數學中之類比：一種富有創造性的推理方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王培甫 著

圖書標籤:

• 數學
• 類比
• 推理
• 創造力
• 思維
• 教育
• 學習
• 問題解決
• 數學教育
• 認知

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040243604

版次：1

商品編碼：10634872

包裝：平裝

叢書名： 數學文化小叢書

開本：32開

齣版時間：2008-11-01

用紙：膠版紙

頁數：106

正文語種：中文

編輯推薦

《數學中之類比：一種富有創造性的推理方法》中的“類比”對人類文明發展起過重要作用、在深化人類對世界的認識或推動人類對世界的改造方麵具有某種裏程碑意義，書中深入淺齣地介紹這種數學文化的豐富內涵、數學發展史中的一些重要篇章以及一些著名數學傢的曆史功績和優秀品質等內容，適於包括中學生在內的讀者閱讀。

內容簡介

根據兩種事物在某些特徵上的相似。做齣它們在其他特徵上也可能相似的結論，這種推理的方法稱為類比。類比是一種生動活潑、極富有創造性的思維方法。《數學中之類比：一種富有創造性的推理方法》通過一些典型的實例嚮讀者介紹它們的結果以及獲得這些結果的思維過程，以幫助讀者熟悉這種十分有用的數學方法，激發大傢創新的情趣。要學好數學，不等於拼命做習題、背公式，而是要著重領會數學的思想方法和精神實質，瞭解數學在人類文明發展中所起的關鍵作用，自覺地接受數學文化的熏陶。隻有這樣，纔能從根本上體現素質教育的要求，並為全民族思想文化素質的提高夯實基礎。

作者簡介

王培甫，河北師範大學教授，1957年畢業於復旦大學數學係，畢業後至1984年在邯鄲十四中學任教，1979年被評為特級教師。1984年調入河北教育學院，曆任理科係主任、教務處處長。曾任中國教育學會數學教育研究會首屆理事、河北省高師院校數學教育研究會副理事長、河北省中學數學教育專業委員會副理事長、顧問。寫有《平麵幾何一題多解》、《平麵解析幾何一題多解》、《立體幾何一題多解》、《數學史小詞典》、《嚮量及其應用》、《嚮量學習》及《概率與統計學習》等教學課外讀物十餘種。

目錄

一、引言
二、從勾股定理談起
三、從點、綫、麵、體間的關係到多麵體的歐拉公式
四、從n∑it=1到伯努利數
五、等周問題
六、從有限嚮無限的類比
七、代數方程的根式求解問題
八、牛頓關於直徑的普遍定理
九、簡短迴顧
十、後記
參考文獻

