数学在19世纪的发展（第2卷） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[德] 克莱因 著，李培廉 译

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• 数学史
• 19世纪数学
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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040322842

版次：1

商品编码：10887980

包装：精装

开本：16开

出版时间：2011-11-01

用纸：胶版纸

页数：319

字数：410000

内容简介

　　 《数学在19世纪的发展（第2卷）》与第一卷有所不同，它是专门讲述不变量理论以及相对论的数学源头，即相对论的数学史前史的，其中也包括了克莱因本人的一些研究成果。从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。在这个意义上，相对论与克莱因的《erlangen纲领》在思想上是一脉相承的。
　　 《数学在19世纪的发展（第2卷）》不再是按时间发展的顺序讲述，而是将不变量理论及其在物理学中的应用归拢到一起做系统的讲述。时至今日，它仍是学习不变量理论及其应用的一本极好的教材，对学习数学和物理的学生和教师都有极高的参考价值，也适合对数学及科学思想文化发展感兴趣的读者阅读。

作者简介

F．克莱因（F．Klein，1849—1925）19世纪后半叶至20世纪初最重要的数学家之一。他的贡献最为人所知的可能是关于几何学的埃尔朗根纲领，但是实际上远不止此，而是贯穿了几何、代数、复分析、群论和数学物理等多个方面。他一直主张纯粹数学与应用数学的统一，数学与物理、力学的统一，在数学内部则主张各个分支的统一。他认为自己最大的贡献正是在复分析、代数与几何的统一上所做出的努力。在方法论上，他的主张逻辑思维与几何直觉的统一也是非常突出的。在他的后半生，因为健康关系不能再继续独创性的科研工作。

目录

《数学翻译丛书》序
编者前言
引言
第一章 线性不变量理论的基本概念初步
a 一般线性不变量理论概述
1 线性代换．不变量的概念
2 graβmann层量
3 关于我们的量丛（特别是graβmann层量）的几何意义
4 二次型及其不变量
5 关于二次型的等价
6 由一个二次型确定仿射度量
7 关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型
b 线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充
1 关于erlangen纲领
2 对三维空间的特殊考察
3 四元数插话
4 过渡到向量代数和张量代数的基本概念
5 向量分析（张量分析）的引入
6 向量学中的不变量理论表述
7 关于在maxwell的treatise（通论）之后向量学在各国的发展
第一章注释

第二章 力学与数学物理中的狭义相对论
a 经典天体力学与galilei-newton群的相对论
1 从n体问题的微分方程看群的定义和意义
2 关于经典力学n体问题的10个通积分
b maxwell电动力学和lorentz群的相对论
ⅰ 导论
1 自由以太的maxwell方程组
2 正交形式下的lorentz群
3 返回到x，y，z，t
4 谈电学和原子的概念在maxwell的通论发表（1873）后的发展
5 关于20世纪以前对maxwell理论的数学处理
6 关于lorentz群的发展过程
7 关于新学说的进一步的传播．1911年及1909年以后的发展
ⅱ 在正交形式下lorentz群的处理
1 相应四维分析纲要
2 再谈四元数
3 关于用积分关系式来代替maxwell方程组
4 四维势以及与之相关的变分定理
5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例
6 lorentz群的相对论
ⅲ 回归lorentz群的实数关系
1 导论
2 几何的辅助概念
3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像
4 关于偏微分方程 的求积简史
5 初等光学，特别是几何光学，作为maxwell方程组的第一级近似
c 关于力学与lorentz群的相对论的相适应
1 从lorentz群向galilei-newton群的极限过渡
2 单个质点的动力学
3 谈刚体的理论
结束语
第二章注释

