21世纪复旦大学研究生教学用书：代数曲线 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杨劲根 著

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• 代数曲线
• 复旦大学
• 研究生教材
• 21世纪
• 高等数学
• 代数几何
• 教学用书
• 数学
• 学术
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出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309109917

版次：1

商品编码：11578918

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-10-01

用纸：胶版纸

页数：184

字数：202000

正文语种：中文

内容简介

本书由作者在复旦大学数学研究所开设的硕士研究生学位课程“代数曲线”的讲稿整理而成.全书共分7章，内容包括：紧Riemann面、代数簇、一维代数函数域、Riemann-Roch定理、平面代数曲线、椭圆曲线、曲线的典范映射等.
本书适合基础数学专业低年级研究生使用.

目录

目录

第1章 紧Riemann面
1.1紧Riemann面的定义和初步性质
1.2紧Riemann面上的亚纯函数
1.2.1预备知识
1.2.2紧Riemann面上的微分形式
1.2.3定理1.2.1的证明

第2章 代数簇
2.1几个代数定理
2.2仿射空间中的代数集
2.3射影空间中的代数集
2.4准代数簇
2.5准代数簇的局部环和函数域
2.6代数簇的积
2.7准代数簇的维数理论
2.8射影簇的Hilbert多项式
2.9有理映射
2.10代数簇的光滑性

第3章 一维代数函数域
3.1有限可分扩张的范和迹
3.2域的超越扩张
3.3离散赋值环和Dedekind整区
3.4射影曲线与一维代数函数域
3.5曲线的正规化
3.6紧Riemann面的亚纯函数域

第4章 Riemann�睷och定理
4.1除子
4.2adéle
4.3典范除子
4.4形式Laurent级数
4.5微分形式和留数
4.6紧Riemann面的亏格
4.7Hurwitz公式
4.8有理曲线

