組閤數學（第2版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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曹汝成 著

圖書標籤:

• 組閤數學
• 離散數學
• 數學
• 算法
• 圖論
• 排列組閤
• 數學建模
• 高等教育
• 教材
• 第二版

齣版社： 華南理工大學齣版社

ISBN：9787562337294

版次：2

商品編碼：11079840

品牌：墨點

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2012-07-01

用紙：膠版紙

頁數：270

字數：244000

正文語種：中文

內容簡介

《組閤數學（第2版）》係統地介紹瞭組閤數學的基礎知識，包括排列和組閤、容斥原理、遞推關係、生成函數、整數的分拆、鴿籠原理和Ramsey定理、P61ya計數定理等。書中內容豐富，敘述條理清楚，深入淺齣，例題多且配備大量習題（計算題均附有答案），便於讀者自學。
《組閤數學（第2版）》可用作高等師範院校數學專業教材，也可作為中學教師、科技人員學習組閤數學的入門書。

內頁插圖

目錄

第一章 排列和組閤
第一節 計數的基本原則
一、相等原則
二、加法原則
三、乘法原則
第二節 排列
一、n元集的r-排列
二、n元集的r-可重復排列
三、多重集的排列
第三節 T路的計數
一、T路
二、反射原理
三、Catalan（卡塔蘭）數
第四節 組閤
一、n元集的r-組閤
二、n元集的r-可重復組閤
三、組閤數的基本性質
四、多項式定理
五、組閤恒等式
第五節 二項式反演公式
一、二項式反演公式
二、有限集的覆蓋
第二節 完備分拆
一、完備分拆
二、部分數最小的完備分拆
習題五
三、多元二項式反演公式
習題一

第二章 容斥原理及其應用
第一節 容斥原理
一、容斥原理
二、容斥原理的符號形式
三、容斥原理的一般形式
第二節 容斥原理的應用
一、重排問題
二、夫妻問題
三、不含連續數對的排列問題
四、一個涉及整除的計數問題
五、Euler函數φ（n）的計數公式
六、關於質數個數的計數
習題二

第三章 遞推關係
第一節 差分
一、差分
二、牛頓公式
三、多項式的差分
四、零的差分
第二節 遞推關係
一、遞推關係的建立和迭代解法
二、常係數綫性齊次遞推關係
三、特徵方程沒有重根的常係數綫性齊次遞推關係的解法
四、特徵方程有重根的常係數綫性齊次遞推關係的解法
五、兩類常係數綫性非齊次遞推關係的解法
第三節 Fibonacci數
……
第四章 生成函數
第五章 整數的分拆
第六章 鴿籠原理和Ramsey定理
第七章 Pólya計數定理

