九年級上冊數學書華師大版 初中課本教材教科書 初三上 9年級上 華東師範大學齣版社 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 華東師範大學齣版社

ISBN：9787567506404

商品編碼：10288725258

                             

《數學漫遊：初中代數精粹與幾何探索》 目錄 第一部分：代數世界的奇妙旅程 第一章：整式的運算——搭建數學的積木 1.1 神秘的數與字母：認識代數式 1.2 積木的堆疊：同類項的閤並與化簡 1.3 搬運與分配：單項式的乘除法 1.4 魔法的展開：多項式的乘法（分配律的延伸） 1.5 特殊的乘法公式：平方差與平方和的秘密 1.6 因式分解的藝術：將復雜化為簡單 1.7 完全平方公式：對稱的美感 1.8 提取公因式：最基本的分解技巧 1.9 分組分解：巧妙的組閤策略 1.10 綜閤應用：解決生活中的代數問題 第二章：一元一次方程——尋找未知數的蹤跡 2.1 方程的誕生：什麼是方程？ 2.2 平衡的藝術：等式的性質與變形 2.3 搬傢與變身：移項與閤並同類項 2.4 係數的“魔術”：兩邊同除或同乘 2.5 實踐的智慧：應用題的數學建模 2.6 分數與小數：方程的“調味劑” 2.7 解決實際問題：從購物到行程 第三章：平麵直角坐標係——點亮幾何的地圖 3.1 宇宙的坐標：建立坐標係 3.2 點的位置：有序數對的意義 3.3 象限的劃分：探索點的分布 3.4 坐標軸上的特殊點：x軸與y軸的秘密 3.5 點與坐標的關係：數形結閤的初步 3.6 坐標變換：平移的魅力 3.7 實際應用：地圖、定位與數據可視化 第四章：一次函數——直綫上的情感麯綫 4.1 函數的概念：輸入與輸齣的關聯 4.2 定義域與值域：函數存在的範圍 4.3 圖形的描繪：將函數“畫”齣來 4.4 一次函數的特徵：斜率與截距 4.5 一次函數的圖像：直綫為何如此特彆 4.6 函數的增減性：隨著變化而變化 4.7 利用圖像解方程：直觀的解決之道 4.8 實際應用：速率、增長與比例 第二部分：幾何世界的奧秘探索 第五章：三角形——構成世界的基本單元 5.1 三角形的定義與性質：三條邊，三個角 5.2 三角形的分類：銳角、直角、鈍角；不等邊、等腰、等邊 5.3 三角形的內角和：一個恒定的秘密（180度） 5.4 三角形的外角：延伸的精彩 5.5 三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS——證明相等 5.6 全等三角形的應用：測量高度與距離 5.7 等腰三角形的性質：對稱的優美 5.8 等邊三角形的特殊性：三邊三角皆相等 5.9 直角三角形的性質：勾股定理的預演 5.10 尺規作圖：用尺子和圓規“畫”三角形 第六章：勾股定理——直角三角形的黃金法則 6.1 勾股定理的陳述：a² + b² = c² 6.2 勾股定理的證明：多種角度的理解 6.3 勾股定理的應用：計算邊長、判斷直角 6.4 勾股數的探索：整數解的規律 6.5 實際應用：建築、工程與測量 第七章：平行綫的性質與判定——平行世界的規則 7.1 平行綫的定義：永不相交的直綫 7.2 同位角、內錯角、同旁內角：角度之間的關係 7.3 平行綫的判定：如何證明兩條綫平行 7.3.1 同位角相等，兩直綫平行 7.3.2 內錯角相等，兩直綫平行 7.3.3 同旁內角互補，兩直綫平行 7.4 平行綫的性質：證明角度相等或互補 7.4.1 兩直綫平行，同位角相等 7.4.2 兩直綫平行，內錯角相等 7.4.3 兩直綫平行，同旁內角互補 7.5 綜閤應用：多條平行綫與截綫的幾何推理 第八章：四邊形——多樣的幾何形狀 8.1 四邊形的基本概念：四個頂點，四條邊 8.2 特殊的四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形 8.3 平行四邊形的性質：對邊平行且相等，對角相等，對角綫互相平分 8.4 平行四邊形的判定：如何證明四邊形是平行四邊形 8.5 矩形的性質：特殊的平行四邊形（角都為直角，對角綫相等） 8.6 菱形的性質：特殊的平行四邊形（四邊相等，對角綫互相垂直平分且平分對角） 8.7 正方形的性質：矩形與菱形的結閤 8.8 梯形的定義與性質：隻有一組對邊平行的四邊形 8.9 軸對稱圖形的初步認識：圖形的鏡像美 前言 數學，是人類認識世界、改造世界最強大的工具之一。它以其嚴謹的邏輯、精妙的結構和廣泛的應用，滲透在我們生活的方方麵麵，從浩瀚的宇宙到微小的粒子，從古老的文明到現代科技，都離不開數學的身影。 本書《數學漫遊：初中代數精粹與幾何探索》正是為你打開通往數學殿堂的一扇門。我們摒棄瞭枯燥乏味的機械記憶，而是以一種探索、發現的視角，帶領你在初中數學的世界裏進行一次深入的漫遊。在這裏，你將不僅僅是知識的接受者，更是思維的實踐者，邏輯的構建者。 本書分為兩個主要部分：代數世界的奇妙旅程與幾何世界的奧秘探索。 在代數世界，我們首先會從“整式的運算”開始，這就像搭建數學的積木。我們將學習如何將看似復雜的數學錶達式變得簡單明瞭，掌握同類項的閤並、單項式與多項式的乘除法，以及一係列重要的乘法公式和因式分解技巧。這些工具將為我們解決更復雜的問題打下堅實的基礎。接著，我們將進入“一元一次方程”的世界。方程是數學語言中用來描述未知量與已知量之間關係的強大工具。我們將學習如何運用等式的性質，像解開一個謎題一樣，一步步找到未知數的蹤跡。這不僅僅是簡單的計算，更是邏輯推理能力的鍛煉，尤其是在解決實際應用題時，數學建模的能力將得到極大的提升。最後，我們將在“平麵直角坐標係”中點亮幾何的地圖，將抽象的數字與圖形聯係起來。我們將學會如何用有序數對定位點，理解坐標係如何幫助我們描述空間位置，並初步接觸到“一次函數”，理解它如何描述事物之間的綫性關係，以及如何通過函數圖像直觀地理解數學概念。 在幾何世界，我們首先會深入瞭解“三角形”，這個構成世界的基本單元。我們將學習三角形的各種性質，包括內角和、外角，以及如何利用全等來證明圖形的相等關係，這在測量和工程中有著廣泛的應用。等腰三角形和等邊三角形的特殊對稱性也會讓我們感受到幾何的優雅。緊接著，我們將迎來幾何世界中最輝煌的定理之一——“勾股定理”。這個簡潔而深刻的公式，揭示瞭直角三角形三邊之間永恒的奧秘。我們將學習它的證明方法，以及它在解決實際問題中的強大力量。然後，我們將目光投嚮“平行綫的性質與判定”。平行綫作為幾何中最基本也是最重要的概念之一，通過對同位角、內錯角、同旁內角關係的深入研究，我們將掌握證明直綫平行與圖形性質的有力工具。最後，我們將步入“四邊形”的大傢族，探索平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊圖形的獨特屬性及其內在聯係。這些形狀不僅是我們生活中常見的，也是構成更復雜圖形的基礎。 本書的編寫力求在概念的引入上清晰易懂，在方法的講解上循序漸進，並通過豐富的例題和練習，幫助你鞏固所學知識，提升解題能力。我們鼓勵你在學習過程中多思考、多提問，將數學知識與生活實際聯係起來，體會數學的魅力與價值。 願這本書能成為你學習數學的良師益友，引領你在這段旅程中收獲知識，啓迪智慧，發現數學的美妙與無限可能。 第一部分：代數世界的奇妙旅程 第一章：整式的運算——搭建數學的積木 數學，不僅僅是冰冷的數字和符號，更是對世界規律的抽象和概括。在我們開始探索代數世界的奇妙之前，首先需要掌握一些最基本的“積木”——整式。整式，就好比是構成數學大廈的磚瓦，學會如何有效地處理它們，是我們進行更復雜數學活動的前提。 1.1 神秘的數與字母：認識代數式 你是否注意到，當我們要描述數量關係時，常常會用到字母？比如，用 $a$ 錶示蘋果的單價，用 $b$ 錶示蘋果的數量，那麼總價就是 $a imes b$。這裏的 $a$ 和 $b$ 就是字母，它們可以代錶任意數。當數字與字母，或者字母與字母通過加、減、乘、除（除數不能為零）、乘方等運算組閤在一起時，就形成瞭代數式。 代數式可以是單獨的一個數，比如 $5$；也可以是單獨的一個字母，比如 $x$；還可以是數字與字母的乘積，比如 $2y$；或者字母與字母的乘積，比如 $ab$；甚至可以是字母的乘方，比如 $m^2$；以及它們之間通過加減乘除運算組閤而成的錶達式，比如 $3x + 5$，$ frac{a+b}{2} $等。 代數式是描述數量關係的通用語言，它使得我們可以用簡潔的方式錶示和處理各種數學問題。 1.2 積木的堆疊：同類項的閤並與化簡 想象一下，你有一堆積木，有些是紅色的，有些是藍色的。如果你想知道一共有多少塊紅色的積木，你隻需要把所有紅色的積木數加起來。在代數式中，我們也有類似的“同類”。 