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韩雪涛 著

图书标签:

• 数学史
• 数学哲学
• 悖论
• 数学危机
• 三次方程
• 代数学
• 数学基础
• 科学史
• 数学思维
• 逻辑学

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115430434

版次：1

商品编码：11971995

包装：平装

丛书名： 图灵原创

开本：16开

出版时间：2016-09-01

用纸：胶版纸

页数：308

正文语种：中文

编辑推荐

1. 张景中院士作序
2. 《思考的乐趣》《浴缸里的惊叹》作者Matrix67强力推荐
3. 了解数学悖论与三次数学危机，感知数学的趣味与变迁，知其然知其所以然

内容简介

本书介绍数学中的三大悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论）与三次数学危
机，以时间为序，以环环相扣的数学家轶事为纲，带大家了解数学发展史，理解悖论的巨
大作用，以及认识欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉。书中穿插大量
数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。本书这一版专门添加附录介绍了哥德尔证明。

作者简介

韩雪涛
科普作家，另著有《从惊讶到思考－－数学悖论奇景》《好的数学：“下金蛋”的数学问题》等书，参编《十万个为什么（第六版，数学卷）》《改变世界的科学：数学的足迹》《课本上学不到的数学（五年级）》。1999年开始，他在《科学画报》《中华读书报》等刊物发表各类文章40多篇。
《好的数学：“下金蛋”的数学问题》被列入“2010年新闻出版总署向全国青少年推荐百种优秀图书”书目。

目录

序（张景中） / iii
前言　/ v
第一部分
毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
第1　章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 /　2
古老的定理　/　2
勾股定理的广泛应用及其地位　/　8
第2　章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 /　12
智慧之神：毕达哥拉斯　/　12
毕达哥拉斯学派的数学发现　/　16
毕达哥拉斯学派的数学思想　/　24
勾股定理证法赏析　/　35
第3　章 风波乍起：第一次数学危机的出现 /　45
毕达哥拉斯悖论　/　45
第一次数学危机　/　50
第4　章 绕过暗礁：第一次数学危机的解决 /　58
欧多克索斯的解决方案　/　58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案　/　65
第5　章 福祸相依：第一次数学危机的深远影响 /　70
第一次数学危机对数学思想的影响　/　70
欧几里得和《几何原本》　/　75
第一次数学危机的负面影响　/　82
第二部分
贝克莱悖论与第二次数学危机
第6　章 风起清萍之末：微积分之萌芽 /　86
古希腊微积分思想　/　86
微积分在中国　/　104
第7　章 积微成著：逼近微积分 /　116
蛰伏与过渡　/　116
半个世纪的酝酿　/　121
第8　章 巨人登场：微积分的发现 /　133
牛顿与流数术　/　133
莱布尼茨与微积分　/　143
巨人相搏　/　150
第9　章 风波再起：第二次数学危机的出现 /　153
贝克莱悖论与第二次数学危机　/　153
弥补漏洞的尝试　/　158
第10　章 英雄时代：微积分的发展 /　166
数学英雄　/　166
分析时代　/　172
第11　章 胜利凯旋：微积分的完善 /　183
分析注入严密性　/　183
分析的算术化　/　196
第三部分
罗素悖论与第三次数学危机
第12　章 走向无穷 /　204
康托尔与集合论　/　204
康托尔的难题　/　217
第13　章 数学伊甸园 /　220
反对之声　/　220
赞誉与影响　/　228
第14　章 一波三折：第三次数学危机的出现 /　232
罗素悖论与第三次数学危机　/　232
悖论分析与解决途径　/　239
第15　章 兔、蛙、鼠之战 /　246
逻辑主义　/　246
直觉主义　/　254
形式主义　/　260
第16　章 新的转折 /　268
哥德尔的发现　/　268
数理逻辑的兴起与发展　/　274
附录　哥德尔证明 /　285
第一步：哥德尔配数　/　286
第二步：构造自指命题　/　296
第三步：证明哥德尔不完全性定理　/　300
参考文献　/　307

