編輯推薦
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內容簡介
《中公版·2018福建省教師招聘考試專用教材:學科專業知識中學數學》結閤教師招聘考試中學數學的考試真題以及考試大綱,構架起以學科專業知識和中學數學課程與教學論兩個部分有機結閤的龐大知識體係,並在書中設置真題再現、知識拓展、牛刀小試等闆塊,是一本專門針對福建省教師招聘考試中學數學學科的教材。本教材條理清晰,結構嚴謹,從基礎、重要的考點齣發,深入淺齣地嚮考生講解各個知識點,使考生能透徹地理解知識點,從而爛熟於心。
目錄
第一章集閤、邏輯與算法初步(2)
第一節集閤與邏輯(2)
第二節算法初步(7)
牛刀小試(10)
第二章函數(13)
第一節函數概念(13)
第二節基本初等函數(16)
第三節三角函數(18)
牛刀小試(23)
第三章不等式、數列與極限(25)
第一節不等式(25)
第二節數列(28)
第三節極限(31)
牛刀小試(32)
第四章推理證明與排列組閤(35)
第一節推理與證明(35)
第二節排列、組閤與二項式定理(38)
牛刀小試(42)
第五章嚮量與復數(45)
第一節嚮量(45)
第二節復數(48)
牛刀小試(51)
第六章立體幾何(53)
第一節直綫與平麵(53)
第二節棱柱、棱錐與球(56)
牛刀小試(61)
第七章解析幾何(64)
第一節直綫與方程(64)
第二節圓與方程(66)
第三節圓錐麯綫(67)
牛刀小試(70)
第八章統計與概率(73)
第一節統計(73)
第二節概率(77)
牛刀小試(83)
第九章數學分析(86)
第一節極限(86)
第二節導數與微分(89)
第三節積分(94)
牛刀小試(101)
第十章高等代數(103)
第一節行列式(103)
第二節矩陣(106)
第三節綫性方程組(112)
牛刀小試(115)
第十一章數學史(116)
牛刀小試(122)
第一章中學數學課程標準(124)
第一節義務教育數學課程標準(2011年版)(初中部分)(124)
第二節普通高中數學課程標準(實驗)(140)
牛刀小試(169)
第二章教學原則、過程與方法(174)
第一節教學原則(174)
第二節教學過程(177)
第三節教學方法(182)
第四節數學教學模式(185)
牛刀小試(189)
第三章數學基本教學(191)
第一節概念教學(191)
第二節命題教學(197)
第三節推理教學(199)
第四節問題解決教學(202)
第五節數學思想方法的教學(206)
牛刀小試(212)
第四章教學設計(215)
第一節數學課堂教學設計概述(215)
第二節教學設計工作(219)
牛刀小試(229)
第五章教學實施(234)
第一節課堂導入技能(234)
第二節課堂提問技能(236)
第三節有效數學教學(240)
第四節課堂結束技能(243)
第五節現代信息技術教學技能(246)
牛刀小試(248)
第六章教學評價(251)
第一節評價概述(251)
第二節數學課堂教學評價(256)
第三節數學學習評價(262)
牛刀小試(269)
福建省教師招聘課程體係(271)
中公教育·全國分部一覽錶(272)
精彩書摘
第一部分
數學專業基礎知識
●集閤、邏輯與算法初步
●函數
●不等式、數列與極限
●推理證明與排列組閤
●嚮量與復數
●立體幾何
●解析幾何
●統計與概率
●數學分析
●高等代數
●數學史
第一節集閤與邏輯
一、集閤
(一)集閤的基本概念
1.集閤的含義
某些指定的對象集在一起就成為一個集閤,其中每一個對象叫元素。
2.集閤中的元素的三個特性
元素的確定性如:世界上最長的河流;
