组合数学（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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曹汝成 著

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 数学
• 算法
• 图论
• 排列组合
• 数学建模
• 高等教育
• 教材
• 第二版

出版社： 华南理工大学出版社

ISBN：9787562337294

版次：2

商品编码：11079840

品牌：墨点

包装：平装

开本：32开

出版时间：2012-07-01

用纸：胶版纸

页数：270

字数：244000

正文语种：中文

内容简介

《组合数学（第2版）》系统地介绍了组合数学的基础知识，包括排列和组合、容斥原理、递推关系、生成函数、整数的分拆、鸽笼原理和Ramsey定理、P61ya计数定理等。书中内容丰富，叙述条理清楚，深入浅出，例题多且配备大量习题（计算题均附有答案），便于读者自学。
《组合数学（第2版）》可用作高等师范院校数学专业教材，也可作为中学教师、科技人员学习组合数学的入门书。

内页插图

目录

第一章 排列和组合
第一节 计数的基本原则
一、相等原则
二、加法原则
三、乘法原则
第二节 排列
一、n元集的r-排列
二、n元集的r-可重复排列
三、多重集的排列
第三节 T路的计数
一、T路
二、反射原理
三、Catalan（卡塔兰）数
第四节 组合
一、n元集的r-组合
二、n元集的r-可重复组合
三、组合数的基本性质
四、多项式定理
五、组合恒等式
第五节 二项式反演公式
一、二项式反演公式
二、有限集的覆盖
第二节 完备分拆
一、完备分拆
二、部分数最小的完备分拆
习题五
三、多元二项式反演公式
习题一

第二章 容斥原理及其应用
第一节 容斥原理
一、容斥原理
二、容斥原理的符号形式
三、容斥原理的一般形式
第二节 容斥原理的应用
一、重排问题
二、夫妻问题
三、不含连续数对的排列问题
四、一个涉及整除的计数问题
五、Euler函数φ（n）的计数公式
六、关于质数个数的计数
习题二

第三章 递推关系
第一节 差分
一、差分
二、牛顿公式
三、多项式的差分
四、零的差分
第二节 递推关系
一、递推关系的建立和迭代解法
二、常系数线性齐次递推关系
三、特征方程没有重根的常系数线性齐次递推关系的解法
四、特征方程有重根的常系数线性齐次递推关系的解法
五、两类常系数线性非齐次递推关系的解法
第三节 Fibonacci数
……
第四章 生成函数
第五章 整数的分拆
第六章 鸽笼原理和Ramsey定理
第七章 Pólya计数定理