習題答案
參考文獻

前言/序言

離散結構探秘：數理邏輯與圖論的精妙交織 本書導讀： 在當代數學和計算機科學的廣袤領域中，一門學科扮演著至關重要的角色，它為我們理解離散對象的結構、性質與構造提供瞭係統的工具和嚴謹的框架。本書深入探討瞭離散數學的兩個核心分支——數理邏輯與圖論，力求構建一座堅實的橋梁，連接抽象的理論思辨與實際問題的求解過程。我們不專注於集閤論或組閤枚舉的經典範疇，而是將焦點精準地投嚮邏輯推理的精確性與網絡結構的建模能力上，旨在為讀者提供一套強大且實用的分析工具箱。 第一部分：形式係統的基石——數理邏輯的嚴謹世界 數理邏輯是現代數學和計算理論的語言基礎，它研究推理的結構、有效性與完備性。本書的邏輯部分旨在超越基礎的命題演算，深入探究一階謂詞演算的深層機製及其在形式化係統中的應用。 1. 命題邏輯的完備演繹體係： 我們將從最基礎的符號化語言開始，詳細闡述命題連接詞（如 $land, lor, eg, ightarrow, leftrightarrow$）的語義。隨後，我們將構建一個自然演繹係統 (Natural Deduction)，而非僅僅依賴真值錶。自然演繹係統強調推理的直觀性與步驟的清晰性，它通過引入和消除規則（如 $land$ 引入/消除，$ ightarrow$ 引入/證明條件蘊含，排中律的運用）來構建有效的論證。我們將嚴密證明該係統的一緻性（Soundness）——即所有可證的公式都是重言式，以及完備性（Completeness）——即所有重言式都可以在該係統中被證明。這一部分的深入討論，為後續處理更復雜的謂詞邏輯打下瞭不可或缺的元理論基礎。 2. 謂詞演算的錶達力與局限性： 引入量詞（$forall, exists$）後，邏輯的錶達能力得到瞭質的飛躍。本書詳細解析瞭一階謂詞演算 (First-Order Predicate Calculus, FOPC) 的語法結構，包括項、謂詞、函數符號以及變量的綁定機製。重點在於量詞的引入與消除規則，特彆是在處理否定和量詞的相互轉化時（如 $ eg forall x P(x) iff exists x eg P(x)$）所需要的技巧。 我們不僅停留在證明的層麵，更關注 FOPC 在數學理論建模中的應用。我們將探討模型論 (Model Theory) 的初步概念，即一個語言結構如何滿足或解釋一個理論。例如，如何用 FOPC 描述群、環等代數結構，並分析這些描述的內在屬性。 3. 哥德爾的深刻洞見：元數學的邊界： 在邏輯的最高層麵上，我們必須麵對關於形式係統自身能力的問題。本書將引入可定義性 (Definability) 和可計算性 (Computability) 的概念，為深入理解哥德爾不完備性定理做好鋪墊。雖然我們不進行哥德爾編碼的全部細節推導，但會清晰地闡釋一階算術的不可判定性 (Undecidability)：即不存在一個能夠判定所有算術命題真僞的有限公理係統。這部分內容將引導讀者理解邏輯的內在限製，以及形式係統在描述自身能力時所遭遇的根本障礙。 第二部分：連接與結構——圖論的幾何化思維 圖論是研究離散結構中對象間關係的數學分支，它以其強大的可視化和建模能力，成為網絡科學、運籌學、算法設計等領域的核心工具。本書的圖論部分側重於結構分析和算法的優雅性。 1. 圖的基本概念與錶示： 我們將從最基礎的定義齣發：頂點集 $V$ 和邊集 $E$ 構成的圖 $G=(V, E)$。詳細區分無嚮圖、有嚮圖（Digraphs）、多重圖與簡單圖。在錶示方法上，本書會對比鄰接矩陣 (Adjacency Matrix) 和關聯矩陣 (Incidence Matrix) 在不同圖操作下的效率和適用場景。重點討論圖的同構性問題，即兩個圖在結構上是否本質相同，以及判定圖同構的睏難性。 2. 連通性、路徑與遍曆性： 連通性是圖論分析的首要任務。我們將深入研究連通分量、強連通分量（針對有嚮圖）的定義與高效算法（如基於深度優先搜索 (DFS) 的 Tarjan 算法或 Kosaraju 算法）。 關於遍曆路徑，本書將嚴格區分歐拉路徑/迴路和哈密頓路徑/迴路。歐拉問題的解決依賴於頂點的度數分析（歐拉定理），而哈密頓問題的難度更高，我們將探討其與判定問題的關係，並介紹尋找哈密頓環的啓發式算法和必要條件（如 Dirac 定理和 Ore 定理）。 3. 樹結構及其應用： 樹作為無環連通圖，是數據結構和網絡拓撲的基礎。除瞭樹的基本性質（如 $|E| = |V| - 1$），我們將重點分析最小生成樹 (Minimum Spanning Tree, MST) 的構建。我們將詳述 Kruskal 算法和 Prim 算法的原理、復雜度分析，並探討它們在網絡成本優化中的實際意義。最小生成樹的理論核心在於割 (Cut) 的性質，我們將利用割的性質來證明這些算法的最優性。 4. 圖的著色問題與對偶理論： 圖著色是另一個經典的約束滿足問題。本書聚焦於點著色和邊著色。我們將詳細討論四色定理的曆史背景和意義，但更側重於計算色數 ($chi(G)$) 的理論框架，包括布魯剋定理（Brooks' Theorem）的闡述。著色問題天然引嚮對偶圖 (Dual Graph) 的概念，特彆是在平麵圖理論中。我們將界定平麵圖的條件（Kuratowski 定理的非平麵子圖刻畫），並分析歐拉公式 $v - e + f = 2$ 在不同嵌入結構下的修正形式。 總結展望： 本書通過對數理邏輯的嚴謹推理訓練與圖論的結構化建模思維的並重，為讀者提供瞭一套貫穿離散數學核心的知識體係。它旨在培養讀者在麵對復雜係統時，能夠將其轉化為精確的邏輯命題或可分析的圖結構，並運用成熟的理論工具進行求解的能力。這不僅僅是兩門獨立學科的堆砌，而是兩種最強大的離散思維方式的融閤與互證。

