拓扑空间 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] Gerard Buskes（布斯科斯） 著

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 数学分析
• 实分析
• 拓扑空间
• 邻域
• 距离空间
• 连续性
• 紧致性
• 连通性

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510040634

版次：1

商品编码：10914321

包装：平装

外文名称：Topological Spaces: From Distance to Neighborhood

开本：24开

出版时间：2012-01-01

用纸：胶版纸

页数：313

正文语种：英文

内容简介

《拓扑空间》是一部本科生学习拓扑空间的基础教程。引导读者很好的学习拓扑中有关几何的东西什么是最重要的。《拓扑空间》的内容分为三大部分，线和面、矩阵空间和拓扑空间。书中将大量的数学词汇概念囊括其中，不要求读者对简单定理或者集合知识十分了解，从而减少读者理解上的难度。收敛定理的应用在帮助读者抓住重点的同时，逐渐接触并理解拓扑的概念，书中的知识点步步逼近，前九节重在为本科生讲述矩阵空间的知识，同时也包括了大量的材料，这些将成为研究生学习的教程。

内页插图

目录

Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano （1781-1848）
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer （1881-1966）

PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan （1838-1922）
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor （1845-1918）
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises

PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises

PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms

前言/序言

抽象的边界与无限的结构：一个未探索的数学领域 本书带领读者踏入一个既古老又充满活力的数学分支——代数几何的宏伟殿堂。我们不将目光投向点集拓扑或度量空间的直观图像，而是深入挖掘那些由多项式方程所定义的、超越传统欧几里得几何范畴的结构。 第一部分：零点的低语——代数与几何的交汇 本书伊始，我们聚焦于代数簇（Algebraic Varieties）的基础。代数簇是多项式方程组的零点集合，它们是连接纯粹代数（如环论）与几何直观的桥梁。我们将从基础的仿射空间（Affine Space）——即 $mathbb{A}^n$ 开始，详细剖析如何用理想（Ideals）来描述这些几何对象。关键在于理解希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），它是代数几何的基石，揭示了理想与代数集之间深刻的对偶关系。 我们不会讨论任何关于邻域、开集或连续映射的概念。相反，重点在于如何使用诸如初等对称多项式、范德蒙行列式等代数工具来精确地描述曲线和曲面的性质。我们将详细分析代数簇的维度（Dimension），但这维度是通过多项式环的Krull维度（Krull Dimension）来定义的，而非基于任何拓扑基的局部性质。读者将看到，一个代数簇的“平滑性”或“奇点”完全可以通过研究其结构环（Structure Ring）上的局部性质——例如局部环的正则性（Regularity）——来判断。 第二部分：射影的视角与贝祖定理的威力 为了更完整地理解几何结构，我们必须离开仿射空间，进入更广阔的射影空间（Projective Space），$mathbb{P}^n$。射影空间通过引入“无穷远线”或“无穷远平面”来“封闭”仿射空间，这使得许多几何定理的表述更加优雅且普遍适用。 在这一部分，我们将深入探讨射影代数簇，它们由齐次多项式（Homogeneous Polynomials）定义。核心内容之一是对贝祖定理（Bézout's Theorem）的详尽考察。贝祖定理在射影平面上给出了两个代数曲线在交点个数上的精确计数，但这计数是通过在合适的代数结构（如域的扩域）上考虑交点，并使用代数中“相交重数”（Intersection Multiplicity）的概念来确定的。我们将花费大量篇幅来建立交点理论的代数基础，特别是使用Gröbner基来计算多项式的公共零点，这与拓扑学中的交点不相交。 此外，我们还将引入层论（Sheaf Theory）的代数视角。这里的层不是用来定义连续函数的，而是用来组织定义在代数簇的开子集上的代数对象（如结构层 $mathcal{O}_X$）的结构。我们分析层上同调（Sheaf Cohomology）的代数计算方法，例如Cech上同调的代数构造，它完全依赖于特定开复形的代数分解，而非任何内在的“形状”或“连通性”的几何直觉。 第三部分：更高级的代数结构——簇的形变与模空间 随着本书的深入，我们将探讨更复杂的几何对象：簇的形变（Deformations of Varieties）。形变理论关注的是如何微小地改变定义一个簇的多项式系数，从而观察几何形状如何变化。 关键概念之一是模空间（Moduli Spaces）。模空间是一个空间，它的“点”本身代表着一族同构的代数簇。例如，我们可能构造一个模空间 $M_{g,n}$，其点参数化所有亏格为 $g$、有 $n$ 个标记点的光滑曲线。构造这样的空间主要依赖于Grothendieck的“存在性定理”和“唯一性定理”，这些证明过程涉及对各种理想的精细分类和对环的谱（Spectrum of a Ring）的构造。我们完全从代数和范畴论的角度来定义和理解这些模空间，例如，通过定义它们为表示函子（Representable Functors）。 我们还将审视奇点理论的代数分类。奇点处的局部行为通过研究局部环的规范性（Normality）和正规化（Regularization）过程来分析。例如，如何通过计算正规化层的局部上同调群来判断一个奇点是否是“可消除的”（Resolvable）。 第四部分：算术几何的影子 最后，本书触及了算术几何的边缘。我们将代数簇的定义域从复数域 $mathbb{C}$ 扩展到更一般的域，特别是有限域 $mathbb{F}_q$。此时，代数簇上的点变成了具有域结构（Field Structure）的解。 我们将分析代数曲线上的有理点。这里的核心工具是黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）的算术版本，以及对 Zeta 函数（Zeta Functions）的构造。这些函数的性质——例如其欧拉乘积形式和函数的方程——直接来源于代数曲线上点的计数问题。我们研究的是代数簇上的点集的大小，而不是其在连续空间中的分布或拓扑性质。 全书始终避免使用任何关于距离、开集或连续性的语言。所有的讨论都严格建立在交换代数、理想理论、环的谱以及多项式方程的零点集之上，旨在展示代数结构如何独立地、却又深刻地定义了我们所称的“几何”。本书为那些渴望掌握超越欧几里得直觉、进入抽象结构世界的读者提供了坚实的代数基石。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就透露出一种严谨而又引人入胜的气息，深邃的蓝色背景搭配简洁的标题，让我对接下来的阅读充满了期待。我本身是数学专业的学生，在学习高等几何和分析时，拓扑学的概念总是若隐若现，像是一个美丽却难以捉摸的幽灵。我常常会思考，为什么我们能在不依赖距离概念的情况下讨论“邻近”？这本书的副标题“From Distance to Neighborhood”恰好点出了我心中的疑问，它似乎承诺了将抽象的拓扑概念与我们熟悉的度量空间联系起来，为我理解拓扑学的发展脉络提供一个清晰的视角。我希望这本书能够循序渐进地引导我，从直观的度量空间出发，逐渐过渡到更抽象的拓扑空间，让我能够真正“看见”点集之间的关系，体会到集合之间的“开”与“闭”究竟是如何被定义的，以及这些定义背后蕴含的深刻意义。我尤其期待书中能够阐述清楚，为何邻域的定义能够如此强大，以至于能够取代距离在许多分析性问题中的核心地位。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《拓扑空间》时，我正准备转行进入数据科学领域，而数据可视化和机器学习中的一些算法，比如聚类和降维，似乎都隐约触及了空间结构的讨论。虽然我的数学背景不算深厚，但我对能够理解数据背后更深层次的数学原理充满热情。这本书吸引我的地方在于它标题中“From Distance to Neighborhood”的描述，这让我觉得它并非一本高高在上的理论书籍，而是有着清晰的逻辑递进，能够从我们相对容易理解的“距离”出发，引申到更为抽象的“邻域”概念。我希望这本书能够用清晰易懂的语言，配合恰当的例子，来解释拓扑空间中的基本概念，比如开集、闭集、紧集、连通集等等，并且能让我明白这些概念在实际应用中的意义。我特别想知道，在没有具体的距离度量时，我们如何依然能够讨论集合的“连续性”或者“聚集性”，这对我理解某些机器学习模型的内在逻辑至关重要。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年未接触数学专业的“重拾者”，我对于重拾数学的热情源于工作中的一些挑战，涉及到模式识别和信号处理。这些领域常常会涉及到对数据点之间关系的抽象描述，而“拓扑”这个词在我脑海里一直与“形状”和“连通性”紧密相连。我被这本书的标题《拓扑空间：从距离到邻域》所吸引，它暗示了一种从具体到抽象的过渡，这正是我所需要的。我希望这本书能够提供一个扎实的入门，让我能够理解度量空间和拓扑空间之间的联系与区别，以及“邻域”这一核心概念是如何被引入和定义的。我非常期待书中能够详细阐述开集、闭集、开核、闭包等基本概念，并能通过一些直观的例子来解释它们在几何上的含义。更重要的是，我希望这本书能够帮助我理解，为什么拓扑学能够提供一种比度量空间更一般、更强大的工具来研究空间性质。