同類項是指所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項。例如，$3x^2y$ 和 $5x^2y$ 就是同類項，因為它們都含有字母 $x$ 和 $y$，並且 $x$ 的指數都是 $2$， $y$ 的指數都是 $1$（當字母沒有寫指數時，默認為 $1$）。而 $3x^2y$ 和 $3xy^2$ 就不是同類項，因為字母 $y$ 的指數不同。 閤並同類項就是把同類項的係數相加，字母和字母的指數保持不變。就好像把所有紅色的積木數加起來一樣，我們把同類項的係數加起來，而字母和指數部分就“保留”。 例如，閤並 $3x^2y$ 和 $5x^2y$： $(3+5)x^2y = 8x^2y$ 如果一個代數式中有好幾組同類項，我們可以先把同類項寫在一起，然後逐項閤並。這個過程叫做化簡代數式。化簡可以使代數式更加簡潔，方便我們進行下一步的計算和分析。 1.3 搬運與分配：單項式的乘除法 單項式是指由數字與字母的乘積組成的代數式，例如 $3x^2y$。 當進行單項式與單項式的乘法時，我們就像搬運貨物一樣，把它們的係數和同字母的冪分彆乘起來。 例如，計算 $(2x^3y) imes (4xy^2)$： 先計算係數的乘積：$2 imes 4 = 8$ 再計算同字母的冪的乘積：$x^3 imes x = x^{3+1} = x^4$ （根據同底數冪的乘法法則，同底數冪相乘，指數相加） 同理：$y imes y^2 = y^{1+2} = y^3$ 所以，$(2x^3y) imes (4xy^2) = 8x^4y^3$ 單項式除以單項式則更像是分配任務。 例如，計算 $(8x^4y^3) div (2x^3y)$： 計算係數的商：$8 div 2 = 4$ 計算同字母的冪的商：$x^4 div x^3 = x^{4-3} = x^1 = x$ （根據同底數冪的除法法則，同底數冪相除，指數相減） 同理：$y^3 div y = y^{3-1} = y^2$ 所以，$(8x^4y^3) div (2x^3y) = 4xy^2$ 需要注意的是，在除法中，被除式和除式中的字母的指數必須滿足被除式的指數大於或等於除式的指數，並且除式不能為零。 1.4 魔法的展開：多項式的乘法（分配律的延伸） 多項式是由幾個單項式相加或相減而成的代數式。例如，$3x + 5$ 是一個多項式，由 $3x$ 和 $5$ 兩個單項式相加而成。 進行多項式與單項式的乘法，我們可以運用分配律，將單項式“分配”到多項式的每一項上去。 例如，計算 $2x(3x + 5)$： $2x$ 需要分彆乘以 $3x$ 和 $5$： $2x imes 3x = 6x^2$ $2x imes 5 = 10x$ 所以，$2x(3x + 5) = 6x^2 + 10x$ 當進行多項式與多項式的乘法時，我們同樣運用分配律的思想。可以理解為，將第一個多項式的每一項，分彆與第二個多項式的每一項相乘，然後再將所有乘積相加。 例如，計算 $(x + 2)(x + 3)$： $x$ 乘以 $(x + 3)$：$x imes x = x^2$，$x imes 3 = 3x$ $2$ 乘以 $(x + 3)$：$2 imes x = 2x$，$2 imes 3 = 6$ 將所有結果相加：$x^2 + 3x + 2x + 6$ 最後，閤並同類項：$x^2 + 5x + 6$ 這個過程就像一個“連環畫”，每個部分都相互關聯。通過這種方式，我們可以將兩個多項式“展開”成一個更長的代數式，然後再進行化簡。 1.5 特殊的乘法公式：平方差與平方和的秘密 在多項式的乘法中，有一些特彆的公式，它們能夠極大地簡化計算，如同數學中的“捷徑”。 平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 這個公式告訴我們，一個和與一個差的乘積，等於它們各自平方的差。 例如，計算 $(x+3)(x-3)$： 根據公式，直接得到 $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$。 比我們手動去展開要快得多。 平方和公式（也稱為完全平方公式）： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 這個公式告訴我們，一個和的平方，等於“第一個數的平方”，加上“兩倍的第一個數乘以第二個數”，再加上“第二個數的平方”。 例如，計算 $(x+4)^2$： 根據公式，$(x+4)^2 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = x^2 + 8x + 16$。 平方差公式的反嚮運用： $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 平方和公式的反嚮運用： $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ 這兩個公式的應用非常廣泛，尤其在因式分解和化簡計算時，能起到事半功倍的效果。 1.6 因式分解的藝術：將復雜化為簡單 如果說多項式的乘法是“展開”，那麼因式分解就是它的逆過程，也就是將一個多項式寫成幾個整式乘積的形式。就像將一個復雜的組閤拆解成它的基本組成部分，這樣可以讓我們更清晰地看到其結構，並為進一步的求解提供便利。 因式分解是代數中一項重要的技能，它有著多種方法，我們將逐一學習。 1.7 完全平方公式：對稱的美感 我們前麵提到瞭平方和公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。這個公式不僅可以用於展開，更重要地，它是完全平方公式的一種形式，常用於因式分解。 當一個多項式具有 $a^2 + 2ab + b^2$ 的形式時，我們就可以將其分解為 $(a+b)^2$。 例如，我們看到 $x^2 + 6x + 9$，我們可以將其看作 $x^2 + 2(x)(3) + 3^2$，符閤完全平方公式的形式，所以可以分解為 $(x+3)^2$。 同樣，平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 也是一種重要的因式分解方法。 例如，對於 $x^2 - 16$，我們可以看作 $x^2 - 4^2$，符閤平方差公式，可以分解為 $(x+4)(x-4)$。 1.8 提取公因式：最基本的分解技巧 在進行因式分解時，我們首先要檢查是否能提取公因式。公因式是指能夠同時整除多項式中各項的代數式。 例如，對於多項式 $6x^2y + 9xy^2$： 首先觀察係數 $6$ 和 $9$，它們的最大公約數是 $3$。 再觀察字母 $x$，在第一項中是 $x^2$，在第二項中是 $x$，它們的最低次冪是 $x$。 再觀察字母 $y$，在第一項中是 $y$，在第二項中是 $y^2$，它們的最低次冪是 $y$。 所以，公因式是 $3xy$。 將公因式提取齣來後，我們需要看剩餘的部分還能不能進一步分解。 $6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)$ 提取公因式是最常用也是最基礎的因式分解方法，很多時候，在運用其他因式分解方法之前，都可以先嘗試提取公因式。 1.9 分組分解：巧妙的組閤策略 有時候，多項式可能沒有明顯的公因式，也不是完全平方公式或平方差公式的形式。這時，我們可以嘗試分組分解。分組分解的目的是將多項式重新組閤，使其能夠運用其他已知的因式分解方法。 例如，對於 $ax + ay + bx + by$： 我們可以將前兩項和後兩項分彆分組：$(ax + ay) + (bx + by)$ 提取每組的公因式：$a(x+y) + b(x+y)$ 現在，我們發現 $(x+y)$ 是一個新的公因式，提取齣來：$(a+b)(x+y)$。 分組分解的關鍵在於如何巧妙地分組，使得分組後能夠齣現新的公因式。這需要一定的觀察和嘗試。 1.10 綜閤應用：解決生活中的代數問題 整式的運算和因式分解，看似是純粹的數學操作，但它們卻是解決現實生活中各種數量關係的強大工具。 例如，一傢公司生産商品，每件商品的成本是 $C$ 元，售價是 $P$ 元。如果每月銷售 $n$ 件商品，那麼： 總成本是 $C imes n$ 總銷售額是 $P imes n$ 利潤是 總銷售額 - 總成本 = $Pn - Cn$ 如果我們知道 $P$ 和 $C$ 的具體數值，我們可以將它們代入代數式計算齣利潤。 更進一步，如果公司決定在某段時間內打摺，售價變為 $P'$ 元，那麼新的利潤就是 $P'n - Cn$。通過代數式的運算，我們可以方便地比較不同定價策略下的利潤。 再比如，在規劃一個矩形花園時，如果我們知道花園的長比寬的 $2$ 倍多 $3$ 米，設寬為 $w$ 米，那麼長就是 $2w+3$ 米。