第1章 函數、圖像和直綫 1
1.1 函數 1
1.1.1 區間錶示法 3
1.1.2 求定義域 3
1.1.3 利用圖像求值域 4
1.1.4 垂綫檢驗 5
1.2 反函數 6
1.2.1 水平綫檢驗 7
1.2.2 求反函數 8
1.2.3 限製定義域 8
1.2.4 反函數的反函數 9
1.3 函數的復閤 10
1.4 奇函數和偶函數 12
1.5 綫性函數的圖像 14
1.6 常見函數及其圖像 16
第2章 三角學迴顧 21
2.1 基本知識 21
2.2 擴展三角函數定義域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函數 27
2.3 三角函數的圖像 29
2.4 三角恒等式 32
第3章 極限導論 34
3.1 極限：基本思想 34
3.2 左極限與右極限 36
3.3 何時不存在極限 37
3.4 在∞ 和-∞ 處的極限 38
3.5 關於漸近綫的兩個常見誤解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 極限的基本類型小結 45
第4章 求解多項式的極限問題 47
4.1 x → a 時的有理函數的極限 47
4.2 x → a 時的平方根的極限 50
4.3 x → ∞ 時的有理函數的極限 51
4.4 x → ∞ 時的多項式型函數的極限 56
4.5 x → -∞ 時的有理函數的極限 59
4.6 包含絕對值的函數的極限 61
第5章 連續性和可導性 63
5.1 連續性 63
5.1.1 在一點處連續 63
5.1.2 在一個區間上連續 64
5.1.3 連續函數的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一個更難的介值定理例子 69
5.1.6 連續函數的最大值和最小值 70
5.2 可導性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬時速度 73
5.2.4 速度的圖像闡釋 74
5.2.5 切綫 75
5.2.6 導函數 77
5.2.7 作為極限比的導數 78
5.2.8 綫性函數的導數 80
5.2.9 二階導數和更高階導數 80
5.2.10 何時導數不存在 81
5.2.11 可導性和連續性 82
第6章 求解微分問題 84
6.1 使用定義求導 84
6.2 用更好的辦法求導 87
6.2.1 函數的常數倍 88
6.2.2 函數和與函數差 88
6.2.3 通過乘積法則求積函數的導數 88
6.2.4 通過商法則求商函數的導數 90
6.2.5 通過鏈式求導法則求復閤函數的導數 91
6.2.6 那個難以處理的例子 94
6.2.7 乘積法則和鏈式求導法則的理由 96
6.3 求切綫方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 導數僞裝的極限 101
6.6 分段函數的導數 103
6.7 直接畫齣導函數的圖像 106
第7章 三角函數的極限和導數 111
7.1 三角函數的極限 111
7.1.1 小數的情況 111
7.1.2 問題的求解——小數的情況 113
7.1.3 大數的情況 117
7.1.4 “其他的” 情況 120
7.1.5 一個重要極限的證明 121
7.2 三角函數的導數 124
7.2.1 求三角函數導數的例子 127
7.2.2 簡諧運動 128
7.2.3 一個有趣的函數 129
第8章 隱函數求導和相關變化率 132
8.1 隱函數求導 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隱函數求二階導 137
8.2 相關變化率 138
8.2.1 一個簡單的例子 139
8.2.2 一個稍難的例子 141
8.2.3 一個更難的例子 142
8.2.4 一個非常難的例子 144
第9章 指數函數和對數函數 148
9.1 基礎知識 148
9.1.1 指數函數的迴顧 148
9.1.2 對數函數的迴顧 149
9.1.3 對數函數、指數函數及反函數 150
9.1.4 對數法則 151
9.2 e 的定義 153
9.2.1 一個有關復利的問題 153
9.2.2 問題的答案 154
9.2.3 更多關於e 和對數函數的內容 156
9.3 對數函數和指數函數求導 158
9.4 求解指數函數或對數函數的極限 161