数学悖论与三次数学危机 引言： 人类对宇宙的探索，既是对未知的好奇，也是对逻辑严谨的追求。数学，作为描述宇宙规律的通用语言，其内部存在的矛盾和深刻的危机，不仅挑战着我们对现实世界的认知，更推动了数学自身的革新与发展。本书《数学悖论与三次数学危机》并非对这些深邃议题的浅尝辄止，而是深入挖掘其根源，展现了数学史上那些令人惊叹的转折点，以及科学家们如何以非凡的智慧和勇气，拨开迷雾，重塑我们对数学基础的理解。 第一部分：数学的基石与初露的裂痕——逻辑的陷阱与集合论的黎明 在漫长的历史长河中，数学曾被视为一门绝对可靠、永不谬的学科。古希腊先贤们以其严谨的逻辑体系，为数学奠定了坚实的基础。欧几里得的《几何原本》便是集大成者，它通过公理、公设和推理，构建了一个自洽的几何世界。然而，即使是最稳固的基石，也可能在不经意间显露出细微的裂痕。 随着对数学对象理解的深入，尤其是对“无限”概念的引入，一些看似理所当然的推理开始暴露其内在的矛盾。例如，芝诺的悖论，如“阿喀琉斯与乌龟”和“二分法”，虽然其结果在直观上荒谬，却深刻地揭示了我们对连续性、无限分割以及运动本质理解的局限性。这些悖论并非简单的逻辑错误，而是指向了当时数学体系在处理无限概念时的某种“无力感”。它们迫使思想家们开始反思，我们所依赖的直观和逻辑，是否真的能够完全把握无限的本质？ 直到19世纪末20世纪初，集合论的兴起，为数学引入了一种全新的视角。康托尔的集合论，以其对无限集合的分类和操作，极大地扩展了数学的疆域。然而，正是这种对无限集合的深入探索，也无意中播下了“第一次数学危机”的种子。 罗素悖论的出现，如同一记惊雷，震撼了整个数学界。简单来说，罗素悖论质疑了“所有不包含自身的集合”这个概念的合理性。如果这个集合包含自身，那么它就违背了“不包含自身”的定义；如果它不包含自身，那么根据定义，它应该包含自身。这种自相矛盾，揭示了朴素集合论中存在的逻辑漏洞。这并非一个无关紧要的技术性问题，而是直接动摇了当时数学最基本的研究对象——集合——的定义基础。 “第一次数学危机”的出现，意味着数学并非如人们所想象的那样，是一个建立在坚不可摧的公理体系之上的纯粹逻辑王国。朴素的直觉和看似严谨的逻辑，在面对无穷时，可能失效，甚至导向悖论。这迫使数学家们不得不重新审视数学的出发点，对数学基础进行深刻的反思和重构。 第二部分：危机的洗礼与重建——公理化的探索与形式主义的崛起 第一次数学危机，以其深刻的内在矛盾，激起了数学界一场前所未有的反思浪潮。面对集合论的困境，数学家们意识到，仅仅依靠直观和朴素的定义是远远不够的，必须建立一套更加严谨、更加形式化的基础。 公理化运动应运而生，并成为应对危机的核心策略。希尔伯特，作为这一时期的领军人物，提出了一个雄心勃勃的计划：为数学的各个分支，特别是几何和集合论，建立一套完备、一致且独立的公理体系。他希望通过一套有限的公理和逻辑规则，能够推导出所有数学真理，并且证明这套体系内部不包含任何矛盾。 在几何领域，希尔伯特成功地为欧几里得几何提供了一套新的、更为严谨的公理系统，取代了欧几里得体系中一些含糊不清之处，消除了那些隐藏的假设。而在集合论方面，策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）及其带有选择公理的扩展（ZFC）逐渐成为标准。这些公理系统通过引入更精确的定义和限制，有效地避免了罗素悖论等逻辑矛盾的出现。例如，公理化方法将集合的构造进行了严格的限制，避免了“所有不包含自身的集合”这种“病态”集合的产生。 这种公理化的尝试，代表了形式主义思潮的兴起。形式主义者认为，数学的本质在于其形式结构和符号操作，其真理性并非取决于它是否能够被直观地理解或映射到现实世界，而是取决于它是否能够从一套给定的公理出发，通过合乎逻辑的推理规则推导出来。数学研究的过程，被看作是一种“玩游戏”，游戏的目标是遵循规则，从给定的起始状态（公理）出发，推导出新的结论（定理）。 然而，就在形式主义者以为他们即将征服数学的逻辑堡垒之际，另一场更为深刻的危机悄然来临，这次的矛头直指形式主义本身的局限性。 第三部分：哥德尔的重锤与第二次数学危机——不完备与不可判定 哥德尔不完备定理的诞生，可以说是数学史上最令人震惊的发现之一，它直接摧毁了希尔伯特计划的宏伟目标，引发了“第二次数学危机”。哥德尔以其非凡的洞察力，证明了任何一个足够强的、包含基本算术的公理系统，都必然存在以下两种情况： 1. 不完备性： 在该系统中，必然存在一些陈述，它们是真确的，但无法在该系统内部被证明。换句话说，无论我们如何扩充公理，总会有新的真理出现，而这些真理无法被现有的公理体系所捕捉。