黎曼幾何講義 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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忻元龍 著

圖書標籤:

• 黎曼幾何
• 微分幾何
• 流形
• 數學
• 高等教育
• 幾何學
• 拓撲學
• 數學分析
• 黎曼流形
• 測度論

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309076738

版次：1

商品編碼：10543880

包裝：平裝

叢書名： 研究生教學用書

開本：16開

齣版時間：2010-12-01

用紙：膠版紙

頁數：187

正文語種：中文

編輯推薦

　　 人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的應用和發展牢固地奠定瞭它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎的地位，當今時代，數學正突破傳統的應用範圍嚮幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生産與日常生活作齣貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙，黎曼幾何是高斯古典麯麵論的自然推廣，是現代數學的重要基礎，也是理論物理中愛因斯坦廣義相對論的數學基礎，現在研究數學，特彆是研究與幾何相關的問題，往往都基於黎曼幾何的框架，或與黎曼幾何有某種聯係，黎曼幾何知識對當代數學傢，特彆對幾何學傢來說是不可或缺的，本講義在充分研究測地綫的基礎上，再用測地綫作為工具，簡明扼要地探討黎曼流形的幾何性質，證明各種常用的“比較定理”，力求概念明瞭，思路清晰，全書內容涵蓋瞭經典“整體黎曼幾何”的基本內容。

內容簡介

　　 Riemann幾何是Gauss古典麯麵論的自然推廣，是現代微分幾何的重要基礎。《黎曼幾何講義》內容包括Riemann度量，Levi-Civita聯絡，麯率張量，測地綫，指數映照，完備性，Jacobi場和共軛點，等距和全測地子流形，Cartan-Hadamard定理，空間形式，第二變分公式及其應用（如Bonnet-Myers定理，Weinstein定理等），Morse形式與Motlse指標定理，割跡與單射半徑，比較定理，體積與體積比較定理等內容，涵蓋瞭經典“整體黎曼幾何”的基本內容.這些內容可供已經學過微分流形基礎的學生學習。《黎曼幾何講義》可作為數學專業研究生教材，也可供高等學校數學係及物理係本科生，研究生及有關科研人員參考。

內頁插圖

目錄

1 引言
2 Riemann度量
3 Levi-Civita聯絡
4 麯率張量
5 測地綫，指數映照，測地凸鄰域
6 完備性
7 Jacobi場和共軛點
8 等距和全測地子流形
9 Cartan-Hadamard定理
10 空間形式
11 測地綫的第二變分公式及其應用
12 Morse指標形式與Morse指標定理
13 割跡和單射半徑
14 比較定理
15 體積和體積比較定理
附錄
Ⅰ. 微分流形（微分流形的定義和例子，可微函數與可微映照，子流形，切空間、餘切空間、映照的微分，Sard定理，單位分解，Frobenius定理）
Ⅱ. 外微分和積分（張量叢，外微分，外微分式的積分，Stokes公式）
索引
參考文獻

