第1章 函数、图像和直线 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间表示法 3
1.1.2 求定义域 3
1.1.3 利用图像求值域 4
1.1.4 垂线检验 5
1.2 反函数 6
1.2.1 水平线检验 7
1.2.2 求反函数 8
1.2.3 限制定义域 8
1.2.4 反函数的反函数 9
1.3 函数的复合 10
1.4 奇函数和偶函数 12
1.5 线性函数的图像 14
1.6 常见函数及其图像 16
第2章 三角学回顾 21
2.1 基本知识 21
2.2 扩展三角函数定义域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数 27
2.3 三角函数的图像 29
2.4 三角恒等式 32
第3章 极限导论 34
3.1 极限：基本思想 34
3.2 左极限与右极限 36
3.3 何时不存在极限 37
3.4 在∞ 和-∞ 处的极限 38
3.5 关于渐近线的两个常见误解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 极限的基本类型小结 45
第4章 求解多项式的极限问题 47
4.1 x → a 时的有理函数的极限 47
4.2 x → a 时的平方根的极限 50
4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限 51
4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限 56
4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限 59
4.6 包含绝对值的函数的极限 61
第5章 连续性和可导性 63
5.1 连续性 63
5.1.1 在一点处连续 63
5.1.2 在一个区间上连续 64
5.1.3 连续函数的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一个更难的介值定理例子 69
5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70
5.2 可导性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬时速度 73
5.2.4 速度的图像阐释 74
5.2.5 切线 75
5.2.6 导函数 77
5.2.7 作为极限比的导数 78
5.2.8 线性函数的导数 80
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80
5.2.10 何时导数不存在 81
5.2.11 可导性和连续性 82
第6章 求解微分问题 84
6.1 使用定义求导 84
6.2 用更好的办法求导 87
6.2.1 函数的常数倍 88
6.2.2 函数和与函数差 88
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91
6.2.6 那个难以处理的例子 94
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96
6.3 求切线方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 导数伪装的极限 101
6.6 分段函数的导数 103
6.7 直接画出导函数的图像 106
第7章 三角函数的极限和导数 111
7.1 三角函数的极限 111
7.1.1 小数的情况 111
7.1.2 问题的求解——小数的情况 113
7.1.3 大数的情况 117
7.1.4 “其他的” 情况 120
7.1.5 一个重要极限的证明 121
7.2 三角函数的导数 124
7.2.1 求三角函数导数的例子 127
7.2.2 简谐运动 128
7.2.3 一个有趣的函数 129
第8章 隐函数求导和相关变化率 132
8.1 隐函数求导 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隐函数求二阶导 137
8.2 相关变化率 138
8.2.1 一个简单的例子 139
8.2.2 一个稍难的例子 141
8.2.3 一个更难的例子 142
8.2.4 一个非常难的例子 144
第9章 指数函数和对数函数 148
9.1 基础知识 148
9.1.1 指数函数的回顾 148
9.1.2 对数函数的回顾 149
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150
9.1.4 对数法则 151
9.2 e 的定义 153
9.2.1 一个有关复利的问题 153
9.2.2 问题的答案 154
9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容 156
9.3 对数函数和指数函数求导 158
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 161
9.4.1 涉及e 的定义的极限 161
9.4.2 指数函数在0 附近的行为 162
9.4.3 对数函数在1 附近的行为 164
9.4.4 指数函数在∞ 或-∞ 附近的行为 164
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167
9.4.6 对数函数在0 附近的行为 168
9.5 取对数求导法 169
9.6 指数增长和指数衰变 173
9.6.1 指数增长 174
9.6.2 指数衰变 176
9.7 双曲函数 178
第10章 反函数和反三角函数 181
10.1 导数和反函数 181
10.1.1 使用导数证明反函数存在 181
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 182
10.1.3 求反函数的导数 183
10.1.4 一个综合性例子 185
10.2 反三角函数 187
10.2.1 反正弦函数 187
10.2.2 反余弦函数 190
10.2.3 反正切函数 192
10.2.4 反正割函数 194
10.2.5 反余割函数和反余切函数 195
10.2.6 计算反三角函数 196
10.3 反双曲函数 199
第11章 导数和图像 202
11.1 函数的极值 202
11.1.1 全局极值和局部极值 202
11.1.2 极值定理 203
11.1.3 求全局最大值和最小值 204
