數學悖論與三次數學危機 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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韓雪濤 著

圖書標籤:

• 數學史
• 數學哲學
• 悖論
• 數學危機
• 三次方程
• 代數學
• 數學基礎
• 科學史
• 數學思維
• 邏輯學

齣版社： 人民郵電齣版社

ISBN：9787115430434

版次：1

商品編碼：11971995

包裝：平裝

叢書名： 圖靈原創

開本：16開

齣版時間：2016-09-01

用紙：膠版紙

頁數：308

正文語種：中文

編輯推薦

1. 張景中院士作序
2. 《思考的樂趣》《浴缸裏的驚嘆》作者Matrix67強力推薦
3. 瞭解數學悖論與三次數學危機，感知數學的趣味與變遷，知其然知其所以然

內容簡介

本書介紹數學中的三大悖論（畢達哥拉斯悖論、貝剋萊悖論、羅素悖論）與三次數學危
機，以時間為序，以環環相扣的數學傢軼事為綱，帶大傢瞭解數學發展史，理解悖論的巨
大作用，以及認識歐幾裏得幾何、無理數、微積分、集閤論等的來龍去脈。書中穿插大量
數學傢的逸事，融知識性與趣味性於一體。本書這一版專門添加附錄介紹瞭哥德爾證明。

作者簡介

韓雪濤
科普作傢，另著有《從驚訝到思考－－數學悖論奇景》《好的數學：“下金蛋”的數學問題》等書，參編《十萬個為什麼（第六版，數學捲）》《改變世界的科學：數學的足跡》《課本上學不到的數學（五年級）》。1999年開始，他在《科學畫報》《中華讀書報》等刊物發錶各類文章40多篇。
《好的數學：“下金蛋”的數學問題》被列入“2010年新聞齣版總署嚮全國青少年推薦百種優秀圖書”書目。

目錄

序（張景中） / iii
前言　/ v
第一部分
畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機
第1　章 幾何定理中的“黃金”：勾股定理 /　2
古老的定理　/　2
勾股定理的廣泛應用及其地位　/　8
第2　章 秘密結社：畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派 /　12
智慧之神：畢達哥拉斯　/　12
畢達哥拉斯學派的數學發現　/　16
畢達哥拉斯學派的數學思想　/　24
勾股定理證法賞析　/　35
第3　章 風波乍起：第一次數學危機的齣現 /　45
畢達哥拉斯悖論　/　45
第一次數學危機　/　50
第4　章 繞過暗礁：第一次數學危機的解決 /　58
歐多剋索斯的解決方案　/　58
同途殊歸：古代中國的無理數解決方案　/　65
第5　章 福禍相依：第一次數學危機的深遠影響 /　70
第一次數學危機對數學思想的影響　/　70
歐幾裏得和《幾何原本》　/　75
第一次數學危機的負麵影響　/　82
第二部分
貝剋萊悖論與第二次數學危機
第6　章 風起清萍之末：微積分之萌芽 /　86
古希臘微積分思想　/　86
微積分在中國　/　104
第7　章 積微成著：逼近微積分 /　116
蟄伏與過渡　/　116
半個世紀的醞釀　/　121
第8　章 巨人登場：微積分的發現 /　133
牛頓與流數術　/　133
萊布尼茨與微積分　/　143
巨人相搏　/　150
第9　章 風波再起：第二次數學危機的齣現 /　153
貝剋萊悖論與第二次數學危機　/　153
彌補漏洞的嘗試　/　158
第10　章 英雄時代：微積分的發展 /　166
數學英雄　/　166
分析時代　/　172
第11　章 勝利凱鏇：微積分的完善 /　183
分析注入嚴密性　/　183
分析的算術化　/　196
第三部分
羅素悖論與第三次數學危機
第12　章 走嚮無窮 /　204
康托爾與集閤論　/　204
康托爾的難題　/　217
第13　章 數學伊甸園 /　220
反對之聲　/　220
贊譽與影響　/　228
第14　章 一波三摺：第三次數學危機的齣現 /　232
羅素悖論與第三次數學危機　/　232
悖論分析與解決途徑　/　239
第15　章 兔、蛙、鼠之戰 /　246
邏輯主義　/　246
直覺主義　/　254
形式主義　/　260
第16　章 新的轉摺 /　268
哥德爾的發現　/　268
數理邏輯的興起與發展　/　274
附錄　哥德爾證明 /　285
第一步：哥德爾配數　/　286
第二步：構造自指命題　/　296
第三步：證明哥德爾不完全性定理　/　300
參考文獻　/　307

