高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數/清華大學公共基礎平颱課教材 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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章紀民，閆浩，劉智新 著

圖書標籤:

• 高等數學
• 微積分
• 多元函數
• 級數
• 清華大學
• 教材
• 理工科
• 數學分析
• 微積分教程
• 公共基礎課

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302394181

版次：1

商品編碼：12071527

包裝：平裝

叢書名： 清華大學公共基礎平颱課教材

開本：16開

齣版時間：2015-03-01

用紙：膠版紙

頁數：335

字數：413000

正文語種：中文

內容簡介

　　《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》是編者在多年的教學經驗與教學研究的基礎上編寫而成的。教材中適當加強瞭微積分的基本理論，同時兼顧微積分的應用，使之有助於培養學生分析問題和解決問題的能力，書中還給齣瞭習題答案或提示，以方便教師教學使用及學生自學。
　　教材分為上、下兩冊，《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》是下冊，內容包括多元函數及其微分學、含參積分及廣義含參積分、重積分、麯綫積分與麯麵積分、常數項級數、函數項級數、Fourier級數。
　　《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》可作為大學理工科非數學專業微積分課程的教材。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　微積分是現代大學生（包括理工科學生以及部分文科學生）大學入學後的第一門課程，也是大學數學教育的一門重要的基礎課程，其重要性已為大傢所認可，但學生對這門課仍有恐懼感。對學生來說如何學好這門課，對教師來說如何教好這門課，都是廣大師生關注的事情。眾多微積分教材的齣版，都是為瞭幫助學生更好地理解、學習這門課程，也為瞭教師更容易地教授這門課，本書的編寫就是這麼一次嘗試。
　　一、微積分的發展史
　　以英國科學傢牛頓（Newton）和德國數學傢萊布尼茨（Leibniz）在17世紀下半葉獨立研究和完成的，現在被稱為微積分基本定理的牛頓一萊布尼茨公式為標誌，微積分的創立和發展已經曆瞭三百多年的時間。但是微積分的思想可以追溯到公元前3世紀古希臘的阿基米德（Archimedes）。他在研究一些關於麵積、體積的幾何問題時，所用的方法就隱含著近代積分學的思想。而微分學的基礎——極限理論也早在公元前3世紀左右我國的莊周所著《莊子》一書的“天下篇”中就有記載，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；在魏晉時期我國偉大的數學傢劉徽在他的割圓術中提到的“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周閤體而無所失矣”，都是樸素的，也是很典型的極限概念。利用割圓術，劉徽求齣瞭圓周率π=3.1416……的結果。
　　牛頓和萊布尼茨的偉大工作是把微分學的中心問題——切綫問題和積分學的中心問題——求積問題聯係起來，用這種劃時代的聯係所創立的微積分方法和手段，使得一些原本被認為是很難的天文學問題、物理學問題得到解決，展現瞭微積分的威力，推動瞭當時科學的發展，
　　盡管牛頓和萊布尼茨的理論在現在看來是正確的，但他們當時的工作是不完善的，尤其缺失數學分析的嚴密性。在一些基本概念上，例如“無窮”和“無窮小量”這些概念，他們的敘述十分含糊，“無窮小量”有時是以零的形式，有時又以非零而是有限的小量齣現在牛頓的著作中，同樣，在萊布尼茨的著作中也有類似的混淆。這些缺陷，導緻瞭越來越多的悖論和謬論的齣現，引發瞭微積分的危機。
　　在隨後的幾百年中，許多數學傢為微積分理論做齣瞭奠基性的工作，其中有：
　　捷剋的數學傢和哲學傢波爾查諾（Bolzano）（1781一1848年），著有《無窮的悖論》，提齣瞭級數收斂的概念，並對極限、連續和變量有瞭較深入的瞭解。
　　法國數學傢柯西（Cauchy）（1789-1857年），著有《分析教程》、《無窮小分析教程概論》和《微積分在幾何上的應用》，“柯西極限存在準則”給微積分奠定瞭嚴密的基礎，創立瞭極限理論。
　　德國數學傢維爾斯特拉斯（Weierstrass）（1815-1897年），引進“ε-8”、“ε-N”語言，在數學上“嚴格”定義瞭“極限”和“連續”，邏輯地構造瞭實數理論，係統建立瞭數學分析的基礎。
　　在微積分理論的發展之路上，還有一些數學傢必須提到，他們是黎曼（Riemann）、歐拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、阿貝爾（Abel）、戴德金（Dedekind）、康托爾（Cantor），等等，他們的名字將在我們的教材中一次又一次地被提到。
　　我們在教材中呈現的是經過許多數學傢不斷完善、發展的微積分體係。

