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英阿姆斯特朗，孙以丰 著

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• 拓扑学
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 代数拓扑
• 拓扑空间
• 连续映射
• 连通性
• 紧致性
• Hausdorff空间
• 拓扑群

店铺： 碧海箫音图书专营店

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115218865

商品编码：29212531601

包装：平装

出版时间：2010-04-01

基本信息

书名：基础拓扑学

定价：29.00元

作者：(英)阿姆斯特朗,孙以丰

出版社：人民邮电出版社

出版日期：2010-04-01

ISBN：9787115218865

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.322kg

编辑推荐

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内容提要

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本书是一本拓扑学入门图书，注重培养学生的几何直观能力，突出单纯同调的处理要点，并使抽象理论与具体应用保持平衡。全书内容包括连续性、紧致性与连通性、粘合空间、基本群、单纯剖分、曲面、单纯同调、映射度与Lefschetz数、纽结与覆叠空间。
　　本书的读者对象为高等院校数学及其相关专业的学生、研究生，以及需要拓扑学知识的科技人员、教师等。

目录

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章　引论
　1.1　Euler定理　
　1.2　拓扑等价　
　1.3　曲面　
　1.4　抽象空间　
　1.5　一个分类定理　
　1.6　拓扑不变量　
第2章　连续性　
　2.1　开集与闭集　
　2.2　连续映射　
　2.3　充满空间的曲线　
　2.4　Tietze扩张定理　
第3章　紧致性与连通性　
　3.1　En的有界闭集　
　3.2　Heine Borel定理　
　3.3　紧致空间的性质　
　3.4　乘积空间　
　3.5　连通性　
　3.6　道路连通性　
第4章　粘合空间　
　4.1　Mbius带的制作　
　4.2　粘合拓扑　
　4.3　拓扑群　
　4.4　轨道空间　
第5章　基本群　
　5.1　同伦映射　
　5.2　构造基本群　
　5.3　计算　
　5.4　同伦型　
　5.5　Brouwer不动点定理　
　5.6　平面的分离　
　5.7　曲面的边界　
第6章　单纯剖分　
　6.1　空间的单纯剖分　
　6.2　重心重分　
　6.3　单纯逼近　
　6.4　复形的棱道群　
　6.5　轨道空间的单纯剖分　
　6.6　无穷复形　
第7章　曲面　
　7.1　分类　
　7.2　单纯剖分与定向　
　7.3　Euler示性数　
　7.4　剜补运算　
　7.5　曲面符号　
第8章　单纯同调　
　8.1　闭链与边缘　
　8.2　同调群　
　8.3　例子　
　8.4　单纯映射　
　8.5　辐式重分　
　8.6　不变性　
第9章　映射度与Lefschetz数　
　9.1　球面的连续映射　
　9.2　Euler Poincaré公式　
　9.3　Borsuk Ulam定理　
　9.4　Lefschetz不动点定理　
　9.5　维数　
0章　纽结与覆叠空间　
　10.1　纽结的例子　
　10.2　纽结群　
　10.3　Seifert曲面　
　10.4　覆叠空间　
　10.5　Alexander多项式　
附录　生成元与关系　
参考文献