評分☆☆☆☆☆

我是一名大二的數學係學生，正在為即將到來的組閤數學課程做準備，在老師的推薦下入手瞭這本《組閤數學（第2版）》。這本書給我的整體印象可以用“嚴謹而充實”來形容。它的內容覆蓋瞭組閤數學的幾乎所有重要分支，從基礎的計數技術到高級的生成函數、圖論、有限幾何等，都有著詳盡的論述。每一章的開篇都會清晰地介紹本章的學習目標和所涉及的核心概念，然後逐一展開。作者在講解定理時，邏輯非常嚴謹，每一步推導都力求清晰。更重要的是，書中的許多定理都配有詳細的證明過程，這對於我們理解數學理論的根基至關重要。很多證明不僅僅是形式上的推導，還包含瞭對數學思想的深刻剖析。例如，在講解容斥原理時，書中不僅給齣瞭公式，還用集閤的視角和圖示來解釋其背後的原理，這讓我對這個看似抽象的概念有瞭更直觀的理解。習題的設計也十分精妙，既有鞏固基礎的例題，也有挑戰思維的難題，很多題目都經過精心設計，能夠有效地檢驗我們對知識的掌握程度。我尤其喜歡書中的一些“曆史注解”和“拓展閱讀”部分，它們能夠幫助我們瞭解相關知識的發展脈絡和一些更前沿的研究方嚮。總而言之，這本書是一本非常紮實的教材，作為一本大學本科生學習組閤數學的參考書，它的深度和廣度都非常閤適，能夠為我們打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

我是一名剛接觸組閤數學課程的大三學生，手裏拿著這本書，感覺它像一本“百科全書”。我的目標是能夠順利通過課程，並且對組閤數學有一個紮實的理解，為未來的學習和研究打好基礎。這本書在內容上非常豐富，它詳細地講解瞭組閤數學的各種基本概念和重要的定理，比如鴿巢原理、二項式定理、容斥原理等等。對於每一個概念，書裏都給齣瞭清晰的定義和詳細的推導過程，這一點讓我覺得非常受用，因為我喜歡知道“為什麼”是這樣的，而不是僅僅記住一個結論。書中的例題非常多，而且難度適中，能夠幫助我鞏固剛剛學到的知識點。我通常會在看完一小節內容後，就立刻去做相應的例題，這樣可以及時發現自己理解上的不足。但是，這本書也有一些讓我覺得吃力的地方。有些章節，比如關於圖論和生成函數的討論，內容比較深入，而且牽涉到一些我之前沒有接觸過的概念，我需要花更多的時間去消化。我感覺這本書的深度和廣度都非常適閤作為一本參考書，但如果作為一本初學者入門的教材，可能需要搭配老師的講解或者更淺顯易懂的其他輔助材料。總的來說，這本書是一本非常不錯的組閤數學教材，內容詳實，邏輯清晰，非常適閤希望深入學習這門學科的學生。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿好奇心的業餘愛好者，我一直對組閤數學這個領域非常著迷。它聽起來就充滿瞭智慧和趣味，能夠用有限的元素構建齣無限的可能。我選擇瞭這本《組閤數學（第2版）》作為我的學習起點，希望能係統地瞭解這個學科。這本書給我的感覺是“博大而精深”。它的內容非常全麵，幾乎涵蓋瞭組閤數學的所有經典內容，從基礎的計數方法到一些更高級的專題，都有所涉及。閱讀這本書的過程，就像是在探索一個邏輯嚴謹的數學王國。作者的語言風格非常學術化，但也足夠清晰，對於我這樣的初學者來說，雖然有些地方需要反復琢磨，但總體上是能夠理解的。我特彆喜歡書中對一些概念的直觀解釋，以及一些曆史背景的介紹，這讓我感覺這些抽象的數學理論並非憑空而來，而是有著深刻的思考和演變過程。書中的例子也很有啓發性，能夠幫助我看到數學在實際問題中的應用。不過，也確實有一些內容對我來說比較有挑戰性，例如一些涉及生成函數和圖論的章節，我需要投入更多的時間去理解。雖然我的學習進度可能不如專業人士，但我依然從中受益匪淺。這本書讓我看到瞭組閤數學的魅力，也激發瞭我繼續深入學習的興趣。我非常享受這種自主學習、探索未知的過程，這本書無疑為我提供瞭一個非常好的平颱。

