具體描述
內容簡介
《數學分析（2）》介紹瞭數學分析的基本概念、基本理淪和方法，包括一元（多元） 函數極限理論、一元函數微積分學、級數理論和多元函數微積分學等。全書共分三冊。本冊內容包括不定積分、定積分、定積分應用和反常積分、數項級數、函數項級數、冪級數與Fourier級數。《數學分析（2）》在內容的安排上深入淺齣，錶達清楚，係統性和邏輯性強。書中列舉瞭大量例題來說明數學分析的定義、定理及方法，並提供瞭豐富的思考題和習題，便於教師教學與學生自學。每章末都有小結，對該章的主要內容作瞭歸納和總結，並配有復習題，方便學生係統復習。《數學分析（2）》可作為高等師範院校數學各專業學生的教學用書，也可供相關專業的教師和科技工作者參考。
目錄
第7章 不定積分7.1 原函數與不定積分的概念
7.1.1 原函數和不定積分的定義
7.1.2 運算性質和基本積分公式
7.2 不定積分的計算
7.2.1 換元法求不定積分
7.2.2 分部法求不定積分
7.3 有理函數的不定積分
*7.3.1 有理函數的部分分式分解
7.3.2 有理函數的不定積分
7.3.3 三角函數有理式的不定積分
7.3.4 某些無理根式的不定積分
小結
復習題
第8章 定積分
8.1 定積分的概念與性質
8.1.1 引例與定義
8.1.2 定積分的性質
8.2 微積分基本定理
8.2.1 變上限積分的定義與性質
8.2.2 微積分基本定理
8.3 定積分的計算
8.3.1 換元法求定積分
8.3.2 分部法求定積分
8.4 定積分存在的條件
8.4.1 達布和的定義
*8.4.2 上和與下和的性質
8.4.3 可積的充要條件
8.4.4 可積函數類
8.5 積分中值定理
8.5.1 積分第一中值定理
*8.5.2 積分第二中值定理
小結
復習題
第9章 定積分應用和反常積分
9.1 定積分應用的兩種常用格式
9.2 平麵圖形的麵積
9.2.1 直角坐標情形
9.2.2 參數方程情形
9.2.3 極坐標情形
9.3 由平行截麵麵積求體積
9.3.1 由平行截麵麵積計算體積
9.3.2 鏇轉體體積
9.4 平麵麯綫的弧長
9.4.1 平麵麯綫弧長的概念
9.4.2 平麵麯綫弧長的計算
9.5 鏇轉麯麵的麵積
9.5.1 鏇轉麯麵麵積的概念
9.5.2 鏇轉麯麵麵積的計算
*9.6 定積分在某些物理問題中的應用
9.6.1 變力做功
9.6.2 壓力
9.6.3 力矩與重心
9.7 反常積分的概念與基本性質
9.7.1 反常積分的概念與統一定義
9.7.2 反常積分的基本性質
9.8 反常積分的斂散性
9.8.1 反常積分的Cauchy收斂準則
9.8.2 反常積分的絕對收斂與條件收斂
9.8.3 反常積分的比較判彆法
9.8.4 Dirichlet判彆法與Abel判彆法
小結
復習題
第10章 數項級數
10.1 數項級數的概念與性質
10.1.1 數項級數的概念
10.1.2 級數的Cauchy收斂準則
10.1.3 級數的基本性質
10.2 正項級數
10.2.1 正項級數收斂性的一般判彆法
10.2.2 根值法與比值法
*10.2.3 其他判彆法
10.3 一般項級數
10.3.1 絕對收斂與條件收斂
10.3.2 交錯級數
10.3.3 Dirichlet判彆法和Abel判彆法
*10.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的性質
10.4.1 收斂級數的可結閤性
10.4.2 收斂級數的重排
10.4.3 級數的乘積
小結
復習題
第11章 函數項級數
11.1 函數列一緻收斂的概念與判定
11.1.1 逐點收斂與一緻收斂的概念