元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集閤{H,A,P,Y};
元素的無序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是錶示同一個集閤。
3.集閤的錶示
用拉丁字母錶示集閤:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}。集閤的錶示方法:列舉法、描述法與圖示法。
(1)列舉法:{a,b,c…};
(2)描述法:將集閤中的元素的公共屬性描述齣來,寫在大括號內錶示集閤的方法。例如{x∈R|x-3>2};
(3)語言描述法:例如{不是直角三角形的三角形};
(4)Venn圖,也叫文氏圖,它既可以錶示一個獨立的集閤,也可以錶示集閤與集閤之間的相互關係。如圖所示:
常用數集及其記法:非負整數集(即自然數集)記作N,正整數集記作N?鄢或N+,整數集記作Z,有理數集記作Q,實數集記作R。
4.集閤的分類
有限集:含有有限個元素的集閤;
無限集:含有無限個元素的集閤;
空集:不含任何元素的集閤記為。例如{x|x2=-5,x∈R}。
(二)集閤間的基本關係
全集:一般地,如果一個集閤包含我們所研究問題中涉及的所有元素,那麼就稱這個集閤為全集,通常記作U。
子集:一般地,對於兩個集閤A、B,如果集閤A中的任意一個元素都是集閤B中的元素,我們就稱這兩個集閤有包含關係,稱集閤A為集閤B的子集,記作A?哿B,讀作“A包含於B”。
真子集:如果A?哿B,且A≠B,那就說集閤A是集閤B的真子集,記作A?芴B(或B?芡A)。
反之:集閤A不包含於集閤B,或集閤B不包含集閤A,記作A?芫B或B?蕓A。
由上述集閤間的基本關係,可以得到下列結論:
(1)任何一個集閤是它本身的子集即A?哿A。
(2)對於集閤A、B、C,如果A?哿B,且B?哿C,那麼A?哿C。
(3)如果A?哿B且B?哿A,那麼A=B。
(4)空集是任何集閤的子集,空集是任何非空集閤的真子集。
(5)有n個元素的集閤,含有2n個子集,2n-1個真子集。
(三)集閤的運算
【例題】50名學生做物理、化學兩種實驗,已知物理實驗做得正確的有40人,化學實驗做得正確的有31人,兩種實驗都做錯的有4人,那麼這兩種實驗都做對的有多少人?
【答案】25。解析:方框裏的總人數是50人,兩個橢圓裏的人數分彆是40和31,則黑色區域的人數為40+31+4-50=25。
二、簡易邏輯
(一)邏輯聯結詞
1.“或”“且”“非”這些詞叫作邏輯聯結詞,不含有邏輯聯結詞的命題是簡單命題;由簡單命題和邏輯聯結詞“或”“且”“非”構成的命題是復閤命題。構成復閤命題的形式:p或q(記作p∨q);p且q(記作p∧q);非p(記作?劭p)。
邏輯聯結詞“或”可以與集閤中的“並”相聯係,CU(A∪B)=CUA∩CUB。
邏輯聯結詞“且”可以與集閤中的“交”相聯係,CU(A∩B)=CUA∪CUB。
邏輯聯結詞“非”可以與集閤中的“補”相聯係,CUA={x|x∈U,且x?埸A}。
2.“或”“且”“非”的真值判斷
(1)“非p”形式復閤命題的真假與p的真假相反;
(2)“p且q”形式復閤命題當p與q同為真時為真,其他情況時為假;
(3)“p或q”形式復閤命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真。
【例題】已知p:方程x2+mx+1=0有兩個不等負實根。q:方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根。若p或q為真,p且q為假。求實數m的取值範圍。