11.2 罗尔定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二阶导数和图像 212
11.5 对导数为零点的分类 215
11.5.1 使用一次导数 215
11.5.2 使用二阶导数 217
第12章 绘制函数图像 219
12.1 建立符号表格 219
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 221
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 222
12.2 绘制函数图像的全面方法 224
12.3 例题 225
12.3.1 一个不使用导数的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第13章 最优化和线性化 239
13.1 最优化 239
13.1.1 一个简单的最优化例子 239
13.1.2 最优化问题：一般方法 240
13.1.3 一个最优化的例子 241
13.1.4 另一个最优化的例子 242
13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导 246
13.1.6 一个较难的最优化例子 246
13.2 线性化 249
13.2.1 线性化问题：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 线性化的总结和例子 254
13.2.4 近似中的误差 256
13.3 牛顿法 258
第14章 洛必达法则及极限问题总结 263
14.1 洛必达法则 263
14.1.1 类型A：0/0 263
14.1.2 类型A：±∞/ ±∞ 266
14.1.3 类型B1: (∞－∞) 267
14.1.4 类型B2: (0 ×±∞) 269
14.1.5 类型C:?(1±∞, 0º 或∞º) 270
14.1.6 洛必达法则类型的总结 272
14.2 关于极限的总结 273
第15章 积分 276
15.1 求和符号 276
15.1.1 一个有用的求和 279
15.1.2 伸缩求和法 280
15.2 位移和面积 283
15.2.1 三个简单的例子 283
15.2.2 一段更常规的旅行 285
15.2.3 有向面积 287
15.2.4 连续的速度 288
15.2.5 两个特别的估算 291
第16章 定积分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定积分的定义 297
16.3 定积分的性质 301
16.4 求面积 305
16.4.1 求通常的面积 306
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 308
16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积 310
16.5 估算积分 313
16.6 积分的平均值和中值定理 316
16.7 不可积的函数 319
第17章 微积分基本定理 321
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 321
17.2 微积分的第一基本定理 324
17.3 微积分的第二基本定理 328
17.4 不定积分 329
17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理 331
17.5.1 变形1：变量是积分下限 332
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 332
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 334
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 335
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理 336
17.6.1 计算不定积分 336
17.6.2 计算定积分 339
17.6.3 面积和绝对值 341
17.7 技术要点 344
17.8 微积分第一基本定理的证明 345
第18章 积分的方法I 347
18.1 换元法 347
18.1.1 换元法和定积分 350
18.1.2 如何换元 353
18.1.3 换元法的理论解释 355
18.2 分部积分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代数运算 361
18.3.2 对每一部分积分 365
18.3.3 方法和一个完整的例子 367
第19章 积分的方法II 373
19.1 应用三角恒等式的积分 373
19.2 关于三角函数的幂的积分 376
19.2.1 sin 或cos 的幂 376
19.2.2 tan 的幂 378
19.2.3 sec 的幂 379
19.2.4 cot 的幂 381
19.2.5 csc 的幂 382
19.2.6 约化公式 382
19.3 关于三角换元法的积分 384
19.3.1 类型1：√(α²-x²) 384
19.3.2 类型2：√(x²+α²) 386
19.3.3 类型3：√(x²-α²) 387
19.3.4 配方和三角换元法 388
19.3.5 关于三角换元法的总结 389
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 389
19.4 积分技巧总结 391
第20章 反常积分：基本概念 393
20.1 收敛和发散 393
20.1.1 反常积分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂点 397
20.2 关于无穷区间上的积分 398
20.3 比较判别法(理论) 400
20.4 极限比较判别法(理论) 402
20.4.1 函数互为渐近线 402
20.4.2 关于判别法的陈述 404
20.5 p 判别法(理论) 405
20.6 绝对收敛判别法 407
第21章 反常积分：如何解题 410
21.1 如何开始 410
21.1.1 拆分积分 410
21.1.2 如何处理负函数值 411
21.2 积分判别法总结 413
21.3 常见函数在∞ 和－∞附近的表现 414
21.3.1 多项式和多项式型函数在1 和¡1 附近的表现 415
21.3.2 三角函数在∞ 和－∞ 附近的表现 417
21.3.3 指数在∞和－∞附近的表现 419
21.3.4 对数在∞ 附近的表现 422
