高等学校数学公共课辅导系列·线性代数解题指导：概念、方法与技巧 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

王中良 编

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
• 解题指导
• 辅导教材
• 大学教材
• 数学学习
• 概念解析
• 方法技巧
• 考研数学
• 数学辅导

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301077900

版次：1

商品编码：10593721

包装：平装

开本：32开

出版时间：2004-09-01

用纸：胶版纸

页数：304

字数：280000

正文语种：中文

内容简介

《线性代数解题指导：概念、方法与技巧》是高等院校工科、经济管理和财经类各专业本科生数学公共基础课“线性代数”的学习辅导书，全书共分六章，内容包括行列式、矩阵、线性方程组和向量、向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型等。每章按照内容提要，基本要求与重点、难点分析，典型例题解析，练习题四部分编写，写国内统编教材相辅相成、同步使用。书末有两个附录，附录一为2004年硕士学位研究生入学考试线性代数试题；附录二为每章练习题答案、提示与解答，也包括2004年教研试题的解答。
《线性代数解题指导：概念、方法与技巧》是按照原国家教委制定的工科类“线性代数课程教学基本要求”，并参照全国硕士研究生入学统一考试“数学考试大纲”，结合编者多年从事线性代数课程教学与辅导的经验和体会而编写的。《线性代数解题指导：概念、方法与技巧》重点是“典型例题解析”这一部分，选编例题300道，按题型分为填空题、选择题、解答题和证明题等类型。用“讲思路、举例题”与“举例题、讲方法”的思维方式，帮助读者正确理解线性代数的基本概念和基本理论，掌握解题的常用方法与技巧，特别是许多例题给出一题多解，通过解题更能开阔思路，提高分析和解决问题的能力，达到融会贯通、举一反三的效果。
《线性代数解题指导：概念、方法与技巧》既可作为高校各相关专业本科生学习“线性代数”的辅导教材，也可作为任课教师的教学参考书，对于准备报考硕士研究生的读者，《线性代数解题指导：概念、方法与技巧》也是复习备考的良师益友。

目录

第一章 行列式
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题

第二章 矩阵
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题

第三章 线性方程组和向量
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题

第四章 向量空间
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题

第六章 二次型
1 内容提要
2 基本要求与重点、难点分析
3 典型例题解析
4 练习题
附录一 2004年硕士学位研究生入学考试线性代数试题
附录二 练习题答案、提示与解答
参考书目