【解析】因為p或q為真,p且q為假,則必然p與q中有一真一假。分兩種情況:p為真,q為假;q為真,p為假。
(1)若p為真,則q為假。
p為真,方程x2+mx+1=0有兩個不等負實根成立,即Δ=m2-4>0,x1+x2=-m<0,解得:m>2或m<-2,m>0。綜上兩式得到:m>2。
q為假,方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根不成立,即有實數根,Δ=16(m-2)2-16≥0,所以m≥3或m≤1。
取交集得:m≥3;
(2)若q為真,則p為假。
q為真,即方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根成立,即Δ=16(m-2)2-16<0,所以1<m<3。
p為假,方程x2+mx+1=0有兩個不等負實根不成立,即①無實根或有兩個相等實根,Δ=m2-4≤0,或②有兩個不等正實根,Δ=m2-4>0,x1+x2=-m>0。解得,①-2≤m≤2或②m<-2,所以m≤2。
取交集得:1<m≤2;
綜上所述m≥3或1<m≤2。
(二)命題
1.定義:可以判斷真假的語句叫作命題。
若一個命題是正確的,該命題叫真命題;若一個命題不正確,該命題叫假命題。由命題的概念,一個命題不是真命題就是假命題。
2.命題的四種形式與相互關係
(1)原命題:若p則q;
(2)逆命題:若q則p;
(3)否命題:若?劭p則?劭q;
(4)逆否命題:若?劭q則?劭p;
原命題與逆否命題互為逆否命題,同真假;
逆命題與否命題互為逆否命題,同真假。
當從命題條件的正麵不易證明時,可以從命題結論的反麵考慮采用反證法,即從命題結論的反麵齣發(假設),引齣(與已知、公理、定理……)矛盾,從而否定假設證明原命題成立,這樣的證明方法叫作反證法。
(三)命題的條件與結論間的屬性
若p?圯q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件,即“前者為後者的充分,後者為前者的必要”;
若p?圳q,則p是q的充分必要條件,簡稱p是q的充要條件;
若p?圯q,且qp,那麼稱p是q的充分不必要條件;
若pq,且q?圯p,那麼稱p是q的必要不充分條件;
若pq,且qp,那麼稱p是q的既不充分又不必要條件。
三、常用邏輯用語——量詞
對量詞的理解,應重點把握以下幾個方麵:
第一,結閤具體命題來理解量詞的意義,瞭解量詞在日常生活和數學中的各種錶達形式。例如:
(1)所有正方形都是矩形;
(2)每一個有理數都能寫成分數的形式;
(3)有些三角形是直角三角形;
(4)存在一個實數x,使得x2+x-1=0。
以上命題的條件中,“所有”“每一個”等都是在指定範圍內,錶示整體或全部的含義,這些詞是全稱量詞;“有些”“存在”等都錶示個彆或一部分的含義,這些詞都是存在量詞。
第二,通過生活和數學中的豐富實例,體會“量詞”在數學中和日常生活中的作用。例如,過直綫外一點存在唯一的一條直綫與該直綫平行,這就使用瞭存在量詞。
給定一組正整數{2,8,17,19},存在一個大於1的正整數n,使得這組數中的每一個數都能被n整除。在這個命題中,使用瞭兩個量詞。
第三,新課標隻要求理解和掌握含有一個量詞的命題。對於命題的否定,隻要求對含有一個量詞的命題進行否定。學生可以通過一些日常生活中這類命題的否定,例如“全班同學都會唱這首歌”的否定,來加深對這部分內容的理解。不要求理解和掌握含有兩個和兩個以上量詞的命題。
