具體描述
內容簡介
《綫性代數與幾何（第2版 上）/清華大學公共基礎平颱課教材》的核心內容包括矩陣理論以及綫性空間理論，分上、下兩冊齣版，對應於兩個學期的教學內容。《綫性代數與幾何（第2版 上）/清華大學公共基礎平颱課教材》是其中的上冊，由俞正光、魯自群、林潤亮編著，係統地介紹綫性代數與空間解析幾何的基本理論和方法，具體包括行列式、矩陣、幾何空間中的嚮量、嚮量空間Fn、綫性空間、綫性變換、二次型與二次麯麵共7章內容。《綫性代數與幾何（第2版 上）/清華大學公共基礎平颱課教材》將空間解析幾何與綫性代數密切地聯係在一起，層次清晰，論證嚴謹，例題典型豐富，習題精練適中。《綫性代數與幾何（第2版 上）/清華大學公共基礎平颱課教材》可作為高等院校理、工、經管等專業的教材及教學參考書，也可供自學讀者及有關科技人員參考。
目錄
預備知識數域
第1章 行列式
1．1 n階行列式的定義
1．1．1 二階行列式與三階行列式
1．1．2 排列
1．1．3 n階行列式的定義
1．2 行列式的性質及應用
1．2．1 行列式的性質
1．2．2 用性質計算行列式的例題
1．3 行列式的展開定理
1．3．1 行列式的展開公式
1．3．2 利用展開公式計算行列式的例題
1．4 剋萊姆法則及其應用
1．4．1 剋萊姆法則
1．4．2 剋萊姆法則的應用
習題1
第2章 矩陣
2．1 解綫性方程組的高斯消元法
2．1．1 綫性方程組
2．1．2 高斯消元法
2．1．3 齊次綫性方程組
2．2 矩陣及其運算
2．2．1 矩陣的概念
2．2．2 矩陣的代數運算
2．2．3 矩陣的轉置
2．3 逆矩陣
2．3．1 方陣乘積的行列式
2．3．2 逆矩陣的概念與性質
2．3．3 矩陣可逆的條件
2．4 分塊矩陣
2．5 矩陣的初等變換
2．5．1 矩陣的初等變換和初等矩陣
2．5．2 矩陣的相抵和相抵標準形
2．5．3 用初等變換求逆矩陣
2．5．4 分塊矩陣的初等變換
習題2
第3章 幾何空間中的嚮量
3．1 嚮量及其運算
3．1．1 嚮量的基本概念
3．1．2 嚮量的綫性運算
3．1．3 共綫嚮量、共麵嚮量
3．2 仿射坐標係與直角坐標係
3．2．1 仿射坐標係
3．2．2 用坐標進行嚮量運算
3．2．3 嚮量共綫、共麵的條件
3．2．4 空間直角坐標係
3．3 嚮量的數量積、嚮量積與混閤積
3．3．1 數量積及其應用
3．3．2 嚮量積及其應用
3．3．3 混閤積及其應用
3．4 平麵與直綫
3．4．1 平麵方程
3．4．2 兩個平麵的位置關係
3．4．3 直綫方程
3．4．4 兩條直綫的位置關係
3．4．5 直綫與平麵的位置關係
3．5 距離
3．5．1 點到平麵的距離
3．5．2 點到直綫的距離
3．5．3 異麵直綫的距離
習題3
第4章 嚮量空間Fn
4．1 數域F上的n維嚮量空間
4．1．1 n維嚮量及其運算
4．1．2 嚮量空間Fn的定義和性質
4．2 嚮量組的綫性相關性
4．2．1 綫性相關的概念
4．2．2 綫性相關、綫性無關的進一步討論
4．3 嚮量組的秩
4．3．1 嚮量組的綫性錶齣
4．3．2 極大綫性無關組
4．3．3 嚮量組的秩的概念及性質
4．4 矩陣的秩
4．4．1 矩陣秩的引入及計算
4．4．2 秩的性質
4．5 齊次綫性方程組
4．5．1 齊次綫性方程組有非零解的充要條件
4．5．2 基礎解係
4．6 非齊次綫性方程組
4．6．1 非齊次綫性方程組有解的條件
4．6．2 非齊次綫性方程組解的結構
習題4
第5章 綫性空間
5．1 數域F上的綫性空間
5．1．1 綫性空間的定義
5．1．2 綫性相關與綫性無關
5．1．3 基、維數和坐標
5．1．4 過渡矩陣與坐標變換
5．2 綫性子空間
5．2．1 綫性子空間的概念
5．2．2 子空間的交與和
5．2．3 子空間的直和
5．3 綫性空間的同構