9.4.1 涉及e 的定義的極限 161
9.4.2 指數函數在0 附近的行為 162
9.4.3 對數函數在1 附近的行為 164
9.4.4 指數函數在∞ 或-∞ 附近的行為 164
9.4.5 對數函數在∞附近的行為 167
9.4.6 對數函數在0 附近的行為 168
9.5 取對數求導法 169
9.6 指數增長和指數衰變 173
9.6.1 指數增長 174
9.6.2 指數衰變 176
9.7 雙麯函數 178
第10章 反函數和反三角函數 181
10.1 導數和反函數 181
10.1.1 使用導數證明反函數存在 181
10.1.2 導數和反函數：可能齣現的問題 182
10.1.3 求反函數的導數 183
10.1.4 一個綜閤性例子 185
10.2 反三角函數 187
10.2.1 反正弦函數 187
10.2.2 反餘弦函數 190
10.2.3 反正切函數 192
10.2.4 反正割函數 194
10.2.5 反餘割函數和反餘切函數 195
10.2.6 計算反三角函數 196
10.3 反雙麯函數 199
第11章 導數和圖像 202
11.1 函數的極值 202
11.1.1 全局極值和局部極值 202
11.1.2 極值定理 203
11.1.3 求全局最大值和最小值 204
11.2 羅爾定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二階導數和圖像 212
11.5 對導數為零點的分類 215
11.5.1 使用一次導數 215
11.5.2 使用二階導數 217
第12章 繪製函數圖像 219
12.1 建立符號錶格 219
12.1.1 建立一階導數的符號錶格 221
12.1.2 建立二階導數的符號錶格 222
12.2 繪製函數圖像的全麵方法 224
12.3 例題 225
12.3.1 一個不使用導數的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第13章 最優化和綫性化 239
13.1 最優化 239
13.1.1 一個簡單的最優化例子 239
13.1.2 最優化問題：一般方法 240
13.1.3 一個最優化的例子 241
13.1.4 另一個最優化的例子 242
13.1.5 在最優化問題中使用隱函數求導 246
13.1.6 一個較難的最優化例子 246
13.2 綫性化 249
13.2.1 綫性化問題：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 綫性化的總結和例子 254
13.2.4 近似中的誤差 256
13.3 牛頓法 258
第14章 洛必達法則及極限問題總結 263
14.1 洛必達法則 263
14.1.1 類型A：0/0 263
14.1.2 類型A：±∞/ ±∞ 266
14.1.3 類型B1: (∞－∞) 267
14.1.4 類型B2: (0 ×±∞) 269
14.1.5 類型C:?(1±∞, 0º 或∞º) 270
14.1.6 洛必達法則類型的總結 272
14.2 關於極限的總結 273
第15章 積分 276
15.1 求和符號 276
15.1.1 一個有用的求和 279
15.1.2 伸縮求和法 280
15.2 位移和麵積 283
15.2.1 三個簡單的例子 283
15.2.2 一段更常規的旅行 285
15.2.3 有嚮麵積 287
15.2.4 連續的速度 288
15.2.5 兩個特彆的估算 291
第16章 定積分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定積分的定義 297
16.3 定積分的性質 301
16.4 求麵積 305
16.4.1 求通常的麵積 306
16.4.2 求解兩條麯綫之間的麵積 308
16.4.3 求麯綫與y 軸所圍成的麵積 310
16.5 估算積分 313
16.6 積分的平均值和中值定理 316
16.7 不可積的函數 319
第17章 微積分基本定理 321
17.1 用其他函數的積分來錶示的函數 321
17.2 微積分的第一基本定理 324
17.3 微積分的第二基本定理 328
17.4 不定積分 329
17.5 怎樣解決問題：微積分的第一基本定理 331
17.5.1 變形1：變量是積分下限 332
17.5.2 變形2：積分上限是一個函數 332