花園的麵積就是 $w(2w+3) = 2w^2 + 3w$ 平方米。通過整式的運算，我們可以用一個代數式來錶示麵積，並根據寬的變化計算齣不同的麵積。 掌握瞭整式的運算和因式分解，你就擁有瞭理解和分析數量關係的一對“火眼金睛”，能夠將生活中的問題轉化為數學模型，並找到解決的方案。 --- 第二章：一元一次方程——尋找未知數的蹤跡 在探索完代數積木的搭建與組閤之後，我們現在要進入一個更具動態性的領域——方程。方程，是數學中用來描述未知量與已知量之間關係的強大語言，而“一元一次方程”則是我們接觸到的最基礎、最核心的方程類型。它像是一個待解的謎題，而我們將學習如何運用邏輯和規則，一步步地揭開未知數的麵紗。 2.1 方程的誕生：什麼是方程？ 簡單來說，方程就是一個含有未知數的等式。它錶示等號兩邊的代數式所代錶的數值相等。 例如，$2x + 3 = 7$ 就是一個方程，其中 $x$ 是未知數，$2x+3$ 和 $7$ 是等號兩邊的代數式。 方程的目的是為瞭找到滿足這個等式的未知數的值，這個值叫做方程的解。在我們上麵的例子中，如果我們把 $x=2$ 代入，就會得到 $2(2)+3 = 4+3 = 7$，所以 $x=2$ 就是這個方程的解。 一元一次方程是指隻含有一個未知數，並且這個未知數的最高次數是 $1$ 的方程。例如，$3y - 5 = 10$ 是一元一次方程，$z = 2z + 1$ 也是一元一次方程。但是，$x^2 + 1 = 5$ 就不是一元一次方程，因為未知數 $x$ 的次數是 $2$；而 $x + y = 3$ 也不是一元一次方程，因為含有兩個未知數 $x$ 和 $y$。 2.2 平衡的藝術：等式的性質與變形 要解方程，我們需要依賴一些基本規則，這些規則都建立在等式的性質之上。你可以將等式想象成一個天平，隻有兩邊重量相等（即數值相等），天平纔能保持平衡。 等式的性質主要有以下幾條： 1. 等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或代數式），等式仍然成立。 如果 $a = b$，那麼 $a+c = b+c$，也 $a-c = b-c$。 這就像在天平兩邊同時增加或減少相同重量的砝碼，天平依然平衡。 2. 等式兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數，等式仍然成立。 如果 $a = b$，那麼 $ac = bc$ （其中 $c$ 是任意數），也 $frac{a}{c} = frac{b}{c}$ （其中 $c eq 0$）。 這就像在天平兩邊同時乘以或除以相同的倍數（注意除數不能為零），天平仍然保持平衡。 正是利用這些性質，我們可以對方程進行變形，逐步將未知數分離齣來。 2.3 搬傢與變身：移項與閤並同類項 當我們麵對一個方程時，通常會遇到未知數和常數項（不含未知數的項）混閤在一起的情況。我們的目標是將含有未知數的項集中到等式的一邊，將常數項集中到另一邊。 移項就是利用等式的性質，將方程中的某一項從一邊“搬到”另一邊，同時改變它的符號。 例如，在方程 $2x + 3 = 7$ 中，我想把 $3$ 移到等式的右邊。根據等式的性質 1，我可以同時從等式兩邊減去 $3$： $2x + 3 - 3 = 7 - 3$ $2x = 4$ 這裏的“減去 $3$”的過程，就相當於把 $3$ 從左邊“搬”到瞭右邊，並且符號變成瞭負號。 移項之後，我們經常會遇到閤並同類項。在 $2x = 4$ 這個方程中，兩邊已經是各自最簡的形式瞭。但在更復雜的方程中，比如 $3x + 5 = x + 9$，我們可能需要先移項： 將 $x$ 從右邊移到左邊（變成 $-x$），將 $5$ 從左邊移到右邊（變成 $-5$）： $3x - x = 9 - 5$ 然後閤並同類項： $2x = 4$ 2.4 係數的“魔術”：兩邊同除或同乘 經過移項和閤並同類項，我們得到瞭形如 $ax = b$ 的方程。這時，未知數 $x$ 的係數 $a$ 還在，我們需要把它“消掉”，纔能得到 $x$ 的值。 這就需要用到等式的性質 2：等式兩邊同時除以（或乘以）同一個不為零的數。 在 $2x = 4$ 這個方程中，未知數 $x$ 的係數是 $2$。為瞭得到 $x$，我們可以將等式兩邊同時除以 $2$： $frac{2x}{2} = frac{4}{2}$ $x = 2$ 這樣，我們就成功找到瞭方程的解。 2.5 實踐的智慧：應用題的數學建模 方程的價值遠不止於解一道道抽象的數學題，它更是我們解決現實生活中各種實際問題的強大工具。而將實際問題轉化為數學方程的過程，叫做數學建模。 解決應用題的步驟通常是： 1. 審題，理解題意： 仔細閱讀題目，弄清楚已知條件和所求問題，找齣其中的數量關係。 2. 設未知數： 選用一個字母（如 $x$）來錶示題目中要求解的量。 3. 列方程： 根據題意中的數量關係，運用代數式和等式的性質，列齣一個含有未知數的方程。 4. 解方程： 運用我們學過的解一元一次方程的方法，求齣未知數的值。 5. 檢驗，寫齣答案： 將求齣的解代迴原題意中檢驗是否符閤實際情況，並用文字語言清晰地寫齣答案。 例如，一個超市以每件 $10$ 元的價格購進一批商品，售價是每件 $15$ 元。銷售瞭若乾件後，獲利 $100$ 元。請問售齣瞭多少件商品？ 設售齣瞭 $x$ 件商品。 每件商品的利潤是 $15 - 10 = 5$ 元。 總利潤是 每件利潤 $ imes$ 售齣件數，所以 $5x$ 元。 根據題意，總利潤是 $100$ 元，所以列齣方程：$5x = 100$ 解方程：$x = frac{100}{5} = 20$ 檢驗：售齣 $20$ 件，每件利潤 $5$ 元，總利潤 $5 imes 20 = 100$ 元，符閤題意。 答案：售齣瞭 $20$ 件商品。 2.6 分數與小數：方程的“調味劑” 有時候，方程中會齣現分數或小數，這會讓方程看起來稍微復雜一些。但不用擔心，我們同樣可以用等式的性質來處理它們。 處理帶分數或小數的方程： 最常用的方法是方程兩邊同時乘以一個閤適的數，使得方程中的所有分數或小數都變成整數。這個“閤適的數”通常是所有分母的最小公倍數，或者使小數變為整數的 $10$ 的倍數（如 $10, 100, 1000$ 等）。 例如，解方程 $ frac{1}{2}x + 3 = frac{2}{3}x - 1 $： 方程兩邊的分母是 $2$ 和 $3$。它們的最小公倍數是 $6$。 將方程兩邊同時乘以 $6$： $6 imes (frac{1}{2}x + 3) = 6 imes (frac{2}{3}x - 1)$ $6 imes frac{1}{2}x + 6 imes 3 = 6 imes frac{2}{3}x - 6 imes 1$ $3x + 18 = 4x - 6$ 現在方程變成瞭不含分數的整式方程，可以按照之前的步驟進行求解。 $18 + 6 = 4x - 3x$ $24 = x$ 所以，$x = 24$。 2.7 解決實際問題：從購物到行程 一元一次方程的應用場景非常廣泛，幾乎滲透到生活中的各個方麵。 購物問題： 例如，小明用 $50$ 元錢買瞭 $3$ 本筆記本和 $2$ 支鋼筆，正好花完。如果每支鋼筆的價格是 $8$ 元，那麼每本筆記本多少錢？ 設每本筆記本 $x$ 元。 $3x + 2 imes 8 = 50$ $3x + 16 = 50$ $3x = 34$ $x = frac{34}{3}$ （約等於 $11.33$ 元） 行程問題： 甲、乙兩人從相距 $300$ 韆米的兩地同時齣發，相嚮而行。甲每小時走 $40$ 韆米，乙每小時走 $50$ 韆米。兩人多少小時後相遇？ 設 $t$ 小時後相遇。 甲走的路程是 $40t$ 韆米。 乙走的路程是 $50t$ 韆米。 兩人走過的總路程等於兩地之間的距離，所以： $40t + 50t = 300$ $90t = 300$ $t = frac{300}{90} = frac{10}{3}$ （約等於 $3.33$ 小時） 工程問題： 一項工程，甲隊單獨施工需要 $10$ 天完成，乙隊單獨施工需要 $15$ 天完成。兩隊閤作多少天可以完成工程的一半？ 甲隊每天完成工程的 $frac{1}{10}$。 乙隊每天完成工程的 $frac{1}{15}$。 兩隊閤作，每天完成工程的 $frac{1}{10} + frac{1}{15}$。 計算 $frac{1}{10} + frac{1}{15} = frac{3}{30} + frac{2}{30} = frac{5}{30} = frac{1}{6}$。 設閤作 $x$ 天完成工程的一半（即 $frac{1}{2}$）。 $(frac{1}{6})x = frac{1}{2}$ $x = frac{1}{2} div frac{1}{6} = frac{1}{2} imes 6 = 3$ 天。 通過這些例子，我們可以看到，一元一次方程是描述和解決數量關係的通用語言，它幫助我們係統地分析問題，並找到精確的答案。掌握瞭解方程的方法，你就掌握瞭解決許多現實世界挑戰的金鑰匙。 --- 第三章：平麵直角坐標係——點亮幾何的地圖 在前麵，我們探索瞭代數世界中數與式的運算，以及如何用方程來解決問題。現在，我們將目光轉嚮更為直觀的幾何世界，並通過一個強大的工具——平麵直角坐標係，將抽象的數字與具體的圖形聯係起來。它就像一張地圖，能夠清晰地描繪齣點的位置，為我們探索幾何規律打下基礎。 3.1 宇宙的坐標：建立坐標係 想象一下，如果你想描述地球上一個點的具體位置，你需要什麼信息？僅僅說“在亞洲”是遠遠不夠的。我們需要經度和緯度，這兩個數值的組閤就能唯一地確定地球錶麵的一個點。 在數學中，我們也有類似的方法來描述平麵上點的位置，這就是平麵直角坐標係。它由兩條相互垂直的直綫組成，這兩條直綫被稱為坐標軸。 橫軸（x軸）： 通常是水平方嚮的直綫，箭頭指嚮右邊，錶示正方嚮。 縱軸（y軸）： 通常是垂直方嚮的直綫，箭頭指嚮上方，錶示正方嚮。 兩條坐標軸的交點被稱為原點，通常用字母 $O$ 錶示。原點是坐標係中的“中心”，它的坐標是 $(0, 0)$。 3.2 點的位置：有序數對的意義 一旦建立瞭坐標係，我們就可以用一對特殊的數字來錶示平麵上任意一點的位置。這對數字被稱為有序數對，寫作 $(x, y)$。 $x$ 稱為該點的橫坐標，它錶示點到 $y$ 軸的距離，並且由點在 $x$ 軸上的投影確定。 $y$ 稱為該點的縱坐標，它錶示點到 $x$ 軸的距離，並且由點在 $y$ 軸上的投影確定。 這裏的“有序”非常重要，意味著 $(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 錶示的是兩個不同的點。第一個數字（$x$）永遠是橫坐標，第二個數字（$y$）永遠是縱坐標。 要確定一個點 $(x, y)$ 的位置： 1. 從原點齣發，沿著 $x$ 軸嚮右（如果 $x>0$）或嚮左（如果 $x<0$）移動 $|x|$ 個單位。 2. 然後，從當前位置齣發，平行於 $y$ 軸嚮上（如果 $y>0$）或嚮下（如果 $y<0$）移動 $|y|$ 個單位。 到達的那個點，就是 $(x, y)$。 3.3 象限的劃分：探索點的分布 兩條互相垂直的坐標軸將整個平麵分成瞭四個區域，這四個區域被稱為象限。它們按照逆時針的方嚮依次命名： 第一象限： $x>0$ 且 $y>0$ （橫坐標和縱坐標都為正） 第二象限： $x<0$ 且 $y>0$ （橫坐標為負，縱坐標為正） 第三象限： $x<0$ 且 $y<0$ （橫坐標和縱坐標都為負） 第四象限： $x>0$ 且 $y<0$ （橫坐標為正，縱坐標為負） 在每個象限內，點的橫坐標和縱坐標的符號都是固定的。例如，在第一象限的點 $(2, 5)$，其橫坐標 $2$ 為正，縱坐標 $5$ 為正。而在第三象限的點 $(-3, -1)$，其橫坐標 $-3$ 為負，縱坐標 $-1$ 為負。 3.4 坐標軸上的特殊點：x軸與y軸的秘密 點不一定總是在象限內，它們也可能落在坐標軸上。 x軸上的點： 在 $x$ 軸上的任何點，無論它在 $x$ 軸的哪個位置，它的縱坐標（$y$ 坐標）永遠是 $0$。 所以，x軸上的點可以錶示為 $(x, 0)$ 的形式。例如，點 $(5, 0)$ 在 $x$ 軸上，距離原點 $5$ 個單位。點 $(-2, 0)$ 也在 $x$ 軸上，距離原點 $2$ 個單位。 y軸上的點： 同理，在 $y$ 軸上的任何點，它的橫坐標（$x$ 坐標）永遠是 $0$。 所以，y軸上的點可以錶示為 $(0, y)$ 的形式。例如，點 $(0, 4)$ 在 $y$ 軸上，距離原點 $4$ 個單位。點 $(0, -3)$ 也在 $y$ 軸上，距離原點 $3$ 個單位。 原點： 原點 $(0, 0)$ 既是 $x$ 軸上的點，也是 $y$ 軸上的點，它是坐標係中的特殊參考點。 3.5 點與坐標的關係：數形結閤的初步 平麵直角坐標係最大的魅力在於它將數（坐標）與形（點的位置）完美地結閤起來。 數可以用來描述形：每一個點都有一個唯一的有序數對來錶示其位置。 形可以用來幫助我們理解數：通過在坐標係中描繪點，我們可以更直觀地理解坐標的意義。 這種“數形結閤”的思想是貫穿整個數學學習的重要方法。例如，如果我們知道點 $A$ 的坐標是 $(2, 3)$，點 $B$ 的坐標是 $(5, 7)$，我們可以在坐標係中畫齣這兩個點。通過觀察圖形，我們可以初步感知它們之間的距離、方嚮等信息。 3.6 坐標變換：平移的魅力 在坐標係中，我們不僅可以描繪固定不動的點，還可以描述圖形的運動。其中，平移是一種最基本也是最重要的變換。 平移是指將一個圖形上的所有點按照相同的方嚮和相同的距離移動。在坐標係中，平移對點的坐標有什麼影響呢？ 水平方嚮的平移： 如果將一個點 $(x, y)$ 嚮右平移 $a$ 個單位，那麼它的新坐標是 $(x+a, y)$。 如果將一個點 $(x, y)$ 嚮左平移 $a$ 個單位，那麼它的新坐標是 $(x-a, y)$。 也就是說，橫坐標 $x$ 加上或減去平移的距離。 垂直方嚮的平移： 如果將一個點 $(x, y)$ 嚮上平移 $b$ 個單位，那麼它的新坐標是 $(x, y+b)$。 如果將一個點 $(x, y)$ 嚮下平移 $b$ 個單位，那麼它的新坐標是 $(x, y-b)$。 也就是說，縱坐標 $y$ 加上或減去平移的距離。 例如，將點 $P(3, 4)$ 嚮左平移 $2$ 個單位，再嚮上平移 $1$ 個單位。 嚮左平移 $2$ 個單位：$x$ 坐標變為 $3-2 = 1$，點變為 $(1, 4)$。 再嚮上平移 $1$ 個單位：$y$ 坐標變為 $4+1 = 5$，點變為 $(1, 5)$。 所以，平移後的點是 $(1, 5)$。 平移的規則也適用於整個圖形。如果我們將一個圖形上的所有點都進行相同的平移，那麼整個圖形就會發生相應的平移。 3.7 實際應用：地圖、定位與數據可視化 平麵直角坐標係的應用無處不在，它為我們提供瞭描述和分析空間信息的基本框架。 地圖與導航： GPS定位係統、地圖上的經緯度標記，本質上都是一種坐標係的應用，用來精確地指示地球錶麵的位置。 工程製圖： 在建築、機械設計等領域，平麵直角坐標係被用來精確地繪製圖紙，標注尺寸和位置。 數據可視化： 在科學研究、經濟分析中，我們經常用圖錶來展示數據。例如，繪製摺綫圖、散點圖，就是利用坐標係將一組組數據點呈現在二維平麵上，以便我們更容易地發現數據之間的趨勢和規律。 遊戲開發： 在計算機圖形學和遊戲開發中，坐標係是構建虛擬世界和控製物體運動的基礎。 掌握平麵直角坐標係，就是掌握瞭一種強大的空間描述和分析工具，它將抽象的數字與我們周圍的物理世界緊密聯係起來，讓我們能夠更清晰地認識和理解我們所處的空間。 --- 第四章：一次函數——直綫上的情感麯綫 在前麵，我們學習瞭如何在平麵直角坐標係中定位點，以及點的位置如何通過有序數對來錶示。現在，我們將利用這個強大的坐標係統，來探索一種特殊而重要的數學關係——函數。特彆是，我們將深入研究一次函數，它以其簡潔的直綫形態和廣泛的應用，描繪瞭許多事物之間“綫性的”變化規律。 4.1 函數的概念：輸入與輸齣的關聯 什麼是函數？最簡單的理解是，函數就像一個“機器”：你給它一個“輸入”，它就會按照預設的規則“加工”，然後給你一個“輸齣”。 在一個函數關係中，我們通常有兩個變量： 自變量： 相當於“輸入”的值，它的取值是獨立的。 因變量： 相當於“輸齣”的值，它的取值依賴於自變量。 函數就是一種關係，它指示對於自變量的每一個允許值，都有唯一確定的因變量值與之對應。 例如，我們前麵看到的購物問題：設筆記本單價是 $x$ 元，購買 $3$ 本筆記本的總價是 $3x$ 元。這裏，筆記本的單價 $x$ 是自變量，總價 $3x$ 是因變量。對於每一個確定的筆記本單價 $x$，總價 $3x$ 都有唯一確定的值。所以，總價 $3x$ 是筆記本單價 $x$ 的函數。 4.2 定義域與值域：函數存在的範圍 並非所有的數都可以作為函數的自變量，也並非所有可能的輸齣值都能作為因變量。 定義域 (Domain)： 函數的自變量可以取值的範圍，叫做函數的定義域。 值域 (Range)： 函數的因變量根據定義域的取值所能取到的值的集閤，叫做函數的值域。 在函數 $y = 3x$ 中，如果 $x$ 可以代錶任何實數，那麼函數的定義域就是全體實數。此時，函數的值域也是全體實數。 但在實際問題中，定義域往往受到限製。例如，在筆記本購物的例子中，筆記本的單價 $x$ 不能是負數，所以它的定義域可能就是 $x ge 0$。 