數學中的類比：一種富有創造性的推理方法 引言：點亮思維的火花，解鎖數學的無限可能 在浩瀚的數學宇宙中，我們時常會遇到看似難以逾越的障礙，復雜的概念、抽象的理論，常常讓初學者望而卻步，甚至經驗豐富的數學傢也可能陷入思維的泥沼。然而，正是在這些關鍵時刻，一種古老而強大的思維工具——類比，便如同一盞明燈，為我們照亮前行的道路，點燃創造的火花。它並非直接的證明，卻能提供直覺的洞察；它並非嚴謹的推導，卻能指引我們走嚮正確的方嚮。數學中的類比，是一種化繁為簡、觸類旁通的藝術，它讓我們得以在熟悉的領域中汲取養分，去理解和探索未知的世界。 本書《數學中的類比：一種富有創造性的推理方法》並非一本枯燥的定理匯編，也不是一套僵化的解題技巧手冊。相反，它是一次深入探索數學思維核心的旅程，一次關於如何運用類比這種富有創造性的推理方法，來理解、發現和解決數學問題的係統性梳理。我們將跳齣傳統數學教育的框架，去感受數學思想的脈絡，去品味數學傢們在探索真理過程中所運用的智慧。 第一章：類比的本質與數學中的角色 本章將首先深入剖析“類比”這一概念的本質。我們將探討類比的定義，它如何建立不同事物之間的相似性，以及這種相似性是如何引發我們對新事物的理解。我們會區分幾種不同類型的類比，例如： 具象類比 (Concrete Analogy): 從具體的、可感知的對象中提取規律，應用到其他具體對象。例如，將水流的規律類比到電路中的電流。 抽象類比 (Abstract Analogy): 在抽象的數學結構或概念之間建立聯係。例如，將整數的加法運算類比到嚮量的加法運算。 結構類比 (Structural Analogy): 關注事物之間在結構上的相似性，而非具體的內容。例如，將樹的形態類比到文件係統的目錄結構。 功能類比 (Functional Analogy): 強調事物在功能或作用上的相似性。例如，將蜂群的協作方式類比到分布式計算中的並行處理。 在明確瞭類比的類型之後，我們將重點探討類比在數學中的獨特角色。它不僅僅是一種輔助工具，更是： 洞察力的源泉： 類比能夠提供直觀的感受，幫助我們“看到”問題的本質，即使在沒有嚴謹證明的情況下，也能産生深刻的理解。 猜想的孵化器： 許多偉大的數學猜想，都是在類比思維的啓發下産生的。通過觀察不同領域的相似性，數學傢們得以提齣大膽的設想。 問題解決的導航儀： 當我們麵對一個全新的、棘手的數學問題時，類比可以幫助我們將其與已知問題聯係起來，從而找到解決問題的思路和方法。 概念構建的基石： 在引入新的數學概念時，類比往往是教學中不可或缺的橋梁，它能夠將抽象的概念與學生熟悉的經驗聯係起來，降低學習的門檻。 我們將通過一些生動的曆史故事和數學發現的案例，來展示類比在數學發展史上的重要貢獻。例如，從古代幾何學中對自然界的觀察，到現代物理學中對不同理論的統一，類比的身影無處不在。 第二章：類比在幾何學中的應用：從圖形到空間 幾何學，作為數學中最具直觀性的分支之一，是類比思維的天然沃土。本章將聚焦於類比在幾何學中的具體應用，展示如何通過圖形之間的相似性，來理解和推導幾何定理，甚至拓展到更高維度的空間。 二維到三維的飛躍： 我們將考察如何將平麵幾何的結論，通過類比的方式推廣到立體幾何。例如，圓的麵積公式如何啓發我們思考球體的體積，三角形的相似性如何類比到四麵體的相似性。 對稱性的發現： 對稱性是幾何學中最基本也是最重要的概念之一。我們將展示如何通過觀察自然界中的對稱現象，來理解和發現幾何圖形中的對稱性，以及如何利用對稱性來簡化幾何問題的證明。 拓撲學的初步窺探： 即使不涉及具體的度量，拓撲學也依賴於類比。我們將初步探討如何通過“拉伸”、“彎麯”而不“撕裂”的方式，來類比不同圖形的性質。例如，一個咖啡杯和一個甜甜圈在拓撲學上是等價的，這種奇妙的聯係，正是類比思維的體現。 非歐幾何的啓示： 歐幾裏得幾何的平行公理曾睏擾數學傢數韆年。在探索平行綫性質的過程中，一些數學傢試圖通過類比其他幾何係統，來理解和挑戰這一公理。雖然最終並未直接通過類比“證明”非歐幾何，但類比思維無疑為非歐幾何的誕生提供瞭重要的思想土壤。 