第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群
a 经典力学的一般lagrange方程
引言
1 lagrange方程及其g∞群的引入
2 lagrange方程的g∞群和galilei newton群 copernicus坐标系和ptolemy坐标系
3 简化变分原理，过渡到几何
b 建立在gauβ的《disquisitiones circa superficies curvas（曲面理论的一般研究）》的基础之上的二维流形的内蕴几何学
1 概述
2 关于测地线的微分方程
3 在不变量理论框架中gaub曲面论中几个最简单的定理和概念
4 谈gauβ全曲率概念的引入
5 关于在任意给定的ds2下全曲率k的解析表示
6 riemann公式的证明以及几种相应的计算
7 关于两个二元ds2之间的等价．全曲率为常量时的详情
c n维riemann流形 i．形式基础
1 历史简述
2 只有一阶微分的微分形式
3 关于riemann全曲率的开场白
4 测地线方程以及与之相关的不变量
5 riemann的[ω]
6 riemann全曲率的计算公式
d n维riemann流形 ii．正规坐标．几何意义
1 riemann正规坐标及其所属的ds2的结构
2 限制到o的最近的邻域．kn的一般几何意义
3 位置不变量k的几何意义
4 最简单的方向不变量的几何意义．过渡到平均曲率k（n-1）
5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题
e riemann之后的若干进一步发展
1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响
2 beltrami的构造不变量的方法
3 lipschitz与christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量
4 谈christoffel在1869年的论文
5 用无限小变换表征不变量（lie）
6 关于一任意张量tik的向量散度
结束语
第三章注释
附录ⅰ dr. felix klein：对新近以来几何学研究的比较考察
附录ⅱ bernhard riemann：单复变量函数一般理论基础
附录ⅲ bernhard riemann：论奠定几何学基础之假设
附录ⅳ bernhard riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述
人名索引
专业名词索引
译后记

