☆☆

我不得不承認，在接觸這本書之前，我對“拓撲”的理解僅停留在初中幾何課本裏對平麵圖形的認識上。這本書像一束強光，瞬間照亮瞭我知識的盲區。它沒有急於進入高深的代數拓撲，而是腳踏實地地從最基本的點集拓撲講起，但它的切入點非常巧妙。作者善於使用類比，比如將度量空間比作“尺子”，將拓撲空間比作“橡皮泥的黏性”，這種形象化的語言極大地降低瞭理解門檻。我特彆贊賞書中關於“連通性”的討論，它讓我開始思考事物之間聯係的本質。與其他側重於計算和應用的數學書不同，這本書更像是一本哲學著作，它探討的是空間、鄰域和連續性的本質屬性。雖然內容是基礎性的，但其深度遠超預期，讀完後感覺對整個數學世界的認識都有所提升，這是一種知識的升維體驗，非常值得細細品味和反復閱讀。

評分☆☆☆☆☆

這本書的文字功力值得大書特書。它沒有采用那種冷峻的學術腔調，而是充滿瞭一種人文關懷。閱讀過程中，我時常能感受到作者對數學之美的熱愛與敬畏。比如，在介紹嵌入定理時，作者用瞭大量的篇幅來鋪墊曆史背景和不同學派的觀點衝突，這讓抽象的數學成果擁有瞭鮮活的生命力。對於那些習慣於閱讀傳統教科書的讀者來說，這本書的風格可能初看起來會有些“不務正業”，因為它花瞭許多篇幅去討論一些看似與核心定理無關的“閑筆”，但正是這些“閑筆”，串聯起瞭零散的知識點，構建瞭一個完整的知識體係。它的論證過程層層遞進，邏輯鏈條緊密到幾乎找不到可以質疑的環節，這需要作者對材料有極其深刻的理解。總而言之，這本書是理論與美感結閤的典範，讀完後留下的不是公式的殘影，而是一種對數學世界更深層次的尊重和嚮往。

評分☆☆☆☆☆

作為一名自學愛好者，我選書的標準非常苛刻，要求內容既要嚴謹，又不能讓閱讀體驗變得枯燥乏味。這本書在平衡這兩點上做到瞭近乎完美。它的嚴謹性體現在對每一個概念定義和定理證明的細緻入微，絕無絲毫含糊之處；而趣味性則來自於作者獨特的敘事風格。他仿佛是一位經驗豐富的嚮導，帶領我們穿越一個又一個復雜的數學迷宮。我印象最深的是關於“緊緻性”的章節，我以前總覺得這個概念很玄乎，但作者通過一些經典案例的剖析，將緊緻集的內在特性展現得淋灕盡緻。這本書的篇幅適中，沒有過度冗長，每一個章節的布局都像是一件精心雕琢的藝術品，結構清晰，邏輯流暢。每讀完一章，我都會有一種“原來如此”的豁然開朗感，這對於提升學習的積極性至關重要。強烈推薦給所有渴望接觸數學前沿但又害怕被復雜符號嚇倒的讀者。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我抱著試一試的心態買瞭這本教材，畢竟拓撲學這門課給人的印象總是高深莫測，充滿瞭抽象的符號和難以捉摸的證明。然而，這本書徹底顛覆瞭我的固有認知。它最大的成功之處在於，它不僅僅是在“教”知識，更像是在“啓發”思考。作者在每節的結尾都會設置一些發人深省的問題，這些問題並非簡單的練習題，而是真正引導你去探索拓撲學更深層次的哲學內涵。我花瞭很長時間去琢磨其中關於“形變不變性”的討論，那種將剛體視為可拉伸、可扭麯的柔性物體來看待世界的視角，極大地拓寬瞭我的思維邊界。這本書的敘事節奏把握得非常好，時而深入剖析定理的精髓，時而又跳齣來進行宏觀的梳理，讓人既能紮實地掌握基礎，又不至於迷失在細節的泥潭裏。對於那些希望真正理解數學美感而非僅僅記住公式的人來說，這本書無疑是一次絕佳的閱讀體驗。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我這種數學愛好者量身定做的“心靈雞湯”，雖然我對拓撲學本身並沒有太深入的研究，但從翻開這本書的那一刻起，我就被作者行雲流水的文字和清晰的邏輯結構深深吸引住瞭。它不像很多教科書那樣堆砌公式和定理，而是更注重於構建一種直觀的理解。比如，書中對“連續性”的闡釋，沒有直接拋齣ε-δ的定義，而是通過大量的幾何直觀和生活中的例子來引導，讓我這個初學者也能在腦海中構建起一個清晰的圖像。我尤其欣賞作者在闡述基本概念時所展現齣的耐心，每一步的推導都詳略得當，既不會讓人覺得過於簡單而浪費時間，也不會因為跳躍性太大而感到睏惑。讀完前幾章，我感覺自己對空間的內在結構有瞭一種全新的認識，那種從混亂中發現秩序的愉悅感，是其他很多數學書籍無法給予的。這本書的排版和插圖也做得非常齣色，那些精妙的圖示，簡直是直觀理解抽象概念的利器，讓人在閱讀過程中充滿瞭探索的樂趣。