习题答案
参考文献

前言/序言

离散结构探秘：数理逻辑与图论的精妙交织 本书导读： 在当代数学和计算机科学的广袤领域中，一门学科扮演着至关重要的角色，它为我们理解离散对象的结构、性质与构造提供了系统的工具和严谨的框架。本书深入探讨了离散数学的两个核心分支——数理逻辑与图论，力求构建一座坚实的桥梁，连接抽象的理论思辨与实际问题的求解过程。我们不专注于集合论或组合枚举的经典范畴，而是将焦点精准地投向逻辑推理的精确性与网络结构的建模能力上，旨在为读者提供一套强大且实用的分析工具箱。 第一部分：形式系统的基石——数理逻辑的严谨世界 数理逻辑是现代数学和计算理论的语言基础，它研究推理的结构、有效性与完备性。本书的逻辑部分旨在超越基础的命题演算，深入探究一阶谓词演算的深层机制及其在形式化系统中的应用。 1. 命题逻辑的完备演绎体系： 我们将从最基础的符号化语言开始，详细阐述命题连接词（如 $land, lor, eg, ightarrow, leftrightarrow$）的语义。随后，我们将构建一个自然演绎系统 (Natural Deduction)，而非仅仅依赖真值表。自然演绎系统强调推理的直观性与步骤的清晰性，它通过引入和消除规则（如 $land$ 引入/消除，$ ightarrow$ 引入/证明条件蕴含，排中律的运用）来构建有效的论证。我们将严密证明该系统的一致性（Soundness）——即所有可证的公式都是重言式，以及完备性（Completeness）——即所有重言式都可以在该系统中被证明。这一部分的深入讨论，为后续处理更复杂的谓词逻辑打下了不可或缺的元理论基础。 2. 谓词演算的表达力与局限性： 引入量词（$forall, exists$）后，逻辑的表达能力得到了质的飞跃。本书详细解析了一阶谓词演算 (First-Order Predicate Calculus, FOPC) 的语法结构，包括项、谓词、函数符号以及变量的绑定机制。重点在于量词的引入与消除规则，特别是在处理否定和量词的相互转化时（如 $ eg forall x P(x) iff exists x eg P(x)$）所需要的技巧。 我们不仅停留在证明的层面，更关注 FOPC 在数学理论建模中的应用。我们将探讨模型论 (Model Theory) 的初步概念，即一个语言结构如何满足或解释一个理论。例如，如何用 FOPC 描述群、环等代数结构，并分析这些描述的内在属性。 3. 哥德尔的深刻洞见：元数学的边界： 在逻辑的最高层面上，我们必须面对关于形式系统自身能力的问题。本书将引入可定义性 (Definability) 和可计算性 (Computability) 的概念，为深入理解哥德尔不完备性定理做好铺垫。虽然我们不进行哥德尔编码的全部细节推导，但会清晰地阐释一阶算术的不可判定性 (Undecidability)：即不存在一个能够判定所有算术命题真伪的有限公理系统。这部分内容将引导读者理解逻辑的内在限制，以及形式系统在描述自身能力时所遭遇的根本障碍。 第二部分：连接与结构——图论的几何化思维 图论是研究离散结构中对象间关系的数学分支，它以其强大的可视化和建模能力，成为网络科学、运筹学、算法设计等领域的核心工具。本书的图论部分侧重于结构分析和算法的优雅性。 1. 图的基本概念与表示： 我们将从最基础的定义出发：顶点集 $V$ 和边集 $E$ 构成的图 $G=(V, E)$。详细区分无向图、有向图（Digraphs）、多重图与简单图。在表示方法上，本书会对比邻接矩阵 (Adjacency Matrix) 和关联矩阵 (Incidence Matrix) 在不同图操作下的效率和适用场景。重点讨论图的同构性问题，即两个图在结构上是否本质相同，以及判定图同构的困难性。 2. 连通性、路径与遍历性： 连通性是图论分析的首要任务。我们将深入研究连通分量、强连通分量（针对有向图）的定义与高效算法（如基于深度优先搜索 (DFS) 的 Tarjan 算法或 Kosaraju 算法）。 关于遍历路径，本书将严格区分欧拉路径/回路和哈密顿路径/回路。欧拉问题的解决依赖于顶点的度数分析（欧拉定理），而哈密顿问题的难度更高，我们将探讨其与判定问题的关系，并介绍寻找哈密顿环的启发式算法和必要条件（如 Dirac 定理和 Ore 定理）。 3. 树结构及其应用： 树作为无环连通图，是数据结构和网络拓扑的基础。除了树的基本性质（如 $|E| = |V| - 1$），我们将重点分析最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST) 的构建。我们将详述 Kruskal 算法和 Prim 算法的原理、复杂度分析，并探讨它们在网络成本优化中的实际意义。最小生成树的理论核心在于割 (Cut) 的性质，我们将利用割的性质来证明这些算法的最优性。 4. 图的着色问题与对偶理论： 图着色是另一个经典的约束满足问题。本书聚焦于点着色和边着色。我们将详细讨论四色定理的历史背景和意义，但更侧重于计算色数 ($chi(G)$) 的理论框架，包括布鲁克定理（Brooks' Theorem）的阐述。着色问题天然引向对偶图 (Dual Graph) 的概念，特别是在平面图理论中。我们将界定平面图的条件（Kuratowski 定理的非平面子图刻画），并分析欧拉公式 $v - e + f = 2$ 在不同嵌入结构下的修正形式。 总结展望： 本书通过对数理逻辑的严谨推理训练与图论的结构化建模思维的并重，为读者提供了一套贯穿离散数学核心的知识体系。它旨在培养读者在面对复杂系统时，能够将其转化为精确的逻辑命题或可分析的图结构，并运用成熟的理论工具进行求解的能力。这不仅仅是两门独立学科的堆砌，而是两种最强大的离散思维方式的融合与互证。