《數學思維的深度探索:從初等到高階的進階之路》 一、 課程目標與定位 本書旨在為廣大數學愛好者、中學數學教師、以及準備參加各類數學相關考試(如中考、高考、教師資格考試、各類數學競賽等)的考生提供一套係統、深入、循序漸進的學習體係。我們深知,數學的魅力不僅在於掌握解題技巧,更在於培養嚴謹的邏輯思維、敏銳的觀察能力以及創新性的解題思路。因此,本書將課程內容定位為“數學思維的深度探索”,著力於引導讀者從基礎概念的理解,到復雜問題的分析,再到抽象概念的構建,最終達到融會貫通、舉一反三的境界。 本書不涵蓋特定年份、特定地區(如2018年福建省)的教師招聘考試的教材內容,也不局限於任何單一的考試大綱。其核心價值在於提供一套普適性的、能夠提升數學素養和解決問題能力的知識體係,幫助讀者構建紮實的數學基礎,發展高階思維能力,從而在任何需要運用數學的場景中遊刃有餘。 二、 內容架構與特色 本書采用結構化、模塊化的編排方式,由易到難,層層遞進,確保學習過程的連貫性和有效性。 模塊一:數學基礎概念的再審視與深化 數與代數: 數的概念拓展: 從自然數、整數、有理數、實數到復數的構建過程,理解數的擴充的必要性和意義。重點解析實數的稠密性、完備性等性質,以及復數在幾何和代數中的統一性。 方程與不等式的本質: 深入理解方程和不等式的構成要素,探討其解的意義和存在性。不僅僅是求解技巧,更強調從函數圖像、數軸錶示等多角度理解解集。重點講解一元二次方程的韋達定理、判彆式與根的分布,以及高次方程、指數方程、對數方程的解法策略。 函數及其性質: 詳細闡述函數的概念、定義域、值域,以及單調性、奇偶性、周期性、對稱性等核心性質。通過豐富的實例,引導讀者掌握判斷函數性質的方法,理解函數圖像與性質之間的內在聯係。重點講解一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數以及分段函數。 數列的奧秘: 深入理解等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式,並在此基礎上,拓展對其他類型數列(如遞推數列、裂項數列)的分析方法。強調數列通項的求解技巧,以及數列求和的常用方法(如錯位相減法、分組求和法)。 幾何與空間: 平麵幾何的邏輯美: 係統梳理平麵幾何的基本概念、公理、定理,強調證明的邏輯嚴謹性。重點講解三角形、四邊形、圓等基本圖形的性質與判定,以及相似、全等的應用。通過幾何畫闆等工具輔助,可視化幾何關係,加深理解。 立體幾何的空間構架: 介紹點、綫、麵在空間中的位置關係,掌握空間嚮量的基本概念和運算。重點講解平行、垂直的判定與性質,以及幾何體的錶麵積和體積計算。通過三視圖、剖麵圖等,培養空間想象能力。 解析幾何的代數錶達: 將幾何圖形與代數方程聯係起來,學習直綫、圓、橢圓、雙麯綫、拋物綫等基本平麵麯綫的方程及其性質。重點掌握點到直綫、點到平麵的距離公式,以及兩直綫、直綫與圓等的位置關係。 概率與統計: 概率的隨機世界: 講解古典概型、幾何概型,以及條件概率、全概率公式、貝葉斯公式等。重點在於理解概率的意義,掌握事件的關係,並能解決實際問題中的概率計算。 統計的描述與推斷: 學習數據的收集、整理、描述(均值、方差、標準差等)和分析。重點講解抽樣方法、統計圖錶(直方圖、箱綫圖等)的應用,以及統計推斷的基本思想(點估計、區間估計、假設檢驗)。 模塊二:數學思維的進階訓練 邏輯推理與證明: 演繹推理與歸納推理: 學習數學證明的基本邏輯結構,掌握直接證明(直接證法、反證法)和間接證明(同一法、比較法、分析法、綜閤法)的適用場景和方法。 數學歸納法: 深入理解數學歸納法的原理和應用,掌握使用數學歸納法證明與自然數相關的命題。 