4.3 圖形的描繪：將函數“畫”齣來 函數最直觀的錶示方式之一就是通過圖像。在平麵直角坐標係中，我們可以將函數關係可視化。 對於一個函數 $y = f(x)$，我們可以在坐標係中描繪齣所有滿足該函數的點 $(x, y)$ 的集閤。這些點的全體就構成瞭函數的圖像。 要描繪函數 $y = f(x)$ 的圖像，通常可以遵循以下步驟： 1. 確定定義域： 明確自變量 $x$ 的取值範圍。 2. 選取一些自變量的值： 在定義域內，選取幾個具有代錶性的 $x$ 值（通常包括正、負、零）。 3. 計算對應的因變量值： 將選取的 $x$ 值代入函數解析式，計算齣對應的 $y$ 值。 4. 描點： 將計算齣的 $(x, y)$ 數對在坐標係中描繪齣來。 5. 連綫： 根據函數的類型，用平滑的麯綫或直綫將描繪齣的點連接起來。 4.4 一次函數的特徵：斜率與截距 一次函數是形如 $y = kx + b$ 的函數（其中 $k$ 和 $b$ 是常數，且 $k eq 0$）。 $k$： 稱為函數的斜率。斜率描述瞭函數圖像的傾斜程度。 當 $k > 0$ 時，直綫從左下方嚮右上方傾斜，錶示 $y$ 隨 $x$ 的增大而增大（函數單調遞增）。 當 $k < 0$ 時，直綫從左上方嚮右下方傾斜，錶示 $y$ 隨 $x$ 的增大而減小（函數單調遞減）。 $|k|$ 的值越大，直綫越陡峭。 $b$： 稱為函數的截距（縱截距）。它錶示一次函數圖像與 $y$ 軸交點的縱坐標。 當 $b > 0$ 時，直綫與 $y$ 軸交於正半軸。 當 $b < 0$ 時，直綫與 $y$ 軸交於負半軸。 當 $b = 0$ 時，直綫經過原點，此時函數稱為正比例函數，形式為 $y = kx$。 4.5 一次函數的圖像：直綫為何如此特彆 正如其名，一次函數 $y = kx + b$ 的圖像總是一條直綫。這是因為： 一次函數中的自變量 $x$ 的最高次數是 $1$，沒有高次項（如 $x^2$, $x^3$ 等）或分母中的變量。 無論我們選取哪些 $x$ 值，計算齣的 $y$ 值與 $x$ 值之間總是存在一個固定的綫性關係。 要確定一條直綫，我們隻需要知道直綫上的兩個點。因此，對於一次函數，我們隻需要選取兩個不同的 $x$ 值，計算齣對應的 $y$ 值，描繪齣這兩個點，然後用直綫將它們連接起來，就得到瞭函數的圖像。 4.6 函數的增減性：隨著變化而變化 一次函數具有明確的單調性，即它的增減性。 當斜率 $k > 0$ 時，一次函數 $y = kx + b$ 是單調遞增的。這意味著，如果 $x_1 < x_2$，那麼 $y_1 < y_2$。隨著 $x$ 的增大，$y$ 也隨之增大。 當斜率 $k < 0$ 時，一次函數 $y = kx + b$ 是單調遞減的。這意味著，如果 $x_1 < x_2$，那麼 $y_1 > y_2$。隨著 $x$ 的增大，$y$ 反而隨之減小。 這種增減性對於分析事物隨時間或其他變量變化的趨勢非常有幫助。 4.7 利用圖像解方程：直觀的解決之道 一次函數和一元一次方程之間有著非常緊密的聯係。我們可以利用函數圖像來求解方程。 考慮方程 $kx + b = mx + n$。我們可以將其變形為 $kx + b - (mx + n) = 0$，或者 $(k-m)x + (b-n) = 0$。 另一種更直觀的方法是，將方程看作是兩個一次函數的交點問題。 例如，要解方程 $2x + 3 = 5$。 我們可以將其看作是兩個一次函數：$y = 2x + 3$ 和 $y = 5$（這是一條水平直綫）。 在坐標係中畫齣這兩條直綫，它們的交點的橫坐標就是方程的解。 函數 $y = 2x + 3$ 的圖像是一條斜率為 $2$，縱截距為 $3$ 的直綫。 函數 $y = 5$ 的圖像是一條平行於 $x$ 軸，且與 $y$ 軸交於點 $(0, 5)$ 的直綫。 這兩條直綫的交點，就是方程 $2x+3 = 5$ 的解。通過計算，當 $2x+3=5$ 時，$2x=2$，$x=1$。所以交點是 $(1, 5)$，方程的解是 $x=1$。 這種圖像法提供瞭一種直觀理解方程解的途徑，尤其是在處理方程組時，交點法的優勢更加明顯。 4.8 實際應用：速率、增長與比例 一次函數是描述許多現實世界中綫性變化關係的強大工具。 勻速運動： 物體以恒定的速度運動時，行駛的距離與時間的關係就是一次函數。 例如，汽車以 $60$ 韆米/小時的速度勻速行駛，行駛的距離 $s$（韆米）與時間 $t$（小時）的關係就是 $s = 60t$。這是一個正比例函數（一次函數的特例）。 如果汽車開始時已經行駛瞭 $50$ 韆米，那麼行駛的距離 $s$ 與時間 $t$ 的關係就是 $s = 60t + 50$。 成本與銷售額： 如前所述，如果商品單價固定，銷售量與總銷售額之間就是一次函數關係。 例如，手機的生産成本是 $500$ 元，銷售價格是 $800$ 元。每銷售一颱手機的利潤是 $300$ 元。如果銷售 $x$ 颱手機，總利潤 $P$ 是 $P = 300x$。 溫度轉換： 攝氏度（$C$）與華氏度（$F$）之間的轉換關係也是一次函數。 $F = frac{9}{5}C + 32$。這裏，$C$ 是自變量，$F$ 是因變量，斜率是 $frac{9}{5}$，截距是 $32$。 比例關係： 許多問題涉及成正比或成反比的關係，這些都可以通過一次函數（或正比例函數）來錶示。 通過對一次函數的學習，我們不僅掌握瞭一種基本的數學工具，更重要的是學會瞭如何用數學的語言去描述和分析那些“直綫式”增長或減小的現象，為理解更復雜的數學模型奠定瞭基礎。 --- 第五章：三角形——構成世界的基本單元 在浩瀚的幾何世界中，三角形扮演著至關重要的角色。它是最簡單的多邊形，由三條綫段首尾順次連接組成。然而，正是這種“簡單”，使得三角形擁有瞭極其豐富而重要的性質，並且在建築、工程、設計等各個領域都發揮著不可替代的作用。掌握三角形的性質，就如同掌握瞭構建幾何大廈的基石。 5.1 三角形的定義與性質：三條邊，三個角 一個三角形有三條邊和三個頂點，邊與邊相交於頂點。在三角形內部，有三個內角。 三角形的三邊關係定理是理解三角形結構的關鍵： 三角形任意兩邊之和大於第三邊。 即，如果一個三角形的三條邊長分彆為 $a, b, c$，那麼必須滿足 $a+b > c$，$a+c > b$，$b+c > a$。 反過來，如果三條綫段滿足這個條件，那麼它們就能組成一個三角形。 三角形任意兩邊之差小於第三邊。 這也是由三邊關係定理推導齣來的。例如，由 $a+b > c$，移項得 $a > c-b$，即 $c-b < a$。 5.2 三角形的分類：銳角、直角、鈍角；不等邊、等腰、等邊 我們可以從不同的角度對三角形進行分類： 按角分類： 銳角三角形： 三個內角都小於 $90^circ$。 直角三角形： 有一個內角等於 $90^circ$。 鈍角三角形： 有一個內角大於 $90^circ$。 按邊分類： 不等邊三角形： 三條邊長度都不相等。 等腰三角形： 有兩條邊長度相等。相等的兩條邊稱為腰，另一條邊稱為底邊。兩條腰所對的角稱為頂角，底邊所對的角稱為底角。等腰三角形有兩個底角相等。 等邊三角形： 三條邊長度都相等。等邊三角形也是特殊的等腰三角形，它的三個內角也都相等，都等於 $60^circ$。 5.3 三角形的內角和：一個恒定的秘密（180度） 這是三角形最基本也最重要的性質之一：三角形的三個內角的和等於 $180^circ$。 無論三角形是什麼形狀，大小如何，隻要它是一個三角形，它的三個內角的度數加起來，永遠是 $180^circ$。 這個性質在解決很多幾何問題時非常有用。例如，如果知道三角形的兩個內角，就可以很容易地求齣第三個內角。 5.4 三角形的外角：延伸的精彩 三角形除瞭內角，還有外角。三角形的一個外角是三角形的一條邊與另一條邊（或其延長綫）的夾角。 三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。 例如，在一個三角形中，如果一個外角等於內角 $A$ 和內角 $B$ 的和，那麼它與內角 $C$ 互補（即外角 + $C = 180^circ$）。 這個性質也很有用，它揭示瞭三角形外角與內角之間的關聯。 5.5 三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS——證明相等 在幾何中，我們經常需要證明兩個圖形是完全相同的，即它們是全等的。對於三角形來說，如果兩個三角形全等，那麼它們的形狀和大小都完全相同，它們的對應邊相等，對應角也相等。 我們不需要一一比較所有的邊和角來判斷兩個三角形是否全等，隻需要滿足以下幾種判定定理中的一種即可： SSS（邊邊邊）： 三條邊分彆相等的兩個三角形全等。 （對應邊：$a_1=a_2, b_1=b_2, c_1=c_2$） SAS（邊角邊）： 兩邊及其夾角分彆相等的兩個三角形全等。 （對應邊：$a_1=a_2, b_1=b_2$；對應角：$angle C_1=angle C_2$，其中 $C$ 是 $a$ 和 $b$ 的夾角） ASA（角邊角）： 兩角及其夾邊分彆相等的兩個三角形全等。 （對應角：$angle A_1=angle A_2, angle B_1=angle B_2$；對應邊：$c_1=c_2$，其中 $c$ 是 $A$ 和 $B$ 的夾邊） AAS（角角邊）： 兩角及其中一角的對邊分彆相等的兩個三角形全等。 （對應角：$angle A_1=angle A_2, angle B_1=angle B_2$；對應邊：$a_1=a_2$，其中 $a$ 是角 $B$ 的對邊） 5.6 全等三角形的應用：測量高度與距離 全等三角形的判定定理在實際測量中有著非常重要的應用。 例如，我們想測量一座建築物的高度，但無法直接測量。我們可以利用全等三角形來間接測量： 1. 在建築物底部地麵上立一根已知高度的標杆（如 $1$ 米）。 2. 找到一個觀察點，使觀察點、標杆的頂端和建築物頂端大緻在一條直綫上。 3. 通過測量標杆的影長和建築物底部的影長，或者通過測量觀察點到標杆的距離和觀察點到建築物底部的距離，並利用相似三角形（這也是基於全等三角形概念的延伸）或者構造全等三角形，就可以計算齣建築物的高度。 5.7 等腰三角形的性質：對稱的優美 等腰三角形因為有兩條相等的腰，所以具有很好的對稱性。它的主要性質包括： 等腰三角形的兩個底角相等。 (簡稱“等邊對等角”) 等腰三角形頂角平分綫、底邊上的中綫、底邊上的高互相重閤。 這意味著，如果你從頂角畫一條綫，將頂角平分，這條綫也會是底邊上的中綫（平分底邊）和底邊上的高（垂直於底邊）。 5.8 等邊三角形的特殊性：三邊三角皆相等 等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它擁有最完美的對稱性： 三條邊都相等。 三個內角都相等，都等於 $60^circ$。 5.9 直角三角形的性質：勾股定理的預演 直角三角形是幾何學中一個非常特殊的三角形。它有一個角是 $90^circ$。 直角三角形的兩個銳角互為餘角，即它們的和等於 $90^circ$。 在直角三角形中，直角所對的邊叫做斜邊，另外兩條邊叫做直角邊。斜邊是三條邊中最長的一條。 直角三角形最重要的性質就是勾股定理，我們將在下一章詳細探討。 5.10 尺規作圖：用尺子和圓規“畫”三角形 在幾何學中，我們常常需要根據給定的條件精確地畫齣圖形。尺規作圖是隻允許使用沒有刻度的直尺和圓規進行的圖形繪製。 利用尺規，我們可以進行三角形的多種基本作圖，例如： 作已知綫段的垂直平分綫。 作已知角的平分綫。 作已知角的等角。 根據 SSS、SAS、ASA 的條件，我們可以精確地畫齣特定的三角形。 通過尺規作圖，我們不僅能得到精確的圖形，更能加深對三角形性質的理解，體會幾何的嚴謹與精確。 三角形，作為最基礎的幾何圖形，蘊含著豐富的數學知識和應用價值。掌握瞭三角形的性質與判定，你就為進一步深入探索更復雜的幾何圖形打下瞭堅實的基礎。 --- 第六章：勾股定理——直角三角形的黃金法則 在幾何的王國裏，勾股定理無疑是最璀璨的明星之一。它揭示瞭直角三角形三條邊之間一種簡潔而深刻的數學關係，以其精確性和廣泛的應用，成為數學史上最重要的定理之一。理解勾股定理，就像掌握瞭打開直角三角形世界的一把金鑰匙。 6.1 勾股定理的陳述：a² + b² = c² 勾股定理，也稱為畢達哥拉斯定理，它的內容是： 在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。 如果我們用字母來錶示直角三角形的邊長： 設兩條直角邊分彆為 $a$ 和 $b$。 設斜邊為 $c$。 那麼，勾股定理可以用一個簡潔的公式錶示： $a^2 + b^2 = c^2$ 這個公式是直角三角形的“黃金法則”，它建立瞭直角三角形三邊長度之間一種永恒不變的聯係。 6.2 勾股定理的證明：多種角度的理解 勾股定理流傳至今已有數韆年曆史，在此期間，數學傢們提齣瞭無數種證明方法，這些證明本身也體現瞭數學思維的智慧和多樣性。常見的證明方法包括： 拼圖法（麵積法）： 將四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，通過計算正方形的麵積，可以推導齣勾股定理。 代數法： 利用多項式展開等代數工具，進行嚴謹的邏輯推導。 相似三角形法： 在直角三角形中做斜邊上的高，可以得到三個相似的三角形，利用相似三角形的性質推導齣勾股定理。 理解勾股定理的證明過程，不僅能加深對定理本身的認識，更能培養嚴謹的數學邏輯思維。 6.3 勾股定理的應用：計算邊長、判斷直角 勾股定理最直接的應用就是計算直角三角形的邊長。 已知兩條直角邊，求斜邊： 如果已知直角三角形的兩條直角邊 $a$ 和 $b$ 的長度，我們可以直接用勾股定理計算斜邊 $c$ 的長度： $c = sqrt{a^2 + b^2}$ 已知一條直角邊和斜邊，求另一條直角邊： 如果已知其中一條直角邊（例如 $a$）和斜邊 $c$ 的長度，我們可以推導齣求另一條直角邊 $b$ 的公式： $b^2 = c^2 - a^2$ $b = sqrt{c^2 - a^2}$ 判斷三角形是否為直角三角形（勾股定理的逆定理）： 勾股定理的逆定理是：如果一個三角形的三條邊長 $a, b, c$ 滿足 $a^2 + b^2 = c^2$，那麼這個三角形是直角三角形，並且 $c$ 是斜邊。 這個逆定理非常有用。如果我們在不知道一個三角形是不是直角三角形的情況下，測量齣它的三條邊長，隻要驗證它們是否滿足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的關係，就可以判斷齣它是否為直角三角形。 6.4 勾股數的探索：整數解的規律 當直角三角形的三條邊長都是整數時，我們稱這組整數為勾股數。 例如： $(3, 4, 5)$ 是一組勾股數，因為 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$。 $(5, 12, 13)$ 也是一組勾股數，因為 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$。 $(8, 15, 17)$ 也是一組勾股數，因為 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$。 存在一些生成勾股數的方法，例如，可以通過以下公式生成一組勾股數： 設 $m, n$ 是任意正整數，且 $m > n$。 那麼，$(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)$ 構成一組勾股數。 例如，取 $m=2, n=1$，則得到 $(2^2-1^2, 2 imes 2 imes 1, 2^2+1^2) = (3, 4, 5)$。 取 $m=3, n=1$，則得到 $(3^2-1^2, 2 imes 3 imes 1, 3^2+1^2) = (8, 6, 10)$。注意 $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，也是一組勾股數。 6.5 實際應用：建築、工程與測量 勾股定理在現實世界中的應用極其廣泛，可以說是工程和測量學的基石之一。 建築施工： 在建造房屋、橋梁時，建築師和工程師需要確保牆壁、柱子等結構是垂直的（成 $90^circ$ 角）。他們會利用 $3-4-5$ 的比例（或者其他勾股數比例）來測量和校準直角。例如，用 $3$ 米的長度在地麵上量一個點，在垂直方嚮量 $4$ 米，如果這兩點之間的距離是 $5$ 米，那麼這個垂直方嚮就是準確的 $90^circ$。 測量土地： 在測量土地麵積、繪製地圖時，勾股定理被用來計算距離和確定角度。例如，測量一個矩形地塊的對角綫長度。 屏幕尺寸： 電視、電腦屏幕的尺寸通常用對角綫長度來錶示，而屏幕的寬高比（例如 $16:9$）和對角綫長度，就可以通過勾股定理計算齣屏幕的實際寬度和高度。 導航與定位： 雖然現代導航係統更復雜，但其底層原理也離不開距離的計算，而距離計算在很多情況下會用到勾股定理。 勾股定理以其簡潔的數學形式，解決瞭現實世界中大量關於直角和距離的問題，是數學力量的絕佳體現。 --- 第七章：平行綫的性質與判定——平行世界的規則 在幾何的世界裏，平行綫是一種非常基本卻又極為重要的概念。兩條平行綫就像兩條永不相交的軌道，它們在平麵上以恒定的距離延伸，並遵循著一套獨特的“規則”。理解這些規則，對於我們分析圖形、進行幾何推理至關重要。 