數學分析2/21世紀高等院校教材·數學基礎教程係列 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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徐誌庭 等 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等數學
• 微積分
• 數學基礎
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• 數學教程
• 理工科
• 大學教材
• 分析學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030262011

版次：1

商品編碼：10319925

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2009-12-01

用紙：膠版紙

頁數：232

正文語種：中文

內容簡介

《數學分析（2）》介紹瞭數學分析的基本概念、基本理淪和方法，包括一元（多元） 函數極限理論、一元函數微積分學、級數理論和多元函數微積分學等。全書共分三冊。本冊內容包括不定積分、定積分、定積分應用和反常積分、數項級數、函數項級數、冪級數與Fourier級數。《數學分析（2）》在內容的安排上深入淺齣，錶達清楚，係統性和邏輯性強。書中列舉瞭大量例題來說明數學分析的定義、定理及方法，並提供瞭豐富的思考題和習題，便於教師教學與學生自學。每章末都有小結，對該章的主要內容作瞭歸納和總結，並配有復習題，方便學生係統復習。
《數學分析（2）》可作為高等師範院校數學各專業學生的教學用書，也可供相關專業的教師和科技工作者參考。

目錄

第7章 不定積分
7.1 原函數與不定積分的概念
7.1.1 原函數和不定積分的定義
7.1.2 運算性質和基本積分公式
7.2 不定積分的計算
7.2.1 換元法求不定積分
7.2.2 分部法求不定積分
7.3 有理函數的不定積分
*7.3.1 有理函數的部分分式分解
7.3.2 有理函數的不定積分
7.3.3 三角函數有理式的不定積分
7.3.4 某些無理根式的不定積分
小結
復習題

第8章 定積分
8.1 定積分的概念與性質
8.1.1 引例與定義
8.1.2 定積分的性質
8.2 微積分基本定理
8.2.1 變上限積分的定義與性質
8.2.2 微積分基本定理
8.3 定積分的計算
8.3.1 換元法求定積分
8.3.2 分部法求定積分
8.4 定積分存在的條件
8.4.1 達布和的定義
*8.4.2 上和與下和的性質
8.4.3 可積的充要條件
8.4.4 可積函數類
8.5 積分中值定理
8.5.1 積分第一中值定理
*8.5.2 積分第二中值定理
小結
復習題

第9章 定積分應用和反常積分
9.1 定積分應用的兩種常用格式
9.2 平麵圖形的麵積
9.2.1 直角坐標情形
9.2.2 參數方程情形
9.2.3 極坐標情形
9.3 由平行截麵麵積求體積
9.3.1 由平行截麵麵積計算體積
9.3.2 鏇轉體體積
9.4 平麵麯綫的弧長
9.4.1 平麵麯綫弧長的概念
9.4.2 平麵麯綫弧長的計算
9.5 鏇轉麯麵的麵積
9.5.1 鏇轉麯麵麵積的概念
9.5.2 鏇轉麯麵麵積的計算
*9.6 定積分在某些物理問題中的應用
9.6.1 變力做功
9.6.2 壓力
9.6.3 力矩與重心
9.7 反常積分的概念與基本性質
9.7.1 反常積分的概念與統一定義
9.7.2 反常積分的基本性質
9.8 反常積分的斂散性
9.8.1 反常積分的Cauchy收斂準則
9.8.2 反常積分的絕對收斂與條件收斂
9.8.3 反常積分的比較判彆法
9.8.4 Dirichlet判彆法與Abel判彆法
小結
復習題

第10章 數項級數
10.1 數項級數的概念與性質
10.1.1 數項級數的概念
10.1.2 級數的Cauchy收斂準則
10.1.3 級數的基本性質
10.2 正項級數
10.2.1 正項級數收斂性的一般判彆法
10.2.2 根值法與比值法
*10.2.3 其他判彆法
10.3 一般項級數
10.3.1 絕對收斂與條件收斂
10.3.2 交錯級數
10.3.3 Dirichlet判彆法和Abel判彆法
*10.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的性質
10.4.1 收斂級數的可結閤性
10.4.2 收斂級數的重排
10.4.3 級數的乘積
小結
復習題

第11章 函數項級數
11.1 函數列一緻收斂的概念與判定
11.1.1 逐點收斂與一緻收斂的概念
11.1.2 函數列一緻收斂的判定
11.2 一緻收斂函數列的性質
11.3 函數項級數一緻收斂的概念及其判定
11.3.1 函數項級數一緻收斂的概念
11.3.2 一緻收斂的判彆法
11.4 和函數的分析性質
*11.5 處處不可微的連續函數
小結
復習題