评分☆☆☆☆☆

我是一名刚接触组合数学课程的大三学生，手里拿着这本书，感觉它像一本“百科全书”。我的目标是能够顺利通过课程，并且对组合数学有一个扎实的理解，为未来的学习和研究打好基础。这本书在内容上非常丰富，它详细地讲解了组合数学的各种基本概念和重要的定理，比如鸽巢原理、二项式定理、容斥原理等等。对于每一个概念，书里都给出了清晰的定义和详细的推导过程，这一点让我觉得非常受用，因为我喜欢知道“为什么”是这样的，而不是仅仅记住一个结论。书中的例题非常多，而且难度适中，能够帮助我巩固刚刚学到的知识点。我通常会在看完一小节内容后，就立刻去做相应的例题，这样可以及时发现自己理解上的不足。但是，这本书也有一些让我觉得吃力的地方。有些章节，比如关于图论和生成函数的讨论，内容比较深入，而且牵涉到一些我之前没有接触过的概念，我需要花更多的时间去消化。我感觉这本书的深度和广度都非常适合作为一本参考书，但如果作为一本初学者入门的教材，可能需要搭配老师的讲解或者更浅显易懂的其他辅助材料。总的来说，这本书是一本非常不错的组合数学教材，内容详实，逻辑清晰，非常适合希望深入学习这门学科的学生。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇心的业余爱好者，我一直对组合数学这个领域非常着迷。它听起来就充满了智慧和趣味，能够用有限的元素构建出无限的可能。我选择了这本《组合数学（第2版）》作为我的学习起点，希望能系统地了解这个学科。这本书给我的感觉是“博大而精深”。它的内容非常全面，几乎涵盖了组合数学的所有经典内容，从基础的计数方法到一些更高级的专题，都有所涉及。阅读这本书的过程，就像是在探索一个逻辑严谨的数学王国。作者的语言风格非常学术化，但也足够清晰，对于我这样的初学者来说，虽然有些地方需要反复琢磨，但总体上是能够理解的。我特别喜欢书中对一些概念的直观解释，以及一些历史背景的介绍，这让我感觉这些抽象的数学理论并非凭空而来，而是有着深刻的思考和演变过程。书中的例子也很有启发性，能够帮助我看到数学在实际问题中的应用。不过，也确实有一些内容对我来说比较有挑战性，例如一些涉及生成函数和图论的章节，我需要投入更多的时间去理解。虽然我的学习进度可能不如专业人士，但我依然从中受益匪浅。这本书让我看到了组合数学的魅力，也激发了我继续深入学习的兴趣。我非常享受这种自主学习、探索未知的过程，这本书无疑为我提供了一个非常好的平台。

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本书的时候，我有点被它的厚度震慑到了。我是一名正在准备考研的考生，报考的专业方向需要较强的离散数学和组合数学基础。我的目标是能够对这门学科有全面而深入的理解，并且能够灵活运用各种工具解决实际问题。这本书给我最深刻的感受就是“内容密集”。几乎每一页都挤满了数学符号、公式和定理，想要快速浏览一遍是不可能的。我采取的策略是精读。我从头开始，一个概念一个概念地啃，遇到不理解的地方，就反复阅读，并且会查阅一些其他的参考资料来辅助理解。书中的一些证明，特别是涉及到递归关系和生成函数的章节，对我来说挑战尤其大。我需要花很多时间去理解其中的逻辑跳跃，以及作者是如何巧妙地将看似复杂的问题转化为易于处理的形式的。不过，每次成功理解一个难点，都会有一种成就感。习题部分是本书的一大亮点，难度跨度很大，有些题目是我之前从未接触过的类型。我尝试着去解答，即使不能完全解出，思考的过程本身也极大地提升了我的解题能力。这本书给了我一种“欲穷千里目，更上一层楼”的感觉，它让我认识到组合数学的博大精深，也让我看到了自己在这条道路上需要付出的努力。虽然学习过程充满了挑战，但我相信，坚持下去，一定会有丰厚的回报。