前言/序言

《歐幾裏得拓撲學基礎》 內容簡介 本書旨在為讀者構建一個堅實、直觀且深入的拓撲學入門框架，重點聚焦於歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 內部所展現齣的拓撲性質。不同於側重於抽象拓撲空間理論的傳統教材，本書將拓撲學的核心概念——開集、閉集、連續映射、緊緻性、連通性——緊密地錨定在讀者最為熟悉的幾何環境之中，從而實現理論與直觀理解的完美結閤。我們相信，對於初學者而言，從熟悉的歐幾裏得空間齣發，是理解拓撲學精髓的最佳途徑。 第一部分：度量空間與拓撲空間的奠基 全書伊始，我們首先引入度量空間的概念，將其作為歐幾裏得空間拓撲結構的最自然推廣。詳細討論瞭距離函數的基本性質，並利用這些性質構建瞭開球、閉球，進而定義瞭歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的拓撲結構。我們將嚴謹地闡述“開集”和“閉集”的定義，並著重分析它們在 $mathbb{R}^n$ 中的幾何形態和代數特性。 在理解瞭基於度量的拓撲之後，本書自然過渡到一般拓撲空間的抽象定義。我們將采用“開集族”而非“度量”來定義拓撲，深入探討拓撲空間的基本公理，包括開集的並集和有限交集的性質。通過構造多個具體的、非歐幾裏得的拓撲空間實例（如密著拓撲、離散拓撲、子空間拓撲），幫助讀者區分拓撲結構對集閤性質的影響。 第二部分：連續性、收斂性與稠密性 拓撲學的核心目的之一是形式化“接近”和“連續”的概念。本書將連續映射的定義提升到拓撲空間的層麵，證明瞭其與開集的原像之間的深刻聯係。隨後，我們將深入探討映射的性質，包括開映射、閉映射以及同胚的概念。同胚被視為拓撲性質保持不變的嚴格意義上的“形狀等價”，我們通過大量實例展示如何利用拓撲不變量（如洞的數量、連通性）來證明兩個空間之間不存在同胚。 收斂性在拓撲學中通過濾子和點列（nets and sequences）來描述。本書將詳細介紹點列收斂，並將其推廣到更具包容性的濾子收斂，特彆是在非度量空間中點列的局限性。 稠密性的概念在分析中至關重要。我們將討論一個子集在另一個空間中的稠密性意味著什麼，並探討如何構造稠密子集，例如有理數在實數綫上的稠密性，以及它們如何影響函數的逼近能力。 第三部分：緊緻性——拓撲學的關鍵不變量 緊緻性是本書的重點和難點之一，也是最強大的拓撲性質之一。我們首先從開覆蓋的有限子集覆蓋定義齣發，在歐幾裏得空間中證明瞭著名的Heine-Borel定理，該定理將開覆蓋的緊緻性概念與子集的有界閉性緊密聯係起來，這是本書將歐幾裏得空間與抽象拓撲學連接起來的關鍵一步。 隨後，我們討論緊緻性的基本性質：緊緻子集的閉子集仍然是緊緻的；緊緻空間的連續像仍是緊緻的。本書還將介紹局部緊緻性的概念，並探討它在函數空間和泛函分析中的重要應用。 第四部分：連通性——空間結構的整體把握 連通性描述瞭空間作為一個整體是否可以被分割。本書首先定義瞭連通空間和路徑連通空間。我們著重分析歐幾裏得空間中的路徑連通性，並證明在 $mathbb{R}^n$ 中，路徑連通性等價於連通性。 我們將詳細研究連通分支和極大連通子集的概念。在討論連續映射的性質時，我們將證明連續映射將連通集映射到連通集，這為分析復雜函數的像集提供瞭強有力的工具。本書還會探討分離公理（T1, T2/Hausdorff, T3, T4/正規）的層級結構，重點分析豪斯多夫空間（T2）的特性，並說明豪斯多夫空間中收斂的點列的唯一性。 第五部分：度量空間的進階主題——完備性與完備化 迴溯到度量空間，本書專門闢齣一章深入討論完備性。我們定義瞭柯西序列，並解釋瞭完備空間的關鍵優勢：所有柯西序列都在該空間內收斂。這一性質在微分方程的解的存在性證明中至關重要。 最後，我們將引入拓撲完備化的概念，並詳細闡述如何將任意度量空間嵌入到其最小的完備超空間中——即完備化。我們以實數綫 $mathbb{R}$ 的構造作為完備化的經典範例，展示瞭如何從更基礎的對象齣發，嚴謹地構建齣我們所熟知的完備空間。 讀者對象 本書適閤於數學係本科高年級學生、初級研究生，以及希望係統性理解幾何學和分析學深層基礎的工程師和物理學傢。讀者應具備紮實的微積分和綫性代數基礎，並對集閤論有初步瞭解。本書的寫作風格力求清晰、嚴謹且富於啓發性，旨在引導讀者真正掌握拓撲學的思維方式。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對微分幾何充滿好奇的初學者，一直在尋找一本能夠在我入門階段提供堅實指引的教材。《黎曼幾何講義》這本書，從其封麵傳達齣的專業感，就讓我對其內容充滿瞭期待。我瞭解到黎曼幾何是研究彎麯空間的重要工具，而我一直對“彎麯”這個概念在數學上的精確刻畫感到著迷。這本書的目錄中，關於度量張量、聯絡、麯率等章節的安排，似乎預示著它將係統地介紹這些核心內容。我希望它能通過清晰的定義和嚴謹的推導，幫助我理解這些概念的幾何意義，而不是僅僅停留在符號的遊戲。我尤其關注書中是否會提供一些直觀的例子，例如在二維或三維空間中，如何用黎曼幾何的語言來描述麯麵和麯綫的彎麯程度。我一直認為，好的數學教材不僅要有理論深度，更要有能夠觸及心靈的直觀理解。這本書的裝幀也很考究，厚實的書頁和清晰的印刷，都為我提供瞭一個良好的閱讀體驗，讓我能夠沉浸在數學的世界裏。我期待著這本書能夠為我打開黎曼幾何的大門，讓我從此對彎麯空間有一個更深刻的理解。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔大方，一眼就能感受到學術的嚴謹性。初拿到這本書時，我正對某個數學分支感到睏惑，渴望找到一本能夠係統梳理脈絡、深入淺齣的教材。翻開《黎曼幾何講義》，撲麵而來的氣息便是一種厚重而有序的知識體係。雖然我還沒有完全深入到書中的每一個公式和定理，但從目錄和前言來看，它似乎為我搭建瞭一個紮實的理論框架。我尤其期待它能在幾個核心概念上，比如麯率張量、測地綫以及流形上的積分等，給予我清晰的直觀解釋。我一直認為，學習數學不僅在於掌握計算技巧，更在於培養幾何直覺和空間想象能力。我希望這本書能夠在這方麵提供一些有效的引導，讓我能夠更好地理解抽象的數學對象，而不是僅僅停留在符號運算層麵。這本書的裝幀也很不錯，紙張的質感和印刷的清晰度都足以支撐我長時間的閱讀和思考。我非常看重這一點，因為一本好的教材應該能夠讓我專注於內容，而不是被不舒適的閱讀體驗所乾擾。我打算從最基礎的概念開始，一步步跟隨作者的思路，希望能夠在這本書的引領下，對黎曼幾何有一個全新的認識，也希望能為我日後的研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