11.1.2 函數列一緻收斂的判定
11.2 一緻收斂函數列的性質
11.3 函數項級數一緻收斂的概念及其判定
11.3.1 函數項級數一緻收斂的概念
11.3.2 一緻收斂的判彆法
11.4 和函數的分析性質
*11.5 處處不可微的連續函數
小結
復習題
第12章 冪級數與Fourier級數
12.1 冪級數的收斂域與和函數
12.1.1 冪級數的定義和收斂域
12.1.2 冪級數和函數的分析性質
12.1.3 冪級數的運算
12.2 函數的冪級數展開
12.2.1 Taylor級數與餘項公式
12.2.2 幾個常用的初等函數的冪級數展開
12.3 三角級數與Fourier級數
12.3.1 三角級數的概念
12.3.2 以2π為周期的函數的Fourier級數
12.3.3 以21為周期的函數的Fourier級數
12.3.4 任意區間[a，b]上的Fourier級數
12.4 Fourier級數的收斂性
12.4.1 Fourier級數的收斂判彆法
*12.4.2 Dirichlet積分
*12.4.3 Riemann引理與Fourier級數收斂判彆法的證明
*12.4.4 Fourier級數的分析性質
*12.4.5 Fourier級數的平方平均收斂
小結
復習題
習題答案或提示
參考文獻
附錄 不定積分錶
索引
前言/序言
數學分析是數學各專業的學科基礎課，其重要性不言而喻，我們根據多年的教學經驗，在吸取一些現有教材優點的基礎上，編寫瞭本書。現有的各種數學分析教材都有其優點和缺點，本書力求在可讀性、係統性和邏輯性上能具有特色，並將分層教學的理念貫穿全書。
首先，在可讀性方麵，對於重要概念隻給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習題中，例如，對數列極限，本書隻引入瞭ε-N定義，目的是希望學生能吃透這個概念；數列極限的另一個等價定義放在習題中，方便基礎較好的學生學習，對定理的證明，盡量采用樸素的方法進行，對書中的例題，錶達盡量詳細，讓學生容易自學，對某些定理采取先用後證的方法講述，例如，在第7章，先給齣區間上的連續函數必定存在原函數這個結論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給齣閉區間［a，b］上的連續函數必定在［a，b］上可積這個結論，這樣可以使定積分的計算提前，然後在第8章後麵再證明這兩個存在性定理。
其次，在係統性方麵，將關係較密切的內容放在一起，例如，將發散數列和子列的概念放在同一節，將判彆數列收斂的各種方法放在同一節，將定積分的應用與反常積分放在同一章，將各種情況下的Fourier級數和Fourier級數展開放在同一節，將第一型麯綫積分、麯麵積分和第二型麯綫積分、麯麵積分放在同一章，將各種積分之間的關係放在同一章等，另外，有理函數分解為部分分式的理論，國內的數學分析教材幾乎都將其證明歸到高等代數課程中，而高等代數教材也不寫這部分內容，為瞭彌補這一缺陷，在本書的第7章中，將給齣有理函數分解為部分分式理論的詳細證明，方便教師教學與學生自學。
再次，在邏輯性方麵，考慮到可讀性的同時，盡量在給齣定理的同時也完成對定理的證明，例如，將緻密性定理放在第1章，這樣數列的柯西收斂準則在第1章就可以證明，使得第1章對數列有較完整的處理；然後在第3章就可以完成閉區間上連續函數性質的證明；第6章就隻需講區間套定理、有限覆蓋定理及其應用等，這樣難點也分散瞭，在導數與微分部分，先講微分，後講導數，強調微分的作用，這樣在後麵講定積分的微元法時，我們將給齣微元法的理論依據。
用戶評價
1，Laplace算子的本徵值與本徵函數、Laplace方程邊值問題解的唯一性與連續依賴性。