數學建模與應用: 從實際問題到數學模型: 學習如何將現實生活中的問題抽象成數學模型,包括確定變量、建立方程或不等式、選擇閤適的數學工具求解。 模型的分析與解釋: 掌握對數學模型求解結果的解讀,並將其反饋到實際問題中,評估模型的有效性。 化歸與轉化思想: “化未知為已知”的策略: 學習如何將復雜問題轉化為相對簡單的問題,例如將高次問題降次,將復雜圖形轉化為簡單圖形,將空間問題轉化為平麵問題等。 等價轉化與構造性思想: 掌握利用等價條件進行問題轉化,以及通過構造輔助元素(如輔助綫、輔助角、輔助方程)來解決問題的技巧。 數形結閤思想: 幾何直觀與代數求解的融閤: 深入理解利用幾何圖形的直觀性來分析代數問題,或利用代數方法來解決幾何問題。重點講解函數圖像與方程根、不等式解集的關係,以及解析幾何在解決幾何問題中的應用。 分類討論思想: 窮盡所有可能的情況: 學習在麵對具有多種可能性的問題時,如何進行科學的分類,確保不遺漏,不重復,並對每一種情況進行獨立分析和求解。 模塊三:高階數學概念與方法(部分涉及) 集閤論基礎: 深入理解集閤的概念、運算(並、交、補、差)、關係(子集、真子集、相等)及其在數學中的應用。 極限與連續: 引入數列極限和函數極限的概念,理解連續性的基本思想,為微積分的學習打下基礎。 導數與積分初步: (此部分根據讀者接受程度,可能為選修或初步介紹)介紹導數的幾何意義和物理意義,以及簡單函數的求導法則。初步瞭解積分的概念和基本應用(如求麵積)。 綫性代數初步(矩陣、嚮量空間等概念的初步介紹): 介紹嚮量的基本概念、運算,以及矩陣的意義和簡單運算,為解決多變量問題提供新的視角。 三、 學習方法指導 主動思考,而非被動接受: 閱讀過程中,遇到概念、定理,先嘗試自己理解,再對照書本;遇到例題,先獨立思考解題思路,再對照解析。 動手實踐,勤於練習: 每章後配有大量精心設計的練習題,覆蓋基礎題、中等題和難題,旨在鞏固知識,提升能力。鼓勵讀者多動筆,多嘗試。 反思總結,建立聯係: 做完練習後,及時迴顧錯題,分析錯誤原因,總結解題思路和方法。嘗試將不同章節的知識點聯係起來,形成知識網絡。 善用工具,輔助學習: 鼓勵讀者利用幾何畫闆、函數繪圖軟件等工具,可視化數學概念和關係,加深理解。 交流討論,共同進步: 鼓勵讀者與同學、老師或在綫社區進行交流討論,分享解題心得,解決疑難問題。 四、 適用人群 初高中學生: 幫助學生夯實數學基礎,建立良好的數學思維習慣,為中考、高考數學備考打下堅實基礎。 中學數學教師: 作為教學參考和教研素材,幫助教師深化對數學知識的理解,掌握更有效的教學方法,提升課堂教學質量。 準備教師資格考試及相關專業考試的考生: 提供係統、全麵的數學知識復習,幫助考生順利通過考試。 對數學有濃厚興趣的各類學習者: 引導讀者深入探索數學世界的奧秘,提升數學素養和邏輯思維能力。 五、 結語 數學是一門充滿邏輯美和抽象智慧的學科。掌握數學,不僅是為瞭應對考試,更是為瞭培養一種解決問題的能力,一種分析世界的思維方式。本書的編寫,正是希望能夠成為您探索數學奧秘、提升數學思維的得力助手。我們相信,通過係統的學習和不懈的努力,您一定能在數學的世界裏,找到屬於自己的精彩。 本書不包含以下內容: 任何特定年份(如2018年)的考試大綱、考點分析、真題解析。 特定地區(如福建省)的教師招聘考試相關的政策、報考指南、招聘信息。 針對特定考試的應試技巧、模闆、押題預測。 非數學學科的教育學、心理學、公共知識等內容。 關於教師職業道德、教育法律法規等方麵的知識。 本書專注於數學學科專業知識的深度講解與思維能力的培養,旨在為讀者提供一套高質量、係統化的數學學習資源。