前言/序言

线性代数疑难攻克与应用拓展：习题精讲与思维导图 本书旨在为广大高等院校理工科、经济管理类专业学生提供一套全面、深入且极具实操性的线性代数学习辅助材料。我们深知，线性代数作为数学基础课程中的重要支柱，其抽象性与内在逻辑的严密性往往成为许多学习者跨越的难点。本书聚焦于将抽象的数学概念转化为清晰的解题步骤，并引导读者建立起从基础理论到实际应用的全景式思维框架。 --- 第一部分：核心概念的深度剖析与易错点辨析 本部分是理解后续复杂内容的基础。我们摒弃了纯粹的定义罗列，而是采用“问题导向”和“对比教学”的方法，系统梳理线性代数中最容易混淆和出错的核心概念。 第一章：向量空间与线性变换的直观理解 向量空间的内在结构： 详细探讨子空间、生成集、基与维数之间的内在联系。重点解析“线性无关的充要条件”在不同向量空间（如函数空间、多项式空间）中的具体体现。 坐标变换的几何意义： 不仅给出坐标变换矩阵的计算公式，更侧重于阐述坐标系选择对矩阵表示的影响。通过二维和三维空间的具体例子，展示坐标变换如何改变向量的数值表示，但不改变向量本身所代表的几何对象。 线性变换的结构分解： 深入讲解核（Kernel）和像（Image）空间的性质，强调它们是衡量线性变换“保真度”和“映射范围”的关键指标。设置专项练习，要求读者自行构造特定核与像空间的线性变换实例。 第二章：矩阵理论的深层揭示与计算技巧 初等行变换与矩阵的等价性： 辨析初等矩阵、行等价、相似、合同这四种等价关系的区别与联系。尤其强调如何通过初等行变换，在不改变核心信息的前提下，将矩阵化为最简形式（如行阶梯形或对角形）。 行列式的计算艺术： 除了拉普拉斯展开，本书提供了针对特定结构矩阵（如分块矩阵、Toeplitz矩阵）的快速计算技巧。针对“防范行列式计算中的符号错误”设置专门的“陷阱分析”章节。 矩阵的秩与基本子空间的关系： 明确矩阵的四个基本子空间（行空间、零空间、列空间、左零空间）之间的正交关系，并利用秩-零化度定理，构建一个完整的小结，展示如何通过矩阵的秩快速推断线性方程组解的存在性与唯一性。 --- 第二部分：特征值、特征向量与对角化的应用进阶 特征值理论是线性代数理论体系中的高光部分，也是后续微分方程、动力系统等课程的基石。本部分旨在攻克特征值计算的复杂性，并强调对角化的实际价值。 第三章：特征值问题的多角度求解 特征方程的求解策略： 针对高次特征多项式的求解困难，提供基于矩阵结构（如特殊三角矩阵或循环矩阵）的特征值估计方法。同时，引入迭代法（如幂法）的原理介绍，为数值计算打下基础。 代数重数与几何重数的深度探讨： 详细分析两者相等或不等时，矩阵的性质差异。重点解析“若想实现对角化，几何重数必须等于代数重数”的证明思路，而非简单记忆结论。 Jordan标准型的构造与应用： 尽管Jordan标准型在初级课程中较少作为计算重点，但本书将其视为理解不可对角化矩阵结构的关键。提供了一个详尽的步骤指南，教导读者如何根据特征值和广义特征向量构造Jordan块。 第四章：正交性与二次型的几何化处理 正交基的构造与Gram-Schmidt过程的优化： 不仅教会学生如何使用Gram-Schmidt过程，更着重于在实际应用中（如数据降维前处理）如何选择更稳定的数值计算方法来近似构造正交基。 对称矩阵的谱分解： 强调对称矩阵的特征向量具有天然的正交性，并解释谱分解（Spectral Decomposition）如何将一个复杂的二次型转化为互相独立的简单平方和的形式。 二次型的规范形与分类： 详细讲解如何通过正交变换将二次型化为规范形，并利用主轴定理对二次型进行正定、半正定、不定等分类。本书特别加入了“二次型在不同坐标系下的不变量”的讨论。 --- 第三部分：理论与实际的桥梁——进阶应用与方法论 本部分将理论知识与实际应用场景紧密结合，帮助读者理解“为什么要学这些看似抽象的理论”。 第五章：线性方程组的稳定解法与数值稳定性 最小二乘法的几何阐释： 解释最小二乘法本质上是寻找向量投影，即求解“投影问题”，而非单纯的“线性方程组求解”。推导正规方程组，并分析其在矩阵病态性下的局限。 矩阵分解在求解中的核心作用： 深入讲解LU分解、QR分解的计算过程及其优势。特别对比LU分解在求解大量具有相同左侧系数矩阵的方程组时的效率优势。 误差分析与条件数： 引入矩阵条件数的概念，直观解释为何计算结果对初始数据的微小扰动如此敏感。这为后续学习误差分析课程提供了线性代数层面的基础。 第六章：线性代数在现代科学中的前沿应用速览 图论与邻接矩阵： 探讨如何利用矩阵的幂和特征值来分析网络结构（如PageRank算法的简化原理）。 数据分析中的低秩近似： 简要介绍奇异值分解（SVD）的计算框架，并解释其在数据压缩和主成分分析（PCA）中的核心地位，强调SVD的普适性，因为它适用于任何矩阵，无需矩阵是对称的。 应用实例的思维导图： 提供了数个跨学科的线性代数应用案例的“思维导图”，引导读者从实际问题出发，逆向追溯所需的线性代数工具。 --- 本书特色总结 本书的核心价值在于其“解题导向下的理论深化”。它不仅仅是习题的答案集合，而是通过精选的、具有代表性的典型例题，反向剖析了线性代数理论的构建逻辑。我们确保每一步推导都力求清晰、流畅，避免跳跃性的结论。通过对常见解题误区的剖析和对高级概念的几何可视化解读，本书致力于帮助学习者建立起坚实、灵活的线性代数知识体系，真正做到从“会做题”到“理解题”的质变。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对线性代数的学习一直处于一种“知其然不知其所以然”的状态，很多定理和公式都是直接背下来，然后套用到题目中。但每次遇到稍微变化一点的题目，就感到无从下手。这本书的出现，在我看来，就像是给我打开了一扇新世界的大门。它不仅仅是提供了大量的例题和解题步骤，更重要的是，它深入剖析了每一个概念背后的逻辑推导过程，以及不同概念之间的相互关联。比如，在讲解矩阵的秩和向量组的线性相关性时，作者并没有简单地给出定义和计算方法，而是通过一系列的类比和图形化解释，让我们能够直观地理解这些抽象的概念。更让我惊喜的是，书中对于一些经典问题的解题思路，有着非常细致的拆解，它不是直接告诉你“这样做”，而是告诉你“为什么可以这样做”，并且指出了几种不同的思考路径。这种“解构式”的学习方式，对于我来说非常有帮助。我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地去探索和发现数学的奥秘。虽然我还需要花费更多的时间去消化和吸收里面的内容，但我相信，这本书一定会成为我学习线性代数路上的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