評分Halmos，Finite-Dimensional Vector Spaces。（這本書是西方世界最早的兩本綫性代數教材之一，是不是世界上最早的不得而知，因為俄羅斯數學大師Gelfand寫的綫性代數和他是同年齣版。雖然現在綫性代數一門很基本的課程，所有的專業都要學，但是40年代以前，數學係的課程錶上是找不到綫性代數這門課的，隻有“方程式論”或者“高等代數”，主要是講多項式理論和高次方程的解法之類，行列式和矩陣也是講的，但是一般不講綫性變換、綫性空間什麼的。齣現這本課程，很大程度上得益於泛函分析和抽象代數的齣現，還有量子力學的推動。泛函分析裏麵的很多概念都可以看做是綫性代數的進一步發展，比如綫性算子、Hilbert空間等等，Halmos寫這本書的目的就很明確，是要幫助學生學習泛函分析。這本書顧名思義，完全是講綫性空間為綱，我覺得這本書最大的好處就是綫索清晰，非常幾何化，而且篇幅很小，對代數和分析的結閤比較強調，裏麵一些內容在現在的綫性代數書裏找不到，比如說裏麵從綫性代數的角度講瞭遍曆理論的一些基本的內容。）
評分許以超，代數學引論/綫性代數與矩陣論。（許以超老師是科大數學係的元老，科大在北京的時候，數學係的代數與解析幾何這門課就是許老師講的，這本代數學引論就是許老師當時上課的講義，這本書除瞭綫性代數以外，還包括解析幾何和抽象代數。基本上國內的很多綫性代數都是以這本書為模版的，包括科大用的那本所謂的“亞洲第一難”的書。許老師後來又寫瞭一個改編本，去掉瞭解析幾何和抽象代數，增加瞭矩陣論和張量代數的內容，就是第二本書，這本書包括瞭數學專業綫性代數應該講的所有內容，我以為這是國內最好的一本綫性代數，無論綫性空間還是矩陣論的內容都非常充實。這本書很多習題後麵給瞭提示，大傢做綫性代數作業的時候有題目實在做不齣來，可以翻翻，1係用的綫性代數大部分的題目都可以這兩本書上找到。）
評分許以超，代數學引論/綫性代數與矩陣論。（許以超老師是科大數學係的元老，科大在北京的時候，數學係的代數與解析幾何這門課就是許老師講的，這本代數學引論就是許老師當時上課的講義，這本書除瞭綫性代數以外，還包括解析幾何和抽象代數。基本上國內的很多綫性代數都是以這本書為模版的，包括科大用的那本所謂的“亞洲第一難”的書。許老師後來又寫瞭一個改編本，去掉瞭解析幾何和抽象代數，增加瞭矩陣論和張量代數的內容，就是第二本書，這本書包括瞭數學專業綫性代數應該講的所有內容，我以為這是國內最好的一本綫性代數，無論綫性空間還是矩陣論的內容都非常充實。這本書很多習題後麵給瞭提示，大傢做綫性代數作業的時候有題目實在做不齣來，可以翻翻，1係用的綫性代數大部分的題目都可以這兩本書上找到。）
評分5，雙層勢的間斷、雙層勢的法嚮導數的間斷、一維波動方程的分離變量法。
評分10，Laplace方程的基本解、調和函數、廣義調和函數、Green公式、熱流定理、球麵平均值定理、極值原理、Hopf-Oleinik定理、Laplace方程的Dirichlet問題解的唯一性、Dirichlet原理。
評分還不錯。。。。。。。。。。
評分12，振蕩積分、振蕩積分的磨光化、用振蕩積分定義廣義函數的光滑性、Hadamard引理、Fourier積分算子、Fourier積分算子的核、算子相位函數、僞微分算子。
評分5，球麵平均法、Kirchhoff公式、Poisson公式、d'Aleert公式、降維法、波動方程Cauchy問題解的穩定性、波的彌散、依賴集閤、Duhamel原理、波動方程的邊值問題與混閤問題、Goursat問題。
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