具体描述
内容简介
《线性代数与几何（第2版 上）/清华大学公共基础平台课教材》的核心内容包括矩阵理论以及线性空间理论，分上、下两册出版，对应于两个学期的教学内容。《线性代数与几何（第2版 上）/清华大学公共基础平台课教材》是其中的上册，由俞正光、鲁自群、林润亮编著，系统地介绍线性代数与空间解析几何的基本理论和方法，具体包括行列式、矩阵、几何空间中的向量、向量空间Fn、线性空间、线性变换、二次型与二次曲面共7章内容。《线性代数与几何（第2版 上）/清华大学公共基础平台课教材》将空间解析几何与线性代数密切地联系在一起，层次清晰，论证严谨，例题典型丰富，习题精练适中。《线性代数与几何（第2版 上）/清华大学公共基础平台课教材》可作为高等院校理、工、经管等专业的教材及教学参考书，也可供自学读者及有关科技人员参考。
目录
预备知识数域
第1章 行列式
1．1 n阶行列式的定义
1．1．1 二阶行列式与三阶行列式
1．1．2 排列
1．1．3 n阶行列式的定义
1．2 行列式的性质及应用
1．2．1 行列式的性质
1．2．2 用性质计算行列式的例题
1．3 行列式的展开定理
1．3．1 行列式的展开公式
1．3．2 利用展开公式计算行列式的例题
1．4 克莱姆法则及其应用
1．4．1 克莱姆法则
1．4．2 克莱姆法则的应用
习题1
第2章 矩阵
2．1 解线性方程组的高斯消元法
2．1．1 线性方程组
2．1．2 高斯消元法
2．1．3 齐次线性方程组
2．2 矩阵及其运算
2．2．1 矩阵的概念
2．2．2 矩阵的代数运算
2．2．3 矩阵的转置
2．3 逆矩阵
2．3．1 方阵乘积的行列式
2．3．2 逆矩阵的概念与性质
2．3．3 矩阵可逆的条件
2．4 分块矩阵
2．5 矩阵的初等变换
2．5．1 矩阵的初等变换和初等矩阵
2．5．2 矩阵的相抵和相抵标准形
2．5．3 用初等变换求逆矩阵
2．5．4 分块矩阵的初等变换
习题2
第3章 几何空间中的向量
3．1 向量及其运算
3．1．1 向量的基本概念
3．1．2 向量的线性运算
3．1．3 共线向量、共面向量
3．2 仿射坐标系与直角坐标系
3．2．1 仿射坐标系
3．2．2 用坐标进行向量运算
3．2．3 向量共线、共面的条件
3．2．4 空间直角坐标系
3．3 向量的数量积、向量积与混合积
3．3．1 数量积及其应用
3．3．2 向量积及其应用
3．3．3 混合积及其应用
3．4 平面与直线
3．4．1 平面方程
3．4．2 两个平面的位置关系
3．4．3 直线方程
3．4．4 两条直线的位置关系
3．4．5 直线与平面的位置关系
3．5 距离
3．5．1 点到平面的距离
3．5．2 点到直线的距离
3．5．3 异面直线的距离
习题3
第4章 向量空间Fn
4．1 数域F上的n维向量空间
4．1．1 n维向量及其运算
4．1．2 向量空间Fn的定义和性质
4．2 向量组的线性相关性
4．2．1 线性相关的概念
4．2．2 线性相关、线性无关的进一步讨论
4．3 向量组的秩
4．3．1 向量组的线性表出
4．3．2 极大线性无关组
4．3．3 向量组的秩的概念及性质
4．4 矩阵的秩
4．4．1 矩阵秩的引入及计算
4．4．2 秩的性质
4．5 齐次线性方程组
4．5．1 齐次线性方程组有非零解的充要条件
4．5．2 基础解系
4．6 非齐次线性方程组
4．6．1 非齐次线性方程组有解的条件
4．6．2 非齐次线性方程组解的结构
习题4
第5章 线性空间
5．1 数域F上的线性空间
5．1．1 线性空间的定义
5．1．2 线性相关与线性无关
5．1．3 基、维数和坐标
5．1．4 过渡矩阵与坐标变换
5．2 线性子空间
5．2．1 线性子空间的概念
5．2．2 子空间的交与和
5．2．3 子空间的直和
5．3 线性空间的同构
5．4 欧几里得空间
5．4．1 内积