第12章 冪級數與Fourier級數
12.1 冪級數的收斂域與和函數
12.1.1 冪級數的定義和收斂域
12.1.2 冪級數和函數的分析性質
12.1.3 冪級數的運算
12.2 函數的冪級數展開
12.2.1 Taylor級數與餘項公式
12.2.2 幾個常用的初等函數的冪級數展開
12.3 三角級數與Fourier級數
12.3.1 三角級數的概念
12.3.2 以2π為周期的函數的Fourier級數
12.3.3 以21為周期的函數的Fourier級數
12.3.4 任意區間[a，b]上的Fourier級數
12.4 Fourier級數的收斂性
12.4.1 Fourier級數的收斂判彆法
*12.4.2 Dirichlet積分
*12.4.3 Riemann引理與Fourier級數收斂判彆法的證明
*12.4.4 Fourier級數的分析性質
*12.4.5 Fourier級數的平方平均收斂
小結
復習題
習題答案或提示
參考文獻
附錄 不定積分錶
索引

前言/序言

　　數學分析是數學各專業的學科基礎課，其重要性不言而喻，我們根據多年的教學經驗，在吸取一些現有教材優點的基礎上，編寫瞭本書。
　　現有的各種數學分析教材都有其優點和缺點，本書力求在可讀性、係統性和邏輯性上能具有特色，並將分層教學的理念貫穿全書。
　　首先，在可讀性方麵，對於重要概念隻給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習題中，例如，對數列極限，本書隻引入瞭ε-N定義，目的是希望學生能吃透這個概念；數列極限的另一個等價定義放在習題中，方便基礎較好的學生學習，對定理的證明，盡量采用樸素的方法進行，對書中的例題，錶達盡量詳細，讓學生容易自學，對某些定理采取先用後證的方法講述，例如，在第7章，先給齣區間上的連續函數必定存在原函數這個結論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給齣閉區間［a，b］上的連續函數必定在［a，b］上可積這個結論，這樣可以使定積分的計算提前，然後在第8章後麵再證明這兩個存在性定理。
　　其次，在係統性方麵，將關係較密切的內容放在一起，例如，將發散數列和子列的概念放在同一節，將判彆數列收斂的各種方法放在同一節，將定積分的應用與反常積分放在同一章，將各種情況下的Fourier級數和Fourier級數展開放在同一節，將第一型麯綫積分、麯麵積分和第二型麯綫積分、麯麵積分放在同一章，將各種積分之間的關係放在同一章等，另外，有理函數分解為部分分式的理論，國內的數學分析教材幾乎都將其證明歸到高等代數課程中，而高等代數教材也不寫這部分內容，為瞭彌補這一缺陷，在本書的第7章中，將給齣有理函數分解為部分分式理論的詳細證明，方便教師教學與學生自學。
　　再次，在邏輯性方麵，考慮到可讀性的同時，盡量在給齣定理的同時也完成對定理的證明，例如，將緻密性定理放在第1章，這樣數列的柯西收斂準則在第1章就可以證明，使得第1章對數列有較完整的處理；然後在第3章就可以完成閉區間上連續函數性質的證明；第6章就隻需講區間套定理、有限覆蓋定理及其應用等，這樣難點也分散瞭，在導數與微分部分，先講微分，後講導數，強調微分的作用，這樣在後麵講定積分的微元法時，我們將給齣微元法的理論依據。

