数学中之类比：一种富有创造性的推理方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王培甫 著

图书标签:

• 数学
• 类比
• 推理
• 创造力
• 思维
• 教育
• 学习
• 问题解决
• 数学教育
• 认知

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040243604

版次：1

商品编码：10634872

包装：平装

丛书名： 数学文化小丛书

开本：32开

出版时间：2008-11-01

用纸：胶版纸

页数：106

正文语种：中文

编辑推荐

《数学中之类比：一种富有创造性的推理方法》中的“类比”对人类文明发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面具有某种里程碑意义，书中深入浅出地介绍这种数学文化的丰富内涵、数学发展史中的一些重要篇章以及一些著名数学家的历史功绩和优秀品质等内容，适于包括中学生在内的读者阅读。

内容简介

根据两种事物在某些特征上的相似。做出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理的方法称为类比。类比是一种生动活泼、极富有创造性的思维方法。《数学中之类比：一种富有创造性的推理方法》通过一些典型的实例向读者介绍它们的结果以及获得这些结果的思维过程，以帮助读者熟悉这种十分有用的数学方法，激发大家创新的情趣。要学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉地接受数学文化的熏陶。只有这样，才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民族思想文化素质的提高夯实基础。

作者简介

王培甫，河北师范大学教授，1957年毕业于复旦大学数学系，毕业后至1984年在邯郸十四中学任教，1979年被评为特级教师。1984年调入河北教育学院，历任理科系主任、教务处处长。曾任中国教育学会数学教育研究会首届理事、河北省高师院校数学教育研究会副理事长、河北省中学数学教育专业委员会副理事长、顾问。写有《平面几何一题多解》、《平面解析几何一题多解》、《立体几何一题多解》、《数学史小词典》、《向量及其应用》、《向量学习》及《概率与统计学习》等教学课外读物十余种。

目录

一、引言
二、从勾股定理谈起
三、从点、线、面、体间的关系到多面体的欧拉公式
四、从n∑it=1到伯努利数
五、等周问题
六、从有限向无限的类比
七、代数方程的根式求解问题
八、牛顿关于直径的普遍定理
九、简短回顾
十、后记
参考文献