作为一个数学“小白”，拿到这本书时，我确实有点担心自己会看不懂。毕竟“线性代数”这四个字听起来就很有压迫感。但是，这本书的讲解方式让我感到意外的轻松。作者在解释每一个概念的时候，都尽量用最通俗易懂的语言，并且会穿插一些生活中的例子，比如用“排队”来解释向量，用“决策树”来类比矩阵运算。这些例子虽然简单，但却非常形象，能够帮助我快速建立起对抽象概念的初步认知。而且，书中给出的例题，不仅仅是给出答案，更重要的是详细地分析了推理过程，并且会指出几种可能的解题思路，让我知道原来一道题可以有很多种解法，而不是只有一种“标准答案”。这种开放式的讲解方式，让我觉得学习数学不再是死记硬背公式，而是一个充满创造性的过程。虽然我还需要反复练习来巩固，但我相信，这本书一定会帮助我建立起对线性代数坚实的基础，并且在面对更复杂的题目时，能够更有条理地去思考和解决。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我拿到这本书的时候，主要是看中了它的“辅导”二字，想着能快速掌握一些解题技巧。但实际上，这本书带给我的远不止于此。它更像是一本“通识读物”，在讲解线性代数的核心概念时，都注入了作者对数学的深刻理解和哲学思考。比如，在解释“线性无关”时，作者不仅仅给出了代数定义，还从几何角度阐述了它的含义，让我体会到向量之间的“独立性”所带来的重要意义。这种深入的剖析，让我能够将不同章节的内容融会贯通，形成一个完整的知识体系。而且，书中还穿插了一些关于数学史的介绍，以及对一些数学家思想的解读，这让我觉得学习数学不仅仅是学习知识，更是在了解一种思维方式和一种文化。这种“软”的方面，恰恰是我在其他很多教材中难以找到的。虽然我现在还不能完全领会所有深层的含义，但这本书已经在我心中播下了对数学更加浓厚兴趣的种子，让我愿意去花更多的时间去探索和理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当简洁大气，但第一眼看上去，它给人的感觉是那种“学院派”的严谨，可能不太吸引那些追求快速出题技巧的同学。我最初拿到这本书的时候，并没有抱太高的期望，因为市面上同类书籍太多了，很多都是照搬教材或者只罗列例题。然而，翻阅了几页之后，我发现这本书在内容的编排上，似乎更侧重于“理解”而非“记忆”。它没有直接抛出大量的解题公式，而是花了不少篇幅去讲解线性代数中一些基础概念的由来和内在联系，比如向量空间、线性无关、特征值与特征向量的几何意义等等。这种循序渐进的讲解方式，对于我这种数学基础不算特别扎实，但又想真正掌握线性代数这门学科的学生来说，无疑是一股清流。它让我感觉，学习数学不应该只是死记硬背，而是要去体会数学思想的精妙之处。虽然我还没有深入到具体的解题方法部分，但光是前期的概念梳理，就已经让我对线性代数有了更深层次的认识，并且在思考问题时，不再仅仅局限于某个具体的计算步骤，而是能从更宏观的角度去审视问题。这种“由内而外”的学习方法，是我一直所追求的。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，就像是在和一位经验丰富的数学老师进行一场深入的对话。作者的语言风格非常平实，但字里行间透露出的专业性和条理性却令人印象深刻。我尤其喜欢书中对一些易混淆概念的辨析，比如“向量空间的基”和“线性变换的矩阵表示”，在很多教材中，这两个概念可能被简单带过，但在本书中，作者花了大量的篇幅去阐述它们之间的区别与联系，并且提供了非常形象的比喻来帮助理解。这让我一下子就豁然开朗，之前困扰我的很多疑问都迎刃而解了。此外，书中在引入复杂的定理或方法时，往往会先从一个简单的例子入手，逐步引导读者进入更深的层次，这种“由浅入深”的教学设计，非常符合我的学习习惯。我能够清晰地感受到作者在编写这本书时，是站在一个初学者的角度去思考的，他尽力去消除数学语言的晦涩感，让线性代数变得更加亲切和易于理解。虽然我还没有完全掌握所有内容，但这本书已经极大地提升了我学习线性代数的信心和兴趣。

