好玩的數學：趣味隨機問題 （修訂版） epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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編輯推薦

適讀人群 ：《趣味隨機問題》適閤高中以上文化程度的學生、教師、科技工作者和數學愛好者使用。
“好玩的數學”叢書自2004年10月齣版以來，受到廣大讀者歡迎和社會各界的廣泛好評，各分冊先後重印10餘次，平均發行量近45000套，被認為是一套叫好又叫座的科普圖書。叢書緻力於多個角度展示瞭數學的“好玩”，將現代數學和經典數學中許多看似古怪、實則富有深刻哲理的內容**限度地通俗化，努力使讀者“知其然”並“知其所以然”；盡可能地把數學的好玩提升到瞭更為高雅的層次，讓一般讀者也能領略數學的博大精深。
叢書於2004年獲科學時報杯“科學普及與科學文化**叢書奬”，2008年又被國傢新聞齣版總署列為“嚮全國青少年推薦的百種優秀圖書”之一，2009年榮獲“國傢科學技術進步奬二等奬”。但對於作者和編者來說，**的奬勵莫過於廣大讀者的喜愛關心。十年來，收到不少熱心讀者提齣的意見和修改建議，數學研究領域和科普領域也都有瞭新的發展，大傢感到有必要對書中的內容進行更新和補充。要感謝各位在耄耋之年仍俯首案牘、獻身科普事業的作者，他們熱心負責地對自己的作品進一步加工，在“好玩的數學（普及版）”的基礎上進行瞭修訂和完善。

內容簡介

　　《趣味隨機問題》分為概率論、數理統計、隨機過程三部分，每部分包含若乾個趣味問題。其中有分賭注問題、巴拿赫火柴盒問題、波利亞壇子問題、巴格達竊賊問題、賭徒輸光問題、群體（氏族）滅絕問題等曆史名題，也有許多介紹新內容、新方法的問題。《趣味隨機問題》內容有趣，應用廣泛。能啓迪讀者的思維，開闊讀者的視野，增強讀者的提齣問題、分析問題與解決問題的能力。

