微分几何（第三版）/“十二五”普通高等教育本科***规划教材·南开大学数学教学丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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孟道骥，梁科 著

图书标签:

• 微分几何
• 数学
• 高等教育
• 规划教材
• 南开大学
• 数学教学丛书
• 几何学
• 微积分
• 拓扑学
• 曲线曲面

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030466372

版次：3

商品编码：11858053

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 ，

开本：16开

出版时间：2016-02-01

用纸：胶版纸

页数：190

字数：252000

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

适读人群 ：《微分几何》可作为大学数学类各专业本科生的教学用书，也可供数学教师和数学工作者参考。
这套丛书是南开大学数学专业的部分教材, 诸位编著者们长期在南开数学专业任教,不断地把自己的心得体会融合到基础知识和基本理论的讲述中去,日积月累地形成了这套教材. 所以可以说这些教材不是“编”出来的,而是在长期教学中“教”出来的, “改”出来的, 凝聚了编著者们的一些心血.这些教材的共同点,也是教学所遵循的共同点是：首先要加强基础知识、基础理论和基本方法的教学；同时又要适当地开拓知识面,尤其注意反映学科前沿的成就、观点和方法;教学的目的是提高学生的能力,因此配置的习题中多数是为了巩固知识和训练基本方法,也有一些习题是为训练学生解题技巧与钻研数学的能力.

内容简介

作者在长期的教学实践中编写了本书.本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、基本理论和基本方法.主要内容有：Euclid空间与刚性运动，曲线论，曲面的局部性质，曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维Euclid空间的曲面等. 除一章外其余各章均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与钻研数学的能力.

作者简介

孟道骥，南开大学教授、博士生导师、国家科学技术奖评审专家(2007年)、享受国务院政府特殊津贴。主要从事李代数、李群研究。主持、参与十余项国家自然科学基金、教育部博士点基金等基金项目，发表文章100余篇。曾获教育部、天津市等多项奖励。陈省身先生与王叔平教授曾称其“首先对完备李代数完成了系统化的讨论，使完备李代数的研究在国内外活跃起来”。从1984年起多次在全国研究生数学暑期学校（原名暑期教学中心）讲学。并在北京大学、南京大学、东北师范大学、中国科学技术大学、四川大学等高校讲学。负责的“高等代数与解析几何”课程为国家精品课程，该课程的配套教材《高等代数与解析几何》为“普通高等教育‘十一五’***规划教材”、“‘十二五’普通高等教育本科***规划教材”、“2007年度普通高等教育精品教材”。此外，还出版了十余部著作，参与了多部数学词典的编写。
科学出版社出版的主要著作如下：
高等代数与解析几何（上、下册）
高等代数与解析几何学习辅导（与王立云、史毅茜、徐丽媛合编）
微分几何（与梁科合著）
抽象代数I——代数学基础（与陈良云、史毅茜、白瑞蒲合著）
抽象代数II——结合代数（与王立云、史毅茜、徐丽媛合著）
抽象代数III——交换代数（与王立云、袁腊梅合著）
抽象代数学习辅导（与陈良云、徐丽媛、李小蓉合著）
代数学基础
复半单李代数引论
李群（与白承铭合著）
完备李代数（与朱林生、姜翠波合著）
有限群表示论（与朱萍合著）
Riemann 对称空间（与史毅茜合著）

目录

丛书第三版序
丛书第一版序
第一章Euclid空间与刚性运动
1.1绪论
1.2运动（motion）
1.3向量（vector）
第二章曲线论
2.1参数曲线
2.2弧长参数
2.3曲线的局部方程
2.4曲线的曲率与挠率
2.5Frenet公式
2.6曲线论基本定理
2.7平面曲线的整体性质
习题
第三章曲面的局部性质
3.1曲面与参数曲面片
3.2切平面与法方向
3.3第一基本形式
3.4第二基本形式
3.5法曲率函数
3.6曲面在一点处的标准展开
3.7结构方程
3.8特殊曲面
3.9保长对应与保角对应
习题
第四章曲面论基本定理
4.1外微分式
4.2幺正活动标架
4.3基本形式与Gauss曲率
4.4曲面论基本定理
习题
第五章曲面上的曲线
5.1测地曲率与测地挠率
5.2曲面上的特殊曲线
5.3Gauss—Bonnet公式
5.4联络
5.5测地线
5.6平行与平行移动
5.7法坐标系与测地极坐标系
5.8可展曲面
习题
第六章高维Euclid空间的曲面
6.1高维曲面
6.2微分流形
习题
参考文献
索引

