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内容简介
《中公版·2018福建省教师招聘考试专用教材:学科专业知识中学数学》结合教师招聘考试中学数学的考试真题以及考试大纲,构架起以学科专业知识和中学数学课程与教学论两个部分有机结合的庞大知识体系,并在书中设置真题再现、知识拓展、牛刀小试等板块,是一本专门针对福建省教师招聘考试中学数学学科的教材。本教材条理清晰,结构严谨,从基础、重要的考点出发,深入浅出地向考生讲解各个知识点,使考生能透彻地理解知识点,从而烂熟于心。
目录
第一章集合、逻辑与算法初步(2)
第一节集合与逻辑(2)
第二节算法初步(7)
牛刀小试(10)
第二章函数(13)
第一节函数概念(13)
第二节基本初等函数(16)
第三节三角函数(18)
牛刀小试(23)
第三章不等式、数列与极限(25)
第一节不等式(25)
第二节数列(28)
第三节极限(31)
牛刀小试(32)
第四章推理证明与排列组合(35)
第一节推理与证明(35)
第二节排列、组合与二项式定理(38)
牛刀小试(42)
第五章向量与复数(45)
第一节向量(45)
第二节复数(48)
牛刀小试(51)
第六章立体几何(53)
第一节直线与平面(53)
第二节棱柱、棱锥与球(56)
牛刀小试(61)
第七章解析几何(64)
第一节直线与方程(64)
第二节圆与方程(66)
第三节圆锥曲线(67)
牛刀小试(70)
第八章统计与概率(73)
第一节统计(73)
第二节概率(77)
牛刀小试(83)
第九章数学分析(86)
第一节极限(86)
第二节导数与微分(89)
第三节积分(94)
牛刀小试(101)
第十章高等代数(103)
第一节行列式(103)
第二节矩阵(106)
第三节线性方程组(112)
牛刀小试(115)
第十一章数学史(116)
牛刀小试(122)
第一章中学数学课程标准(124)
第一节义务教育数学课程标准(2011年版)(初中部分)(124)
第二节普通高中数学课程标准(实验)(140)
牛刀小试(169)
第二章教学原则、过程与方法(174)
第一节教学原则(174)
第二节教学过程(177)
第三节教学方法(182)
第四节数学教学模式(185)
牛刀小试(189)
第三章数学基本教学(191)
第一节概念教学(191)
第二节命题教学(197)
第三节推理教学(199)
第四节问题解决教学(202)
第五节数学思想方法的教学(206)
牛刀小试(212)
第四章教学设计(215)
第一节数学课堂教学设计概述(215)
第二节教学设计工作(219)
牛刀小试(229)
第五章教学实施(234)
第一节课堂导入技能(234)
第二节课堂提问技能(236)
第三节有效数学教学(240)
第四节课堂结束技能(243)
第五节现代信息技术教学技能(246)
牛刀小试(248)
第六章教学评价(251)
第一节评价概述(251)
第二节数学课堂教学评价(256)
第三节数学学习评价(262)
牛刀小试(269)
福建省教师招聘课程体系(271)
中公教育·全国分部一览表(272)
精彩书摘
第一部分
数学专业基础知识
●集合、逻辑与算法初步
●函数
●不等式、数列与极限
●推理证明与排列组合
●向量与复数
●立体几何
●解析几何
●统计与概率
●数学分析
●高等代数
●数学史
第一节集合与逻辑
一、集合
(一)集合的基本概念
1.集合的含义
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2.集合中的元素的三个特性
元素的确定性如:世界上最长的河流;
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y};
元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合。
3.集合的表示
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}。集合的表示方法:列举法、描述法与图示法。
(1)列举法:{a,b,c…};
(2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。例如{x∈R|x-3>2};
(3)语言描述法:例如{不是直角三角形的三角形};
(4)Venn图,也叫文氏图,它既可以表示一个独立的集合,也可以表示集合与集合之间的相互关系。如图所示:
常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作N,正整数集记作N?鄢或N+,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R。
4.集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合;
无限集:含有无限个元素的集合;
空集:不含任何元素的集合记为。例如{x|x2=-5,x∈R}。
(二)集合间的基本关系
全集:一般地,如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。
子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就称这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?哿B,读作“A包含于B”。
真子集:如果A?哿B,且A≠B,那就说集合A是集合B的真子集,记作A?芴B(或B?芡A)。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?芫B或B?芸A。
由上述集合间的基本关系,可以得到下列结论:
(1)任何一个集合是它本身的子集即A?哿A。
(2)对于集合A、B、C,如果A?哿B,且B?哿C,那么A?哿C。
(3)如果A?哿B且B?哿A,那么A=B。
(4)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
(5)有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集。
(三)集合的运算
【例题】50名学生做物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确的有40人,化学实验做得正确的有31人,两种实验都做错的有4人,那么这两种实验都做对的有多少人?