我們將通過大量的幾何圖示和易於理解的例子，讓讀者直觀地感受類比在幾何學中的強大力量，並學會如何主動運用類比去發現幾何世界的奧秘。 第三章：代數與數論中的類比：模式的識彆與推廣 代數和數論，在錶麵上可能顯得更加抽象，但類比思維同樣在這裏扮演著至關重要的角色。本章將深入探討類比如何在模式識彆、概念推廣和問題解決等方麵，為代數與數論帶來新的視角。 數字係統的類比： 我們將從自然數齣發，通過類比的方式逐步構建整數、有理數、實數乃至復數。例如，負數的概念，可以類比於數軸上與正數相對的位置；復數的引入，則可以類比於將二維坐標係的概念應用到數軸上，創造齣新的“虛數單位”。 方程求解的遷移： 一元一次方程的解法，可以類比到二元一次方程組的解法，甚至更一般的高次方程。我們看到的不僅僅是公式的變形，更是不同數學結構之間的相似性。 數論中的“同構”思想： 許多數論中的定理和性質，可以通過類比到更一般的代數結構（如群、環、域）來理解。例如，模運算的性質，可以類比到整數環中的運算。 丟番圖方程的類比： 丟番圖方程，即尋找整數解的方程，常常需要藉助同餘理論和數論的工具。在解決一些復雜的丟番圖方程時，將問題類比到已知的、結構更簡單的方程，可以為解題提供重要的綫索。 組閤數學的類比： 組閤數學中，計數問題常常可以通過類比到集閤的選取、排列或圖的結構來解決。例如，二項式定理的係數，可以通過組閤的意義來理解，並進一步推廣到更一般的情況。 我們將展示一些經典的數論問題，以及數學傢們是如何運用類比的智慧，從看似毫不相關的領域中獲得靈感，最終取得突破性進展的。 第四章：微積分的曙光：極限與無窮的類比 微積分，是數學中最具革命性的發明之一，而類比思維在它的誕生和發展過程中，起到瞭至關重要的作用。本章將重點闡述類比在微積分核心概念——極限與無窮——上的應用。 無窮小的類比： 早期數學傢在處理無窮小量時，很大程度上依賴於直覺和類比。例如，將一個越來越小的綫段長度，類比為一個“趨近於零”的量。這種類比雖然不夠嚴謹，但卻為極限概念的形成提供瞭重要的思想基礎。 割圓術的啓發： 阿基米德的割圓術，通過不斷增加圓內接正多邊形的邊數，來逼近圓的周長和麵積。這本質上是一種“極限”的類比，將有限的近似值，類比到無限分割後的真實值。 變化的速率： 微分的核心思想是研究變化的速率。我們將展示如何通過類比日常生活中物體運動的速度，來理解導數的概念。例如，汽車的速度，就是路程隨時間變化的“瞬時”速率。 纍積效應： 積分的核心思想是研究纍積效應。我們將展示如何通過類比生活中的麵積纍積、體積纍積，來理解定積分的概念。例如，計算不規則圖形的麵積，可以將其分割成無數個小矩形，然後將它們的麵積纍加起來。 連續性與可微性： 函數的連續性與可微性，雖然是嚴格的數學定義，但在初學階段，可以通過類比物理世界的平滑運動和有速度的運動來理解。 本章將帶領讀者感受微積分中那些看似“玄妙”的概念，是如何通過類比的智慧，變得更加清晰和易於掌握的。 第五章：類比在現代數學中的拓展與應用 在現代數學中，類比早已超越瞭傳統的學科界限，在更廣闊的領域發揮著作用。本章將探討類比在現代數學中的一些前沿應用。 範疇論的普適性： 範疇論是現代數學的“語言”，它通過研究數學對象之間的“態射”（映射、變換）來統一不同數學分支。範疇論的強大之處，就在於它能夠通過抽象的類比，發現不同數學領域內在的共性。 代數幾何的幾何化： 代數幾何將代數方程的解集視為幾何對象，並通過幾何的直觀來研究代數的性質。反之，幾何的許多概念也可以通過代數來描述。這種“對偶”的類比，是代數幾何的核心。 理論物理中的類比： 量子力學、相對論等現代物理理論，大量運用瞭抽象的數學工具。而數學傢和物理學傢在發展這些理論時，也常常通過類比，從一個已知的物理模型去理解和構建新的模型。例如，量子場論的某些概念，就受到瞭量子光學中光子概念的啓發。 計算機科學中的類比： 圖論、算法分析、數據結構等計算機科學分支，都與數學有著緊密的聯係。許多算法的設計，都藉鑒瞭自然界的啓發，例如蟻群算法、遺傳算法，都是對生物學現象的類比。 新興領域的探索： 在一些新興的研究領域，例如復雜係統、網絡科學等，類比依然是發現新規律、建立新模型的重要手段。 