目錄

叢書修訂版前言
第一版總序
前言
01概率論篇1
1.1全是不可測集惹的麻煩1
1.2概率概念的完善3
1.3三個孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放迴抽樣10
1.5幾次試開能打開大門11
1.6常見離散型分布的背景12
1.7哪個概率大14
1.8分賭注問題16
1.9是否接收這批産品24
1.10抓鬮25
1.11最後摸齣黑球的概率有多大27
1.12選舉定理及其應用28
1.13剩下全是黑球的可能性30
1.14與摸球是否放迴無關31
1.15整除的概率32
1.16抽牌遊戲33
1.17點子多贏33
1.18先齣現的贏35
1.19摸到奇數個球的概率37
1.20取數遊戲38
1.21全取到為止40
1.22第m個小的那個數42
1.23兩次取齣的數字都不相同43
1.24下賭注問題44
1.25連續齣現的概率46
1.26巴拿赫(Banach)火柴盒問題46
1.27波利亞(Polya)壇子問題47
1.28鞋子配對49
1.29信封與信配對50
1.30手套配對51
1.312n根小棒兩兩配對52
1.32接草成環53
1.33男女配對54
1.34丈夫總在妻子的後麵54
1.35夫妻相鄰就坐55
1.36確診率問題56
1.37人壽保險問題56
1.38如何追究責任58
1.39係統可靠性問題59
1.40生日問題61
1.41盒子數不超過球數的放球問題63
1.42座位問題65
1.43放球次數問題65
1.44最小最大球數問題66
1.45下電梯問題67
1.46上火車問題68
1.47球不可辨的放球問題68
1.48蒲豐(Buffon)投針問題70
1.49會麵問題71
1.50不需要等待碼頭空齣問題72
1.51 3段小棒構成三角形問題73
1.52圓周上3點構成鈍角三角形問題74
1.53兩點之間的距離75
1.54獨立性76
1.55永遠年輕81
1.56最大可能值83
1.57再生性87
1.58最少進貨量87
1.59化驗血清的次數89
1.60乘客等車(浪費的)時間90
1.61巴格達竊賊(礦工脫險)問題91
1.62蟲卵數問題92
1.63積分的計算93
1.64維爾斯特拉斯定理的大數定律證明94
1.65濛特卡羅(Monte Carlo)模擬96
1.66沒校齣的印刷錯誤數97
1.67至少安裝外綫數99
1.68每盒至少裝多少隻螺絲釘100
1.69價格預測100
1.70概率巧計算101
1.71離散型隨機變量的密度函數定義103
1.72母函數104
1.73反之未必成立111
1.74兩個母公式117
02數理統計篇123
2.1白球多還是黑球多128
2.2湖中有多少條魚130
2.3有效估計量的簡易計算132
2.4貝葉斯估計量的簡易計算134
2.5一般離散型分布參數的極大似然估計136
2.6袋中有多少個普通硬幣137
2.7收藏傢買畫問題139
2.8福利彩票142
2.9截尾試驗中指數分布參數的估計148
2.10今天生産的滾球是否閤格153
2.11如何減小犯第2類(納僞)錯誤的概率β155
2.12原假設的“惰性”157
2.13驗收(鑒定)抽樣方案159
2.14第5次擲齣幾點163
2.15隨機變量模擬抽樣165
03隨機過程篇170
3.1賭徒輸光問題170
3.2群體(氏族)滅絕問題175
3.3市場占有率預測179
3.4股票價格預測182
3.5客機可靠性預測183
3.6教學質量評估184
3.7商品銷售情況預測187
3.8定貨總收入模型188
3.9造成死亡交通事故數191
3.10泊鬆過程的檢驗193
參考文獻196
附錶1標準正態分布函數值錶198
附錶2常見隨機變量分布錶200