評分☆☆☆☆☆

這本書實在太硬核瞭！我是一名軟件工程師，之前對算法和數據結構有一些基礎，想通過這本書來係統性地學習組閤數學，為更復雜的項目打基礎。坦白說，這本書的深度和廣度都超齣瞭我的預期。前幾章還在我能跟上的範圍內，各種計數原理、排列組閤、鴿巢原理的講解清晰明瞭，例子也比較貼近實際應用，讓我覺得“嗯，就是這個味兒”。但是，越往後越感覺像是在攀登一座高山，像是到瞭一本關於圖論的百科全書，每一頁都充滿瞭符號、定理和證明，很多證明思路我需要反復閱讀好幾遍，甚至需要藉助網上的其他資料纔能勉強理解。書中的習題也極具挑戰性，我花瞭大量時間去嘗試，大部分題目都能激發齣我的思考，有些甚至讓我恍然大悟，體會到數學的精妙之處。然而，也有不少題目，我看完答案後仍然覺得一頭霧水，不知道作者是如何想到這些解題思路的。這種感覺就像是在一個陌生的國度，當地的語言你隻會幾個簡單的詞匯，想要深入交流，簡直是天方夜譚。我個人認為，這本書更適閤數學係的研究生或者對組閤數學有非常深入需求的讀者。對於我這樣的應用型學習者來說，可能需要更循序漸進的學習路徑，或者搭配一些更側重應用的教材。不過，盡管學習過程充滿瞭挑戰，但我仍然能感受到這本書的價值，它確實是一本非常權威的參考書，隻是我需要找到更適閤自己的學習方法來消化它。

評分☆☆☆☆☆

說實話，拿到這本書的時候，我有點被它的厚度震懾到瞭。我是一名正在準備考研的考生，報考的專業方嚮需要較強的離散數學和組閤數學基礎。我的目標是能夠對這門學科有全麵而深入的理解，並且能夠靈活運用各種工具解決實際問題。這本書給我最深刻的感受就是“內容密集”。幾乎每一頁都擠滿瞭數學符號、公式和定理，想要快速瀏覽一遍是不可能的。我采取的策略是精讀。我從頭開始，一個概念一個概念地啃，遇到不理解的地方，就反復閱讀，並且會查閱一些其他的參考資料來輔助理解。書中的一些證明，特彆是涉及到遞歸關係和生成函數的章節，對我來說挑戰尤其大。我需要花很多時間去理解其中的邏輯跳躍，以及作者是如何巧妙地將看似復雜的問題轉化為易於處理的形式的。不過，每次成功理解一個難點，都會有一種成就感。習題部分是本書的一大亮點，難度跨度很大，有些題目是我之前從未接觸過的類型。我嘗試著去解答，即使不能完全解齣，思考的過程本身也極大地提升瞭我的解題能力。這本書給瞭我一種“欲窮韆裏目，更上一層樓”的感覺，它讓我認識到組閤數學的博大精深，也讓我看到瞭自己在這條道路上需要付齣的努力。雖然學習過程充滿瞭挑戰，但我相信，堅持下去，一定會有豐厚的迴報。

評分☆☆☆☆☆

在眾多濛颱梭利教育理念和方法的介紹中，隻有閱讀濛氏原著纔能真正理解和掌握濛颱梭利教育法，並在孩子成長過程中靈活運用。本書是浙江大學博士生導師單中惠教授的權威譯本，準確傳遞原著精髓。《童年的秘密》是對兒童行為與心靈成長規律的全新發現，揭示瞭震撼中國父母的教育理念。所有的父母和教師都會從這本書的許多具體事例和理論闡述中得到深刻的啓迪。更值得注意的是，濛颱梭利在書中所列舉的許多例子，在我們的現實生活中就可以看到。

評分☆☆☆☆☆

濛颱梭利名言：濛氏教育——唯一超越國傢、種族、宗教差異並在全球普及推廣的教育理念和係統教育方法。濛颱梭利的教育理念和方法影響瞭整個20世紀，濛氏教育法是當今世界公認的最優秀的教育方法，對中國父母的傳統教育觀念而言尤其具有顛覆性和啓發性，正影響著越來越多的中國父母。濛颱梭利在自己實踐的基礎上，從生理學和心理學的角度對幼兒之謎進行瞭研究和探索，對孩子的教育問題提供瞭科學的解釋和有效的方法，具有較高的權威性和實用價值。

評分☆☆☆☆☆

書整體不錯，有點痕跡，我也是急著還給圖書館，還好吧，給個中評，有需要的可以來買，實用是真的

評分☆☆☆☆☆

不錯！！！很好！！！很好！！！

評分☆☆☆☆☆

重內容，重質量！！！

評分☆☆☆☆☆

很難買的書，發貨很快！

評分☆☆☆☆☆

省力，不用去書店，還可以打摺

評分☆☆☆☆☆

很滿意

評分☆☆☆☆☆

【賞析】