本章將展示一些現代數學和相關交叉學科的案例，來體現類比思維在推動科學前沿發展中的重要作用，並鼓勵讀者在自己的學習和研究中，積極運用類比的思維方式。 第六章：掌握類比的藝術：方法與技巧 僅僅瞭解類比的重要性是不夠的，我們還需要掌握有效運用類比的方法和技巧。本章將提供一些實用的建議，幫助讀者將類比思維內化為自己的思維習慣。 如何識彆類比機會： 我們將學習如何敏銳地觀察問題中的相似性，如何從熟悉的領域中尋找靈感，如何主動地去“連接”不同的概念。 類比的評估與反思： 類比並非總是準確的，我們需要學會評估類比的有效性，識彆其局限性，並在此基礎上進行修正和深化。 避免類比的陷阱： 有時，不恰當的類比可能會誤導我們。本章將討論一些常見的類比陷阱，並提供避免這些陷阱的策略。 類比與形式化： 類比是創造性的起點，而形式化是數學嚴謹性的保障。我們將探討如何將類比産生的直覺和猜想，轉化為嚴謹的數學證明和定義。 練習與實踐： 掌握類比藝術的最佳方式是不斷練習。我們將提供一些引導性的練習題，幫助讀者在實踐中提升類比能力。 結論：擁抱類比，開啓數學創造之旅 本書的最終目標，是希望讀者能夠真正理解並擁抱類比這一強大的思維工具。類比不僅僅是解決數學問題的技巧，更是一種開放、靈活、富有創造性的思維方式。它能夠幫助我們打破思維定勢，看到問題的多重可能性，從而更深入地理解數學的本質，更有效地進行數學創新。 願本書能夠激發您對數學的更多興趣，引導您在數學的探索之路上，找到屬於自己的獨特視角，開啓一段充滿創造力的數學之旅。類比的力量，如同星星之火，必將點燃您思維的火花，照亮您前行的道路，解鎖數學無限的可能。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事結構非常獨特，它不像傳統的數學書籍那樣僵硬地堆砌定義和定理，反而更像一部偵探小說，每一章都在引導讀者去“發現”數學真理背後的聯係。作者采用瞭大量的曆史案例和思想演變路徑，展示瞭偉大的數學傢們是如何從看似不相關的領域中汲取靈感，最終構建齣宏偉的理論體係的。我尤其欣賞其中對歐拉和高斯工作方法的剖析，他們那種跳齣既有框架的勇氣，以及在看似絕望的睏境中抓住一綫靈感的瞬間，被描繪得栩栩如生。這不僅僅是知識的傳授，更是一種精神的傳承——教會我們如何提問，而非僅僅迴答。那些穿插其中的小故事和軼聞，非但沒有衝淡嚴肅性，反而像是給嚴謹的邏輯鏈條鑲嵌上瞭閃光的寶石，使得整本書讀起來既有深度，又不失趣味性，讓人對“創造性”這個詞有瞭全新的、更具操作性的理解。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，在打開這本書之前，我對“類比”在數學研究中的實際作用是持懷疑態度的，總覺得它更多是一種輔助性的教學工具，而非核心的推理引擎。然而，這本書徹底顛覆瞭我的認知。作者通過對不同數學分支間深層結構同構性的細緻描繪，清晰地展示瞭類比如何充當瞭跨越學科壁壘的橋梁。比如，關於費馬大定理證明過程中的某些關鍵步驟，書中通過將其與一個完全不同的幾何問題進行對比，瞬間揭示瞭其中蘊含的深刻邏輯一緻性。這種“一通百通”的感覺帶來的震撼是無與倫比的。它不僅教會瞭我如何觀察相似性，更重要的是，它提供瞭一套係統的框架，來評估和篩選那些“有效”的類比，避免陷入虛假的相似性泥潭。這種元認知層麵的指導，對於任何希望提升自身問題解決能力的讀者來說，都是無價之寶。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格極其成熟且富有張力，它成功地在學術的嚴謹性與文學的感染力之間找到瞭完美的平衡點。作者的遣詞造句頗具匠心，時而如同古典哲學傢般沉穩有力，時而又像現代詩人般靈動飄逸。在描述那些涉及高維空間或無限序列的概念時，我幾乎能感受到作者在試圖用有限的詞匯去捕捉無限的形態，那種努力本身就充滿瞭美感。尤其是在導論部分，作者對“直覺”與“邏輯”之間辯證關係的探討，措辭精妙，發人深省。讀這本書的過程，與其說是學習知識，不如說是在與一位學識淵博、思維敏捷的智者進行一場跨越時空的對話。他的文字具有一種難以言喻的魅力，讓你在不知不覺中，思維的邊界就被悄悄拓寬瞭。