数学中的类比：一种富有创造性的推理方法 引言：点亮思维的火花，解锁数学的无限可能 在浩瀚的数学宇宙中，我们时常会遇到看似难以逾越的障碍，复杂的概念、抽象的理论，常常让初学者望而却步，甚至经验丰富的数学家也可能陷入思维的泥沼。然而，正是在这些关键时刻，一种古老而强大的思维工具——类比，便如同一盏明灯，为我们照亮前行的道路，点燃创造的火花。它并非直接的证明，却能提供直觉的洞察；它并非严谨的推导，却能指引我们走向正确的方向。数学中的类比，是一种化繁为简、触类旁通的艺术，它让我们得以在熟悉的领域中汲取养分，去理解和探索未知的世界。 本书《数学中的类比：一种富有创造性的推理方法》并非一本枯燥的定理汇编，也不是一套僵化的解题技巧手册。相反，它是一次深入探索数学思维核心的旅程，一次关于如何运用类比这种富有创造性的推理方法，来理解、发现和解决数学问题的系统性梳理。我们将跳出传统数学教育的框架，去感受数学思想的脉络，去品味数学家们在探索真理过程中所运用的智慧。 第一章：类比的本质与数学中的角色 本章将首先深入剖析“类比”这一概念的本质。我们将探讨类比的定义，它如何建立不同事物之间的相似性，以及这种相似性是如何引发我们对新事物的理解。我们会区分几种不同类型的类比，例如： 具象类比 (Concrete Analogy): 从具体的、可感知的对象中提取规律，应用到其他具体对象。例如，将水流的规律类比到电路中的电流。 抽象类比 (Abstract Analogy): 在抽象的数学结构或概念之间建立联系。例如，将整数的加法运算类比到向量的加法运算。 结构类比 (Structural Analogy): 关注事物之间在结构上的相似性，而非具体的内容。例如，将树的形态类比到文件系统的目录结构。 功能类比 (Functional Analogy): 强调事物在功能或作用上的相似性。例如，将蜂群的协作方式类比到分布式计算中的并行处理。 在明确了类比的类型之后，我们将重点探讨类比在数学中的独特角色。它不仅仅是一种辅助工具，更是： 洞察力的源泉： 类比能够提供直观的感受，帮助我们“看到”问题的本质，即使在没有严谨证明的情况下，也能产生深刻的理解。 猜想的孵化器： 许多伟大的数学猜想，都是在类比思维的启发下产生的。通过观察不同领域的相似性，数学家们得以提出大胆的设想。 问题解决的导航仪： 当我们面对一个全新的、棘手的数学问题时，类比可以帮助我们将其与已知问题联系起来，从而找到解决问题的思路和方法。 概念构建的基石： 在引入新的数学概念时，类比往往是教学中不可或缺的桥梁，它能够将抽象的概念与学生熟悉的经验联系起来，降低学习的门槛。 我们将通过一些生动的历史故事和数学发现的案例，来展示类比在数学发展史上的重要贡献。例如，从古代几何学中对自然界的观察，到现代物理学中对不同理论的统一，类比的身影无处不在。 第二章：类比在几何学中的应用：从图形到空间 几何学，作为数学中最具直观性的分支之一，是类比思维的天然沃土。本章将聚焦于类比在几何学中的具体应用，展示如何通过图形之间的相似性，来理解和推导几何定理，甚至拓展到更高维度的空间。 二维到三维的飞跃： 我们将考察如何将平面几何的结论，通过类比的方式推广到立体几何。例如，圆的面积公式如何启发我们思考球体的体积，三角形的相似性如何类比到四面体的相似性。 对称性的发现： 对称性是几何学中最基本也是最重要的概念之一。我们将展示如何通过观察自然界中的对称现象，来理解和发现几何图形中的对称性，以及如何利用对称性来简化几何问题的证明。 拓扑学的初步窥探： 即使不涉及具体的度量，拓扑学也依赖于类比。我们将初步探讨如何通过“拉伸”、“弯曲”而不“撕裂”的方式，来类比不同图形的性质。例如，一个咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑学上是等价的，这种奇妙的联系，正是类比思维的体现。 非欧几何的启示： 欧几里得几何的平行公理曾困扰数学家数千年。在探索平行线性质的过程中，一些数学家试图通过类比其他几何系统，来理解和挑战这一公理。虽然最终并未直接通过类比“证明”非欧几何，但类比思维无疑为非欧几何的诞生提供了重要的思想土壤。 我们将通过大量的几何图示和易于理解的例子，让读者直观地感受类比在几何学中的强大力量，并学会如何主动运用类比去发现几何世界的奥秘。 第三章：代数与数论中的类比：模式的识别与推广 代数和数论，在表面上可能显得更加抽象，但类比思维同样在这里扮演着至关重要的角色。本章将深入探讨类比如何在模式识别、概念推广和问题解决等方面，为代数与数论带来新的视角。 数字系统的类比： 我们将从自然数出发，通过类比的方式逐步构建整数、有理数、实数乃至复数。例如，负数的概念，可以类比于数轴上与正数相对的位置；复数的引入，则可以类比于将二维坐标系的概念应用到数轴上，创造出新的“虚数单位”。 方程求解的迁移： 一元一次方程的解法，可以类比到二元一次方程组的解法，甚至更一般的高次方程。我们看到的不仅仅是公式的变形，更是不同数学结构之间的相似性。 