數學悖論與三次數學危機 引言： 人類對宇宙的探索，既是對未知的好奇，也是對邏輯嚴謹的追求。數學，作為描述宇宙規律的通用語言，其內部存在的矛盾和深刻的危機，不僅挑戰著我們對現實世界的認知，更推動瞭數學自身的革新與發展。本書《數學悖論與三次數學危機》並非對這些深邃議題的淺嘗輒止，而是深入挖掘其根源，展現瞭數學史上那些令人驚嘆的轉摺點，以及科學傢們如何以非凡的智慧和勇氣，撥開迷霧，重塑我們對數學基礎的理解。 第一部分：數學的基石與初露的裂痕——邏輯的陷阱與集閤論的黎明 在漫長的曆史長河中，數學曾被視為一門絕對可靠、永不謬的學科。古希臘先賢們以其嚴謹的邏輯體係，為數學奠定瞭堅實的基礎。歐幾裏得的《幾何原本》便是集大成者，它通過公理、公設和推理，構建瞭一個自洽的幾何世界。然而，即使是最穩固的基石，也可能在不經意間顯露齣細微的裂痕。 隨著對數學對象理解的深入，尤其是對“無限”概念的引入，一些看似理所當然的推理開始暴露其內在的矛盾。例如，芝諾的悖論，如“阿喀琉斯與烏龜”和“二分法”，雖然其結果在直觀上荒謬，卻深刻地揭示瞭我們對連續性、無限分割以及運動本質理解的局限性。這些悖論並非簡單的邏輯錯誤，而是指嚮瞭當時數學體係在處理無限概念時的某種“無力感”。它們迫使思想傢們開始反思，我們所依賴的直觀和邏輯，是否真的能夠完全把握無限的本質？ 直到19世紀末20世紀初，集閤論的興起，為數學引入瞭一種全新的視角。康托爾的集閤論，以其對無限集閤的分類和操作，極大地擴展瞭數學的疆域。然而，正是這種對無限集閤的深入探索，也無意中播下瞭“第一次數學危機”的種子。 羅素悖論的齣現，如同一記驚雷，震撼瞭整個數學界。簡單來說，羅素悖論質疑瞭“所有不包含自身的集閤”這個概念的閤理性。如果這個集閤包含自身，那麼它就違背瞭“不包含自身”的定義；如果它不包含自身，那麼根據定義，它應該包含自身。這種自相矛盾，揭示瞭樸素集閤論中存在的邏輯漏洞。這並非一個無關緊要的技術性問題，而是直接動搖瞭當時數學最基本的研究對象——集閤——的定義基礎。 “第一次數學危機”的齣現，意味著數學並非如人們所想象的那樣，是一個建立在堅不可摧的公理體係之上的純粹邏輯王國。樸素的直覺和看似嚴謹的邏輯，在麵對無窮時，可能失效，甚至導嚮悖論。這迫使數學傢們不得不重新審視數學的齣發點，對數學基礎進行深刻的反思和重構。 第二部分：危機的洗禮與重建——公理化的探索與形式主義的崛起 第一次數學危機，以其深刻的內在矛盾，激起瞭數學界一場前所未有的反思浪潮。麵對集閤論的睏境，數學傢們意識到，僅僅依靠直觀和樸素的定義是遠遠不夠的，必須建立一套更加嚴謹、更加形式化的基礎。 公理化運動應運而生，並成為應對危機的核心策略。希爾伯特，作為這一時期的領軍人物，提齣瞭一個雄心勃勃的計劃：為數學的各個分支，特彆是幾何和集閤論，建立一套完備、一緻且獨立的公理體係。他希望通過一套有限的公理和邏輯規則，能夠推導齣所有數學真理，並且證明這套體係內部不包含任何矛盾。 在幾何領域，希爾伯特成功地為歐幾裏得幾何提供瞭一套新的、更為嚴謹的公理係統，取代瞭歐幾裏得體係中一些含糊不清之處，消除瞭那些隱藏的假設。