作為一個對抽象數學充滿熱情的探索者，我一直渴望找到一本能夠係統梳理黎曼幾何概念的著作。《黎曼幾何講義》這本書，從其沉穩的封麵設計就透露齣一種不凡的學術氣息，讓我對其內容充滿瞭期待。我尚未開始深入鑽研每一個細節，但從其目錄的編排來看，它似乎為讀者構建瞭一個邏輯嚴謹的學習框架。我尤其關注書中對於“微分流形”和“黎曼度量”的介紹，因為我深知這是理解整個理論體係的起點。我希望作者能夠通過生動形象的語言和恰當的例證，幫助我建立起對這些抽象概念的直觀認識，而不是僅僅停留在符號和公式的層麵。我十分期待書中是否能提供一些關於麯率張量的幾何解釋，以及它如何影響流形上的距離和路徑。這本書的紙張觸感細膩，印刷清晰，整體的閱讀體驗非常舒適，這對於需要長時間專注思考的數學學習者來說至關重要。我期待這本書能引領我，深入理解黎曼幾何的奧秘，或許還能從中獲得一些新的研究靈感。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我對黎曼幾何一直抱有一種既敬畏又好奇的態度，總覺得它代錶瞭數學中最抽象、最深刻的領域之一。拿到《黎曼幾何講義》這本書，首先吸引我的是它所散發齣的那種嚴謹而又富有洞察力的氣息。我還不曾深入研讀它的每一個章節，但從書本的整體結構和部分章節的標題來看，它似乎為讀者提供瞭一個相對完整的學習路徑。我尤其關注書中對於“測地綫”和“麯率”的闡述，因為我一直認為這兩個概念是理解黎曼幾何的基石。我希望作者能夠通過細緻的推導和精煉的語言，將這些抽象的概念轉化為我能夠理解的幾何直覺。我是否能在書中找到一些巧妙的例子，來幫助我可視化這些高維度的幾何概念？這正是我最為期待的部分。這本書的書頁質感很好，印刷清晰，拿在手裏有份量感，這讓我覺得它是一本值得反復研讀的經典之作。我期待著這本書能夠引領我，在黎曼幾何的浩瀚星空中，找到屬於我自己的那片璀璨的星辰。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版風格非常契閤我個人的閱讀習慣。字體大小適中，行間距也處理得恰到好處，不會讓我在長時間閱讀時感到眼睛疲勞。更令我印象深刻的是，作者在解釋一些關鍵概念時，似乎用瞭大量篇幅來鋪墊，從一些看似基礎的代數和拓撲概念齣發，循序漸進地引入黎曼幾何的精髓。這種“追根溯源”的講解方式，對於像我這樣基礎不是非常牢固的讀者來說，無疑是一劑強心針。我總覺得，很多時候我們對一個理論的畏懼，源於它顯得過於“突兀”，缺乏足夠的邏輯過渡。而這本書似乎就巧妙地規避瞭這一點。我尤其好奇作者是如何處理張量分析和微分方程在黎曼幾何中的應用的，因為這通常是理解高維幾何的關鍵。如果它能提供一些精妙的例子或者輔助圖示，那將是對我極大的幫助。這本書的紙張也有一種溫潤的觸感，拿在手裏就感覺很舒服，讓人有翻閱的衝動。我正在期待這本書能夠帶我領略黎曼幾何的獨特魅力，或許能夠啓發我從全新的角度去審視我正在研究的問題。

評分☆☆☆☆☆

作者是國內這方麵比較牛的瞭。內容應該是學過微分幾何以後的內容。書很薄。一共15節。

評分☆☆☆☆☆

不錯哦

評分☆☆☆☆☆

數學突破奬則授予美國加州大學伯剋利分校的Ian Agol，奬金300萬美元，錶彰他在低維拓撲和幾何群論方麵做齣的貢獻。

評分☆☆☆☆☆

蘇打水撒打算打算的的灑大地

評分☆☆☆☆☆

原來隻學過平麵幾何、立體幾何等，現在再學習黎曼幾何。

評分☆☆☆☆☆

好書，值得買

評分☆☆☆☆☆

適閤大學生和大學教師閱讀

評分☆☆☆☆☆

物流速度很快，價格閤理

評分☆☆☆☆☆

好書，值得買