评分☆☆☆☆☆

柏拉图说，爱是一种疯狂，一种神圣的疯狂。今天我们谈论爱情时，经常把它当做人际关系的一个方面，一种我们可以控制的东西。我们关心的是，如何用正确的方式恋爱，如何获得成功的爱情，如何克服其中的问题，如何面对失恋的打击。很多人之所以来接受心理治疗，是因为他们对爱情的期望太高，而实际结果却让他们大失所望。很明显，爱情绝不是单纯的。过去的纠葛，未来的希望，以及种种鸡毛蒜皮的琐碎小事哪怕与对方只有一点点联系都会对爱情产生深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

提高效益，亦可谓“教学相长”。

评分☆☆☆☆☆

开始学这么功课时，老师第一节课就问我们数学是什么？我们一时没有很准确的回答给老师，但是老师讲课时的生动性以及准确度深刻的吸引了我，从一开始就喜欢老师也开始喜欢这么功课，课本上的题做完了，还想再做一些，就买了这本书一起做，因为感兴趣所以继续认真学习这本书。推荐给大家，这个系列的书很实用。

评分☆☆☆☆☆

⑤教学生抓重点.教学难免有意外，课堂难免有突变，应对教学意外、课堂突变的本领，就是我们通常说的驾驭课堂、驾驭学生的能力。对教师来说，让意外干扰教学、影响教学是无能，把意外变成生成，促进教学、改进教学是艺术。生成相对于教学预设而言，分有意生成、无意生成两种类型；问题生成、疑问生成、答案生成、灵感生成、思维生成、模式生成六种形式。生成的重点在问题生成、灵感生成。教学机智显亮点.随机应变的才智与机敏，最能赢得学生钦佩和行赞叹的亮点。教学机智的类型分为教师教的机智、学生学的机智，师生互动的机智，学生探究的机智。机智常常表现在应对质疑的解答，面对难题的措施，发现问题的敏锐，解决问题的灵活。

评分☆☆☆☆☆

提高效益，亦可谓“教学相长”。

评分☆☆☆☆☆

质的要求，对教育规律的把握，对教学艺术的领悟，对教学特色的追求。

评分☆☆☆☆☆

今天刚刚拿到书，这本（:..美1.美）:..·斯科特·派克1.·斯科特·派克写的少有人走的路心智成熟的旅程（最新版）很不错，少有人走的路心智成熟的旅程是一本通俗的心理学著作，也是一本伟大的心理学著作，它出自我们这个时代最杰出的心理医生斯科特派克。斯科特的杰出不仅在于他的智慧，更在于他的诚恳和勇气。他第一次说出了人们从来不敢说的话，提醒了人们从来不敢提醒的事，这就是几乎人人都有心理问题，只不过程度不同而已几乎人人都有程度不同的心理疾病，只不过得病的时间不同而已。少有人走的路心智成熟的旅程（最新版）是一本震惊世界的名著，后虽未作任何宣传，但经人们口耳相传，迅速畅销起来，它曾在美国最著名的纽约时报畅销书排行榜上连续上榜近二十年，创下了史上的一大奇迹。或许在我们这一代，没有任何一本书能像少有人走的路心智成熟的旅程这样，给我们的心灵和精神带来如此巨大的冲击。仅在北美，其销售量就超过七百万册被翻译成二十三种以上的语言在纽约时报畅销书榜单上，它停驻了近二十年的时间。这是史上的一大奇迹。

评分☆☆☆☆☆

柏拉图说，爱是一种疯狂，一种神圣的疯狂。今天我们谈论爱情时，经常把它当做人际关系的一个方面，一种我们可以控制的东西。我们关心的是，如何用正确的方式恋爱，如何获得成功的爱情，如何克服其中的问题，如何面对失恋的打击。很多人之所以来接受心理治疗，是因为他们对爱情的期望太高，而实际结果却让他们大失所望。很明显，爱情绝不是单纯的。过去的纠葛，未来的希望，以及种种鸡毛蒜皮的琐碎小事哪怕与对方只有一点点联系都会对爱情产生深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

柏拉图说，爱是一种疯狂，一种神圣的疯狂。今天我们谈论爱情时，经常把它当做人际关系的一个方面，一种我们可以控制的东西。我们关心的是，如何用正确的方式恋爱，如何获得成功的爱情，如何克服其中的问题，如何面对失恋的打击。很多人之所以来接受心理治疗，是因为他们对爱情的期望太高，而实际结果却让他们大失所望。很明显，爱情绝不是单纯的。过去的纠葛，未来的希望，以及种种鸡毛蒜皮的琐碎小事哪怕与对方只有一点点联系都会对爱情产生深远的影响。