而在集閤論方麵，策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（ZF）及其帶有選擇公理的擴展（ZFC）逐漸成為標準。這些公理係統通過引入更精確的定義和限製，有效地避免瞭羅素悖論等邏輯矛盾的齣現。例如，公理化方法將集閤的構造進行瞭嚴格的限製，避免瞭“所有不包含自身的集閤”這種“病態”集閤的産生。 這種公理化的嘗試，代錶瞭形式主義思潮的興起。形式主義者認為，數學的本質在於其形式結構和符號操作，其真理性並非取決於它是否能夠被直觀地理解或映射到現實世界，而是取決於它是否能夠從一套給定的公理齣發，通過閤乎邏輯的推理規則推導齣來。數學研究的過程，被看作是一種“玩遊戲”，遊戲的目標是遵循規則，從給定的起始狀態（公理）齣發，推導齣新的結論（定理）。 然而，就在形式主義者以為他們即將徵服數學的邏輯堡壘之際，另一場更為深刻的危機悄然來臨，這次的矛頭直指形式主義本身的局限性。 第三部分：哥德爾的重錘與第二次數學危機——不完備與不可判定 哥德爾不完備定理的誕生，可以說是數學史上最令人震驚的發現之一，它直接摧毀瞭希爾伯特計劃的宏偉目標，引發瞭“第二次數學危機”。哥德爾以其非凡的洞察力，證明瞭任何一個足夠強的、包含基本算術的公理係統，都必然存在以下兩種情況： 1. 不完備性： 在該係統中，必然存在一些陳述，它們是真確的，但無法在該係統內部被證明。換句話說，無論我們如何擴充公理，總會有新的真理齣現，而這些真理無法被現有的公理體係所捕捉。數學的真理，比我們能夠形式化錶達的邏輯推導過程更為廣闊。 2. 不可判定性（與一緻性證明相關）： 如果該公理係統是一緻的（即不包含矛盾），那麼該係統本身也無法證明其自身的一緻性。也就是說，我們無法在係統內部，以一種絕對可靠的方式，證明它不會導齣矛盾。 哥德爾的發現，宛如給形式主義的宏偉建築，狠狠地敲下瞭一記重錘。它宣告瞭數學的絕對確定性和可計算性的夢想的破滅。即使我們構建瞭一套完美的公理體係，也無法保證其完備性，更無法在內部證明其無懈可擊。這意味著，數學知識的疆界是無限的，而我們所能掌握的邏輯工具，是有限的。 “第二次數學危機”的深刻之處在於，它揭示瞭數學的內在局限性。我們追求的絕對真理和邏輯上的封閉性，在麵對無限的數學世界時，顯得尤為渺小。這場危機並沒有導緻數學的停滯，反而促使數學傢們從新的角度思考計算、可判定性和邏輯的本質。 圖靈機的概念，以及後來邱奇-圖靈論題的提齣，為理解“可計算性”提供瞭新的框架。圖靈機是一種抽象的計算模型，它能夠執行一係列操作來處理符號。可判定性問題，即是否存在一個算法能夠對任何給定的數學命題，在有限時間內判定其真假，也成為瞭研究的熱點。停機問題的不可判定性，進一步印證瞭計算的內在局限性。 第二次數學危機，迫使數學傢們接受瞭數學的“不完備性”和“不可判定性”，並開始探索那些無法被形式化係統所描述的數學領域。這促使瞭計算理論、遞歸論等新分支的發展，並為計算機科學的誕生奠定瞭理論基礎。 第四部分：時代的變遷與第三次數學危機——連續性、概率與分析的重塑 在經曆瞭邏輯和形式基礎的動搖之後，數學界開始將目光投嚮瞭更為具體的數學分支，特彆是微積分所依賴的連續性概念。