评分☆☆☆☆☆

我是一名在读的软件工程学生，最近在学习关于图论和网络分析的课程，其中涉及到一些关于网络拓扑结构的概念，这让我对“拓扑”这个词产生了浓厚的兴趣。我看到这本书的名字《拓扑空间：从距离到邻域》，觉得它可能能够为我提供一个更深层次的理解。我期待这本书能够从我熟悉的“距离”概念出发，逐步引入“邻域”的概念，并在此基础上构建起整个拓扑空间理论的框架。我希望书中能够清晰地解释诸如拓扑空间、开集、闭集、连续映射等基本定义，并能通过一些生动的例子来展示这些概念的几何意义。尤其是我对如何在这种抽象的空间中定义“连续性”感到好奇，因为这对于我理解网络流量的流动和数据传输的稳定性非常重要。

评分☆☆☆☆☆

我本身是一名从事图像处理的研究人员，经常需要处理图像的形状、连通性以及不同区域之间的关系。虽然我接触过一些计算几何和微分几何的概念，但对于“拓扑”这个更普适的数学理论始终感到有些隔阂。《拓扑空间：从距离到邻域》这本书的标题立刻吸引了我，它似乎预示着一条从我们熟悉的“距离”概念过渡到更为抽象的“邻域”概念的学习路径，这正是我所需要的。我期望这本书能够以清晰易懂的方式，带领我理解拓扑空间的基本构造，包括各种拓扑结构是如何被定义的，以及它们在图像分析中可能扮演的角色。我特别想知道，在不依赖具体的距离度量的情况下，我们如何定义和研究图像区域的“连通性”、“紧凑性”以及“连续变形”等概念。我希望通过阅读这本书，能够为我处理和分析图像数据提供更强大的理论支撑。

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②有限个开集的交是开集。

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对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。

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分离公理展开

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目录

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集解方法

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主要性质