第5章 平面代数曲线
5.1Bézout定理
5.2平面代数曲线的奇点
5.3平面代数曲线的亏格

第6章 椭圆曲线
6.1曲线的二重覆盖
6.2椭圆曲线的j-不变量
6.3椭圆曲线上的群结构
6.4椭圆函数理论
6.5模形式与椭圆曲线

第7章 曲线的典范映射
7.1曲线的射影映射
7.2射影曲线的次数
7.3典范线性系

参考文献

索引

前言/序言

代数曲线：穿越几何与抽象的桥梁 代数曲线，一个既古老又充满现代活力的数学分支，在21世纪依然展现出蓬勃的生命力。它如同一座精巧的桥梁，连接着代数运算的抽象世界与几何图形的直观美感，深刻地影响着数学的各个领域，并渗透到物理学、计算机科学、密码学等众多应用科学之中。本书旨在为读者构建一座理解代数曲线的坚实阶梯，从基础概念出发，逐步深入其精妙的理论体系。 从几何直感到代数刻画：初识代数曲线 故事的起点，往往是我们最熟悉的几何图形。直线、圆、抛物线、椭圆……这些我们从小就认识的曲线，其根本性质可以用代数方程来描述。一个点的坐标 $(x, y)$ 要么满足某个方程，要么不满足。当所有满足某个方程 $F(x, y) = 0$ 的点构成的集合在几何上呈现出“曲线”的形态时，我们便称之为代数曲线。 本书将首先带领读者回顾这些基础概念，并引入代数几何的核心工具——多项式环。我们将学习如何通过多项式方程来精确地定义和刻画代数曲线。例如，平面上的圆 $x^2 + y^2 - r^2 = 0$ 便是由一个简单的二次多项式定义的。然而，代数曲线的世界远不止于此。我们将探索更一般的情况：在什么条件下，一个多项式方程能真正定义出一个“连贯”的几何对象？这就是“簇”或“簇”的概念，而代数曲线是二维的簇。 超越平面：射影代数曲线与见的无限 平面上的代数曲线虽然直观，却存在一些不便之处，例如平行线永远不会相交。为了克服这些限制，代数几何引入了“射影空间”的概念。在射影平面中，我们赋予点以齐次坐标，并研究齐次多项式方程。齐次方程的优势在于，它能很好地处理“无穷远点”和“无穷远线”，使得许多几何性质变得更加统一和简洁。 本书将详细介绍射影平面以及射影代数曲线的理论。我们将看到，在射影平面下，任何两条非奇异的代数曲线（不包含奇点的曲线）都必定相交，而且相交的次数满足著名的贝祖定理。这是一个多么深刻而优美的结论！它揭示了代数曲线之间深刻的内在联系。学习射影代数曲线，我们将学会如何“看”见那些隐藏在平面几何中的“无穷远”特征，从而获得更全面的理解。 点、线、曲线的抽象联系：代数簇理论 代数几何的核心在于研究代数簇，而代数曲线正是代数簇中最基础也最重要的一类。代数簇是由多项式方程组定义的几何对象。我们将深入探讨代数簇的定义、性质以及它们之间的关系。 学习代数簇理论，我们将接触到诸如理想（ideal）与根理想（radical ideal）、多项式环的商环（quotient ring）等抽象代数工具。代数几何的精髓在于，通过研究多项式环的代数性质（如其理想的结构），来反过来理解代数簇的几何性质。这种“代数-几何对偶性”是代数几何的灵魂所在。 本书将详述如何从代数方程组出发，构造出相应的代数簇。同时，我们也会研究代数簇的“点”的集合，以及它们所处的“环”，例如坐标环（coordinate ring）。通过分析这些代数对象，我们能够洞察代数簇的连通性、维度、奇点等关键几何特征。 曲线的内部结构：曲面与低维簇 代数曲线虽然是二维的几何对象，但其研究对象本身可以看作是更高级的代数簇。例如，我们可以在三维空间中研究由两个二次曲面交线构成的代数曲线。本书将适时地引入曲面（surfaces）的概念，并探讨曲线在更高维空间中的表现。 对于代数曲线的研究，一个重要的方向是理解其“内在几何”——即使将曲线嵌入到某个空间中，它本身也具有一定的内在结构。例如，如果我们将一个光滑的代数曲线看作是一个二维的“流形”，那么我们就可以讨论它的一些拓扑性质。 曲线上点集的研究：函数域与点群 代数曲线不仅仅是一堆点的集合，它还蕴含着丰富的代数结构。对于一个代数曲线 $C$，我们也可以定义一个与之相对应的“函数域” $K(C)$。这个函数域由曲线上的“有理函数”构成，这些有理函数可以看作是在曲线上取值的“函数”。函数域的研究为我们提供了一个全新的视角来理解代数曲线。 当曲线上有特殊的点集时，例如由某些方程决定的点集，我们也会深入研究。其中一个重要而迷人的领域是“椭圆曲线”上的点群。椭圆曲线是形如 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的代数曲线，其上的有理点构成一个有限生成阿贝尔群。这个理论在现代数论和密码学中扮演着至关重要的角色。本书将引导读者初步接触这些令人兴奋的前沿课题。 曲线的“形状”与“性质”：不变量与模空间 代数曲线并非一成不变，它们可以发生形变。研究代数曲线的“不变量”至关重要。不变量是指那些在某些变换下保持不变的量，它们能够刻画代数曲线的内在性质。例如，亏格（genus）就是一个重要的不变量，它深刻地决定了代数曲线的拓扑结构和代数性质。 进一步，我们还会触及“模空间”（moduli space）的概念。模空间是一个几何对象，它“空间化”了某一类代数曲线。我们可以将具有相似性质的代数曲线“聚集”在一个点上，而模空间则记录了所有这些“相似性”的结构。研究模空间，能够帮助我们理解代数曲线的整体分类和结构。 代数曲线的现代应用 代数曲线理论并非纯粹的抽象数学，它在众多应用领域展现出强大的生命力。 密码学： 椭圆曲线密码学（ECC）利用椭圆曲线上的离散对数问题来构建高效安全的加密系统。相比于传统的RSA算法，ECC所需的密钥长度更短，安全性却更高，因此在现代网络通信和数字签名中得到了广泛应用。 编码理论： 代数几何码（AG码）是基于代数曲线构造的纠错码。这类码具有非常好的纠错性能，是现代通信和数据存储技术的重要组成部分。 计算几何： 代数曲线的几何性质在计算机图形学、机器人路径规划、CAD/CAM等领域有直接的应用。例如，用样条曲线（spline）来描述自由形态的曲面，其背后就蕴含着代数曲线的理论。 物理学： 代数曲线也出现在弦理论、量子场论等物理学分支中，它们作为描述物理系统的数学模型，为解决复杂的物理问题提供了强大的工具。 学习路径与方法 本书的设计，遵循循序渐进的原则。我们将从最直观的平面代数曲线出发，逐步引入射影几何、代数簇理论等抽象概念。理论推导与实例分析相结合，力求使读者在理解抽象理论的同时，也能感受到代数曲线的几何美感。 为了更好地掌握代数曲线的知识，建议读者具备一定的抽象代数和微分几何基础。在学习过程中，勤于思考，积极动手演算，多画图，多尝试，将是理解复杂概念的关键。本书提供了丰富的练习题，旨在帮助读者巩固所学，并进一步探索代数曲线的奥秘。 结语 代数曲线，这门连接几何与代数的古老学科，在21世纪依然闪耀着智慧的光芒。它不仅是数学研究的核心领域之一，更是推动科学技术进步的重要力量。本书希望成为读者进入代数曲线世界的指南，带领大家领略其深邃的理论，感受其内在的优雅，并窥见其在现代科学技术中的无限可能。愿本书能激发您对代数曲线的兴趣，并为您在数学探索的道路上提供坚实的支撑。