17.5.3 變形3：積分上下限都為函數 334
17.5.4 變形4：極限僞裝成導數 335
17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理 336
17.6.1 計算不定積分 336
17.6.2 計算定積分 339
17.6.3 麵積和絕對值 341
17.7 技術要點 344
17.8 微積分第一基本定理的證明 345
第18章 積分的方法I 347
18.1 換元法 347
18.1.1 換元法和定積分 350
18.1.2 如何換元 353
18.1.3 換元法的理論解釋 355
18.2 分部積分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代數運算 361
18.3.2 對每一部分積分 365
18.3.3 方法和一個完整的例子 367
第19章 積分的方法II 373
19.1 應用三角恒等式的積分 373
19.2 關於三角函數的冪的積分 376
19.2.1 sin 或cos 的冪 376
19.2.2 tan 的冪 378
19.2.3 sec 的冪 379
19.2.4 cot 的冪 381
19.2.5 csc 的冪 382
19.2.6 約化公式 382
19.3 關於三角換元法的積分 384
19.3.1 類型1：√(α²-x²) 384
19.3.2 類型2：√(x²+α²) 386
19.3.3 類型3：√(x²-α²) 387
19.3.4 配方和三角換元法 388
19.3.5 關於三角換元法的總結 389
19.3.6 平方根的方法和三角換元法 389
19.4 積分技巧總結 391
第20章 反常積分：基本概念 393
20.1 收斂和發散 393
20.1.1 反常積分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂點 397
20.2 關於無窮區間上的積分 398
20.3 比較判彆法(理論) 400
20.4 極限比較判彆法(理論) 402
20.4.1 函數互為漸近綫 402
20.4.2 關於判彆法的陳述 404
20.5 p 判彆法(理論) 405
20.6 絕對收斂判彆法 407
第21章 反常積分：如何解題 410
21.1 如何開始 410
21.1.1 拆分積分 410
21.1.2 如何處理負函數值 411
21.2 積分判彆法總結 413
21.3 常見函數在∞ 和－∞附近的錶現 414
21.3.1 多項式和多項式型函數在1 和¡1 附近的錶現 415
21.3.2 三角函數在∞ 和－∞ 附近的錶現 417
21.3.3 指數在∞和－∞附近的錶現 419
21.3.4 對數在∞ 附近的錶現 422
21.4 常見函數在0 附近的錶現 426
21.4.1 多項式和多項式型函數在0 附近的錶現 426
21.4.2 三角函數在0 附近的錶現 427
21.4.3 指數函數在0 附近的錶現 429
21.4.4 對數函數在0 附近的錶現 430
21.4.5 更一般的函數在0 附近的錶現 431
21.5 如何應對不在0 或∞ 處的瑕點 432
第22章 數列和級數：基本概念 434
22.1 數列的收斂和發散 434
22.1.1 數列和函數的聯係 435
22.1.2 兩個重要數列 436
22.2 級數的收斂與發散 438
22.3 第n 項判彆法(理論) 442
22.4 無窮級數和反常積分的性質 443
22.4.1 比較判彆法(理論) 443
22.4.2 極限比較判彆法(理論) 444
22.4.3 ρ 判彆法(理論) 444
22.4.4 絕對收斂判彆法 445
22.5 級數的新判彆法 447
22.5.1 比式判彆法(理論) 447
22.5.2 根式判彆法(理論) 449
22.5.3 積分判彆法(理論) 450
22.5.4 交錯級數判彆法(理論) 453
第23章 求解級數問題 455
23.1 求幾何級數的值 455
23.2 應用第n 項判彆法 457
23.3 應用比式判彆法 457
23.4 應用根式判彆法 461
23.5 應用積分判彆法 462
23.6 應用比較判彆法、極限比較判彆法和p 判彆法 463
23.7 應對含負項的級數 468
第24章 泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論 472