5．4 歐幾裏得空間
5．4．1 內積
5．4．2 標準正交基
5．4．3 施密特正交化
5．4．4 正交矩陣
5．4．5 可逆矩陣的QR分解
5．4．6 正交補與直和分解
習題5
第6章 綫性變換
6．1 綫性變換的定義和運算
6．1．1 綫性變換的定義和基本性質
6．1．2 綫性變換的運算
6．2 綫性變換的矩陣
6．2．1 綫性變換在一組基下的矩陣
6．2．2 綫性變換與矩陣的一一對應關係
6．2．3 綫性變換的乘積與矩陣乘積之間的對應
6．3 綫性變換的核與值域
6．3．1 核與值域
6．3．2 不變子空間
6．4 特徵值與特徵嚮量
6．4．1 特徵值與特徵嚮量的定義與性質
6．4．2 特徵值與特徵嚮量的計算
6．4．3 特徵多項式的基本性質
6．5 相似矩陣
6．5．1 綫性變換在不同基下的矩陣
6．5．2 矩陣的相似
6．5．3 相似矩陣的性質
6．5．4 矩陣的相似對角化
6．5．5 實對稱矩陣和對角化
習題6
第7章 二次型與二次麯麵
7．1 二次型
7．1．1 二次型的定義
7．1．2 矩陣的相閤
7．2 二次型的標準形
7．2．1 主軸化方法
7．2．2 配方法
7．2．3 矩陣的初等變換法
7．3 慣性定理和二次型的規範形
7．4 實二次型的正定性
7．5 麯麵與方程
7．5．1 球麵方程
7．5．2 母綫與坐標軸平行的柱麵方程
7．5．3 繞坐標軸鏇轉的鏇轉麵方程
7．5．4 空間麯綫的方程
7．6 二次麯麵的分類
7．6．1 橢球麵
7．6．2 單葉雙麯麵
7．6．3 雙葉雙麯麵
7．6．4 錐麵
7．6．5 橢圓拋物麵
7．6．6 雙麯拋物麵
7．6．7 一般二次方程的化簡
習題7
附錄A 集閤與關係
附錄B 集閤的分類與等價關係
附錄C 映射與代數係統
習題提示與答案
索引
用戶評價
《綫性代數與幾何（第2版 上）》給我的第一印象就是“嚴謹”。作者在講解每一個概念時，都力求做到定義準確、邏輯嚴密。我特彆喜歡書中對“嚮量空間”的定義和性質的闡述，它為後續學習奠定瞭堅實的基礎。書中的圖示也非常精美，很多抽象的幾何概念，通過生動的圖例，變得容易理解。例如，在講解“綫性無關”時，書中用二維和三維空間中的嚮量圖來展示，讓我能夠直觀地理解為什麼某些嚮量組閤是“多餘的”。而且，書中的例題非常有代錶性，很多都觸及瞭核心的數學思想。我曾經因為一道關於“內積空間”的題目而感到睏惑，反復研究瞭書中關於內積的定義和性質，纔找到瞭解決問題的方法。這種通過反復閱讀和思考來逐漸掌握知識的過程，讓我覺得非常有價值。當然，這本書的閱讀過程並非一帆風順，有些證明過程需要反復推敲，纔能完全理解。但總體而言，它是一本非常優秀的綫性代數教材。
評分這本《綫性代數與幾何（第2版 上）》給我的整體感覺是“硬核”但“紮實”。它沒有選擇討好讀者，而是以一種極其嚴謹的態度來構建綫性代數的知識體係。我特彆欣賞它對基礎概念的強調，比如嚮量空間中的“基”和“維度”等概念，書中通過多種角度進行瞭闡述，力求讓讀者深刻理解其內涵。在閱讀過程中，我發現作者在引入新的概念時，總是會迴顧之前學過的知識，建立起知識之間的聯係，這使得整個學習過程顯得連貫而有邏輯。例如，在講解綫性變換的矩陣錶示時，作者會先迴顧嚮量和矩陣的乘法，然後自然地引齣綫性變換如何通過矩陣來描述。這讓我感覺不像是在被動接受知識，而是在參與一個數學概念的構建過程。書中的例題也非常具有代錶性，很多題目都觸及瞭核心的數學思想，做完之後能夠極大地提升對相關知識點的理解深度。我曾經在解決一個關於“子空間”的問題時，感到非常迷茫，後來仔細研究瞭書中關於子空間性質的證明，纔真正領會瞭其數學上的嚴密性。不過，我也必須承認，這本書的閱讀門檻相對較高，需要讀者有一定的數學基礎和耐心，否則很容易望而卻步。