好的，这是一本关于数学在19世纪发展的书籍的详细简介，内容将侧重于19世纪数学的转型、关键领域的发展及其对现代数学的奠基作用，完全不涉及您提到的特定书名《数学在19世纪的发展（第2卷）》中的任何具体章节或内容。 19世纪数学的伟大转型：从经典范式到现代数学的奠基 一本书的概述： 本书带领读者深入探究了19世纪这个波澜壮阔的时代，这是一个数学经历根本性变革的时期。它不仅仅是先前几个世纪的延续，而是一场深刻的范式转换，为20世纪的数学爆炸式发展铺平了道路。19世纪的数学家们不再满足于直观的、基于几何或物理的推理，他们以前所未有的严格性去审视并重建了数学的基础，同时开辟了全新的研究领域，这些领域至今仍是纯数学的核心。 我们考察的重点是严谨性的觉醒、抽象思维的兴起以及应用领域与理论深度的同步拓展。 第一部分：分析学的重塑与严格化的浪潮 19世纪上半叶，处理无穷和极限的微积分体系暴露出了其内在的逻辑缺陷。十八世纪的成功建立在直观的计算技巧之上，但缺乏坚实的逻辑基础。本书详尽分析了这种危机以及随之而来的彻底的改革运动。 1. 极限理论的岩石基础：柯西与魏尔斯特拉斯 我们首先聚焦于奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）的工作。他引入了现代极限概念的精确表述，即著名的 $epsilon-delta$ 定义，这是数学分析走向严格性的关键一步。本书详细阐述了柯西如何用这种语言来重新定义连续性、收敛性和导数，从而为傅里叶级数和偏微分方程的分析奠定了坚实的基础。 紧接着，我们深入探讨卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）的贡献。他被誉为“现代分析的算术化者”。魏尔斯特拉斯的工作是对直觉分析的彻底清算。通过构建处处连续但处处不可微的函数，他打破了人们对函数光滑性的固有印象，并将分析学完全建立在自然数和有理数之上的算术基础之上。我们详细解析了魏尔斯特拉斯对实数的严密定义，以及他如何通过级数收敛的严格准则，为复变函数论的进一步发展设定了新的标准。 2. 黎曼几何的先声与复变函数的巩固 在分析学严格化的同时，复数领域的探索也达到了新的高度。本书追溯了卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对代数基本定理的严密证明，以及他将复数提升到与实数同等重要的地位。 然而，19世纪后半叶复分析的真正高光时刻属于伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。黎曼通过其对复变函数论的开创性贡献，将解析性（或全纯性）的概念提升到了前所未有的高度。他的工作不仅重新定义了积分（黎曼积分的概念），更重要的是，他引入了黎曼曲面的概念。我们详尽分析了黎曼曲面如何将代数函数和多值函数转化为单值函数的研究对象，这是一种深刻的空间化和几何化思维，预示了拓扑学和代数几何的未来方向。 第二部分：代数领域的范式革命 19世纪的代数不再仅仅是解多项式方程的技巧，它演变成了一门研究结构和运算本身的学科。 1. 群论的诞生与伽罗瓦的遗产 本书将“群”这一核心概念的诞生置于关键地位。我们详细考察了尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）对五次及以上代数方程无一般代数解的证明，这为更宏大的结构研究打开了大门。 随后，我们全面梳理了埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）革命性的工作。伽罗瓦将置换群的概念与方程的根联系起来，为“可解性”提供了一个精确的判据。本书会深入分析伽罗瓦理论的内在逻辑，展示如何利用域扩张和群论的相互作用，彻底解决了长期困扰数学家的问题。伽罗瓦理论不仅仅解决了方程问题，它确立了抽象代数思维的典范——通过研究变换和对称性来理解对象。 2. 抽象代数结构的深化 在伽罗瓦理论的启发下，19世纪后半叶，数学家们开始系统地研究更一般的代数结构。威廉·德德金（Richard Dedekind）的工作尤为重要。他发展了对理想和域的清晰定义，为抽象代数和代数数论奠定了基础。我们考察了德德金如何利用这些工具来理解代数整数的因子分解，从而超越了欧几里得的简单整除概念。 第三部分：非欧几何的诞生与空间的再定义 欧几里得几何统治了近两千年，但19世纪见证了其基础公设——平行公设——被质疑并最终被推翻的伟大时刻。 1. 质疑的勇气：罗巴切夫斯基与鲍耶 本书详细回顾了尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和扬·博耶（János Bolyai）独立构建的非欧几何体系。我们分析了他们如何通过否定平行公设（代之以“通过一点有无数条平行线”或“没有平行线”）来发展出一套内部逻辑一致的几何学。这种工作极大地拓宽了人类对“空间”本质的理解，表明几何学的真理性不再依赖于经验观察，而依赖于公理体系的逻辑一致性。 2. 黎曼几何的综合：弯曲空间的描述 真正的飞跃由黎曼完成。他的工作超越了平面和恒定曲率的表面，发展了黎曼几何，这是一种描述任意维度、任意弯曲流形的微分几何。黎曼引入了度量张量、测地线等概念，用微分方程精确地描述了空间内部的几何性质。本书强调，黎曼的几何观念提供了一种极其强大的语言，它不仅是纯数学的杰作，也最终成为爱因斯坦广义相对论的数学框架。 第四部分：数论的黄金时代与严格化的渗透 数论在19世纪也经历了从纯粹的猜想和技巧性证明到严密理论体系的转变。 1. 高斯的奠基与二次互反律的证明 高斯被誉为“数学王子”，他在数论领域的贡献是里程碑式的。本书重点分析了高斯对同余理论（Modular Arithmetic）的系统化建立。通过引入“同余”这一工具，高斯将数论的研究从单个整数提升到了对整个数系结构的考察。我们详述了他对二次互反律的九次证明（特别是利用复数和高斯和的证明），展示了他对不同数学工具的灵活运用和对证明严谨性的不懈追求。 2. 代数数论的兴起 在德德金和克罗内克的推动下，数论开始与抽象代数深度融合。本书探讨了代数数论如何解决费马大定理等经典问题时遇到的困难（例如，在某些域中唯一分解性失效的问题）。德德金对理想理论的发展，正是为了克服这些在代数数域中“整数”的分解问题，这是现代代数几何和代数拓扑的先驱思想。 总结：通往现代数学的桥梁 19世纪的数学家们不仅解决了前辈留下的具体问题，更重要的是，他们创造了全新的概念工具——群、环、场、流形、测度、极限——这些工具定义了现代数学的面貌。本书揭示了这一时期数学发展中“统一性”的追求，即通过对严谨性的追求，不同分支（分析、几何、代数）最终汇聚到共同的、结构化的基础之上。这个世纪的成果，是人类理性思维深度和广度的有力证明。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的内容深度和广度感到极为震撼，它绝不仅仅是对一个世纪数学成就的简单罗列，而是在构建一个宏大的思想史图景。作者显然花费了难以估量的精力去挖掘那些被主流叙事所忽略的支流和细微的演变路径。例如，他对非欧几何在不同学术圈层中被接受和抵制的细致描摹，以及在纯粹理论探索和其实际应用（如物理学或工程学）之间微妙的张力，都有着极为深刻的洞察。这种叙事方式避免了将数学发展描绘成一条笔直向前的直线，而是将其呈现为一个充满曲折、竞争和偶然性的复杂网络。阅读过程中，我多次停下来反思，作者是如何在如此庞大的资料库中提炼出这些关键的交叉点，并用如此清晰的逻辑串联起来的。它迫使读者去质疑“必然性”这个概念，认识到数学的每一步飞跃都凝聚着无数个体智慧的艰难抉择和时代精神的推波助澜。这种对历史语境的深入考察，让原本枯燥的定理和公理变得鲜活起来，充满了人性的挣扎与光辉。