《微分方程引論：理論、方法與應用》 簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的微分方程學習體驗，重點涵蓋常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的基礎理論、求解方法以及在各個科學與工程領域中的實際應用。本書的編寫不僅注重數學概念的嚴謹性，更強調對物理和工程背景的直觀理解，力求在理論深度與應用廣度之間找到完美的平衡。 第一部分：常微分方程基礎與定性分析 第一章：微分方程概述 本章首先界定微分方程的基本概念、分類（常微分與偏微分、綫性與非綫性、階數）以及定解問題（初值問題與邊值問題）。我們將探討微分方程在自然界中的普遍性，例如描述人口增長、放射性衰變和電路理論的基礎模型。引入解的存在性與唯一性定理的直觀理解，為後續的嚴格證明打下基礎。 第二章：一階常微分方程的求解 本章係統介紹求解一階ODE的解析方法。內容包括：變量分離法、積分因子法（一階綫性方程）、恰當方程（精確方程）的檢驗與求解，以及利用黎卡提方程（Riccati Equation）轉化為可降階方程的技巧。此外，我們將詳細討論伯努利方程（Bernoulli Equation）和 Clairaut 方程的特殊解法。重點在於理解每種方法的適用條件和幾何意義。 第三章：高階綫性常微分方程 本章專注於二階及更高階綫性常微分方程的求解。內容涵蓋：齊次方程的通解結構、常係數綫性方程的特徵方程法，包括特徵根為實根、復根和重根的三種情況。非齊次方程的求解方法將集中於待定係數法和常數變易法（拉格朗日法），並詳細分析狄拉剋δ函數作為激勵源的解法。 第四章：常微分方程的級數解法與特殊函數 當方程不具備初等函數的解時，級數解法成為關鍵。本章介紹冪級數法，重點討論如何處理歐拉-柯西方程（Cauchy-Euler Equation）。隨後，深入探討勒讓德方程、貝塞爾方程等在物理學中至關重要的常微分方程，並介紹無窮級數展開和漸近展開的基本思想。 第五章：邊值問題與拉普拉斯變換 本章介紹拉普拉斯變換在求解常微分方程，特彆是含有不連續函數或脈衝函數的初值問題中的強大應用。我們將詳述拉普拉斯逆變換的計算技巧，並引入 Sturm-Liouville 理論的初步概念，為傅裏葉級數和偏微分方程的求解做鋪墊。 第六章：定性理論與穩定性分析 定性理論關注不使用顯式解來分析方程解的性質。本章重點分析綫性係統（$mathbf{x}' = Amathbf{x}$）的相圖、平衡點分類（鞍點、結點、中心、焦點）。隨後，我們將引入重要的李雅普諾夫（Lyapunov）穩定性理論，區分全局漸近穩定性和局部穩定性，並探討非綫性係統的相空間分析。 第二部分：偏微分方程（PDE）基礎與基本方程 第七章：偏微分方程基礎 本章介紹偏微分方程的定義、分類（橢圓型、拋物綫型、雙麯型）及其物理背景。重點闡述四種基本的綫性二階偏微分方程：拉普拉斯方程（靜力學）、泊鬆方程（靜電學）、熱傳導方程（擴散過程）和波動方程（波的傳播）。 第八章：一維基本方程的求解：分離變量法 分離變量法是求解綫性偏微分方程最基礎也是最重要的解析工具。本章詳盡闡述如何將二維拉普拉斯方程、一維熱傳導方程和一維波動方程在矩形或半無限區域上的邊值問題轉化為常微分方程組。嚴格推導傅裏葉級數（正弦、餘弦級數）在非齊次邊界條件和非齊次源項問題中的應用。 第九章：傅裏葉變換與格林函數 當區域為半無窮或全空間時，傅裏葉變換成為處理 PDE 的主要工具。本章介紹傅裏葉積分變換及其性質，並將其應用於求解無源項的拉普拉斯方程（半平麵問題）和熱傳導方程（初始值問題）。隨後，係統介紹格林函數（Green's Function）的概念，闡述如何利用格林函數將 PDE 轉化為積分方程，實現對特定源項問題的統一求解。 第十章：極坐標與柱坐標下的方程求解 在處理圓形或圓柱形幾何結構中的物理問題時，需要將拉普拉斯、波動和熱傳導方程轉化為極坐標或柱坐標係下的形式。本章推導這些方程，並應用分離變量法，引入貝塞爾函數作為特定邊界條件下的本徵函數，求解圓盤或圓柱體內部的穩態或瞬態問題。 第十一章：特徵綫法與雙麯型方程 對於雙麯型方程（如一維波動方程），特徵綫法是核心方法。本章詳述如何通過坐標變換將雙麯型方程轉化為常微分形式。重點分析達朗貝爾（D’Alembert）公式的推導及其物理意義，理解波的傳播特性，並討論帶有初始條件的綫段上的波動問題。 第十二章：泛函分析基礎與弱解 為進入現代 PDE 理論，本章提供必要的泛函分析背景。介紹希爾伯特空間、Sobolev 空間的基本概念。著重解釋強解（Classical Solution）的局限性，並嚴格定義弱解（Weak Solution）的概念。通過變分原理，初步展示如何使用能量泛函來尋找橢圓型方程的變分解。 附錄 附錄中包含常用的積分錶、傅裏葉級數公式集、拉普拉斯變換對錶，以及詳細的證明步驟，供讀者深入研習參考。 本書特色 1. 理論與實踐並重：每章均包含豐富的、源自物理學（如電磁場、流體力學）和工程學（如振動、傳熱）的實例，使抽象的數學工具與具體的物理現象緊密結閤。 2. 嚴格的證明體係：對於核心定理（如解的存在性、唯一性），提供清晰的、可追溯的數學證明，確保讀者對理論的理解紮實可靠。 3. 多維度求解視角：不僅教授解析解法，也引入定性分析和數值逼近的思想，培養學生從不同角度審視和解決問題的能力。 本書適閤高等院校數學、物理、力學、信息與電子工程等專業的高年級本科生和研究生作為教材或參考書使用。具備微積分和綫性代數基礎的讀者即可開始學習。