数学的真理，比我们能够形式化表达的逻辑推导过程更为广阔。 2. 不可判定性（与一致性证明相关）： 如果该公理系统是一致的（即不包含矛盾），那么该系统本身也无法证明其自身的一致性。也就是说，我们无法在系统内部，以一种绝对可靠的方式，证明它不会导出矛盾。 哥德尔的发现，宛如给形式主义的宏伟建筑，狠狠地敲下了一记重锤。它宣告了数学的绝对确定性和可计算性的梦想的破灭。即使我们构建了一套完美的公理体系，也无法保证其完备性，更无法在内部证明其无懈可击。这意味着，数学知识的疆界是无限的，而我们所能掌握的逻辑工具，是有限的。 “第二次数学危机”的深刻之处在于，它揭示了数学的内在局限性。我们追求的绝对真理和逻辑上的封闭性，在面对无限的数学世界时，显得尤为渺小。这场危机并没有导致数学的停滞，反而促使数学家们从新的角度思考计算、可判定性和逻辑的本质。 图灵机的概念，以及后来邱奇-图灵论题的提出，为理解“可计算性”提供了新的框架。图灵机是一种抽象的计算模型，它能够执行一系列操作来处理符号。可判定性问题，即是否存在一个算法能够对任何给定的数学命题，在有限时间内判定其真假，也成为了研究的热点。停机问题的不可判定性，进一步印证了计算的内在局限性。 第二次数学危机，迫使数学家们接受了数学的“不完备性”和“不可判定性”，并开始探索那些无法被形式化系统所描述的数学领域。这促使了计算理论、递归论等新分支的发展，并为计算机科学的诞生奠定了理论基础。 第四部分：时代的变迁与第三次数学危机——连续性、概率与分析的重塑 在经历了逻辑和形式基础的动摇之后，数学界开始将目光投向了更为具体的数学分支，特别是微积分所依赖的连续性概念。19世纪，随着微积分在物理学和工程学中的广泛应用，人们对其理论基础的严谨性提出了更高的要求。 “第三次数学危机”，虽然不像前两次那样具有颠覆性的“悖论”，但其影响同样深远。它主要源于对函数和连续性概念的不精确理解，以及对无穷小量的处理不当。 历史上，微积分的创始人牛顿和莱布尼茨，以及后来的许多数学家，都使用了“无穷小量”的概念来描述变化率。例如，他们会说，某个变量的变化率是当另一个变量趋向于无穷小时，某个比值的极限。然而，无穷小量到底是什么？它是零，还是一个无限接近于零的数？如果它是零，那么除以零就会出现问题；如果它不是零，那么它又无限接近于零，这种模糊的描述，在逻辑上是站不住脚的。 这种不确定性，在19世纪初被高西等人通过极限理论所解决。高西引入了“ε-δ”语言，对极限、连续性、导数等概念进行了严格的数学定义。这套定义，以其精确性，成功地为微积分奠定了坚实的逻辑基础，消除了“无穷小量”带来的含糊不清。 然而，即使是高西的分析体系，也并非没有挑战。随着数学家们对更复杂的函数和更广泛的数学对象的探索，一些新的问题开始浮现。例如，狄利克雷函数的定义，即在有理数处取值为1，在无理数处取值为0的函数，其图像在任何地方都不连续。这在直观上与人们对“连续”的理解相悖，也暴露了当时分析学在处理某些 pathological（病态）情况时的不足。 更重要的是，20世纪初，量子力学的兴起，以及概率论在科学研究中的地位日益提升，给传统的数学基础带来了新的挑战。量子力学的数学描述，涉及到概率、不确定性以及非经典逻辑。如何在数学上严谨地处理这些概念，尤其是在其与经典概率论存在差异的情况下，成为了新的课题。 测度论的出现，为概率论提供了坚实的数学基础。勒贝格积分的推广，克服了黎曼积分在处理不连续函数和某些无穷序列时的局限性，极大地丰富了分析学的工具。然而，这些新的数学工具和理论，也带来了新的抽象和复杂性，需要数学家们不断地去理解和消化。 第三次数学危机，并非源于一个简单的悖论，而是源于数学在不断发展过程中，对自身基础概念的深化和重新理解。它表明，数学的严谨性不是静态不变的，而是随着认识的深入而不断提升的。这场危机，促使了数学分析的进一步精炼，推动了概率论和统计学的数学化，并为后来许多新兴数学分支的诞生铺平了道路。 结论： 《数学悖论与三次数学危机》正是通过对这些历史性的挑战与回应的深入剖析，揭示了数学发展的脉络。从芝诺的佯谬，到罗素悖论，再到哥德尔不完备定理，以及分析学基础的重塑，每一次危机都并非数学的终结，而是数学自我革新、自我超越的契机。 本书旨在呈现给读者一个更加立体、更加动态的数学世界。它不是枯燥的公式堆砌，也不是冰冷的逻辑演绎，而是充满着智慧的碰撞、思想的火花，以及人类对真理不懈追求的壮丽史诗。通过理解这些悖论和危机，我们不仅能更深刻地认识数学的本质，更能从中汲取探索未知、突破认知的力量。这些看似抽象的数学难题，实则深刻地影响着我们对世界、对逻辑、对真理的认知方式，也为我们理解更广阔的宇宙提供了独特的视角。