数论中的“同构”思想： 许多数论中的定理和性质，可以通过类比到更一般的代数结构（如群、环、域）来理解。例如，模运算的性质，可以类比到整数环中的运算。 丢番图方程的类比： 丢番图方程，即寻找整数解的方程，常常需要借助同余理论和数论的工具。在解决一些复杂的丢番图方程时，将问题类比到已知的、结构更简单的方程，可以为解题提供重要的线索。 组合数学的类比： 组合数学中，计数问题常常可以通过类比到集合的选取、排列或图的结构来解决。例如，二项式定理的系数，可以通过组合的意义来理解，并进一步推广到更一般的情况。 我们将展示一些经典的数论问题，以及数学家们是如何运用类比的智慧，从看似毫不相关的领域中获得灵感，最终取得突破性进展的。 第四章：微积分的曙光：极限与无穷的类比 微积分，是数学中最具革命性的发明之一，而类比思维在它的诞生和发展过程中，起到了至关重要的作用。本章将重点阐述类比在微积分核心概念——极限与无穷——上的应用。 无穷小的类比： 早期数学家在处理无穷小量时，很大程度上依赖于直觉和类比。例如，将一个越来越小的线段长度，类比为一个“趋近于零”的量。这种类比虽然不够严谨，但却为极限概念的形成提供了重要的思想基础。 割圆术的启发： 阿基米德的割圆术，通过不断增加圆内接正多边形的边数，来逼近圆的周长和面积。这本质上是一种“极限”的类比，将有限的近似值，类比到无限分割后的真实值。 变化的速率： 微分的核心思想是研究变化的速率。我们将展示如何通过类比日常生活中物体运动的速度，来理解导数的概念。例如，汽车的速度，就是路程随时间变化的“瞬时”速率。 累积效应： 积分的核心思想是研究累积效应。我们将展示如何通过类比生活中的面积累积、体积累积，来理解定积分的概念。例如，计算不规则图形的面积，可以将其分割成无数个小矩形，然后将它们的面积累加起来。 连续性与可微性： 函数的连续性与可微性，虽然是严格的数学定义，但在初学阶段，可以通过类比物理世界的平滑运动和有速度的运动来理解。 本章将带领读者感受微积分中那些看似“玄妙”的概念，是如何通过类比的智慧，变得更加清晰和易于掌握的。 第五章：类比在现代数学中的拓展与应用 在现代数学中，类比早已超越了传统的学科界限，在更广阔的领域发挥着作用。本章将探讨类比在现代数学中的一些前沿应用。 范畴论的普适性： 范畴论是现代数学的“语言”，它通过研究数学对象之间的“态射”（映射、变换）来统一不同数学分支。范畴论的强大之处，就在于它能够通过抽象的类比，发现不同数学领域内在的共性。 代数几何的几何化： 代数几何将代数方程的解集视为几何对象，并通过几何的直观来研究代数的性质。反之，几何的许多概念也可以通过代数来描述。这种“对偶”的类比，是代数几何的核心。 理论物理中的类比： 量子力学、相对论等现代物理理论，大量运用了抽象的数学工具。而数学家和物理学家在发展这些理论时，也常常通过类比，从一个已知的物理模型去理解和构建新的模型。例如，量子场论的某些概念，就受到了量子光学中光子概念的启发。 计算机科学中的类比： 图论、算法分析、数据结构等计算机科学分支，都与数学有着紧密的联系。许多算法的设计，都借鉴了自然界的启发，例如蚁群算法、遗传算法，都是对生物学现象的类比。 新兴领域的探索： 在一些新兴的研究领域，例如复杂系统、网络科学等，类比依然是发现新规律、建立新模型的重要手段。 本章将展示一些现代数学和相关交叉学科的案例，来体现类比思维在推动科学前沿发展中的重要作用，并鼓励读者在自己的学习和研究中，积极运用类比的思维方式。 第六章：掌握类比的艺术：方法与技巧 仅仅了解类比的重要性是不够的，我们还需要掌握有效运用类比的方法和技巧。本章将提供一些实用的建议，帮助读者将类比思维内化为自己的思维习惯。 如何识别类比机会： 我们将学习如何敏锐地观察问题中的相似性，如何从熟悉的领域中寻找灵感，如何主动地去“连接”不同的概念。 类比的评估与反思： 类比并非总是准确的，我们需要学会评估类比的有效性，识别其局限性，并在此基础上进行修正和深化。 避免类比的陷阱： 有时，不恰当的类比可能会误导我们。本章将讨论一些常见的类比陷阱，并提供避免这些陷阱的策略。 类比与形式化： 类比是创造性的起点，而形式化是数学严谨性的保障。我们将探讨如何将类比产生的直觉和猜想，转化为严谨的数学证明和定义。 练习与实践： 掌握类比艺术的最佳方式是不断练习。我们将提供一些引导性的练习题，帮助读者在实践中提升类比能力。 结论：拥抱类比，开启数学创造之旅 本书的最终目标，是希望读者能够真正理解并拥抱类比这一强大的思维工具。类比不仅仅是解决数学问题的技巧，更是一种开放、灵活、富有创造性的思维方式。它能够帮助我们打破思维定势，看到问题的多重可能性，从而更深入地理解数学的本质，更有效地进行数学创新。 愿本书能够激发您对数学的更多兴趣，引导您在数学的探索之路上，找到属于自己的独特视角，开启一段充满创造力的数学之旅。类比的力量，如同星星之火，必将点燃您思维的火花，照亮您前行的道路，解锁数学无限的可能。