評分☆☆☆☆☆

這本書最大的價值，或許在於它對學習者心智模式的重塑。在信息爆炸的時代，我們習慣於接受現成的結論和標準化的解題步驟。而這本書卻反其道而行之，它引導我們去審視結論背後的“生成機製”，鼓勵我們像古代的哲人一樣，從最基本的直觀感受齣發，通過類比的跳躍和重構，去構建全新的認知大廈。書中對“非綫性思維”的推崇，體現在每一個案例的選擇和論證的鋪陳上。它不滿足於給齣“是什麼”，而是執著於探究“為什麼會是這樣”，並展示瞭如何通過巧妙的思維轉換，將一道看似無解的難題轉化為一個結構簡單、易於解決的孿生問題。讀完後，我發現自己看待日常問題的方式也發生瞭微妙的改變，那種習慣性地尋找不同事物之間潛在聯係的傾嚮被極大地激發瞭齣來，這是一種可以遷移到任何領域的核心能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版簡直是一場視覺盛宴，每一個章節的過渡都像精心設計的樂章，流暢而富有節奏感。從封麵那充滿哲思的插圖開始，我就知道我手裏握著的不是一本普通的教科書，而是一次思想的探險。作者在論述復雜概念時，那種旁徵博引、深入淺齣的功力令人嘆為觀止。他們似乎總能找到那個恰到好處的類比，將抽象的數學結構具象化為讀者熟悉的場景，比如將群論的性質比作搭建積木的規則，或者將拓撲空間的連續性比作絲綢的紋理。閱讀過程中，我時常需要停下來，不是因為理解睏難，而是因為那些精妙的比喻本身就值得細細品味。紙張的質感也極佳，墨香與書頁的觸感共同營造瞭一種沉浸式的閱讀體驗，仿佛置身於一個由純粹邏輯和無限想象力構成的世界。這種對細節的極緻追求，讓每一次翻頁都變成瞭一種享受，也極大地增強瞭學習的動力，讓人忍不住想一口氣讀完，去探索下一個等待被揭示的思維疆域。

評分☆☆☆☆☆

書可以 價格貴 京東加油！

評分☆☆☆☆☆

書可以 價格貴 京東加油！

評分☆☆☆☆☆

很好！！！！

評分☆☆☆☆☆

相信通過本書的學習，大傢都能掌握這種強大而有用的方法，運用到我們的學習或者教學當中，不斷提升數學能力。

評分☆☆☆☆☆

Goooooooooooooooooooood

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

當大傢看到我的這一篇評價時，錶示我對産品是認可的，盡管我此刻的評論是復製黏貼的。這一方麵是為瞭肯定商傢的服務，另一方麵是為瞭節省自己的時間，因為差評我會直接說為什麼的。所以大傢就當作是産品質量閤格的意思來看就行瞭。最後祝京東越做越好，大傢幸福平安，中華民族繁榮昌盛。

評分☆☆☆☆☆

非常好非常好非常好非常好