评分☆☆☆☆☆

从学术参考价值的角度来看，这本书的注释和引文系统堪称典范，这无疑是判断一部严肃学术著作质量的关键指标之一。我惊喜地发现，几乎每一个重要的观点或历史轶事后面，都有着详尽的脚注，这些脚注本身就构成了一个微型的、高质量的次级文献库。作者不仅标注了原始文献的出处，还常常引用了后世学者对该主题的不同解读，甚至会加入一些简短的评论，引导读者去查阅那些可能被遗忘或低估的重要论文。这种“多层次”的引用方式，极大地拓展了阅读的深度，如果你想顺着某个特定数学家的思想脉络继续深挖，这本书提供的指引是无比清晰且可靠的。它不仅仅是告诉我“发生了什么”，更重要的是告诉我“谁说了这件事”以及“其他人是怎么看待这件事的”。对于研究生或研究人员来说，这本书的参考价值远超其作为一本历史读物本身的价值，它更像是一个精心策划的、通往十九世纪数学知识宝库的地图。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格非常独特，它不像传统的教科书那样追求冰冷的客观性，而是带有一种近乎散文诗般的叙事节奏，尤其是在描述那些跨越国界和语言障碍的学术交流时。作者善于运用富有画面感的语言来描绘那些思想碰撞的瞬间，比如巴黎沙龙里的激烈辩论，或是某个偏远小镇图书馆中突然灵光乍现的顿悟。这种叙事腔调极大地降低了专业知识的门槛，使得即便是对某些分支领域了解不深的读者，也能被故事本身的张力所吸引。然而，这种文学性的表达并未牺牲严谨性，它巧妙地在宏观的历史描述和微观的公式推导之间找到了一个完美的平衡点。当需要展示关键的数学突破时，作者会果断切换到精准、严谨的符号语言，确保信息的准确性，随后又迅速回归到对该突破的哲学意义和社会影响的讨论。这种文风上的灵活切换，使得阅读体验流畅且引人入胜，让人很难在中间章节停下来。

评分☆☆☆☆☆

最令我欣赏的是作者对于“现代性”概念在数学领域中构建过程的批判性审视。十九世纪是数学急剧专业化和体系化的时期，但这种“进步”往往伴随着对早期直觉和几何学基础的某种程度上的疏离。这本书并没有盲目赞美这一过程，而是冷静地剖析了理性主义的胜利是如何在某些方面造成了知识的碎片化和审美上的损失。它探讨了危机感是如何催生了更严格的基础研究，但同时也反思了这种严格性是否扼杀了某种更为自由和富有想象力的数学探索精神。这种反思性的视角，使得整本书的立意得到了升华，它不再满足于记录已完成的历史，而是邀请读者参与到对“何为好的数学”的持续追问中。这种对历史发展中内在矛盾和张力的捕捉，赋予了这部作品超越单纯历史叙述的哲学厚度，让人读后久久不能平静，引发了对当代数学研究方向的深层次思考。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版实在是一流的，纸张质感非常厚实，触感温润，印刷的字体清晰锐利，尤其是一些复杂的数学公式和图表，都处理得极为精妙，让人在阅读过程中心旷神怡。我通常对学术书籍的阅读体验要求较高，这本书在视觉上的享受是毋庸置疑的。特别是那些手绘的早期数学家肖像插图，虽然是黑白印刷，但线条的力度和神韵都被捕捉得非常到位，仿佛能穿越时空与那些伟大的头脑对话。装帧设计上，封面的设计风格沉稳大气，配色雅致，无论是放在书架上还是在案头翻阅，都显得十分有分量感。翻开内页，页边距的留白恰到好处，保证了阅读的舒适度，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。可见出版方在书籍的物理呈现上投入了巨大的心血，这使得每一次拿起它都像是在进行一场庄重的仪式。这种对细节的极致追求，极大地提升了阅读的沉浸感和愉悦度，是那种值得收藏的精品之作，单从制作工艺上来说，它已经超越了一般的工具书范畴，更像是一件艺术品。