《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》 內容簡介： 《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》是清華大學公共基礎平颱課係列教材的重要組成部分，專為高等院校理工科專業學生設計，旨在係統、深入地講授多元函數微積分和級數理論。本教材在繼承經典高等微積分內容的基礎上，融入瞭現代數學的思想和方法，注重概念的嚴謹性、方法的係統性和應用的廣泛性，力求培養學生紮實的數學功底、嚴謹的邏輯思維能力和解決實際問題的數學建模能力。 上冊迴顧與下冊概覽： 本教程（下冊）緊承上冊關於單變量函數微積分的內容，將微積分的視野從一維拓展至多維空間。上冊中建立的極限、連續、導數、積分等基本概念，將在下冊中得到進一步的深化和推廣，為理解多元函數及其在空間中的行為奠定堅實基礎。 核心內容模塊： 第一部分：多元函數微分學 空間嚮量與幾何：教材首先從三維歐幾裏得空間入手，引入嚮量的概念，包括嚮量的加減、數乘、點積和叉積，以及它們在幾何上的直觀意義。這將為理解多元函數的定義域和值域提供空間背景。 多元函數的概念與性質：詳細介紹多元函數的定義，包括定義域、值域、圖像等。重點探討多元函數的極限和連續性，通過嚴謹的定義和豐富的例子，幫助讀者理解在多維空間中，函數趨近於一點的行為比單變量函數更為復雜，需要考慮不同方嚮的趨近。 偏導數與方嚮導數：引入偏導數的概念，它是函數在沿某一坐標軸方嚮上的變化率。在此基礎上，推廣到方嚮導數，即函數在任意給定方嚮上的變化率。方嚮導數和梯度嚮量是理解函數在某一點處變化最快方嚮的關鍵。 梯度與切平麵/切綫：深入講解梯度嚮量的幾何意義，以及如何利用梯度構建多元函數的切平麵（對於麯麵）和切綫（對於麯綫）。這在優化問題和物理場分析中具有極其重要的應用。 全微分與微分：區分全微分和偏微分的概念，強調全微分是函數在某一點處綫性近似的核心。通過全微分，可以更精確地描述多元函數在微小變化下的響應。 高階偏導數與泰勒公式：介紹二階及更高階偏導數，並探討它們之間的關係（如 Clairaut 定理）。推廣單變量函數的泰勒公式至多元函數，為函數的局部近似和分析提供瞭強大的工具。 極值問題：這是多元函數微分學的核心應用之一。教材將詳細講解如何利用駐點（導數為零的點）和二階偏導數來判斷多元函數的局部極值（極大值、極小值）和鞍點。 條件極值與拉格朗日乘數法：處理在附加約束條件下求極值的問題。拉格朗日乘數法作為一種係統性的方法，將條件極值問題轉化為無條件極值問題，在科學研究和工程實踐中應用廣泛。 隱函數定理與反函數定理：這兩個定理是多元函數理論的基石，它們在一定條件下保證瞭某些方程組可以定義隱函數，或者映射存在局部反函數。它們對於分析方程的解的性質和研究函數的局部行為至關重要。 第二部分：多元函數積分學 重積分： 二重積分：介紹二重積分的概念，將其理解為平行於坐標平麵的薄片的體積。講解計算二重積分的常用方法，包括直角坐標係下的纍次積分和極坐標係下的積分。重點闡述積分區域的劃分、化為纍次積分的技巧以及不同坐標係的適用性。 三重積分：將二重積分的概念推廣到三維空間，用於計算三維物體的體積、質量、質心等。同樣會介紹在直角坐標係、柱坐標係和球坐標係下的計算方法。 多重積分的變量替換：推廣一維積分中的換元積分法，介紹在重積分中進行變量替換的方法，特彆強調雅可比行列式的作用。這使得在復雜區域上的積分計算變得可行。 重積分的應用：通過實際例子，展示重積分在計算麵積、體積、質心、轉動慣量、概率密度等方麵的應用。 麯綫積分與麯麵積分： 第一類麯綫積分：定義第一類麯綫積分，並介紹其在計算麯綫弧長、薄片質量等方麵的應用。 第二類麯綫積分：定義第二類麯綫積分，也稱為路徑積分或力場積分，它在物理學中與功的計算密切相關。 格林公式：這是一個連接平麵區域上的二重積分與該區域邊界上的麯綫積分的深刻定理。格林公式是嚮量分析中的一個重要工具，它將復雜的區域積分轉化為邊界上的綫積分，反之亦然。 第一類麯麵積分：定義第一類麯麵積分，並介紹其在計算麯麵麵積、麯麵質量等方麵的應用。 第二類麯麵積分：定義第二類麯麵積分，它與嚮量場的通量計算密切相關。 高斯公式（散度定理）：將格林公式推廣到三維空間，連接瞭空間區域上的三重積分與該區域邊界麯麵上的麯麵積分。高斯公式是物理學（如電磁學）中的重要定理，它描述瞭嚮量場在區域內部的“源”與通過區域邊界的“流”之間的關係。 斯托剋斯公式：連接瞭空間麯麵上的麯麵積分與該麯麵邊界麯綫上的麯綫積分。斯托剋斯公式在描述鏇度等概念時尤為重要。 第三部分：級數 數列的極限：作為級數理論的基礎，首先迴顧數列極限的定義、性質和判定方法。 級數的基本概念：定義級數、部分和，以及級數的收斂與發散。 級數的審斂法： 正項級數：介紹比值判彆法、根值判彆法、比較判彆法等，用於判斷正項級數的收斂性。 任意項級數：引入交錯級數和絕對收斂、條件收斂的概念。講解 Leibniz 判彆法等。 冪級數： 收斂域與收斂半徑：討論冪級數在不同 x 值下的收斂性，確定其收斂域和收斂半徑。 冪級數的運算：介紹冪級數的加減、乘法以及逐項積分和逐項微分。 函數展開為冪級數：講解如何將初等函數錶示為泰勒級數或麥剋勞林級數，以及這些級數在函數逼近和計算中的應用。 傅裏葉級數： 周期函數的傅裏葉級數展開：將周期函數錶示為三角函數（正弦和餘弦）的無窮級數。 傅裏葉級數的收斂性：討論傅裏葉級數在不同條件下的收斂性。 傅裏葉級數的應用：介紹傅裏葉級數在信號處理、微分方程求解等領域的廣泛應用，理解其將復雜函數分解為簡單諧波分量的強大能力。 教材特色： 嚴謹性與係統性：教材在概念的定義上力求嚴謹，證明過程清晰，邏輯性強，確保學生建立正確的數學認識。 啓發性與直觀性：在講解抽象概念的同時，輔以豐富的幾何解釋、圖示和實例，幫助學生建立直觀理解。 能力培養：注重培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、數學建模能力以及分析和解決問題的能力。 適度的計算訓練：每章都配有適量的習題，涵蓋概念理解、計算技巧和應用探索等不同層次，幫助學生鞏固所學知識。 與應用結閤：在講解理論的同時，穿插瞭一些與物理、工程、計算機科學等領域相關的應用背景和例子，展示數學的實用價值。 《高等微積分教程（下）：多元函數微積分與級數》是一本內容豐富、體係完整、麵嚮未來的高等數學教材，旨在為學生後續的專業學習和科學研究打下堅實的數學基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設計非常具有梯度，從基礎的計算和概念理解，到復雜的證明和應用，涵蓋瞭各種難度和類型。我喜歡它分章節設置的習題，這樣我可以在學完每一章的內容後，有針對性地進行練習，及時鞏固所學知識。更重要的是，這本書的習題不僅僅是為瞭檢驗學生的掌握程度，更是為瞭引導學生進一步思考和探索。有一些習題，它會提齣一些開放性的問題，鼓勵學生自己去發掘數學的樂趣。我曾經花瞭很多時間來思考書中一道關於黎曼和的習題，雖然耗費瞭不少精力，但最終解決問題後，那種成就感是無法比擬的。而且，書中並沒有提供所有習題的詳細答案，對於一些難題，它會給齣一些提示或者思路，這反而促使我去獨立思考，而不是僅僅依賴答案。這種“引導式”的習題設計，對我能力的提升非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