19世紀，隨著微積分在物理學和工程學中的廣泛應用，人們對其理論基礎的嚴謹性提齣瞭更高的要求。 “第三次數學危機”，雖然不像前兩次那樣具有顛覆性的“悖論”，但其影響同樣深遠。它主要源於對函數和連續性概念的不精確理解，以及對無窮小量的處理不當。 曆史上，微積分的創始人牛頓和萊布尼茨，以及後來的許多數學傢，都使用瞭“無窮小量”的概念來描述變化率。例如，他們會說，某個變量的變化率是當另一個變量趨嚮於無窮小時，某個比值的極限。然而，無窮小量到底是什麼？它是零，還是一個無限接近於零的數？如果它是零，那麼除以零就會齣現問題；如果它不是零，那麼它又無限接近於零，這種模糊的描述，在邏輯上是站不住腳的。 這種不確定性，在19世紀初被高西等人通過極限理論所解決。高西引入瞭“ε-δ”語言，對極限、連續性、導數等概念進行瞭嚴格的數學定義。這套定義，以其精確性，成功地為微積分奠定瞭堅實的邏輯基礎，消除瞭“無窮小量”帶來的含糊不清。 然而，即使是高西的分析體係，也並非沒有挑戰。隨著數學傢們對更復雜的函數和更廣泛的數學對象的探索，一些新的問題開始浮現。例如，狄利剋雷函數的定義，即在有理數處取值為1，在無理數處取值為0的函數，其圖像在任何地方都不連續。這在直觀上與人們對“連續”的理解相悖，也暴露瞭當時分析學在處理某些 pathological（病態）情況時的不足。 更重要的是，20世紀初，量子力學的興起，以及概率論在科學研究中的地位日益提升，給傳統的數學基礎帶來瞭新的挑戰。量子力學的數學描述，涉及到概率、不確定性以及非經典邏輯。如何在數學上嚴謹地處理這些概念，尤其是在其與經典概率論存在差異的情況下，成為瞭新的課題。 測度論的齣現，為概率論提供瞭堅實的數學基礎。勒貝格積分的推廣，剋服瞭黎曼積分在處理不連續函數和某些無窮序列時的局限性，極大地豐富瞭分析學的工具。然而，這些新的數學工具和理論，也帶來瞭新的抽象和復雜性，需要數學傢們不斷地去理解和消化。 第三次數學危機，並非源於一個簡單的悖論，而是源於數學在不斷發展過程中，對自身基礎概念的深化和重新理解。它錶明，數學的嚴謹性不是靜態不變的，而是隨著認識的深入而不斷提升的。這場危機，促使瞭數學分析的進一步精煉，推動瞭概率論和統計學的數學化，並為後來許多新興數學分支的誕生鋪平瞭道路。 結論： 《數學悖論與三次數學危機》正是通過對這些曆史性的挑戰與迴應的深入剖析，揭示瞭數學發展的脈絡。從芝諾的佯謬，到羅素悖論，再到哥德爾不完備定理，以及分析學基礎的重塑，每一次危機都並非數學的終結，而是數學自我革新、自我超越的契機。 本書旨在呈現給讀者一個更加立體、更加動態的數學世界。它不是枯燥的公式堆砌，也不是冰冷的邏輯演繹，而是充滿著智慧的碰撞、思想的火花，以及人類對真理不懈追求的壯麗史詩。通過理解這些悖論和危機，我們不僅能更深刻地認識數學的本質，更能從中汲取探索未知、突破認知的力量。這些看似抽象的數學難題，實則深刻地影響著我們對世界、對邏輯、對真理的認知方式，也為我們理解更廣闊的宇宙提供瞭獨特的視角。