24.1 近似值和泰勒多項式 472
24.1.1 重訪綫性化 472
24.1.2 二次近似 473
24.1.3 高階近似 474
24.1.4 泰勒定理 475
24.2 冪級數和泰勒級數 478
24.2.1 一般冪級數 479
24.2.2 泰勒級數和麥剋勞林級數 481
24.2.3 泰勒級數的收斂性 481
24.3 一個有用的極限 485
第25章 求解估算問題 487
25.1 泰勒多項式與泰勒級數總結 487
25.2 求泰勒多項式與泰勒級數 488
25.3 用誤差項估算問題 491
25.3.1 第一個例子 492
25.3.2 第二個例子 494
25.3.3 第三個例子 495
25.3.4 第四個例子 496
25.3.5 第五個例子 497
25.3.6 誤差項估算的一般方法 499
25.4 誤差估算的另一種方法 499
第26章 泰勒級數和冪級數：如何解題 502
26.1 冪級數的收斂性 502
26.1.1 收斂半徑 502
26.1.2 求收斂半徑和收斂區域 504
26.2 閤成新的泰勒級數 508
26.2.1 代換和泰勒級數 509
26.2.2 泰勒級數求導 511
26.2.3 泰勒級數求積分 512
26.2.4 泰勒級數相加和相減 514
26.2.5 泰勒級數相乘 515
26.2.6 泰勒級數相除 516
26.3 利用冪級數和泰勒級數求導 517
26.4 利用麥剋勞林級數求極限 519
第27章 參數方程和極坐標 523
27.1 參數方程 523
27.2 極坐標 528
27.2.1 極坐標與笛卡兒坐標互換 529
27.2.2 極坐標係中畫麯綫 530
27.2.3 求極坐標麯綫的切綫 534
27.2.4 求極坐標麯綫圍成的麵積 535
第28章 復數 538
28.1 基礎 538
28.2 復平麵 541
28.3 復數的高次冪 544
28.4 解z^n＝ w 545
28.5 解e^z ＝ w 550
28.6 一些三角級數 552
28.7 歐拉恒等式和冪級數 554
第29章 體積、弧長和錶麵積 556
29.1 鏇轉體的體積 556
29.1.1 圓盤法 557
29.1.2 殼法 558
29.1.3 總結和變式 560
29.1.4 變式1：區域在麯綫和y 軸之間 561
29.1.5 變式2：兩麯綫間的區域 562
29.1.6 變式3：繞平行於坐標軸的軸鏇轉 565
29.2 一般立體體積 567
29.3 弧長 571
29.4 鏇轉體的錶麵積 574
第30章 微分方程 578
30.1 微分方程導論 578
30.2 可分離變量的一階微分方程 579
30.3 一階綫性方程 581
30.4 常係數微分方程 585
30.4.1 解一階齊次方程 586
30.4.2 解二階齊次方程 586
30.4.3 為什麼特徵二次方程適用 587
30.4.4 非齊次方程和特解 588
30.4.5 求特解 589
30.4.6 求特解的例子 590
30.4.7 解決yP 和yH 間的衝突 592
30.4.8 IVP 593
30.5 微分方程建模 595
附錄A 極限及其證明 598
A.1 極限的正式定義 598
A.2 由原極限産生新極限 602
A.3 極限的其他情形 606
A.4 連續與極限 611
A.5 再談指數函數和對數函數 616
A.6 微分與極限 618
A.7 泰勒近似定理的證明 627
附錄B 估算積分 629
B.1 使用條紋估算積分 629
B.2 梯形法則 632
B.3 辛普森法則 634
B.4 近似的誤差 636
符號列錶 640
索引 643
· · · · · · (
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本書闡述瞭求解微積分的技巧, 詳細講解瞭微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容，旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題 所需的知識點, 著重訓練大傢自己解答問題的能力.
本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數 學教師. 本書既可作為教材、習題集, 也可作為學習指南, 同時還有利於教師備課.