評分☆☆☆☆☆

我是一名剛剛接觸數學分析的學生，對於數學語言的嚴謹性和抽象性感到有些吃力。在我翻閱瞭市麵上幾本同類教材後，偶然發現瞭這本《數學分析》。這本書的編排結構非常清晰，邏輯性極強，讓我能夠一步步地跟隨作者的思路前進。書中對概念的引入非常到位，比如在定義函數級數的一緻收斂性時，作者沒有直接拋齣定義，而是先從逐點收斂入手，分析其不足，再引齣一緻收斂的優越性，並給齣直觀的幾何解釋，這讓我對一緻收斂的理解大大加深。我尤其喜歡書中對泰勒公式的詳細講解，不僅給齣瞭公式的推導，還深入探討瞭餘項的不同形式及其在近似計算中的應用，這對於我理解微積分在實際問題中的應用至關重要。書中的例題講解也很詳細，每一個步驟都清晰明瞭，即使是我這個初學者，也能輕鬆理解。我非常看重教材的嚴謹性，而這本書恰恰做到瞭這一點，每一個結論都經過瞭嚴密的證明，這讓我感到非常安心。我期待著在這本書的引導下，能夠真正掌握數學分析的核心內容。

評分☆☆☆☆☆

終於拿到瞭這本《數學分析》！拿到手的時候就被它的厚重感和精美的封麵吸引瞭。我是一位對數學充滿好奇心的學生，一直覺得數學分析是理解更深層數學概念的基石。翻開第一頁，就被其中清晰的邏輯和嚴謹的推導深深吸引。書中對於極限、連續、導數這些基本概念的講解，不是簡單地給齣定義，而是層層遞進，通過大量的例子和輔助圖形，將抽象的數學語言變得生動形象。我尤其喜歡書中對柯西序列和完備性的闡述，這部分內容常常是很多教材中一帶而過的難點，但這本書花瞭相當大的篇幅，從不同角度進行解讀，讓我豁然開朗。我花瞭一個下午的時間，隻是沉浸在第一章，就感覺收獲滿滿。作者在講解每一個定理的時候，都會詳細論證其前提條件和結論，並且會給齣一些反例，幫助讀者更深刻地理解定理的適用範圍。我特彆欣賞書中對一些重要數學思想的提煉，比如“逼近”的思想在極限的定義中貫穿始終，這讓我對極限有瞭更直觀的理解。這本書不僅僅是知識的堆砌，更像是一場數學思維的啓濛之旅。我迫不及待地想繼續探索後麵的內容，相信這本書會是我學習數學分析路上不可或缺的夥伴。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學分析》絕對是一本值得推薦的進階讀物！我之前學習數學分析的時候，總是感覺有些概念像是“黑箱操作”，知其然不知其所以然。這本書在這方麵做得非常齣色。它對於每一個定理的證明都詳盡入微，不僅給齣瞭證明過程，還會解釋證明背後的思想和關鍵步驟，這對於我理解數學的本質非常有幫助。例如，在講解黎曼積分的定義時，書中花瞭大量篇幅去解釋黎曼和的極限是如何與積分聯係起來的，以及為什麼需要引入可積的條件，這讓我對積分的理解更加深刻。此外，這本書的排版和設計也相當用心，圖文並茂，許多抽象的數學概念通過圖示變得更加直觀易懂。我個人比較喜歡書後附帶的“思考與討論”部分，這些問題非常有深度，能夠激發我獨立思考和解決問題的能力，而不是僅僅停留在對課本內容的機械記憶上。這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的良師益友，帶領我一步步探索數學分析的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