精彩书摘

第一章Euclid空间与刚性运动
1.1绪论
几何学是一门有悠久历史的科学，它在数学、自然科学及思维科学中都起了重要的作用，而且仍将起重要的作用. 几何学的发展，大致分为这样几个阶段：1)Euclid几何. 主要是研究在刚体运动下不变的图形，如在什么条件下两个三角形全等、两个圆全等等问题. 2)解析几何. 在Descartes建立了解析几何之后，我们有了一种手段，可以将图形数量化，可以以代数学作为研究几何学的强有力的工具，而且能够研究比直线、平面等更复杂的图形，如二次曲线与二次曲面，以及它们的不变量. 不变量不依赖于坐标系的选取，从而与图形的位置无关. 这些不变量就可以区分图形的形状. 3)微分几何. 以微积分为工具来研究一般的曲线和曲面的形状，找出决定曲线、曲面形状的不变量系统. 微分几何学几乎是与微积分同时诞生的. Newton和Leibniz建立微积分的目的之一就是为解决一些几何问题，如曲线所围的面积，曲线的切线、长度等. 微积分在几何学中的应用后来发展为一门独立的学科——微分几何，或古典微分几何，包括曲线论与曲面论两大部分. 4)Riemann几何. 5)大范围微分几何等. 它们已经大大超出了古典微分几何所局限的二维、三维空间的情形，而且在方法上也发展了活动标架法、外微分式等一系列的重要工具. 几何学中一个重要的观点是认为几何学的主要问题是研究变换群的不变量. 在20世纪三四十年代，Lie群与微分几何巧妙地结合起来了. 至今，这仍然是几何学中的热点之一.
我们的课程主要是古典微分几何，但我们将尽可能地用现代微分几何的方法、观点来处理古典理论.

前言/序言

《南开大学数学教学丛书》于1998年在科学出版社出版,2007年出版第二版,整套丛书列入"普通高等教育`十一五'国家级规划教材"中.又过去几年了,整套丛书又被列入"`十二五'普通高等教育本科国家级规划教材"中.这些都表明本丛书得到了使用者、读者以及南开大学,特别是科学出版社的有效支持与帮助, 我们特向他们表示衷心的感谢!

我们曾被问及这套丛书的主编,编委会是哪些人.这套丛书虽然没有通常意义上的主编和编委会,但是有一位"精神主编":陈省身先生.中国改革开放后,年事已高的陈省身先生回到祖国,为将中国建设成数学大国、数学强国奋斗不息.他这种崇高的精神感召我们在他创建的南开大学数学试点班的教学中尽我们的力量.这套丛书就是我们努力的记录和见证.

陈省身先生为范曾的《庄子显灵记》写了序.在这篇序中陈先生说在爱因斯坦书房的书架上有一本德译本老子的《道德经》.《道德经》第一句话说:"道可道,无常道".道总是在发展着的.我们曾说:"更高兴地期待明天它(《南开大学数学教学丛书》) 被更新、被更好的教材取而代之." 当然这需要进行必要的改革.《道德经》还说:"治大国若烹小鲜."就是说要改革,但不能瞎折腾.

我们虽已年过古稀(有一位未到古稀但也逾花甲),但仍想为建设数学强国出一点力,因此推出这套丛书的第三版. 同时也藉此感谢支持帮助过我们的诸位!陈省身先生离开我们快十周年了,我们也藉此表示对陈省身先生的深切怀念!
全体编著者
2013年9月于南开大学