评分☆☆☆☆☆

作为一名准备考研的学生，我深知一本好的教材对于打下坚实基础的重要性。听闻这是复旦大学研究生教学用书，我对其内容和深度充满了信心。我希望能在这本书中找到对代数曲线理论系统性的阐述，从最基本的定义，如射影平面、齐次坐标，到更复杂的概念，比如代数簇、奇异点、几何亏格等等。我尤其关注书中是否会对代数曲线的分类、性质进行详尽的讲解，以及是否会涉及一些经典例子，例如椭圆曲线、平面代数曲线等，并且能够透彻地分析它们的几何特征和代数性质。一个好的研究生教材，应该能引导学生不仅理解“是什么”，更能理解“为什么”，并能触类旁通，为后续更深入的研究铺平道路。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在代数几何领域耕耘多年的研究者，我对教学用书的要求往往是严谨、全面且富有启发性的。《代数曲线》这本书，即便我已有所涉猎，但依然对其可能带来的新视角充满期待。我希望能看到书中对一些基本概念的清晰定义和证明，例如光滑性、模空间等，并且能够提供一些非平凡的例子和练习题，以便读者检验和巩固所学。同时，一本优秀的教材，也应该能够引导读者认识到代数曲线在不同分支数学中的作用，比如代数数论、复几何、代数拓扑等，甚至在理论物理等领域也能找到它的身影。我希望这本书能成为连接基础理论与前沿研究的桥梁。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，着实让我眼前一亮。作为一个对数学有着浓厚兴趣，但又非科班出身的业余爱好者，我一直渴望能有一本既有深度又不至于过于晦涩的入门读物，来引导我进入代数几何这个迷人的领域。《代数曲线》这本书，从它的书名和出版社来看，就已经传递出一种严谨与学术的信号。我特别期待它能在不牺牲严谨性的前提下，用一种相对清晰易懂的方式来阐述代数曲线的基本概念、重要的定理以及由此衍生的种种应用。想象一下，通过阅读这本书，我或许能理解那些用几何语言描绘的代数方程，领略到数与形的完美结合，甚至能窥探到一些现代数学研究的前沿。这不仅仅是学习知识，更是一种智力上的探索和享受。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找能够拓展我数学视野的书籍，而代数几何一直是我向往的一个领域。《代数曲线》这本书，从书名上看，就触及了代数几何的核心。我希望它能够以一种既有深度又不失易懂的方式，介绍代数曲线的基本理论。我尤其关注书中是否会涉及一些代数曲线的经典性质，比如重数、切线、拐点等，以及这些性质与代数方程之间的联系。同时，我也希望能了解代数曲线在其他数学分支中的应用，比如数论、复分析等，从而帮助我构建更广阔的数学知识体系。这本书的出现，是我探索代数几何世界的一个绝佳起点。