5．4．2 标准正交基
5．4．3 施密特正交化
5．4．4 正交矩阵
5．4．5 可逆矩阵的QR分解
5．4．6 正交补与直和分解
习题5
第6章 线性变换
6．1 线性变换的定义和运算
6．1．1 线性变换的定义和基本性质
6．1．2 线性变换的运算
6．2 线性变换的矩阵
6．2．1 线性变换在一组基下的矩阵
6．2．2 线性变换与矩阵的一一对应关系
6．2．3 线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应
6．3 线性变换的核与值域
6．3．1 核与值域
6．3．2 不变子空间
6．4 特征值与特征向量
6．4．1 特征值与特征向量的定义与性质
6．4．2 特征值与特征向量的计算
6．4．3 特征多项式的基本性质
6．5 相似矩阵
6．5．1 线性变换在不同基下的矩阵
6．5．2 矩阵的相似
6．5．3 相似矩阵的性质
6．5．4 矩阵的相似对角化
6．5．5 实对称矩阵和对角化
习题6
第7章 二次型与二次曲面
7．1 二次型
7．1．1 二次型的定义
7．1．2 矩阵的相合
7．2 二次型的标准形
7．2．1 主轴化方法
7．2．2 配方法
7．2．3 矩阵的初等变换法
7．3 惯性定理和二次型的规范形
7．4 实二次型的正定性
7．5 曲面与方程
7．5．1 球面方程
7．5．2 母线与坐标轴平行的柱面方程
7．5．3 绕坐标轴旋转的旋转面方程
7．5．4 空间曲线的方程
7．6 二次曲面的分类
7．6．1 椭球面
7．6．2 单叶双曲面
7．6．3 双叶双曲面
7．6．4 锥面
7．6．5 椭圆抛物面
7．6．6 双曲抛物面
7．6．7 一般二次方程的化简
习题7
附录A 集合与关系
附录B 集合的分类与等价关系
附录C 映射与代数系统
习题提示与答案
索引
用户评价
这本书给我的整体感觉是“精炼而深刻”。作者在讲解线性代数中的各个概念时，都力求用最简洁的语言，表达最深刻的数学思想。我特别欣赏它对“线性方程组”的处理，从最基础的消元法，到更抽象的向量空间视角，都进行了详尽的阐述。我记得当时在学习“矩阵的LU分解”时，书中给出了非常清晰的推导过程，让我能够理解LU分解的几何意义和应用。而且，书中对一些定理的证明，都做得非常严谨，这对于培养我的数学思维非常有帮助。我曾经为了理解“线性无关组的扩充定理”而反复研究书中的证明，最终才领会了其精妙之处。当然，这本书的阅读也需要读者有一定的数学功底和耐心，因为它不像一些普及读物那样轻松易懂。但我相信，对于那些想要深入理解线性代数本质的读者来说，这本书绝对是一本不可多得的宝藏。
评分这本《线性代数与几何（第2版 上）》真的是一本让我又爱又恨的书。初次翻开它，就被那严谨而清晰的逻辑深深吸引。作者在概念的引入上，总是能够循序渐进，从最基础的向量空间讲起，一步步拓展到线性变换、矩阵等核心概念。我尤其喜欢它对几何直观的强调，很多抽象的概念，通过配以恰到好处的图示，变得生动起来。比如，在讲到向量的线性组合和张成空间时，书中提供的三维空间中的示意图，让我能够清晰地看到不同向量组合所形成的几何形状，这对于我这样更偏向于直观理解的学习者来说，是极大的帮助。而且，书中每章后的习题设计也非常巧妙，从简单的概念巩固到复杂的证明题，覆盖面很广，做完一套下来，对知识点的掌握程度就有了非常直观的了解。我记得有一次，在做一道关于特征值和特征向量的习题时，反复卡壳，后来仔细回顾了书中的例题和讲解，才恍然大悟。那种“柳暗花明又一村”的感觉，真的非常棒。当然，这本书的严谨性也意味着它需要读者投入足够的时间和精力去消化。有些证明的细节，需要反复推敲才能完全理解。但是，正是这种细致入微的讲解，才让它成为一本值得反复研读的经典教材。