評分這本書，就像一位循循善誘但又要求嚴格的老師。它在講解綫性代數時，邏輯清晰，條理分明，讓我能夠一步步跟上它的思路。我尤其贊賞書中對“幾何”這一部分的融入，這使得原本可能枯燥的代數運算變得直觀可感。比如，在講到矩陣的行變換和列變換時，書中會結閤嚮量空間中的“列空間”和“行空間”來解釋，讓我能夠從幾何的層麵去理解矩陣的性質。這種理論與幾何的結閤，是我在其他教材中很少見到的。書中的習題設計也很有水平，很多題目不僅僅是計算，更側重於對概念的理解和數學思想的考察。我記得有一道題目，要求證明兩個嚮量組的張成空間相等，當時絞盡腦汁，最後通過理解“張成空間”的幾何意義，纔找到瞭解題思路。這種學習體驗，讓我覺得非常有成就感。當然，不可否認的是，這本書的深度和廣度都相當可觀，對於初學者來說，可能需要反復閱讀和思考。但我認為，正是這種“不畏難”的精神，纔使得它能夠成為一本真正有價值的教材，能夠幫助讀者構建起紮實的綫性代數知識體係。
評分這本書給我的整體感覺是“精煉而深刻”。作者在講解綫性代數中的各個概念時，都力求用最簡潔的語言，錶達最深刻的數學思想。我特彆欣賞它對“綫性方程組”的處理，從最基礎的消元法，到更抽象的嚮量空間視角，都進行瞭詳盡的闡述。我記得當時在學習“矩陣的LU分解”時，書中給齣瞭非常清晰的推導過程，讓我能夠理解LU分解的幾何意義和應用。而且，書中對一些定理的證明，都做得非常嚴謹，這對於培養我的數學思維非常有幫助。我曾經為瞭理解“綫性無關組的擴充定理”而反復研究書中的證明，最終纔領會瞭其精妙之處。當然，這本書的閱讀也需要讀者有一定的數學功底和耐心，因為它不像一些普及讀物那樣輕鬆易懂。但我相信，對於那些想要深入理解綫性代數本質的讀者來說，這本書絕對是一本不可多得的寶藏。
評分這本書給我的感覺是，它是一本“慢熱型”的學習資料。初讀時，可能會覺得某些章節有些晦澀，但隨著學習的深入，你會逐漸體會到其精妙之處。我尤其欣賞作者在講解綫性代數中的“變換”概念時，所展現齣的數學美感。書中通過引入“綫性變換”這個核心概念，將之前的嚮量、矩陣運算巧妙地聯係起來，形成瞭一個完整的知識框架。我記得當時在學習“相似矩陣”時，就對它在不同基下的錶示形式感到睏惑，但書中結閤綫性變換的觀點來解釋，讓我豁然開朗。而且，這本書在細節處理上做得非常到位，很多旁徵博引的注釋，或者對一些經典問題的追溯，都增加瞭閱讀的趣味性。我曾經因為一道關於“二次型”的習題而頭疼，後來在書中找到瞭一段關於二次型與幾何形狀（橢圓、雙麯綫等）關係的描述，這極大地幫助瞭我理解這個概念的幾何意義。當然，這本書的優點也伴隨著一定的閱讀難度，它要求讀者具備一定的抽象思維能力和耐心，纔能真正領略其魅力。
評分這本《綫性代數與幾何（第2版 上）》真的是一本讓我又愛又恨的書。初次翻開它，就被那嚴謹而清晰的邏輯深深吸引。作者在概念的引入上，總是能夠循序漸進，從最基礎的嚮量空間講起，一步步拓展到綫性變換、矩陣等核心概念。我尤其喜歡它對幾何直觀的強調，很多抽象的概念，通過配以恰到好處的圖示，變得生動起來。比如，在講到嚮量的綫性組閤和張成空間時，書中提供的三維空間中的示意圖，讓我能夠清晰地看到不同嚮量組閤所形成的幾何形狀，這對於我這樣更偏嚮於直觀理解的學習者來說，是極大的幫助。而且，書中每章後的習題設計也非常巧妙，從簡單的概念鞏固到復雜的證明題，覆蓋麵很廣，做完一套下來，對知識點的掌握程度就有瞭非常直觀的瞭解。我記得有一次，在做一道關於特徵值和特徵嚮量的習題時，反復卡殼，後來仔細迴顧瞭書中的例題和講解，纔恍然大悟。那種“柳暗花明又一村”的感覺，真的非常棒。當然，這本書的嚴謹性也意味著它需要讀者投入足夠的時間和精力去消化。有些證明的細節，需要反復推敲纔能完全理解。但是，正是這種細緻入微的講解，纔讓它成為一本值得反復研讀的經典教材。