7.1 平行綫的定義：永不相交的直綫 在同一個平麵內，兩條不相交的直綫叫做平行綫。 我們用符號“$||$”來錶示平行關係。例如，如果直綫 $l$ 平行於直綫 $m$，則記作 $l || m$。 7.2 同位角、內錯角、同旁內角：角度之間的關係 當一條直綫（稱為截綫）與另外兩條直綫相交時，會産生許多角度。其中有三種特殊的角對關係，它們是理解平行綫性質的關鍵： 同位角： 兩個角的都在截綫的同一側，並且都在被截的兩條直綫的同一位置（一個在上麵，一個在下麵）。 （想象一下，截綫把兩條被截綫“分成瞭上下兩部分”，同位角就分彆在“上麵”或者分彆在“下麵”，並且都在截綫的“左邊”或“右邊”。） 內錯角： 兩個角的都在截綫的兩側，並且都在被截的兩條直綫之間。 （“內”錶示在中間，“錯”錶示相對。） 同旁內角： 兩個角的都在截綫的同一側，並且都在被截的兩條直綫之間。 （“同旁”錶示在同一側，“內”錶示在中間。） 7.3 平行綫的判定：如何證明兩條綫平行 我們如何纔能確定兩條直綫是平行的呢？判定定理告訴我們，隻需要檢查由截綫産生的某些角度之間的關係。 7.3.1 同位角相等，兩直綫平行： 如果兩條直綫被第三條直綫截時，同位角相等，那麼這兩條直綫就平行。 （反之亦然，如果兩條直綫平行，那麼同位角相等。） 7.3.2 內錯角相等，兩直綫平行： 如果兩條直綫被第三條直綫截時，內錯角相等，那麼這兩條直綫就平行。 （反之亦然，如果兩條直綫平行，那麼內錯角相等。） 7.3.3 同旁內角互補，兩直綫平行： 如果兩條直綫被第三條直綫截時，同旁內角互補（即它們的和等於 $180^circ$），那麼這兩條直綫就平行。 （反之亦然，如果兩條直綫平行，那麼同旁內角互補。） 這三個判定定理是我們在幾何證明中經常使用的工具，它們幫助我們證明直綫之間的平行關係。 7.4 平行綫的性質：證明角度相等或互補 一旦我們確定瞭兩條直綫是平行的，那麼它們在被截時産生的同位角、內錯角和同旁內角就會呈現齣特定的關係。這便是平行綫的性質。 7.4.1 兩直綫平行，同位角相等： 如果兩條直綫平行，那麼它們被任意一條截綫所截，同位角相等。 7.4.2 兩直綫平行，內錯角相等： 如果兩條直綫平行，那麼它們被任意一條截綫所截，內錯角相等。 7.4.3 兩直綫平行，同旁內角互補： 如果兩條直綫平行，那麼它們被任意一條截綫所截，同旁內角互補（和為 $180^circ$）。 7.5 綜閤應用：多條平行綫與截綫的幾何推理 在實際的幾何問題中，我們經常會遇到多條直綫相互平行，並且有多條截綫的情況。這時，就需要綜閤運用平行綫的判定和性質來解決問題。 例如，如果有多條直綫 $l_1 || l_2 || l_3 || dots$，並且它們被截綫 $m$ 和 $n$ 所截。 根據平行綫的性質，我們可以得齣 $l_1$ 與 $m$ 截齣的同位角、內錯角、同旁內角關係。 由於 $l_1 || l_2$，我們還可以推斷齣 $l_2$ 與 $m$ 截齣的角度關係。 再結閤 $l_2 || l_3$ 等，我們可以通過“傳遞性”來建立不同直綫之間的角度關係。 幾何證明題常常是這樣的一個過程：從已知的條件齣發，運用定義、公理、定理（包括平行綫的判定與性質），一步步地推齣所要證明的結論。對於平行綫相關的題目，準確識彆同位角、內錯角、同旁內角，並正確運用判定定理或性質，是解題的關鍵。 理解並熟練運用平行綫的性質與判定，不僅能幫助我們解決抽象的幾何問題，也能在實際生活中幫助我們理解一些關於“平行”的現象，例如道路規劃、建築設計中的對齊關係等。 --- 第八章：四邊形——多樣的幾何形狀 在三角形的基礎上，我們繼續嚮更復雜的圖形探索，來到瞭四邊形的世界。四邊形是由四條綫段首尾順次連接組成的封閉圖形，它們是我們日常生活中最常見的幾何形狀之一，從一張撲剋牌到房間的窗戶，都離不開四邊形的身影。四邊形傢族中，有一些特彆的成員，它們擁有獨特的性質，值得我們深入瞭解。 8.1 四邊形的基本概念：四個頂點，四條邊 一個四邊形有四個頂點和四條邊。連接不相鄰的兩個頂點的綫段稱為對角綫。在一個普通的四邊形中，它的四個內角的和等於 $360^circ$。 8.2 特殊的四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形 在眾多的四邊形中，有幾個“明星成員”，它們擁有特殊的邊和角的關係，因此被稱為特殊四邊形。 平行四邊形： 兩組對邊分彆平行的四邊形。 矩形： 四個角都是直角的四邊形。 菱形： 四條邊都相等的四邊形。 正方形： 四個角都是直角，且四條邊都相等的四邊形。 這些特殊的四邊形之間存在著包含與被包含的關係，例如，正方形既是矩形，也是菱形；矩形和菱形都是特殊的平行四邊形。 8.3 平行四邊形的性質：對邊平行且相等，對角相等，對角綫互相平分 平行四邊形是特殊四邊形的基礎，它的性質非常豐富： 對邊平行且相等： 平行四邊形的兩組對邊分彆平行，並且長度相等。 對角相等： 平行四邊形的兩個對角相等。 對角綫互相平分： 平行四邊形的兩條對角綫交於一點，並且互相平分（即分成相等的兩條綫段）。 8.4 平行四邊形的判定：如何證明四邊形是平行四邊形 與平行綫類似，也有判定四邊形是否為平行四邊形的方法： 定義： 兩組對邊分彆平行的四邊形是平行四邊形。 性質判定： 兩組對邊分彆相等的四邊形是平行四邊形。 兩組對角分彆相等的四邊形是平行四邊形。 對角綫互相平分的四邊形是平行四邊形。 其他判定： 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 8.5 矩形的性質：特殊的平行四邊形（角都為直角，對角綫相等） 矩形是在平行四邊形的基礎上，將四個角都變成瞭直角。因此，它繼承瞭平行四邊形的所有性質，並在此基礎上增加瞭新的性質： 四個角都是直角（$90^circ$）。 對角綫相等。 （這是矩形相對於普通平行四邊形最突齣的新性質） 8.6 菱形的性質：特殊的平行四邊形（四邊相等，對角綫互相垂直平分且平分對角） 菱形是在平行四邊形的基礎上，將四條邊都變成相等的。它也繼承瞭平行四邊形的性質，並增加瞭獨特的新性質： 四條邊都相等。 對角綫互相垂直。 對角綫互相平分（這是平行四邊形的性質）。 對角綫平分對角。 （這是菱形最獨特的性質之一，它將四個角都分成瞭兩個相等的角） 8.7 正方形的性質：矩形與菱形的結閤 正方形是四邊形中最特殊的成員，它同時具備瞭矩形和菱形的全部優良性質。 四條邊都相等。 四個角都相等，且都為直角。 對角綫相等。 對角綫互相垂直。 對角綫互相平分。 對角綫平分對角。 可以說，正方形是兼具“直角”的規整和“等邊”的對稱的完美圖形。 8.8 梯形的定義與性質：隻有一組對邊平行的四邊形 除瞭以上幾種特殊的四邊形，我們還有梯形。 梯形是指隻有一組對邊平行的四邊形。 底： 梯形中互相平行的一組對邊稱為底。通常較短的稱為上底，較長的稱為下底。 腰： 梯形中不平行的一組對邊稱為腰。 梯形也有一些性質，例如： 同旁內角互補： 梯形同一側的兩個腰與其中一個底的夾角之和為 $180^circ$。 等腰梯形： 兩腰相等的梯形稱為等腰梯形。等腰梯形有以下性質： 兩底角相等。 兩腰相等。 對角綫相等。 8.9 軸對稱圖形的初步認識：圖形的鏡像美 在研究這些特殊四邊形時，我們還可以初步認識到軸對稱圖形的概念。 軸對稱圖形： 如果一個圖形沿著一條直綫摺疊，直綫兩側的部分能夠完全重閤，那麼這個圖形就是軸對稱圖形，這條直綫叫做對稱軸。 很多四邊形都是軸對稱圖形： 矩形： 有兩條對稱軸（分彆垂直平分兩條長邊和兩條短邊）。 菱形： 有兩條對稱軸（分彆是兩條對角綫）。 正方形： 有四條對稱軸（兩條對角綫和分彆平分兩條對邊的直綫）。 等腰梯形： 有一條對稱軸（是底邊的垂直平分綫）。 四邊形傢族的多樣性，以及它們之間相互轉化的關係，構成瞭幾何學中一個豐富而有趣的研究領域。理解它們的性質，不僅能幫助我們解開各種幾何謎題，更能讓我們在設計、建築等領域獲得靈感。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的整體感覺是“厚實”和“紮實”。它不像有些書那樣追求花哨的排版或者新穎的欄目，而是把重心放在瞭內容的深度和準確性上。數學這種學科，歸根結底還是要靠內容本身說話，而這本書恰恰在這方麵做得非常齣色。它對每個數學概念的定義都非常嚴謹，每一個公式的推導都清晰可見，這一點對於我這種喜歡刨根問底的學生來說，簡直是太重要瞭。有時候，我會在網上找一些解釋，發現很多都語焉不詳，或者直接跳過關鍵步驟，但在這本書裏，基本上找不到這樣的問題。它在講解過程中，還會時不時地穿插一些“數學史話”或者“數學傢的故事”，這些小小的亮點，讓原本可能略顯枯燥的數學學習增添瞭一抹人文色彩，也讓我意識到，數學並非隻是冷冰冰的數字和符號，背後蘊含著人類的智慧和探索精神。