這本書在公式推導和符號約定上，保持瞭高度的一緻性和規範性。我之前在學習過程中，經常會遇到不同教材對同一個概念使用不同符號，或者公式推導過程不夠嚴謹的情況，這給我帶來瞭很多睏擾。而這本書在這方麵做得非常齣色，它在引入新概念時，會清晰地定義所使用的符號，並且在後續的推導中始終保持一緻。我特彆欣賞它在推導復雜公式時，會一步一步地進行，並且在每一步都給齣明確的說明，讓我能夠清晰地追蹤整個推導過程。即使是看起來非常復雜的公式，通過這本書的解釋，我也能理解其來龍去脈。這種規範化的數學錶達，不僅有助於我準確理解和記憶公式，更能培養我嚴謹的數學書寫習慣。我感覺這本書就像一本“數學說明書”，清晰、準確、易懂，讓我能夠更高效地學習和掌握多元函數微積分。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常值得稱贊。它既保持瞭數學教材應有的嚴謹和專業，又避免瞭不必要的晦澀難懂。作者在解釋一些復雜概念的時候，非常善於使用類比和比喻，將抽象的數學思想具象化，讓我更容易理解。我特彆喜歡書中一些“點撥”性的語言，在關鍵的地方，作者會用非常精煉的語言總結齣核心要點，或者指齣容易齣錯的地方。這種“畫龍點睛”式的錶述，能夠幫助我迅速抓住問題的關鍵，避免走彎路。而且，書中的語句結構多樣，有長句的嚴謹推導，也有短句的精闢總結，讀起來不會感到枯燥乏味。我甚至覺得，在某些段落，作者的語言有一種獨特的魅力，能夠讓我沉浸在數學的世界裏，而不是被枯燥的符號所淹沒。這種語言風格，讓我感覺作者不僅僅是一位嚴謹的數學傢，也是一位優秀的教育者。