评分这本《线性代数与几何（第2版 上）》给我的整体感觉是“硬核”但“扎实”。它没有选择讨好读者，而是以一种极其严谨的态度来构建线性代数的知识体系。我特别欣赏它对基础概念的强调，比如向量空间中的“基”和“维度”等概念，书中通过多种角度进行了阐述，力求让读者深刻理解其内涵。在阅读过程中，我发现作者在引入新的概念时，总是会回顾之前学过的知识，建立起知识之间的联系，这使得整个学习过程显得连贯而有逻辑。例如，在讲解线性变换的矩阵表示时，作者会先回顾向量和矩阵的乘法，然后自然地引出线性变换如何通过矩阵来描述。这让我感觉不像是在被动接受知识，而是在参与一个数学概念的构建过程。书中的例题也非常具有代表性，很多题目都触及了核心的数学思想，做完之后能够极大地提升对相关知识点的理解深度。我曾经在解决一个关于“子空间”的问题时，感到非常迷茫，后来仔细研究了书中关于子空间性质的证明，才真正领会了其数学上的严密性。不过，我也必须承认，这本书的阅读门槛相对较高，需要读者有一定的数学基础和耐心，否则很容易望而却步。
评分拿到《线性代数与几何（第2版 上）》后，我第一感受是它的“厚重感”。这不仅仅是物理上的重量，更是内容上的深度。作者在讲解线性代数中的各种概念时，都力求从最根本的定义出发，然后通过严谨的推导，展现其数学的严密性。我特别喜欢它对“线性无关”和“基”这些核心概念的讲解，不仅仅给出了定义，还详细阐述了它们的重要性以及在向量空间中的作用。书中对矩阵运算的介绍也十分详尽，从基本的加减乘法到更复杂的求逆、求秩，都给出了清晰的步骤和原理。我记得当时在学习行列式的计算时，书中提供了多种方法，并且解释了不同方法背后的数学原理，这让我能够根据具体情况选择最有效的方法。而且，书中对一些定理的证明，都做得非常完整，这对于我理解数学定理的来龙去脉非常有帮助。我曾经为了理解“线性方程组解的性质”而反复研读书中的相关章节，最终才真正理解了为什么“无解”、“唯一解”和“无穷多解”的出现。不过，我也要说，这本书的阅读需要投入大量的时间和精力，特别是对于数学基础不那么扎实的同学，可能会感到一些挑战。
评分拿到这本《线性代数与几何（第2版 上）》后，我首先被它清晰的目录结构和丰富的章节内容所吸引。作者在内容的组织上，循序渐进，从最基础的行列式和矩阵运算，逐步过渡到向量空间、线性变换等更复杂的概念。我尤其喜欢书中在讲解“向量空间”时，所赋予的几何意义，这使得原本抽象的概念变得更加生动。例如，在讲解“子空间”时，书中通过二维和三维空间的例子，让我能够直观地理解子空间的概念。而且，书中的例题设计非常用心，既有巩固基础的计算题，也有考察思维能力的证明题。我曾经为了理解“基的选取对线性变换矩阵表示的影响”而反复研究书中的相关内容，最终才真正理解了“相似矩阵”的意义。当然，这本书的深度和广度都非常可观，对于初学者来说，可能需要投入更多的时间和精力去消化。但我认为，正是这种“硬核”的风格，才使得它能够成为一本真正值得信赖的教材。
评分这本书给我的感觉是，它是一本“慢热型”的学习资料。初读时，可能会觉得某些章节有些晦涩，但随着学习的深入，你会逐渐体会到其精妙之处。我尤其欣赏作者在讲解线性代数中的“变换”概念时，所展现出的数学美感。书中通过引入“线性变换”这个核心概念，将之前的向量、矩阵运算巧妙地联系起来，形成了一个完整的知识框架。我记得当时在学习“相似矩阵”时，就对它在不同基下的表示形式感到困惑，但书中结合线性变换的观点来解释，让我豁然开朗。而且，这本书在细节处理上做得非常到位，很多旁征博引的注释，或者对一些经典问题的追溯，都增加了阅读的趣味性。我曾经因为一道关于“二次型”的习题而头疼，后来在书中找到了一段关于二次型与几何形状（椭圆、双曲线等）关系的描述，这极大地帮助了我理解这个概念的几何意义。当然，这本书的优点也伴随着一定的阅读难度，它要求读者具备一定的抽象思维能力和耐心，才能真正领略其魅力。