《微分几何》（第三版）以其严谨的数学逻辑和清晰的讲解，为读者构建了一个理解空间曲面与空间曲线几何性质的坚实基础。本书深入浅出地介绍了微分几何的核心概念，包括曲线的参数表示、曲率、挠率、切线、法线、法平面、密性平面等，以及曲面的参数表示、第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、测地线等重要理论。 在曲线部分，本书首先从直观的几何角度出发，引入了曲线的局部性质，如切向量和法向量的概念，并借助它们定义了曲率和挠率，这使得读者能够定量地描述曲线的弯曲程度和扭转程度。通过大量的实例和习题，读者可以熟练掌握计算平面曲线和空间曲线的曲率、挠率的方法，并能分析曲线的几何特征。 转向曲面部分，本书系统地阐述了曲面的微分几何理论。读者将学习如何利用参数方程描述曲面，并通过第一基本形式来研究曲面的度量性质，如长度、面积、夹角等。随后，第二基本形式的引入，使得我们能够深入探讨曲面的内在曲率，即高斯曲率和平均曲率。这些曲率概念不仅是刻画曲面局部形状的关键，更与曲面的整体性质紧密相连。本书详细讲解了曲面的分类，如平面、球面、柱面、锥面等，以及它们各自的曲率特性。 测地线的概念在微分几何中占据核心地位，它被形象地理解为在曲面上“最短路径”的推广。本书深入阐述了测地线的定义、性质及其在不同曲面上的具体形式，这为理解黎曼几何奠定了重要基础。 此外，本书还触及了曲面之间的等距映射和共形映射等概念，这些概念在研究曲面的几何性质的保持与变换方面至关重要。例如，等距映射保持距离，从而保持了曲面的所有度量性质，而共形映射则保持了角度。 《微分几何》（第三版）的编写风格严谨而富有启发性，充分考虑了本科生的认知规律。书中数学符号的引入循序渐进，概念的阐释清晰明了，并辅以大量的几何图形和直观的解释，帮助读者建立空间想象能力。每章的结尾都配有精心设计的习题，这些习题涵盖了理论推导、计算练习和几何分析等多个方面，旨在巩固读者对所学知识的理解和应用能力。 本书的数学工具包括向量代数、多元微积分等基础知识，读者在学习微分几何之前，应具备扎实的数学基础。本书的出版，旨在为高等院校数学专业本科生提供一本系统、深入、实用的微分几何教材，帮助他们掌握微分几何的基本理论和方法，为进一步学习微分几何、黎曼几何以及相关的数学分支打下坚实的基础。同时，本书的内容也对从事几何学、拓扑学、广义相对论、计算机图形学等领域的研究人员和工程师具有重要的参考价值。 这本书的价值在于，它不仅传授了抽象的数学理论，更注重培养读者运用数学工具解决几何问题的能力，以及提升其空间想象力和数学思维能力。通过对曲线性质的深入分析，以及对曲面微分几何的系统讲解，本书引导读者在抽象的数学符号背后，看到丰富多彩的几何世界。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分几何（第三版）》给我的感觉就像一位循循善诱的老师，它不是那种一次性把所有知识点和盘托出，而是像引导你一点点地探索世界的奥秘。我尤其欣赏它在引言部分对微分几何在现代科学中的应用所做的简要介绍，这让我立刻对这门学科产生了浓厚的兴趣，并看到了它与物理学、工程学等领域的紧密联系。书中对于流形、切空间、张量等现代微分几何的核心概念的引入，虽然是初次接触，但通过作者精心设计的例子和解释，我感到并不那么令人望而生畏。尤其是对度量张量的讲解，它不仅解释了度量张量是什么，更深入地阐述了它如何定义距离和角度，以及在曲面上计算面积和体积的重要性。我花了很多时间去理解度量张量与曲面几何性质之间的关系，作者的讲解让我逐渐体会到了“度量”在几何中的核心地位。书中还涉及了联络、曲率张量等概念，这些确实是理解更深层几何结构的钥匙。尽管有些证明我还需要反复推敲，但作者在章节末尾设置的练习题，很多都具有启发性，能够引导我去思考和发现问题，而不是简单地套用公式。我感觉这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养我独立思考和解决数学问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一本“十二五”规划教材，《微分几何（第三版）》的编写质量可见一斑。我尤其对书中关于测地线和测地曲率的章节印象深刻。作者不仅给出了测地线的精确定义，还详细解释了测地线作为曲面上“最短路径”的直观意义。我花了大量时间去理解测地方程的推导，以及如何利用它来找到特定曲面上的测地线。书中的例子，比如在球面上，圆是唯一的测地线，这让我对测地线的概念有了更深刻的认识。我还被书中关于测地曲率的讨论所吸引，它如何量化一条曲线相对于其所在曲面上的测地线的偏离程度，以及它在曲面弯曲分析中的作用。我尝试解答了一些关于测地线存在性和唯一性的问题，这帮助我更好地理解了测地线的性质。这本书的优点在于，它不仅注重数学公式的推导，更注重概念的几何直观性，让你能够在脑海中勾勒出曲线和曲面的运动轨迹，以及它们在不同几何环境下的变化。

评分☆☆☆☆☆

我被《微分几何（第三版）》的“十二五”普通高等教育本科规划教材的定位所吸引，这预示着其内容和体系会比较完善，适合作为教学或自学的参考。我尤其对书中关于向量场和微分形式的章节印象深刻。作者将向量场和微分形式的概念引入得非常自然，并清晰地解释了它们在描述曲线和曲面上运动、以及在分析微分方程中的作用。我曾花了大量时间去理解微分形式的内积、外积以及霍奇对偶等运算，这些概念对于理解更高级的微分几何和拓扑学至关重要。书中关于斯托克斯公式的详细阐述，以及它如何统一了格林公式、高斯散度定理和法拉第定律，让我惊叹于数学的统一性。我反复阅读了书中的例题，并尝试解答其中的一些思考题，这帮助我巩固了对微分形式操作的理解。虽然本书的侧重点在于经典微分几何和初步的流形理论，但它为我构建了一个坚实的基础，让我对未来继续深入学习微分几何的各个分支充满了信心。这本书的语言风格严谨而不失温度，公式推导清晰，即使是面对一些复杂的结果，作者也能给出相应的直观解释，这对于保持学习的动力非常重要。