21.4 常见函数在0 附近的表现 426
21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现 426
21.4.2 三角函数在0 附近的表现 427
21.4.3 指数函数在0 附近的表现 429
21.4.4 对数函数在0 附近的表现 430
21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现 431
21.5 如何应对不在0 或∞ 处的瑕点 432
第22章 数列和级数：基本概念 434
22.1 数列的收敛和发散 434
22.1.1 数列和函数的联系 435
22.1.2 两个重要数列 436
22.2 级数的收敛与发散 438
22.3 第n 项判别法(理论) 442
22.4 无穷级数和反常积分的性质 443
22.4.1 比较判别法(理论) 443
22.4.2 极限比较判别法(理论) 444
22.4.3 ρ 判别法(理论) 444
22.4.4 绝对收敛判别法 445
22.5 级数的新判别法 447
22.5.1 比式判别法(理论) 447
22.5.2 根式判别法(理论) 449
22.5.3 积分判别法(理论) 450
22.5.4 交错级数判别法(理论) 453
第23章 求解级数问题 455
23.1 求几何级数的值 455
23.2 应用第n 项判别法 457
23.3 应用比式判别法 457
23.4 应用根式判别法 461
23.5 应用积分判别法 462
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法 463
23.7 应对含负项的级数 468
第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 472
24.1 近似值和泰勒多项式 472
24.1.1 重访线性化 472
24.1.2 二次近似 473
24.1.3 高阶近似 474
24.1.4 泰勒定理 475
24.2 幂级数和泰勒级数 478
24.2.1 一般幂级数 479
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 481
24.2.3 泰勒级数的收敛性 481
24.3 一个有用的极限 485
第25章 求解估算问题 487
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 487
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 488
25.3 用误差项估算问题 491
25.3.1 第一个例子 492
25.3.2 第二个例子 494
25.3.3 第三个例子 495
25.3.4 第四个例子 496
25.3.5 第五个例子 497
25.3.6 误差项估算的一般方法 499
25.4 误差估算的另一种方法 499
第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题 502
26.1 幂级数的收敛性 502
26.1.1 收敛半径 502
26.1.2 求收敛半径和收敛区域 504
26.2 合成新的泰勒级数 508
26.2.1 代换和泰勒级数 509
26.2.2 泰勒级数求导 511
26.2.3 泰勒级数求积分 512
26.2.4 泰勒级数相加和相减 514
26.2.5 泰勒级数相乘 515
26.2.6 泰勒级数相除 516
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 517
26.4 利用麦克劳林级数求极限 519
第27章 参数方程和极坐标 523
27.1 参数方程 523
27.2 极坐标 528
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 529
27.2.2 极坐标系中画曲线 530
27.2.3 求极坐标曲线的切线 534
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 535
第28章 复数 538
28.1 基础 538
28.2 复平面 541
28.3 复数的高次幂 544
28.4 解z^n＝ w 545
28.5 解e^z ＝ w 550
28.6 一些三角级数 552
28.7 欧拉恒等式和幂级数 554
第29章 体积、弧长和表面积 556
29.1 旋转体的体积 556
29.1.1 圆盘法 557
29.1.2 壳法 558
29.1.3 总结和变式 560
29.1.4 变式1：区域在曲线和y 轴之间 561
29.1.5 变式2：两曲线间的区域 562
29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 565
29.2 一般立体体积 567
29.3 弧长 571
29.4 旋转体的表面积 574
第30章 微分方程 578
30.1 微分方程导论 578
30.2 可分离变量的一阶微分方程 579
30.3 一阶线性方程 581
30.4 常系数微分方程 585
30.4.1 解一阶齐次方程 586
30.4.2 解二阶齐次方程 586
30.4.3 为什么特征二次方程适用 587
30.4.4 非齐次方程和特解 588
30.4.5 求特解 589
30.4.6 求特解的例子 590
30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突 592
30.4.8 IVP 593
30.5 微分方程建模 595
附录A 极限及其证明 598
A.1 极限的正式定义 598
A.2 由原极限产生新极限 602
A.3 极限的其他情形 606
A.4 连续与极限 611
A.5 再谈指数函数和对数函数 616
A.6 微分与极限 618
A.7 泰勒近似定理的证明 627
附录B 估算积分 629
B.1 使用条纹估算积分 629
B.2 梯形法则 632
B.3 辛普森法则 634
B.4 近似的误差 636
符号列表 640
索引 643
· · · · · · (
收起)
本书阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题 所需的知识点, 着重训练大家自己解答问题的能力.
本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数 学教师. 本书既可作为教材、习题集, 也可作为学习指南, 同时还有利于教师备课.