精彩書摘

　　01概率論篇
　　1.1全是不可測集惹的麻煩
　　隨機事件(簡稱為事件)、概率、隨機變量是概率論中最基本的三個概念，它們是逐步形成與完善起來的。其中事件與隨機變量這兩個概念與不可測集閤的關係非常緊密。如果不存在不可測集閤，事件與隨機變量的定義將會非常簡潔易懂。由於不可測集閤的存在，給這兩個概念的定義帶來瞭很大的麻煩，使初學者感到很睏難。
　　學過初等概率論的人都知道，隨機事件是樣本空間(由所有樣本點或基本事件組成的集閤)的子集，但是樣本空間的子集卻未必是隨機事件。為什麼一般教科書均不作解釋，因為此問題說起來話長，又涉及較多的數學知識，一兩句話是說不清楚的。
　　如果樣本空間Ω中的樣本點隻有可數(可列)多個，則Ω中的任一個子集都可測；如果Ω中的樣本點有無窮不可數多個(如一個區間或一個區域)，則可人為地構造齣Ω的不可測子集。什麼叫做(集閤)可測這涉及較深的測度論知識。通俗地說，所謂集閤A可測，就是可以求齣A的測度。什麼叫做測度如果A是離散可數集閤，則把A中的元素個數作為A的測度，如果A是非離散的區域而且是一維的(二維的、三維的)，就把A的長度(麵積、體積)作為A的測度。關於如何構造Ω的不可測子集，有興趣的讀者可以參閱鄭維行和王聲望著的《實變函數與泛函分析概要》。初學者很難理解，一條麯綫為什麼會不可以測量它的長度呢美籍華人鍾開來說，讀者可以這樣設想，這條麯綫彎麯得非常厲害，我們無法測準它的長度，或者設想它離我們非常遙遠，即使用最先進的儀器也無法對它進行測量。
　　由於樣本空間中的子集不一定都可測，那些不可測子集我們是無法求其概率的，當然，就不把它們看成事件，這是因為我們研究事件的主要目的是求其齣現(發生)的概率。又因為在實際問題中我們往往要對事件進行各種運算(或變換)，我們自然會問：可測事件運算(或變換)的結果是否仍為可測為瞭保證可測事件運算(或變換)的結果仍為可測，我們在定義事件中引進瞭σ代數的概念。
　　定義1.1設Ω為一個集閤，如果Ω中的一些子集組成的集類(以集閤為元素的集閤)F滿足：
　　(i)Ω∈F。
　　(ii)如果A∈F，則A的補集∈F。
　　(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，則∪∞n=1An∈F。
　　則稱F為Ω中的σ代數。
　　有瞭σ代數的概念，可引入事件的如下的嚴密定義。
　　定義1.2如果F是由樣本空間Ω中一些(可測)子集組成的σ代數，則稱F為事件域，稱且僅稱F中的元素為事件。通常稱(Ω，F)為可測空間。
　　由此定義可知：
　　(i)σ代數未必是事件域，但是事件域一定是σ代數。
　　(ii)｛，Ω｝為最小事件域(其中�廖�不可能事件，即為不含有任何樣本點的空集)。如果A為Ω中的可測子集，則｛，A，A，Ω｝是包含事件A的最小事件域。如果Ω中的子集都可測，則取事件域為｛A：AΩ｝(即如果AΩ，則稱A為事件)，它也是最大的事件域。因此，事件域不是唯一的。
　　(iii)在實際問題中，如果Ω中的樣本點是可數的，通常就取事件域為｛A：AΩ｝，否則，通常取事件域為包含我們所關心的事件的σ代數。在一個問題中，事件域一經取定就不再變動
　　如果不存在樣本空間Ω中的不可測子集，隨機變量就可以簡單定義為：如果X(ω)是Ω上的單值實函數，則稱X(ω)為隨機變量。而現在隨機變量的定義不僅復雜得多，而且使初學者很不容易理解。
　　定義1.3設(Ω，F)是一個可測空間，X(ω)為定義於Ω上的單值實函數，如果對任意實數x，均有
　　｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝∈F
　　則稱X(ω)為(Ω，F)上的一個隨機變量。
　　通常簡記X(ω)為X，簡記｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝為｛X≤x｝。｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝錶示使得X(ω)≤x成立的那些樣本點ω組成的集閤。如果這個集閤為可測的事件，即｛X≤x｝∈F，我們纔稱X為隨機變量。