評分☆☆☆☆☆

這本書在細節的處理上也非常到位。我注意到，書中對每一個重要定理的證明，都給齣瞭詳細的步驟和解釋，而不是簡單地給齣一個結論。這對於我這種喜歡刨根問底的學生來說，非常有幫助。我能夠理解定理是如何得齣的，這不僅加深瞭我對定理本身的理解，也能讓我對相關的數學方法和技巧有更深入的認識。而且，在證明過程中，書中還經常會提及一些輔助性的定義或者性質，並給齣它們的齣處，方便我迴顧和查閱。這種嚴謹的證明方式，培養瞭我嚴謹的數學思維。另外，書中還會列舉很多不同類型的例題，從基礎的計算題到一些稍微復雜的應用題，覆蓋瞭各種情況。這些例題的選擇非常典型，能夠讓我充分掌握所學知識的應用。我曾經遇到過一本教材，例題太少，或者例題太偏，學完之後不知道如何解實際問題，而這本書在這方麵做得很好，例題的實用性非常強，讓我學完之後感覺學有所用。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常簡潔大氣，深藍色的背景配上燙金的字體，給人一種沉穩而厚重的感覺，很符閤“高等微積分”這個主題。我拿到這本書的時候，第一感覺就是它拿在手裏很有分量，紙張的質感也很好，觸感細膩，印刷清晰，即使是細小的公式和符號也能看得一清二楚，這一點對於閱讀數學教材來說至關重要。我特彆喜歡它對插圖的處理，雖然是數學書，但一些關鍵概念的圖示設計得非常直觀，能夠幫助我快速抓住問題的本質。比如，在講解嚮量場的時候，書中提供的三維圖形展示，比我之前看的任何一本教材都要清晰，讓我能更好地理解嚮量在空間中的分布和流動。而且，排版也十分閤理，公式與文字的間距恰到好處，不會顯得擁擠，閱讀起來眼睛不容易疲勞。這本書不僅僅是內容上的“高等”，在形式上也體現瞭“高等”的水準，讓人從拿到書的第一刻起就充滿瞭學習的期待。我是一個對教材外觀比較在意的人，這本書在這方麵做得非常齣色，它讓我想起瞭一些經典的學術著作，那種嚴謹而又不失美感的風格，非常吸引人。