评分☆☆☆☆☆

我是一名大二的数学系学生，正在为即将到来的组合数学课程做准备，在老师的推荐下入手了这本《组合数学（第2版）》。这本书给我的整体印象可以用“严谨而充实”来形容。它的内容覆盖了组合数学的几乎所有重要分支，从基础的计数技术到高级的生成函数、图论、有限几何等，都有着详尽的论述。每一章的开篇都会清晰地介绍本章的学习目标和所涉及的核心概念，然后逐一展开。作者在讲解定理时，逻辑非常严谨，每一步推导都力求清晰。更重要的是，书中的许多定理都配有详细的证明过程，这对于我们理解数学理论的根基至关重要。很多证明不仅仅是形式上的推导，还包含了对数学思想的深刻剖析。例如，在讲解容斥原理时，书中不仅给出了公式，还用集合的视角和图示来解释其背后的原理，这让我对这个看似抽象的概念有了更直观的理解。习题的设计也十分精妙，既有巩固基础的例题，也有挑战思维的难题，很多题目都经过精心设计，能够有效地检验我们对知识的掌握程度。我尤其喜欢书中的一些“历史注解”和“拓展阅读”部分，它们能够帮助我们了解相关知识的发展脉络和一些更前沿的研究方向。总而言之，这本书是一本非常扎实的教材，作为一本大学本科生学习组合数学的参考书，它的深度和广度都非常合适，能够为我们打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书实在太硬核了！我是一名软件工程师，之前对算法和数据结构有一些基础，想通过这本书来系统性地学习组合数学，为更复杂的项目打基础。坦白说，这本书的深度和广度都超出了我的预期。前几章还在我能跟上的范围内，各种计数原理、排列组合、鸽巢原理的讲解清晰明了，例子也比较贴近实际应用，让我觉得“嗯，就是这个味儿”。但是，越往后越感觉像是在攀登一座高山，像是到了一本关于图论的百科全书，每一页都充满了符号、定理和证明，很多证明思路我需要反复阅读好几遍，甚至需要借助网上的其他资料才能勉强理解。书中的习题也极具挑战性，我花了大量时间去尝试，大部分题目都能激发出我的思考，有些甚至让我恍然大悟，体会到数学的精妙之处。然而，也有不少题目，我看完答案后仍然觉得一头雾水，不知道作者是如何想到这些解题思路的。这种感觉就像是在一个陌生的国度，当地的语言你只会几个简单的词汇，想要深入交流，简直是天方夜谭。我个人认为，这本书更适合数学系的研究生或者对组合数学有非常深入需求的读者。对于我这样的应用型学习者来说，可能需要更循序渐进的学习路径，或者搭配一些更侧重应用的教材。不过，尽管学习过程充满了挑战，但我仍然能感受到这本书的价值，它确实是一本非常权威的参考书，只是我需要找到更适合自己的学习方法来消化它。

评分☆☆☆☆☆

开学之后，每周花费三个晚自习和周六下午、周日上午的时间学习竞赛知识。对于数学竞赛来说比较轻松，可以直接讲竞赛内容，往年10月份新高一参加竞赛就得到省2等奖的也不是没有，最近数学竞赛好像提前了。对于物理、化学、生物和计算机竞赛来说，头一个学期基本都在跑高考内容。不过暑假的数学学习十分重要，没有足够的数学基础，也难以在半学期之内吞下高考内容。实际上高考内容会花费一年左右，但是在第二学期会讲竞赛知识了。对于做竞赛的学生而言，高二年级的竞赛是算是第一次，这时候的成绩比较能反映出学生对新知识的接受能力和对知识的灵活运用能力上的差距。好的学生在高二就可以获得省二等奖，甚至省一等奖。对于所有的学生来说，高三的竞赛才是最重要的，这时候学生不仅学完了所有竞赛知识点，而且也经过了足够的训练，拿到省二等奖、省一等奖并非难事，成绩突出的学生可以参加全国总决赛。近几年竞赛保送取消了，加分等优待也没了。但是我觉得学校的自主招生权正在扩大，实际上学校的自主招生权主要都用来招竞赛成绩好的学生了。

评分☆☆☆☆☆

我选择我喜欢！！！！

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最新版本，今年出的，好好学

评分☆☆☆☆☆

?　浙江大学博士生导师单中惠教授权威译本，准确传递原著精髓。

评分☆☆☆☆☆

?　浙江大学博士生导师单中惠教授权威译本，准确传递原著精髓。

评分☆☆☆☆☆

正版图书，纸张很好，字迹清晰。

评分☆☆☆☆☆

写的蛮好的，例子特别多，而且书不厚

评分☆☆☆☆☆

东西还不错

评分☆☆☆☆☆

【赏析】