從一個有一定數學基礎的讀者角度來看，這本書的深度和廣度都令人印象深刻。它並沒有滿足於淺顯的定義和計算，而是深入到瞭許多數學分析的“靈魂”層麵。我尤其欣賞書中對“拓撲”概念在實數集上的體現的闡述，例如開集、閉集、緊集等概念的引入和性質的探討，這為理解更抽象的數學空間打下瞭堅實的基礎。書中對於多變量函數的極限和連續性的處理，也非常嚴謹，多維度空間的幾何直觀和代數方法的結閤，讓我對這些概念有瞭全新的認識。我特彆喜歡其中關於方嚮導數和梯度的內容，它很好地解釋瞭函數在不同方嚮上的變化率，並引齣瞭嚮量場等更高級的概念。這本書的習題設計，可以說是“精挑細選”，既有鞏固基礎的題目，也有不少需要綜閤運用多個知識點纔能解決的難題，能夠有效地提升讀者的分析能力和解題技巧。我會在接下來的學習中，重點攻剋那些具有挑戰性的題目，相信這本書能夠幫助我將數學分析的知識體係化、係統化。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我一直對高等數學有著一種敬畏感，總覺得那些符號和公式像天書一樣難以理解。這次抱著試試看的心態入手瞭這本《數學分析》，沒想到卻給瞭我很大的驚喜。最讓我印象深刻的是，這本書在講解抽象概念的時候，沒有迴避它們本身的難度，反而通過大量貼近實際的例子來幫助我們理解。比如在講到微分中值定理的時候，書中結閤瞭物體運動的速度和位移變化，生動地解釋瞭“平均變化率等於瞬時變化率”的直觀意義。而且，這本書的習題設計也非常巧妙，從基礎的計算題到需要深入思考的證明題，循序漸進，能夠有效地鞏固我們對知識點的掌握。我花瞭很多時間去做那些思考題，雖然有些題目把我難住瞭，但當我最終攻剋它們的時候，那種成就感是無與倫比的。我覺得這本書最棒的一點在於，它不僅僅是教你“怎麼算”，更是在教你“為什麼這麼算”，它培養的是一種數學的“感覺”。我已經開始期待下一章關於積分的內容瞭，相信它會像前麵一樣，給我帶來新的啓發。

評分☆☆☆☆☆

11，Lax-Milgram定理、能量估計、橢圓方程邊值問題廣義解的存在性定理、能量等式、Sturm-Liouville問題、本徵值、本徵函數、Green函數。

評分☆☆☆☆☆

偏微分方程-1

評分☆☆☆☆☆

11，對稱雙麯型方程Cauchy問題解的唯一性、對稱雙麯型方程Cauchy問題解的能量不等式、Sobolev嵌入定理、常係數對稱雙麯型方程Cauchy問題解的存在性、常係數對稱雙麯型方程Cauchy問題的求解。

評分☆☆☆☆☆

偏微分方程-2

評分☆☆☆☆☆

13，有界變差函數、絕對連續函數、不定積分的絕對連續性、絕對連續性與不定積分的關係、Newton-Lerbniz公式、絕對連續函數的分部積分公式、Vitali覆蓋定理。

評分☆☆☆☆☆

許以超，代數學引論/綫性代數與矩陣論。（許以超老師是科大數學係的元老，科大在北京的時候，數學係的代數與解析幾何這門課就是許老師講的，這本代數學引論就是許老師當時上課的講義，這本書除瞭綫性代數以外，還包括解析幾何和抽象代數。基本上國內的很多綫性代數都是以這本書為模版的，包括科大用的那本所謂的“亞洲第一難”的書。許老師後來又寫瞭一個改編本，去掉瞭解析幾何和抽象代數，增加瞭矩陣論和張量代數的內容，就是第二本書，這本書包括瞭數學專業綫性代數應該講的所有內容，我以為這是國內最好的一本綫性代數，無論綫性空間還是矩陣論的內容都非常充實。這本書很多習題後麵給瞭提示，大傢做綫性代數作業的時候有題目實在做不齣來，可以翻翻，1係用的綫性代數大部分的題目都可以這兩本書上找到。）

評分☆☆☆☆☆

偏微分方程-2

評分☆☆☆☆☆

8，光滑函數的局部逼近定理、光滑函數的大範圍逼近定理、延拓定理、Sobolev空間中函數的跡、跡定理、零跡函數定理、H_0^1{Omega}空間上的函數的跡的連續依賴性。Gagliardo-Nirenberg—Sobolev 不等式。

評分☆☆☆☆☆

9，二階雙麯型方程的Galerkin方法、二階雙麯型方程廣義解的存在性、二階雙麯型方程廣義解的正則性、二階綫性方程的弱間斷解、弱間斷麵。