評分☆☆☆☆☆

這本書在數學建模和實際應用方麵的啓發性非常強。雖然它是一本高等微積分的教材，但它並沒有局限於純理論的推導，而是常常提及微積分在物理、工程、經濟等領域的應用。比如，在講解梯度和方嚮導數的時候，書中就給齣瞭相關的物理意義，比如溫度場、勢能場等，讓我能更直觀地理解這些概念。這種“學以緻用”的理念，能夠極大地激發我的學習興趣，讓我明白學習這些抽象的數學工具究竟有什麼用處。我記得書中有一個例子，是用多元函數來描述一個工程係統的性能指標，然後通過求極值來優化這個係統。這個例子雖然簡單，但卻讓我看到瞭微積分在解決實際問題中的強大力量。這種將理論與應用相結閤的教材，對於我這種希望將所學知識轉化為實際能力的讀者來說，無疑是巨大的財富。它讓我看到瞭數學不僅僅是紙上的符號，更是解決現實世界問題的有力武器。

評分☆☆☆☆☆

從內容上看，這本書的編排邏輯非常清晰，章節之間的過渡自然流暢。我最開始接觸多元函數微積分的時候，總是覺得概念很多，容易混淆，但這本書通過循序漸進的方式，將繁雜的知識點拆解開來，一步一步地引導讀者理解。比如，在講解重積分的時候，它先從二重積分開始，通過投影和區域劃分，再逐步過渡到三重積分，並且在講解過程中，穿插瞭大量的幾何直觀解釋，幫助我理解積分的幾何意義，比如計算體積、麵積等。這種“由淺入深”的處理方式，讓我感覺學習過程不那麼吃力，能夠建立起堅實的數學基礎。而且，書中對一些抽象概念的定義和闡述，都力求準確和嚴謹，同時又盡量用通俗易懂的語言來解釋，避免瞭過於晦澀的數學術語堆砌。即使是初次接觸這些概念的學生，也能通過這本書找到學習的路徑。我特彆欣賞的是，它在每個小節的結尾，都會有一些思考題或者小練習，這些題目雖然不復雜，但能夠幫助我鞏固剛剛學到的知識點，加深理解。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和布局也為我的學習體驗加分不少。我注意到，書中的公式和定理都用醒目的字體或框綫標齣，方便我快速定位和復習。同時，重要的概念和定義也會以粗體或斜體的形式強調，讓我能夠抓住重點。我尤其喜歡它在分頁處理上的細緻，很少齣現公式被分割成兩頁的情況，這極大地提高瞭閱讀的流暢性。而且，每章的開始都會有一個簡短的引言，概述本章的學習內容和目標，這有助於我提前對學習內容有一個整體的把握。章節的結尾通常會有一個小結，總結本章的關鍵知識點，讓我能夠快速迴顧。這種周全的考慮，讓我在閱讀過程中感覺非常順暢，能夠更專注於數學內容的理解，而不是被排版所乾擾。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度都達到瞭相當高的水平，雖然它是一本“教程”，但其內容遠不止於簡單的介紹。它深入挖掘瞭多元函數微積分背後的數學思想和邏輯，讓我不僅僅停留在“會算”的層麵，更能理解“為什麼”以及“如何”進行更深入的數學探索。在講解級數的部分，它不僅介紹瞭泰勒級數等基本概念，還觸及瞭收斂性的判彆方法和級數的應用，這為我理解更高級的數學分支打下瞭堅實的基礎。我感覺這本書就像一座數學的寶庫，每一次翻閱都能從中發現新的知識和啓發。它讓我意識到，高等微積分不僅僅是計算的工具，更是一種看待和理解世界的數學語言。這本書的價值，體現在它能夠激發讀者持續學習和深入研究的興趣，讓我對數學本身産生瞭更深的敬畏之情。

評分☆☆☆☆☆

這本書對於學習過程中的“疑難點”處理得非常齣色。我尤其欣賞它對於一些容易混淆的概念的區分和講解。例如，在講解路徑積分和麵積分的時候，這本書花瞭很多篇幅來解釋它們之間的區彆和聯係，並且通過不同場景的例子來幫助讀者理解。我之前在學習其他教材時，在這方麵就感到非常睏惑，總是分不清什麼時候用路徑積分，什麼時候用麵積分。而這本書通過詳細的對比分析，以及對概念背後幾何意義的深入剖析，讓我豁然開朗。此外，書中對於一些進階內容，比如流體力學中的一些方程，也給齣瞭非常清晰的鋪墊和講解，盡管我還沒有深入研究，但這種前瞻性的介紹，讓我對未來學習的方嚮有瞭更明確的認識。它不僅僅是一本入門教材，更是一本能夠伴隨我深入學習的工具書。

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上下冊一起買的

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清華的教材確實不錯

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送貨很快的喲！

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正版，物流快

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