评分☆☆☆☆☆

我的研究方向与代数几何有着紧密的联系，尤其是在密码学领域，椭圆曲线的应用占据着核心地位。因此，我对《代数曲线》这本书寄予厚望，希望它能为我提供坚实的理论基础。我特别关注书中是否会详细介绍椭圆曲线的定义、群律、点群的结构，以及与它相关的数论性质，例如点的阶、阶数、子群等。同时，我也希望书中能够探讨椭圆曲线在现代密码学中的应用，例如离散对数问题，以及如何构建安全的加密算法。一本能够连接纯粹数学理论与前沿应用的教材，将极大地帮助我深化理解，并为我的研究提供新的思路和启发。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学史和数学思想的发展非常感兴趣。如果这本书在介绍代数曲线理论的同时，也能穿插一些相关的历史背景，讲述这些理论是如何一步步发展演变而来的，那将是锦上添花。例如，代数曲线的概念是如何从古希腊的几何学演化而来，又在19世纪和20世纪如何与代数、拓扑等领域发生深刻的联系。了解到伟大的数学家们是如何思考和解决这些问题的，不仅能增加学习的趣味性，更能帮助我们理解数学的生命力和创造力。我期待这本书能够在这方面有所着墨，让我在学习抽象理论的同时，也能感受到数学的温度和人文气息。

评分☆☆☆☆☆

最近在学习抽象代数，其中环论和域论是基础。我对代数曲线的兴趣，正是源于它与这些抽象概念的联系。我希望这本书能够清晰地解释，代数曲线是如何通过多项式环的理想来定义的，以及域扩张在研究代数曲线时扮演的角色。例如，如何利用代数闭包来研究曲线的性质，以及对有理函数域的理解如何帮助我们分析曲线的几何特征。我期待这本书能够以一种循序渐进的方式，将抽象代数的概念转化为几何直观，让我能够真正理解代数曲线的“代数”本质，以及这种抽象的数学语言所能揭示的深刻几何规律。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我都对数学中的“几何”与“代数”的交织之美深深着迷。当我看到《代数曲线》这本书时，立刻被它所蕴含的潜力所吸引。我非常期待这本书能够像一座桥梁，连接起我对于方程和图形的直观理解，与那些抽象却强大的代数工具。例如，我希望它能展示如何通过求解方程组来刻画曲线的形状，又如何在代数的框架下，对这些形状进行分类和研究。从最简单的直线、圆锥曲线，到更复杂的代数曲线，我希望都能在书中找到清晰的阐述，并理解其背后的代数原理。这本书的出现，似乎预示着我能够更深入地理解数学中“形”与“数”的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对计算机科学，特别是计算机图形学和计算几何有着濃厚兴趣的学习者，我非常好奇代数曲线在这些领域中的实际应用。《代数曲线》这本书，能否提供一些关于如何利用代数曲线来描述和生成图形的例子？例如，如何用代数方程来表示平滑的曲线，以及如何在计算机中进行这些曲线的渲染和处理。我还希望了解代数曲线在曲面建模、计算机辅助设计（CAD）等领域的作用。如果书中能够包含一些与实际应用相关的章节，或者提供相关的参考文献，那我将受益匪浅，并能将抽象的数学理论与我感兴趣的实际应用联系起来。

评分☆☆☆☆☆

在学习数学的过程中，我总是被那些看似简单却蕴含深刻思想的概念所吸引。代数曲线，这个将代数方程与几何图形紧密联系在一起的概念，一直以来都让我充满好奇。我希望《代数曲线》这本书能够用一种清晰、有条理的方式，带领我走进这个领域。我期待能够通过阅读，理解代数曲线的定义、性质，以及它们是如何从多项式方程中“生长”出来的。无论是对初学者还是有一定基础的读者，我都希望这本书能够提供清晰的解释和丰富的例子，让我能够体会到代数与几何交融的独特魅力，并从中获得数学的乐趣和启迪。

评分☆☆☆☆☆

不错的书，适合入门。送货也快

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还可以还可以还可以还可以

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不错！

评分☆☆☆☆☆

代数曲线方面不可多得的好书,这方面外文书籍很多,中文则不多见,适合研究生教材,印刷质量很好.

评分☆☆☆☆☆

很好！质量还可以吧！！！

评分☆☆☆☆☆

国内作者这类的书不多。。。。。

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学习中

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很好很强大 有一本书从外地调来 让其他书慢了。。。早知道拆开了

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不错