作者介绍

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文摘

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序言

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《数学分析：严谨的理论构建与经典应用》 一、本书概述与定位 《数学分析：严谨的理论构建与经典应用》是一部旨在为读者，无论是高等院校的数学专业学生，还是需要深厚数学基础的理工科研究人员，提供一个全面、深刻且逻辑严密的数学分析知识体系的专著。本书的核心目标在于，不仅传授分析学的基本工具和结论，更重要的是培养读者对极限、连续性、微分和积分等基本概念背后的严格逻辑推理能力的深刻理解。 本书的撰写遵循了经典分析学的传统叙事脉络，但同时融入了现代数学对严谨性要求的最新视角。我们相信，真正的数学洞察力来源于对基本定义的精确把握和对定理证明过程的亲手实践。因此，本书在内容组织上力求清晰流畅，推理过程详尽无遗，避免了在基础概念阐述上的任何模糊含糊之处。 二、内容结构与深度剖析 本书共分为五大部分，共二十个章节，从实数系的构造出发，逐步迈向多变量函数分析的高级领域。 第一部分：实数系统与基本概念的奠基（第1章至第3章） 本部分致力于构建分析学的基石——实数系统 ($mathbb{R}$)。 第1章：集合论预备与自然数构造： 简要回顾必要的集合论工具，重点在于皮亚诺公理下的自然数构造，并推广至整数和有理数的构造过程。这为后续的极限论证提供了坚实的逻辑起点。 第2章：实数系的完备性与拓扑性质： 详细阐述实数系的定义，包括域的结构和序关系。核心内容集中于“完备性”公理（如“每一个非空有上界的实数集都有上确界”），并基于此导出诸如“区间套定理”、“聚点定理”（Bolzano-Weierstrass定理的预备形式）等关键性质。我们对上确界的定义和应用进行了深入探讨。 第3章：数列的收敛性与极限： 基于 $varepsilon-N$ 语言，严格定义数列的极限。内容涵盖极限的代数性质、单调收敛定理、柯西收敛准则。本章特别强调了对极限概念的直观理解与形式化描述之间的桥梁搭建。 第二部分：函数与连续性（第4章至第7章） 本部分将视角从数列扩展到函数，探讨函数在点上的局部性质。 第4章：函数的极限与连续性： 采用 $varepsilon-delta$ 语言，精确定义函数的极限和连续性。讨论了连续函数的代数性质，并引入了对不连续点的分类讨论。 第5章：闭区间上的连续函数性质： 深入分析在闭区间 $[a, b]$ 上连续函数的两个核心定理：有界性定理（最大值与最小值定理）和介值定理。这些定理是后续积分理论建立的基石。 第6章：一致收敛性： 引入一致收敛的概念，并将其与逐点收敛进行对比。重点论证了极限与连续性、极限与积分、极限与微分运算之间的交换性（或不交换性）的条件。 第7章：函数列与函数级数： 探讨函数序列和级数的收敛性质，特别是魏尔斯特拉斯 $M$ 检验法在判断一致收敛性中的应用。 第三部分：微分学（第8章至第11章） 本部分聚焦于变化率的研究，即导数的概念及其在函数分析中的广泛应用。 第8章：导数的定义与微分法则： 从局部线性逼近的角度定义导数，详细推导了基本初等函数的求导法则。探讨了导数存在的几何意义和物理意义。 第9章：中值定理： 严格证明了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。本章的重点在于对中值定理的严谨证明及其在不等式证明中的应用。 第10章：导数的应用（一）：单变量函数分析： 利用导数分析函数的单调性、极值、凹凸性，并详细讨论了洛必达法则的严格运用条件。 第11章：高阶导数与泰勒公式： 引入高阶导数，并完整推导了带有各种余项形式（拉格朗日型、柯西型、佩亚诺型）的泰勒公式。这部分内容为后续的函数逼近奠定了基础。 第四部分：积分学（第12章至第15章） 本部分构建了定积分和不定积分的理论框架，是分析学中最为核心的部分之一。 第12章：黎曼可积性： 严格定义了黎曼和与黎曼积分。详细分析了可积函数的充要条件（几乎处处连续性）。我们对上和、下和的概念及其逼近过程进行了细致的刻画。 第13章：微积分基本定理： 证明了连接微分学与积分学的两大基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）。详细分析了原函数存在的条件和积分的性质。 第14章：广义积分： 引入了瑕积分（第一类和第二类），讨论了广义积分的收敛判别法（如比较判别法、阿贝尔判别法），这对物理和工程应用至关重要。 第15章：积分学的应用： 运用定积分计算曲线长度、面积和旋转体的体积，并简要探讨了积分在物理中的初步应用，如功的计算。 第五部分：多元函数微积分基础（第16章至第20章） 本书的最后部分将分析工具推广到多维空间，为学习泛函分析或微分几何打下坚实基础。 第16章：欧几里得空间与向量值函数： 介绍 $mathbb{R}^n$ 空间的基本拓扑概念（开集、闭集、邻域），并定义向量值函数的极限和连续性。 第17章：偏导数与微分： 引入偏导数的概念，并重点讨论全微分的定义及其与偏导数的关系。强调了全微分存在的严格条件。 第18章：多元函数的极值与条件极值： 讨论多元函数的临界点、二阶偏导数判别法（Hessian矩阵）。详细讲解拉格朗日乘数法用于处理带约束的优化问题。 第19章：多重积分： 介绍二重积分和三重积分的定义（基于 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的黎曼和），并阐述了 Fubini 定理（积分次序的交换）。 第20章：线积分与曲面积分初步： 简要介绍曲线积分（第一类和第二类）以及曲面积分的预备知识，为读者理解更高级的向量分析（如格林公式、斯托克斯定理）做好铺垫。 三、本书的教学特色与优势 1. 强调严谨性： 全书严格遵循数学分析对证明的苛刻要求，避免了使用直觉代替逻辑的论证方式。所有关键定理的证明都力求完备且易于跟踪。 2. 丰富的习题设计： 每章末尾配有难度分层的习题集。部分习题侧重于概念的直接应用，部分则要求读者运用所学知识进行创造性的构造或复杂的证明。习题的难度阶梯式上升，以确保读者能够真正掌握分析的精髓。 3. 概念的历史脉络： 在介绍关键概念（如极限、积分）时，本书穿插了对这些概念发展历程的简要概述，帮助读者理解为何分析学需要经历从直觉到严格化的漫长过程。 4. 清晰的符号系统： 全书采用一致且标准的数学符号系统，所有定义、引理、定理和推论的编号清晰有序，便于查阅和引用。 《数学分析：严谨的理论构建与经典应用》不仅是一本教科书，更是一本培养严谨数学思维的工具书。它要求读者付出努力，但回报将是坚实可靠的分析学基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的文字功力值得大书特书。它没有采用那种冷峻的学术腔调，而是充满了一种人文关怀。阅读过程中，我时常能感受到作者对数学之美的热爱与敬畏。比如，在介绍嵌入定理时，作者用了大量的篇幅来铺垫历史背景和不同学派的观点冲突，这让抽象的数学成果拥有了鲜活的生命力。对于那些习惯于阅读传统教科书的读者来说，这本书的风格可能初看起来会有些“不务正业”，因为它花了许多篇幅去讨论一些看似与核心定理无关的“闲笔”，但正是这些“闲笔”，串联起了零散的知识点，构建了一个完整的知识体系。它的论证过程层层递进，逻辑链条紧密到几乎找不到可以质疑的环节，这需要作者对材料有极其深刻的理解。总而言之，这本书是理论与美感结合的典范，读完后留下的不是公式的残影，而是一种对数学世界更深层次的尊重和向往。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我抱着试一试的心态买了这本教材，毕竟拓扑学这门课给人的印象总是高深莫测，充满了抽象的符号和难以捉摸的证明。然而，这本书彻底颠覆了我的固有认知。它最大的成功之处在于，它不仅仅是在“教”知识，更像是在“启发”思考。作者在每节的结尾都会设置一些发人深省的问题，这些问题并非简单的练习题，而是真正引导你去探索拓扑学更深层次的哲学内涵。我花了很长时间去琢磨其中关于“形变不变性”的讨论，那种将刚体视为可拉伸、可扭曲的柔性物体来看待世界的视角，极大地拓宽了我的思维边界。这本书的叙事节奏把握得非常好，时而深入剖析定理的精髓，时而又跳出来进行宏观的梳理，让人既能扎实地掌握基础，又不至于迷失在细节的泥潭里。对于那些希望真正理解数学美感而非仅仅记住公式的人来说，这本书无疑是一次绝佳的阅读体验。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我这种数学爱好者量身定做的“心灵鸡汤”，虽然我对拓扑学本身并没有太深入的研究，但从翻开这本书的那一刻起，我就被作者行云流水的文字和清晰的逻辑结构深深吸引住了。它不像很多教科书那样堆砌公式和定理，而是更注重于构建一种直观的理解。比如，书中对“连续性”的阐释，没有直接抛出ε-δ的定义，而是通过大量的几何直观和生活中的例子来引导，让我这个初学者也能在脑海中构建起一个清晰的图像。我尤其欣赏作者在阐述基本概念时所展现出的耐心，每一步的推导都详略得当，既不会让人觉得过于简单而浪费时间，也不会因为跳跃性太大而感到困惑。读完前几章，我感觉自己对空间的内在结构有了一种全新的认识，那种从混乱中发现秩序的愉悦感，是其他很多数学书籍无法给予的。这本书的排版和插图也做得非常出色，那些精妙的图示，简直是直观理解抽象概念的利器，让人在阅读过程中充满了探索的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

