拓扑空间 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] epub pdf mobi txt 电子书 下载 2025

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内容简介

《拓扑空间》是一部本科生学习拓扑空间的基础教程。引导读者很好的学习拓扑中有关几何的东西什么是最重要的。《拓扑空间》的内容分为三大部分，线和面、矩阵空间和拓扑空间。书中将大量的数学词汇概念囊括其中，不要求读者对简单定理或者集合知识十分了解，从而减少读者理解上的难度。收敛定理的应用在帮助读者抓住重点的同时，逐渐接触并理解拓扑的概念，书中的知识点步步逼近，前九节重在为本科生讲述矩阵空间的知识，同时也包括了大量的材料，这些将成为研究生学习的教程。

内页插图

目录

Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano （1781-1848）
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer （1881-1966）

PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan （1838-1922）
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor （1845-1918）
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises

PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises

PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms

前言/序言

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设X是非空集合，令J0={X，}，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1={A|AÌX}，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令J={BÌR1|"x∈G，∈ε>0，使（x－ε，x+ε）ÌG}，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。

评分☆☆☆☆☆

拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。

评分☆☆☆☆☆

分离公理展开

评分☆☆☆☆☆

开笔此书前，我曾列过一个写作计划。按人名顺序一个接一个去罗列—他们都是些浪荡江湖，和我的人生轨迹曾交叉重叠的老友们。 　　当时，我坐在一辆咣当咣当的绿皮火车里，天色微亮，周遭是不同省份的呼噜声。我找了个本子，塞着耳机一边听歌一边写……活着的、死了的、不知不觉写满了七八页纸。我吓了一跳，怎么这么多的素材？不过十年，故事却多得堆积如山，这哪里是一本书能够写的完的。 　　头有点儿大，不知该如何取舍，于是索性随手圈了几个老友的人名。反正写谁都是写，就像一大串美味的葡萄，随手摘下的，都是一粒粒饱满的甜。随手圈下的名单，是为此书篇章构成之由来。圈完后一抬头，车窗外没有起伏，亦没有乔木，已是一马平川的华北平原。 　　书的创作过程中，我慢慢梳理出了一些东西，隐约发现自己将推展开的世界，于已经习惯了单一幸福感获取途径的人们而言，那是另一种幸福感。 　　那是一些值得我们去认可、寻觅的幸福感。他们或许是陌生的，但发着光。在我的认知中，一个成熟健全的当代文明社会，理应尊重多元的个体价值观，理应尊重个体幸福感获得方式。这种尊重，应该建立在了解的基础之上，鉴于国人文化传统里对陌生事物的天然抵触因子，“如何去了解”这几个字愈发重要。 　　那么，亲爱的们，我该如何去让你了解那些多元而又陌生的幸福感呢？ 　　写书时，恰逢山东大学抬爱，让我有缘受聘于山东大学儒学高等研究院，于是趁机做了一场名为《亚文化下成长方式的田野调查》的报告讲座。 　　那天会场塞满了人，场面出乎意料的火爆，来的大都是85 后和90后。我讲的就是这份名单：大军、路平、月月、白玛央宗……我和他们的共同生活就是一场田野调查。我没用太学术的语言词汇去贯穿讲座，但讲了许多细节的故事， 那天的叙述方式，是为本书行文的基调。 　　卡尔维诺说：“要把地面上的人看清楚，就要和地面保持距离”。这句话给我带来一个意像：一个穿西服打领带的人，手足并用爬在树上，和大部分同类保持着恰当的距离。他晃荡着腿，骑在自我设定的叛逆里，心无挂碍，乐在其中。偶尔低头看看周遭过客，偶尔抬头，漫天星斗。 　　我期待出到第十本书的时候，也能爬上这样一棵树。 　　当下是我第一本书，芹献诸君后，若价值观和您不重叠、行文有不得人心处，请姑念初犯…… 　　我下次不会改的。 　　等我爬上树了再说。 　　我不敢说这本书写得有多好多好，也懒得妄自菲薄，只知过程中三易其稿，惹得责编戴克莎小姐几度差点儿忿极而泣。如此这般折腾，仅为本色二字：讲故事人的本色，故事中人们的本色。 　　或许，打磨出本色的过程，也是爬树的过程吧。 　　文至笔端心意浅，话到唇畔易虚言，且洒莲实二三子，自有方家识真颜。 　　这本书完稿后，我背起吉他，从北到南，用一个月的时间挨个去探望了书中的老友们，除了那个不用手机的女孩，其他的人我几乎见了一个遍。

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向量场问题

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考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，即当动点绕它一周时，从动点指向其像点的向量转动的圈数。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数如果是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。

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3 An Introduction to Gröbner Bases, William W. Adams, Philippe Loustaunau (1994, ISBN 978-0-8218-3804-4)

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纽结问题

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