评分☆☆☆☆☆

我是一位有着一定数学基础但并非专业背景的读者，被《微分几何（第三版）》的“南开大学数学教学丛书”这一名头所吸引。我的初步印象是，这套丛书往往注重基础理论的扎实构建和教学的有效性。事实也确实如此，本书在内容组织上，从基础的欧式空间中的曲线和曲面出发，逐步过渡到抽象的流形理论，这样的循序渐进的架构对于像我这样希望系统性地学习微分几何的读者来说，非常友好。我尤其对书中关于曲率的概念进行了深入的学习。作者不仅详细介绍了高斯曲率和平均曲率的定义及其几何意义，还通过具体例子，比如球面、抛物面等，展示了不同曲面曲率的特点。我特别着迷于高斯曲率在判断曲面局部形状上的作用，以及它与测地线之间的深刻联系。书中关于欧拉公式的推导以及它在曲面分析中的应用，让我领略到了数学定理的优美与力量。虽然有些部分涉及到更抽象的概念，比如黎曼度量和黎曼张量，但我相信通过反复研读和练习，能够逐渐掌握。这本书让我意识到，微分几何并非仅仅是关于曲线和曲面的形状，它更是研究空间内在性质的强大工具，其思想在现代数学和物理学中有着广泛的应用。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学史和发展脉络感兴趣的读者，而《微分几何（第三版）》在内容编排上也体现了历史的积淀。我尤其喜欢书中在介绍一些重要概念时，会提及相关的历史背景和发展过程，这让我能够更好地理解这些概念是如何被发现和完善的。例如，在介绍高斯曲率时，作者简要回顾了高斯对曲面理论的开创性工作，这让我更加体会到这位数学巨匠的非凡贡献。书中关于曲率和测地线的讨论，也让我联想到了早期几何学家们对空间本质的探索。虽然本书主要侧重于理论的讲解，但它所展现出的数学思想的演进，让我感受到了一种历史的厚重感。我尝试将书中的理论与一些经典几何问题联系起来，这让我觉得学习微分几何不仅仅是掌握一套工具，更是参与到人类认识空间和几何的伟大进程中。这本书让我觉得，数学的魅力不仅在于它的精确与抽象，还在于它背后所蕴含的智慧与历史。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分几何（第三版）》真的让我耳目一新，虽然我并不是专业数学系的学生，但因为对数学研究的浓厚兴趣，我一直想找一本既严谨又不至于过于晦涩的微分几何入门读物。这本书无疑是我的不二之选。它的编排逻辑非常清晰，从最基础的概念，比如曲线的弧长、曲率、挠率，一步步深入到曲面的第一基本形式、第二基本形式，再到高斯曲率、平均曲率等核心内容。我尤其喜欢它在讲解这些概念时，不仅仅给出抽象的定义和定理，还穿插了大量生动形象的例子，比如对旋转曲面的讨论，对球面的性质分析，这些都极大地帮助了我理解那些抽象的数学语言。书中对数学证明的展开也相当详细，每一步的逻辑推理都交代得清清楚楚，即使是一些相对复杂的证明，通过仔细阅读，也能逐渐理清思路。更重要的是，它并没有止步于经典微分几何，而是为我打开了更广阔的视野，隐隐约约地让我窥见了黎曼几何的影子，这对于我这样一个初学者来说，无疑是莫大的鼓舞，让我对接下来的学习充满了期待。我曾尝试过其他一些介绍微分几何的书籍，但它们要么过于简略，要么过于注重公式推导而忽略了概念的直观理解，而这本教材恰好找到了一个完美的平衡点。它让我觉得，学习数学，尤其是像微分几何这样一门充满几何美感的学科，应该是一个既有严谨推理又有深刻洞察的过程，而这本书正是做到了这一点。