　　由定義1.3知隨機變量不是簡單的變量，而是定義於樣本空間Ω上的滿足條件｛X≤x｝∈F的單值實函數。不過在實際問題中如果用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量那將是件很麻煩的事情。通常不用定義1.3去驗證一個量是否為隨機變量，而是去驗證該量取值是否為隨機的。如果是，則該量是隨機變量；否則，它就不是隨機變量。何為隨機的所謂隨機的是指：該量至少能取兩個值，而且事前(試驗之前)無法準確預言它取哪個值。
　　1.2概率概念的完善
　　概率是描述事件發生(齣現)可能性大小的數量指標，它是逐步形成和完善起來的。最初人們討論的是古典概型(隨機)試驗中事件發生的概率。所謂古典概型試驗是指樣本空間中的樣本點的個數是有限的且每個樣本點(組成的事件)發生的可能性是相同的，簡稱為有限性與等可能性。例如，擲一顆均勻骰子的試驗與從一個裝有n個相同(編瞭號)球的袋中隨機摸一個球的試驗都是古典概型試驗。對於古典概型試驗，人們給齣概率的如下定義。
　　定義1.4設試驗E是古典概型的，其樣本空間Ω由n個樣本點組成，其一事件A由r個樣本點組成，則定義A(發生)的概率為rn，記為P(A)，即
　　P(A)=A中樣本點數Ω中樣本點數=rn
　　並稱這樣定義的概率為古典概率，稱概率的這樣的定義為古典定義。
　　古典概率有如下3個性質：
　　(i)對任意事件A，有0≤P(A)≤1。
　　(ii)P(Ω)=1。
　　(iii)設A1，A2，，Am為兩兩互斥的m個事件，則
　　P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai)
　　(i)、(ii)、(iii)分彆稱為概率的有界性、規範性與有限可加性。
　　古典概率的定義要求試驗滿足有限性與等可能性，這使得它在實際應用中受到瞭很大的限製。例如，對於鏇轉均勻陀螺的試驗：在一個均勻的陀螺圓周上均勻地刻上區間［0，3)內諸數字，鏇轉陀螺，當它停下時，其圓周上與桌麵接觸處的刻度位於某區間［a，b)［�跡�0，3)］內的概率有多大對於這樣的試驗，古典概率的定義就不適用。因為此試驗的樣本點不是有限的，而是區間［0，3］中的每個點，它有無窮不可數多個。為瞭剋服定義1.4的局限性，人們又引入概率的如下定義。
　　定義1.5設試驗E的樣本空間為某可度量的區域Ω，且Ω中任一區域齣現的可能性大小與該區域的幾何度量成正比，而與該區域的位置與形狀無關，則稱E為幾何概型的試驗。且定義E的事件A的概率為
　　P(A)=A的幾何度量/Ω的幾何度量
　　其中，如果Ω是一維的、二維的、三維的，則Ω的幾何度量分彆為長度、麵積、體積。並稱這樣定義的概率為幾何概率，而稱概率的這樣的定義為幾何定義。
　　幾何概率除瞭具有古典概率的3個性質外，它還具有如下的可列可加性(或完全可加性)：
　　(iv)設A1，A2，A3，為兩兩互斥的無窮多個事件，則
　　概率的幾何定義雖然去掉瞭有限性的限製，但是它仍然要試驗滿足等可能性，這在實際問題中仍有很大的局限性。例如，擲一枚不均勻的硬幣的試驗就不具有等可能性，這樣上述兩個定義對這個非常簡單的試驗都不適用。同時我們還注意到上述兩個定義中的等可能性嚴格地說都是近似的，而不是真正的等可能。因此，我們必須再一次推廣概率的定義，以滿足實際問題要求。為此，人們在頻率的基礎上又引進瞭概率的統計定義。
　　通過長期的實踐，人們逐步發現，當重復試驗的次數很多時，事件齣現的頻率都具有穩定性。即對於某個固定的事件，當重復試驗次數增加時，該事件齣現的頻率總在0與1之間某個數字p附近擺動，且越來越接近p。例如，擲一枚均勻硬幣的試驗，曆史上曾經有很多數學傢做過。下錶是幾位數學傢做此試驗的結果。由此錶可以看到，當試驗次數越來越多時，正麵齣現的頻率越來越靠近0.5(錶1-1)。由此，人們又引入概率的統計定義。
　　錶1-1擲均勻硬幣的試驗
　　定義1.6設A為試驗E的一個事件，如果隨著重復試驗次數的增加A齣現的頻率在0與1之間某個數p附近擺動，則定義A的概率為p，記為P(A)，即
　　P(A)=p
　　稱這樣定義的概率為統計概率，稱概率的這樣的定義為統計定義。
　　統計概率也有古典概率的3個性質，即有界性、規範性、有限可加性。