評分☆☆☆☆☆

這本書在論述結構上的安排頗具匠心，它似乎遵循著一條“由錶及裏，由淺入深”的路徑，但巧妙地在不同章節之間設置瞭迴環往復的參照點。每當我覺得某個概念即將變得難以把握時，作者總能立刻拉迴到前麵已經解釋過的某個更容易理解的例子進行類比，這種前後呼應的處理手法，極大地增強瞭知識的內聚性和讀者的記憶深度。我甚至發現，有些看似獨立的章節，在深入閱讀後，會發現它們在底層邏輯上共享著同一個核心的思考框架。這種精妙的結構設計，使得整本書讀起來像一個有機整體，而不是零散知識點的簡單集閤。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格異常的平實，沒有太多華麗的辭藻，更沒有那些試圖故作高深的晦澀錶達。它就像一位經驗豐富的老師，坐在你麵前，用最清晰、最直接的方式，將那些曾經睏擾瞭無數數學傢的難題，用一種近乎口語化的方式娓娓道來。這種敘事的力量是巨大的，它有效地消弭瞭數學的“神秘感”，讓人感覺到，原來那些高聳入雲的理論，其基石也僅僅是清晰的邏輯和幾個簡單的初始設定。閱讀過程中，我多次産生“原來如此”的頓悟感，感覺自己仿佛站在瞭某個理論的製高點上，俯瞰著整個知識的全貌。這種清晰度，是許多同類書籍望塵莫及的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版簡直是一場視覺的災難，那些公式的間距仿佛是隨意灑在紙上的墨點，看得我眼睛都快花瞭。更彆提那些圖錶的質量瞭，模糊得像是老舊的黑白照片，很多關鍵的邏輯節點根本看不清楚，我得反復對照文字纔能勉強拼湊齣作者的思路。說實話，如果不是我對這個領域本身有足夠的瞭解，恐怕早就放棄閱讀瞭。而且，印刷的紙張手感也太差瞭，拿著這本書就像拿著一本廉價的雜誌，完全沒有閱讀的愉悅感，定價和這個製作水平完全不匹配。我希望齣版社在後續的版本中能對這些基礎的工藝問題予以重視，畢竟內容再好，糟糕的載體也會極大地影響讀者的體驗。這哪裏是嚴肅的學術探討，簡直更像是一份匆忙趕工的草稿集閤。

評分☆☆☆☆☆

我特彆留意瞭書中對曆史背景的梳理部分，那一段寫得簡直精彩絕倫。作者沒有將那些數學事件孤立地看待，而是將它們嵌入到特定的時代背景和社會思潮之中，讓我們看到，那些看似純粹的數學發展，其實與當時的哲學辯論、科學探索甚至社會結構變遷都有著韆絲萬縷的聯係。比如，某位數學傢提齣某個理論時，他同時也在迴應著同時代的康德或黑格爾提齣的哲學觀點，這種跨學科的洞察力，極大地豐富瞭我們對數學史的理解。它不再是枯燥的定理堆砌，而是一部波瀾壯闊的人類理性探索史詩，令人讀來蕩氣迴腸。

評分☆☆☆☆☆

作者在論證過程中展現齣一種近乎固執的嚴謹，每一個推導都像是在攀登一座陡峭的山峰，每一步都走得小心翼翼，恨不得把所有可能的漏洞都提前堵死。我尤其欣賞他對那些看似“不證自明”的假設所進行的深度解剖，那種層層剝開、刨根問底的學者風範，讓人不得不佩服。然而，正是這份過度細緻，使得某些章節讀起來略顯冗長，對於已經掌握基礎知識的讀者來說，可能需要一些耐心來跳過那些過於基礎的鋪墊。但這也許是好事，它確保瞭即便是初學者也能跟上節奏，不會因為中間的任何一個微小跳躍而掉隊。總而言之，這種紮實的、近乎偏執的求真精神，是這本書最寶貴的財富。

評分☆☆☆☆☆

可以可以可以可以可以可以

評分☆☆☆☆☆

小孩看的，沒有問看沒看

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

書寫的挺詳細的，主要是介紹瞭數學的發展史吧相當於，對於我們愛好數學和曆史的人來說是十分好的一本書

評分☆☆☆☆☆

老師推薦，閱讀學習中。

評分☆☆☆☆☆

說是正版京東的東西一直很好的說。

評分☆☆☆☆☆

雖然一時半會兒看不懂但還是要學習

評分☆☆☆☆☆

。。。。。。。。。。。。。。

評分☆☆☆☆☆

很久沒讀書瞭，學習學習，看看還記得多少