評分☆☆☆☆☆

說實話，一開始拿到這本書，我並沒有抱太大的期望，畢竟“華師大版”這個牌子雖然聽過，但教材畢竟是教材，總覺得會有些死闆。但翻開之後，我真的被它的一些細節打動瞭。比如說，它在每個章節的開頭都會設置一個小小的“知識導圖”，用可視化的方式把本章的核心知識點串聯起來，這樣在開始學習之前，你就能對整個章節的脈絡有一個大概的瞭解，心裏也有數瞭。而且，它的例題解析非常詳細，不僅僅是給齣答案，還會一步一步地展示解題思路，甚至會分析一些常見的錯誤解法，這對於我這種容易卡殼的學生來說，簡直是救星。我尤其欣賞它在一些難點知識點上的處理，比如二次函數圖像的平移和伸縮，它用瞭非常直觀的圖示和動畫（雖然書本上是靜態圖，但能想象齣動態效果），讓我一下子就明白瞭其中的原理。它的語言風格也比較平實，沒有太多專業術語的堆砌，讀起來很舒服，不會讓人産生畏難情緒。

評分☆☆☆☆☆

這本書的學習體驗，怎麼說呢，就像是在一個經驗豐富的老師的指導下進行係統性的學習。它不僅僅是一本簡單的知識搬運工，更像是一個循循善誘的引導者。我尤其喜歡它對那些容易混淆的概念的辨析，它會通過對比、舉例等多種方式，幫助我們區分開來，避免瞭以後學習中不必要的誤解。比如，在涉及圖形的相似與全等的時候，這本書就用瞭大量的圖例和對比分析，讓我對這兩個概念的差異有瞭非常深刻的認識。而且，書中的練習題設計也非常巧妙，很多題目都不是簡單的套公式，而是需要我們運用所學的知識去分析問題、解決問題，這極大地鍛煉瞭我的邏輯思維和解題能力。雖然有時候會覺得有些題目比較有挑戰性，但每次攻剋一個難題之後，那種成就感是無與倫比的，也讓我對數學産生瞭更濃厚的興趣。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當簡潔，甚至可以說是樸素，沒有太多花哨的裝飾。封麵的顔色以一種比較沉穩的藍色為主調，搭配白色的書名和齣版社的名稱，給人的第一印象就是這是一本非常“正統”的教材。翻開書頁，紙張的質感比我之前用過的很多教輔書都要好，摸起來有一種略微的厚重感，印刷的清晰度也很不錯，字跡工整，綫條流暢，即使長時間閱讀也不會覺得眼睛疲勞。內容方麵，章節的劃分邏輯清晰，從基礎概念的引入，到例題的講解，再到習題的設置，都循序漸進，非常有條理。我特彆喜歡它對一些復雜概念的解釋方式，不僅僅是給齣公式和定義，還穿插瞭一些生活中的實際例子，這讓原本枯燥的數學變得生動起來，也更容易理解。比如，在講解函數的時候，它會用“水龍頭的水量隨時間變化”這樣的例子來類比，一下子就抓住瞭核心。每章最後的習題也很有代錶性，包含瞭從基礎鞏固到能力提升的各種類型，而且難度梯度也做得很好，不會一開始就讓人望而卻步。

評分☆☆☆☆☆

剛開始拿到這本教材，我還有些擔心，因為我知道初三數學的難度會明顯提升。但讓我意外的是，這本書的編排非常閤理，它在講解新知識點的時候，會巧妙地迴顧和銜接之前的內容，確保我們能夠順利過渡。我尤其看重它在習題設計上的“層次感”。每章的練習題，從基礎的“填空題”、“選擇題”，到稍微深入的“解答題”，再到最後的“壓軸題”，梯度設計得非常閤理，能夠滿足不同層次學生的學習需求。我印象深刻的是，它在引入一些新的幾何證明方法時，會先給齣一些簡單的例子，讓我們熟悉基本步驟，然後再逐漸增加難度，這避免瞭初學者一開始就麵對過於復雜的證明過程而産生挫敗感。總的來說，這本書給我一種“穩紮穩打”的學習感受，讓我覺得初三的數學學習，雖然充滿挑戰，但並非不可逾越。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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很好不錯，值得購買

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書有一點破。

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幫不幫哈哈哈哈哈哈哈

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可以，沒什麼大的問題

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書是正版的，配送也很及時。點贊。

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一般般吧

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物流可以，質量也不錯沒什麼地方壞的