　　概率的統計定義對試驗不作任何要求，它適閤所有試驗，也比較直觀。但是在數學上很不嚴密。因為其依據是重復試驗次數很多時頻率呈現齣的穩定性。何為"很多"1萬次相對於1000次來說是很多瞭，但是相對於10萬次來說它又是很少瞭。試驗次數究竟要多到怎樣的程度纔能算"很多"定義中沒有說明；又如定義中的"擺動"又如何理解，也沒有數學說明，再如定義中的"p"又如何確定不同的人可能會確定不同的值。這樣，一個事件將有多個概率。例如，在錶1-1中，正麵齣現的頻率顯然在0.5附近擺動，因此可以認為正麵齣現的概率為0.5。但是由於硬幣不會絕對均勻的，也可以認為正麵齣現的概率為0.50001或0.4999。因此，概率的上述3個定義都有缺陷，與其說它們是定義，不如說它們僅是對不同的情況給齣概率的3種計算方法。所以我們有必要給齣概率的一個嚴密的對各種情況都適用的定義，以使得概率論這座大廈有牢固的基礎。
　　20世紀30年代初，馮.米富斯(R.VonMises)給齣樣本空間的概念，使得有可能把概率的嚴密的數學理論建立在測度論上。20世紀30年代中期柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)以上述3個定義的性質為背景給齣概率的嚴密的公理化定義。
　　定義1.7設(Ω，F)為一個可測空間，P為定義於F上的實值集閤函數，如果P滿足下列3個條件：
　　(i)對每個A∈F，有P(A)≥0；
　　(ii)P(Ω)=1；
　　(iii)如果Ai∈F，i=1，2，3，，且當i≠j時，AiAj=�粒�則P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。
　　那麼，就稱P為概率測度，簡稱為概率。
　　一般把Ω，F，P寫在一起成(Ω，F，P)，並稱(Ω，F，P)為概率空間。以後總用Ω錶示樣本空間，用F錶示Ω中的固定的事件域，用P錶示相應於Ω與F的概率。此定義的3個條件稱為3個公理。這3個公理分彆稱為概率的非負性、規範性與完全可加性(或可列可加性)。
　　概率的公理化定義中沒有要求定義於F上的實值集閤函數P滿足有界性與有限可加性，為什麼這是因為有界性與有限可加性可以由3個公理推導齣來，而且，一個概念的定義(自然)要求所滿足的條件越少越好，這樣纔便於應用。設想，如果一個定義要求滿足10個條件，則每次應用前都要逐一驗證這10個條件是否滿足(如果不滿足，則不能應用該定義)，這將是很麻煩的事情。其次，概率的公理化定義是嚴密的數學定義，且對試驗不作任何要求，我們很自然地會問，前述的三個定義是否可以不要瞭不可以。這是因為公理化定義雖然在數學上很嚴密，但是它沒有給齣事件概率的計算方法。要計算一個具體事件的概率，還得根據不同的情況，利用上述3個定義之一來計算。
　　另一個需要說明的是概率的公理化定義不是唯一，它有很多等價定義。由有限可加性得P()=P(∑n+1i=1)=(n+1)P()，即nP()=0，所以P()=0，又對任意事件A∈F，由單調性，有P(A)≥P()，從而
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前言/序言

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　　在許多人看來，學生時代最最頭痛的莫過於數學瞭。可是，古今中外，很多頗有建樹的數學傢卻是因為“數學好玩”纔涉足這個領域的。數學真的好玩嗎？很多人都對此報懷疑的態度。事實上，很多有趣的活動——七巧闆、九連環、華容道，數學正是幕後的策劃者，是遊戲規則的製訂者。誠如本書中，作者將趣味數學的各個門類盡可能地搜羅其中：韓信立馬分油，嘉慶皇帝齣妙題，悟空拜師，海島分寶石，上錯花轎嫁對郎，飛簷走壁，狗抓耗子……種種看似不可思議的數學趣題，都在作者的分析下迎刃而解。怎麼樣，你是不是也躍躍欲試瞭呢！

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好書，可以學習，值得一看！

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　　“我真發愁，”監獄看守員說，“警察帕金斯留瞭個條子說，昨天晚上他逮捕瞭兩個牧師打扮的流氓。但我今早上班時卻發現一共有三個牧師打扮的人，現在看來其中有一名是個真正的牧師，他是前來探望兩個誤入歧途的‘羔羊’的。問題是我現在分不清誰真誰假瞭。”

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