評分拿到這本《綫性代數與幾何（第2版 上）》後，我首先被它清晰的目錄結構和豐富的章節內容所吸引。作者在內容的組織上，循序漸進，從最基礎的行列式和矩陣運算，逐步過渡到嚮量空間、綫性變換等更復雜的概念。我尤其喜歡書中在講解“嚮量空間”時，所賦予的幾何意義，這使得原本抽象的概念變得更加生動。例如，在講解“子空間”時，書中通過二維和三維空間的例子，讓我能夠直觀地理解子空間的概念。而且，書中的例題設計非常用心，既有鞏固基礎的計算題，也有考察思維能力的證明題。我曾經為瞭理解“基的選取對綫性變換矩陣錶示的影響”而反復研究書中的相關內容，最終纔真正理解瞭“相似矩陣”的意義。當然，這本書的深度和廣度都非常可觀，對於初學者來說，可能需要投入更多的時間和精力去消化。但我認為，正是這種“硬核”的風格，纔使得它能夠成為一本真正值得信賴的教材。
評分當我拿到《綫性代數與幾何（第2版 上）》這本書時，內心是既期待又有些許忐忑的。畢竟“清華大學公共基礎平颱課教材”這個名頭，自帶一種權威性和挑戰性。然而，翻開第一頁，這種顧慮便逐漸消散。書的編排非常閤理，從基礎的行列式、矩陣運算，到後麵更復雜的嚮量空間、綫性變換，知識的遞進關係清晰明瞭。讓我印象深刻的是，作者在解釋一些相對抽象的概念時，並沒有迴避其背後的數學根源，而是通過嚴謹的數學推導，展示瞭這些概念是如何自然産生的。例如，在講解矩陣的秩與綫性方程組解的個數之間的關係時，書中給齣瞭非常詳盡的證明過程，這對於我理解“為什麼會是這樣”至關重要。書中還穿插瞭不少應用性的例子，雖然不是特彆深入，但足以讓我們感受到綫性代數在實際問題中的作用，這極大地激發瞭我學習的興趣。我曾因為一道關於“基”的題目而睏擾，書中的講解讓我理解瞭基的唯一性和它在錶示嚮量時的便利性，仿佛為我打開瞭一個新的視角。當然，對於一些初學者來說，某些章節的難度可能會稍大，需要多花些功夫。但總體而言，這本書的優點遠大於缺點，它為我打下瞭堅實的綫性代數基礎。
評分拿到《綫性代數與幾何（第2版 上）》後，我第一感受是它的“厚重感”。這不僅僅是物理上的重量，更是內容上的深度。作者在講解綫性代數中的各種概念時，都力求從最根本的定義齣發，然後通過嚴謹的推導，展現其數學的嚴密性。我特彆喜歡它對“綫性無關”和“基”這些核心概念的講解，不僅僅給齣瞭定義，還詳細闡述瞭它們的重要性以及在嚮量空間中的作用。書中對矩陣運算的介紹也十分詳盡，從基本的加減乘法到更復雜的求逆、求秩，都給齣瞭清晰的步驟和原理。我記得當時在學習行列式的計算時，書中提供瞭多種方法，並且解釋瞭不同方法背後的數學原理，這讓我能夠根據具體情況選擇最有效的方法。而且，書中對一些定理的證明，都做得非常完整，這對於我理解數學定理的來龍去脈非常有幫助。我曾經為瞭理解“綫性方程組解的性質”而反復研讀書中的相關章節，最終纔真正理解瞭為什麼“無解”、“唯一解”和“無窮多解”的齣現。不過，我也要說，這本書的閱讀需要投入大量的時間和精力，特彆是對於數學基礎不那麼紮實的同學，可能會感到一些挑戰。
評分這本書的風格可以用“直擊本質”來形容。它不迴避數學的嚴謹性，而是以一種係統的方式，帶領讀者逐步深入到綫性代數的各個核心概念。我特彆欣賞它對“矩陣的對角化”這一重要章節的處理，書中從特徵值和特徵嚮量齣發，清晰地闡述瞭對角化的意義和條件。我記得當時在學習“二次型”的時候，書中用到瞭矩陣的對角化來簡化二次型，這讓我看到瞭不同知識點之間的內在聯係。而且，書中對一些經典問題，比如“最小二乘法”的引入，也做得非常自然，體現瞭綫性代數在解決實際問題中的強大能力。我曾經為瞭理解“最小二乘法”的推導過程而反復研究書中的章節，最終纔明白瞭它如何通過矩陣運算來逼近最優解。當然，這本書的閱讀門檻相對較高，需要讀者具備一定的數學基礎和紮實的邏輯思維能力。但我相信，對於那些願意投入時間和精力去鑽研的讀者來說，這本書一定會帶來豐厚的迴報。
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