评分☆☆☆☆☆

好书

评分☆☆☆☆☆

下面扯点别的。无论是高斯还是黎曼，都是综合应用数学和纯粹数学研究的大师，他们从纯粹领域迅速转入应用领域的本事令人叹为观止，数学/的强大在他们手中发挥到了淋漓尽致。克莱因这样比喻到：现在摆在橱窗里的精美的数学，受到了鉴赏家们的一致称赞，但它们本来是*，是用来对付难缠的敌人的，而人们却逐渐忘却了这个本原的用处。

评分☆☆☆☆☆

两件事让我印象深刻，一个是他和我们这些苦逼学生一样，也做过（克莱因说的）“没意义”的替换变量的积分练习；另一个是他的“格言”：如果有不完美的地方，就等于没做。第一个竟然让我有一种稀奇的感觉，原来高斯也做练习，和大家一样都做过双纽线方程的积分，我不知道怎样表达这种感觉，只能说每个人都有成为牛人的机会，是我们太懒惰。但是高斯的那句格言，却显示那种对自己严苛的要求。看看中国学术学的光怪陆离的现象，毫无创造力，至于恬不知耻的学术造假就不说了。应该给那些所谓的教授们都发一本这书，真是要比成天发那些干部高官的鸡毛鸡肋有价值的多。

评分☆☆☆☆☆

物流速度快，经典书籍，翻译有质量！

评分☆☆☆☆☆

内容非常深，慢慢看

评分☆☆☆☆☆

这本书的几乎每个每个方面都体现了质量的优秀。作者是德国人菲利克斯·克莱因，康斯坦丁·里德（《希尔伯特》的作者）把他称为哥廷根神一般的存在。作为十九世纪数学的一位重要人物，克莱因直接参与了当时欧陆数学的伟大进程（英国的数学当时没有表现出特殊的重要性——孤立于欧陆的感觉在本书提及英国的地方都可以感受出来）。译者序中说克莱因像在写回忆录一样。实际上，克莱因在念书的时候，数学殿堂的主神之一黎曼已经去世，因此克莱因所接触的大数学家们都是黎曼的精神后人，而克莱因本人就是这样的一个精神继承人。

评分☆☆☆☆☆

下面扯点别的。无论是高斯还是黎曼，都是综合应用数学和纯粹数学研究的大师，他们从纯粹领域迅速转入应用领域的本事令人叹为观止，数学/的强大在他们手中发挥到了淋漓尽致。克莱因这样比喻到：现在摆在橱窗里的精美的数学，受到了鉴赏家们的一致称赞，但它们本来是*，是用来对付难缠的敌人的，而人们却逐渐忘却了这个本原的用处。

评分☆☆☆☆☆

克莱因的看法非常有道理。牛顿应用微积分（尽管广泛被人们认为是发明）不是因为微积分精美（当然的确很美），而是其巨大的使用价值。当然历来关于数学的应用有不同的看法。两方面没什么对立的。我即同意哈代关于数学的一切看法，也欣赏克莱因在这方面坚持的数学传统。（比较哈代在《纯数学》前言中的说明或者《一个数学家的辨白》，差异何其明显）

评分☆☆☆☆☆

内容非常深，慢慢看