评分☆☆☆☆☆

作者在论证过程中展现出一种近乎固执的严谨，每一个推导都像是在攀登一座陡峭的山峰，每一步都走得小心翼翼，恨不得把所有可能的漏洞都提前堵死。我尤其欣赏他对那些看似“不证自明”的假设所进行的深度解剖，那种层层剥开、刨根问底的学者风范，让人不得不佩服。然而，正是这份过度细致，使得某些章节读起来略显冗长，对于已经掌握基础知识的读者来说，可能需要一些耐心来跳过那些过于基础的铺垫。但这也许是好事，它确保了即便是初学者也能跟上节奏，不会因为中间的任何一个微小跳跃而掉队。总而言之，这种扎实的、近乎偏执的求真精神，是这本书最宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版简直是一场视觉的灾难，那些公式的间距仿佛是随意洒在纸上的墨点，看得我眼睛都快花了。更别提那些图表的质量了，模糊得像是老旧的黑白照片，很多关键的逻辑节点根本看不清楚，我得反复对照文字才能勉强拼凑出作者的思路。说实话，如果不是我对这个领域本身有足够的了解，恐怕早就放弃阅读了。而且，印刷的纸张手感也太差了，拿着这本书就像拿着一本廉价的杂志，完全没有阅读的愉悦感，定价和这个制作水平完全不匹配。我希望出版社在后续的版本中能对这些基础的工艺问题予以重视，毕竟内容再好，糟糕的载体也会极大地影响读者的体验。这哪里是严肃的学术探讨，简直更像是一份匆忙赶工的草稿集合。

评分☆☆☆☆☆

我特别留意了书中对历史背景的梳理部分，那一段写得简直精彩绝伦。作者没有将那些数学事件孤立地看待，而是将它们嵌入到特定的时代背景和社会思潮之中，让我们看到，那些看似纯粹的数学发展，其实与当时的哲学辩论、科学探索甚至社会结构变迁都有着千丝万缕的联系。比如，某位数学家提出某个理论时，他同时也在回应着同时代的康德或黑格尔提出的哲学观点，这种跨学科的洞察力，极大地丰富了我们对数学史的理解。它不再是枯燥的定理堆砌，而是一部波澜壮阔的人类理性探索史诗，令人读来荡气回肠。

评分☆☆☆☆☆

这本书在论述结构上的安排颇具匠心，它似乎遵循着一条“由表及里，由浅入深”的路径，但巧妙地在不同章节之间设置了回环往复的参照点。每当我觉得某个概念即将变得难以把握时，作者总能立刻拉回到前面已经解释过的某个更容易理解的例子进行类比，这种前后呼应的处理手法，极大地增强了知识的内聚性和读者的记忆深度。我甚至发现，有些看似独立的章节，在深入阅读后，会发现它们在底层逻辑上共享着同一个核心的思考框架。这种精妙的结构设计，使得整本书读起来像一个有机整体，而不是零散知识点的简单集合。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格异常的平实，没有太多华丽的辞藻，更没有那些试图故作高深的晦涩表达。它就像一位经验丰富的老师，坐在你面前，用最清晰、最直接的方式，将那些曾经困扰了无数数学家的难题，用一种近乎口语化的方式娓娓道来。这种叙事的力量是巨大的，它有效地消弭了数学的“神秘感”，让人感觉到，原来那些高耸入云的理论，其基石也仅仅是清晰的逻辑和几个简单的初始设定。阅读过程中，我多次产生“原来如此”的顿悟感，感觉自己仿佛站在了某个理论的制高点上，俯瞰着整个知识的全貌。这种清晰度，是许多同类书籍望尘莫及的。

评分☆☆☆☆☆

虽然不太看得懂，却也能激发兴趣

评分☆☆☆☆☆

了解数学史的经典作品，用特殊的事件，勾勒丰满的历程

评分☆☆☆☆☆

非常棒的数学科普读物！关键人关键问题解释很清晰！

评分☆☆☆☆☆

很好，很好，很好！

评分☆☆☆☆☆

老师推荐，阅读学习中。

评分☆☆☆☆☆

十分好

评分☆☆☆☆☆

书不错，还没来得及看

评分☆☆☆☆☆

还没看，是正版，应该不错！

评分☆☆☆☆☆

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