作为一名自学爱好者，我选书的标准非常苛刻，要求内容既要严谨，又不能让阅读体验变得枯燥乏味。这本书在平衡这两点上做到了近乎完美。它的严谨性体现在对每一个概念定义和定理证明的细致入微，绝无丝毫含糊之处；而趣味性则来自于作者独特的叙事风格。他仿佛是一位经验丰富的向导，带领我们穿越一个又一个复杂的数学迷宫。我印象最深的是关于“紧致性”的章节，我以前总觉得这个概念很玄乎，但作者通过一些经典案例的剖析，将紧致集的内在特性展现得淋漓尽致。这本书的篇幅适中，没有过度冗长，每一个章节的布局都像是一件精心雕琢的艺术品，结构清晰，逻辑流畅。每读完一章，我都会有一种“原来如此”的豁然开朗感，这对于提升学习的积极性至关重要。强烈推荐给所有渴望接触数学前沿但又害怕被复杂符号吓倒的读者。

评分☆☆☆☆☆

我不得不承认，在接触这本书之前，我对“拓扑”的理解仅停留在初中几何课本里对平面图形的认识上。这本书像一束强光，瞬间照亮了我知识的盲区。它没有急于进入高深的代数拓扑，而是脚踏实地地从最基本的点集拓扑讲起，但它的切入点非常巧妙。作者善于使用类比，比如将度量空间比作“尺子”，将拓扑空间比作“橡皮泥的黏性”，这种形象化的语言极大地降低了理解门槛。我特别赞赏书中关于“连通性”的讨论，它让我开始思考事物之间联系的本质。与其他侧重于计算和应用的数学书不同，这本书更像是一本哲学著作，它探讨的是空间、邻域和连续性的本质属性。虽然内容是基础性的，但其深度远超预期，读完后感觉对整个数学世界的认识都有所提升，这是一种知识的升维体验，非常值得细细品味和反复阅读。