评分☆☆☆☆☆

我被《微分几何（第三版）》“南开大学数学教学丛书”的严谨性所吸引，同时也被它所展现出的数学美感所折服。我尤其对书中关于微分同胚和微分同构的讨论印象深刻。作者清晰地阐述了这两个概念如何描述两个光滑流形之间的“良好”映射，以及它们在判断流形是否具有相同几何结构上的重要性。我花了大量时间去理解微分同胚的定义，以及如何通过检查映射的雅可比矩阵来判断其局部可逆性。书中关于分类流形以及研究其拓扑性质的讨论，让我看到了微分几何与拓扑学的紧密联系。我尝试去理解一些简单的微分同胚例子，例如在欧式空间中的线性变换，以及它们如何保持空间的几何结构。这本书让我意识到，微分几何不仅仅是研究曲线和曲面的形状，更是一种研究空间结构的强大而优雅的理论工具，它能够帮助我们理解不同几何对象之间的本质联系。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学就是要理解其背后的思想和方法，《微分几何（第三版）》在这方面做得非常出色。我尤其欣赏书中对流形概念的引入。作者通过对欧式空间中的曲线和曲面的推广，逐步引出了“局部欧式空间”的流形概念，这让我能够理解，微分几何并不仅仅局限于我们熟悉的低维空间，而是可以推广到更抽象、更一般的空间。书中关于切空间、向量场和微分形式在流形上的定义，虽然初看有些抽象，但通过作者耐心细致的讲解，我逐渐理解了它们在流形上进行微分运算和几何分析的关键作用。我特别喜欢书中对光滑性要求的讨论，它强调了微分几何的“微”之所在，即对局部光滑性质的研究。尽管我对流形上的积分和黎曼度量等更深层次的概念还在学习消化中，但我已经能够感受到微分几何作为一种研究空间结构的强大理论工具的魅力。这本书为我打开了一扇通往现代微分几何的大门，让我看到了数学的无限可能性。

评分☆☆☆☆☆

我是一名追求理论深度和严谨性的读者，而《微分几何（第三版）》在这一点上表现得淋漓尽致。我尤其对书中关于曲率张量及其性质的深入探讨印象深刻。作者详细解释了里奇曲率、斯卡拉曲率等不同类型的曲率，以及它们如何反映流形在不同方向上的弯曲程度。我反复推敲了曲率张量与第二基本形式之间的联系，以及它们在几何学和物理学（如广义相对论）中的重要应用。书中关于曲率的几何直观解释，例如里奇曲率与体积变化的联系，让我能够将抽象的公式与具体的几何图像联系起来。我尝试解决了一些与曲率计算相关的练习题，这帮助我加深了对曲率概念的理解。这本书虽然内容较为深入，但其逻辑清晰、论证严密，对于希望深入理解微分几何的读者来说，是一本不可多得的宝藏。它让我看到了数学理论的精妙之处，以及严谨推导所能带来的深刻洞见。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学美学有着特殊追求的读者，而《微分几何（第三版）》恰恰满足了我对数学图形美感和逻辑严谨性的双重需求。这本书在讲解曲面的第一基本形式和第二基本形式时，给我留下了深刻的印象。作者通过细致的推导，清晰地展示了第一基本形式如何定义曲面上的内蕴几何性质，比如距离和角度，而第二基本形式则揭示了曲面在外蕴空间中的弯曲程度。我尤其喜欢书中关于等温曲面和等度量曲面的讨论，这些概念让我看到了如何在局部坐标系下描述曲面的几何特性。我反复推敲了关于曲率向量的定义及其在曲面上的行为，并尝试理解高斯-博内定理的几何意义，虽然这个定理的深入理解还需要进一步的学习，但它所揭示的曲面总曲率与其边界的拓扑性质之间的联系，让我感到无比震撼。这本书在概念的引入上并没有急于求成，而是循序渐进，确保读者能够牢固掌握每一个基本概念，然后再过渡到更复杂的理论。这种教学方式让我觉得，微分几何的学习过程本身就充满了发现的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

9，Weierstrass因式分解定理、正弦函数的因式分解、Runge定理。

评分☆☆☆☆☆

2，结构与解释、联结词的标准化、满足关系、推论关系、叠合引理与同构引理。

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评分☆☆☆☆☆

4，Cauchy估计公式、解析函数的幂级数表示、整函数、解析函数的零点、Liouville定理、代数基本定理、最大模定理、闭曲线的指标。

评分☆☆☆☆☆

8，Lobachevsky度量、Lobachevsky几何的Poincare度量模型与Klein度量模型、Minkowski空间中的类空曲面的曲率、复变换群、复解析函数、Riemann曲面、共形坐标。

评分☆☆☆☆☆

6，固有振动、热传导方程的Green公式、热传导方程的基本解、热势、热传导方程解的分析性质、热传导方程的边值问题、热传导方程的Cauchy问题、用分离变量法解矩形区域的热传导方程。

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