评分☆☆☆☆☆

这本书最大的价值，或许在于它对学习者心智模式的重塑。在信息爆炸的时代，我们习惯于接受现成的结论和标准化的解题步骤。而这本书却反其道而行之，它引导我们去审视结论背后的“生成机制”，鼓励我们像古代的哲人一样，从最基本的直观感受出发，通过类比的跳跃和重构，去构建全新的认知大厦。书中对“非线性思维”的推崇，体现在每一个案例的选择和论证的铺陈上。它不满足于给出“是什么”，而是执着于探究“为什么会是这样”，并展示了如何通过巧妙的思维转换，将一道看似无解的难题转化为一个结构简单、易于解决的孪生问题。读完后，我发现自己看待日常问题的方式也发生了微妙的改变，那种习惯性地寻找不同事物之间潜在联系的倾向被极大地激发了出来，这是一种可以迁移到任何领域的核心能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事结构非常独特，它不像传统的数学书籍那样僵硬地堆砌定义和定理，反而更像一部侦探小说，每一章都在引导读者去“发现”数学真理背后的联系。作者采用了大量的历史案例和思想演变路径，展示了伟大的数学家们是如何从看似不相关的领域中汲取灵感，最终构建出宏伟的理论体系的。我尤其欣赏其中对欧拉和高斯工作方法的剖析，他们那种跳出既有框架的勇气，以及在看似绝望的困境中抓住一线灵感的瞬间，被描绘得栩栩如生。这不仅仅是知识的传授，更是一种精神的传承——教会我们如何提问，而非仅仅回答。那些穿插其中的小故事和轶闻，非但没有冲淡严肃性，反而像是给严谨的逻辑链条镶嵌上了闪光的宝石，使得整本书读起来既有深度，又不失趣味性，让人对“创造性”这个词有了全新的、更具操作性的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版简直是一场视觉盛宴，每一个章节的过渡都像精心设计的乐章，流畅而富有节奏感。从封面那充满哲思的插图开始，我就知道我手里握着的不是一本普通的教科书，而是一次思想的探险。作者在论述复杂概念时，那种旁征博引、深入浅出的功力令人叹为观止。他们似乎总能找到那个恰到好处的类比，将抽象的数学结构具象化为读者熟悉的场景，比如将群论的性质比作搭建积木的规则，或者将拓扑空间的连续性比作丝绸的纹理。阅读过程中，我时常需要停下来，不是因为理解困难，而是因为那些精妙的比喻本身就值得细细品味。纸张的质感也极佳，墨香与书页的触感共同营造了一种沉浸式的阅读体验，仿佛置身于一个由纯粹逻辑和无限想象力构成的世界。这种对细节的极致追求，让每一次翻页都变成了一种享受，也极大地增强了学习的动力，让人忍不住想一口气读完，去探索下一个等待被揭示的思维疆域。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格极其成熟且富有张力，它成功地在学术的严谨性与文学的感染力之间找到了完美的平衡点。作者的遣词造句颇具匠心，时而如同古典哲学家般沉稳有力，时而又像现代诗人般灵动飘逸。在描述那些涉及高维空间或无限序列的概念时，我几乎能感受到作者在试图用有限的词汇去捕捉无限的形态，那种努力本身就充满了美感。尤其是在导论部分，作者对“直觉”与“逻辑”之间辩证关系的探讨，措辞精妙，发人深省。读这本书的过程，与其说是学习知识，不如说是在与一位学识渊博、思维敏捷的智者进行一场跨越时空的对话。他的文字具有一种难以言喻的魅力，让你在不知不觉中，思维的边界就被悄悄拓宽了。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，在打开这本书之前，我对“类比”在数学研究中的实际作用是持怀疑态度的，总觉得它更多是一种辅助性的教学工具，而非核心的推理引擎。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者通过对不同数学分支间深层结构同构性的细致描绘，清晰地展示了类比如何充当了跨越学科壁垒的桥梁。比如，关于费马大定理证明过程中的某些关键步骤，书中通过将其与一个完全不同的几何问题进行对比，瞬间揭示了其中蕴含的深刻逻辑一致性。这种“一通百通”的感觉带来的震撼是无与伦比的。它不仅教会了我如何观察相似性，更重要的是，它提供了一套系统的框架，来评估和筛选那些“有效”的类比，避免陷入虚假的相似性泥潭。这种元认知层面的指导，对于任何希望提升自身问题解决能力的读者来说，都是无价之宝。

评分☆☆☆☆☆

相信通过本书的学习，大家都能掌握这种强大而有用的方法，运用到我们的学习或者教学当中，不断提升数学能力。

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书可以 价格贵 京东加油！

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当大家看到我的这一篇评价时，表示我对产品是认可的，尽管我此刻的评论是复制黏贴的。这一方面是为了肯定商家的服务，另一方面是为了节省自己的时间，因为差评我会直接说为什么的。所以大家就当作是产品质量合格的意思来看就行了。最后祝京东越做越好，大家幸福平安，中华民族繁荣昌盛。

评分☆☆☆☆☆

给侄子买的，应该还不错。

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