评分《线性代数与几何（第2版 上）》给我的第一印象就是“严谨”。作者在讲解每一个概念时，都力求做到定义准确、逻辑严密。我特别喜欢书中对“向量空间”的定义和性质的阐述，它为后续学习奠定了坚实的基础。书中的图示也非常精美，很多抽象的几何概念，通过生动的图例，变得容易理解。例如，在讲解“线性无关”时，书中用二维和三维空间中的向量图来展示，让我能够直观地理解为什么某些向量组合是“多余的”。而且，书中的例题非常有代表性，很多都触及了核心的数学思想。我曾经因为一道关于“内积空间”的题目而感到困惑，反复研究了书中关于内积的定义和性质，才找到了解决问题的方法。这种通过反复阅读和思考来逐渐掌握知识的过程，让我觉得非常有价值。当然，这本书的阅读过程并非一帆风顺，有些证明过程需要反复推敲，才能完全理解。但总体而言，它是一本非常优秀的线性代数教材。
评分当我拿到《线性代数与几何（第2版 上）》这本书时，内心是既期待又有些许忐忑的。毕竟“清华大学公共基础平台课教材”这个名头，自带一种权威性和挑战性。然而，翻开第一页，这种顾虑便逐渐消散。书的编排非常合理，从基础的行列式、矩阵运算，到后面更复杂的向量空间、线性变换，知识的递进关系清晰明了。让我印象深刻的是，作者在解释一些相对抽象的概念时，并没有回避其背后的数学根源，而是通过严谨的数学推导，展示了这些概念是如何自然产生的。例如，在讲解矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系时，书中给出了非常详尽的证明过程，这对于我理解“为什么会是这样”至关重要。书中还穿插了不少应用性的例子，虽然不是特别深入，但足以让我们感受到线性代数在实际问题中的作用，这极大地激发了我学习的兴趣。我曾因为一道关于“基”的题目而困扰，书中的讲解让我理解了基的唯一性和它在表示向量时的便利性，仿佛为我打开了一个新的视角。当然，对于一些初学者来说，某些章节的难度可能会稍大，需要多花些功夫。但总体而言，这本书的优点远大于缺点，它为我打下了坚实的线性代数基础。
评分这本书，就像一位循循善诱但又要求严格的老师。它在讲解线性代数时，逻辑清晰，条理分明，让我能够一步步跟上它的思路。我尤其赞赏书中对“几何”这一部分的融入，这使得原本可能枯燥的代数运算变得直观可感。比如，在讲到矩阵的行变换和列变换时，书中会结合向量空间中的“列空间”和“行空间”来解释，让我能够从几何的层面去理解矩阵的性质。这种理论与几何的结合，是我在其他教材中很少见到的。书中的习题设计也很有水平，很多题目不仅仅是计算，更侧重于对概念的理解和数学思想的考察。我记得有一道题目，要求证明两个向量组的张成空间相等，当时绞尽脑汁，最后通过理解“张成空间”的几何意义，才找到了解题思路。这种学习体验，让我觉得非常有成就感。当然，不可否认的是，这本书的深度和广度都相当可观，对于初学者来说，可能需要反复阅读和思考。但我认为，正是这种“不畏难”的精神，才使得它能够成为一本真正有价值的教材，能够帮助读者构建起扎实的线性代数知识体系。
评分这本书的风格可以用“直击本质”来形容。它不回避数学的严谨性，而是以一种系统的方式，带领读者逐步深入到线性代数的各个核心概念。我特别欣赏它对“矩阵的对角化”这一重要章节的处理，书中从特征值和特征向量出发，清晰地阐述了对角化的意义和条件。我记得当时在学习“二次型”的时候，书中用到了矩阵的对角化来简化二次型，这让我看到了不同知识点之间的内在联系。而且，书中对一些经典问题，比如“最小二乘法”的引入，也做得非常自然，体现了线性代数在解决实际问题中的强大能力。我曾经为了理解“最小二乘法”的推导过程而反复研究书中的章节，最终才明白了它如何通过矩阵运算来逼近最优解。当然，这本书的阅读门槛相对较高，需要读者具备一定的数学基础和扎实的逻辑思维能力。但我相信，对于那些愿意投入时间和精力去钻研的读者来说，这本书一定会带来丰厚的回报。
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