【答案】25。解析:方框里的总人数是50人,两个椭圆里的人数分别是40和31,则黑色区域的人数为40+31+4-50=25。
二、简易逻辑
(一)逻辑联结词
1.“或”“且”“非”这些词叫作逻辑联结词,不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:p或q(记作p∨q);p且q(记作p∧q);非p(记作?劭p)。
逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系,CU(A∪B)=CUA∩CUB。
逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系,CU(A∩B)=CUA∪CUB。
逻辑联结词“非”可以与集合中的“补”相联系,CUA={x|x∈U,且x?埸A}。
2.“或”“且”“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真。
【例题】已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等负实根。q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。若p或q为真,p且q为假。求实数m的取值范围。
【解析】因为p或q为真,p且q为假,则必然p与q中有一真一假。分两种情况:p为真,q为假;q为真,p为假。
(1)若p为真,则q为假。
p为真,方程x2+mx+1=0有两个不等负实根成立,即Δ=m2-4>0,x1+x2=-m<0,解得:m>2或m<-2,m>0。综上两式得到:m>2。
q为假,方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根不成立,即有实数根,Δ=16(m-2)2-16≥0,所以m≥3或m≤1。
取交集得:m≥3;
(2)若q为真,则p为假。
q为真,即方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根成立,即Δ=16(m-2)2-16<0,所以1<m<3。
p为假,方程x2+mx+1=0有两个不等负实根不成立,即①无实根或有两个相等实根,Δ=m2-4≤0,或②有两个不等正实根,Δ=m2-4>0,x1+x2=-m>0。解得,①-2≤m≤2或②m<-2,所以m≤2。
取交集得:1<m≤2;
综上所述m≥3或1<m≤2。
(二)命题
1.定义:可以判断真假的语句叫作命题。
若一个命题是正确的,该命题叫真命题;若一个命题不正确,该命题叫假命题。由命题的概念,一个命题不是真命题就是假命题。
2.命题的四种形式与相互关系
(1)原命题:若p则q;
(2)逆命题:若q则p;
(3)否命题:若?劭p则?劭q;
(4)逆否命题:若?劭q则?劭p;
原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假;
逆命题与否命题互为逆否命题,同真假。
当从命题条件的正面不易证明时,可以从命题结论的反面考虑采用反证法,即从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理……)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫作反证法。
(三)命题的条件与结论间的属性
若p?圯q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件,即“前者为后者的充分,后者为前者的必要”;
若p?圳q,则p是q的充分必要条件,简称p是q的充要条件;
若p?圯q,且qp,那么称p是q的充分不必要条件;
若pq,且q?圯p,那么称p是q的必要不充分条件;
若pq,且qp,那么称p是q的既不充分又不必要条件。
三、常用逻辑用语——量词
对量词的理解,应重点把握以下几个方面:
第一,结合具体命题来理解量词的意义,了解量词在日常生活和数学中的各种表达形式。例如:
(1)所有正方形都是矩形;
(2)每一个有理数都能写成分数的形式;
(3)有些三角形是直角三角形;
(4)存在一个实数x,使得x2+x-1=0。
以上命题的条件中,“所有”“每一个”等都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这些词是全称量词;“有些”“存在”等都表示个别或一部分的含义,这些词都是存在量词。
第二,通过生活和数学中的丰富实例,体会“量词”在数学中和日常生活中的作用。例如,过直线外一点存在唯一的一条直线与该直线平行,这就使用了存在量词。
给定一组正整数{2,8,17,19},存在一个大于1的正整数n,使得这组数中的每一个数都能被n整除。在这个命题中,使用了两个量词。
第三,新课标只要求理解和掌握含有一个量词的命题。对于命题的否定,只要求对含有一个量词的命题进行否定。学生可以通过一些日常生活中这类命题的否定,例如“全班同学都会唱这首歌”的否定,来加深对这部分内容的理解。不要求理解和掌握含有两个和两个以上量词的命题。
《数学思维的深度探索:从初等到高阶的进阶之路》 一、 课程目标与定位 本书旨在为广大数学爱好者、中学数学教师、以及准备参加各类数学相关考试(如中考、高考、教师资格考试、各类数学竞赛等)的考生提供一套系统、深入、循序渐进的学习体系。我们深知,数学的魅力不仅在于掌握解题技巧,更在于培养严谨的逻辑思维、敏锐的观察能力以及创新性的解题思路。因此,本书将课程内容定位为“数学思维的深度探索”,着力于引导读者从基础概念的理解,到复杂问题的分析,再到抽象概念的构建,最终达到融会贯通、举一反三的境界。 本书不涵盖特定年份、特定地区(如2018年福建省)的教师招聘考试的教材内容,也不局限于任何单一的考试大纲。其核心价值在于提供一套普适性的、能够提升数学素养和解决问题能力的知识体系,帮助读者构建扎实的数学基础,发展高阶思维能力,从而在任何需要运用数学的场景中游刃有余。 二、 内容架构与特色 本书采用结构化、模块化的编排方式,由易到难,层层递进,确保学习过程的连贯性和有效性。 模块一:数学基础概念的再审视与深化 数与代数: 数的概念拓展: 从自然数、整数、有理数、实数到复数的构建过程,理解数的扩充的必要性和意义。重点解析实数的稠密性、完备性等性质,以及复数在几何和代数中的统一性。 方程与不等式的本质: 深入理解方程和不等式的构成要素,探讨其解的意义和存在性。不仅仅是求解技巧,更强调从函数图像、数轴表示等多角度理解解集。重点讲解一元二次方程的韦达定理、判别式与根的分布,以及高次方程、指数方程、对数方程的解法策略。 函数及其性质: 详细阐述函数的概念、定义域、值域,以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等核心性质。通过丰富的实例,引导读者掌握判断函数性质的方法,理解函数图像与性质之间的内在联系。重点讲解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及分段函数。 数列的奥秘: 深入理解等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式,并在此基础上,拓展对其他类型数列(如递推数列、裂项数列)的分析方法。强调数列通项的求解技巧,以及数列求和的常用方法(如错位相减法、分组求和法)。 几何与空间: 平面几何的逻辑美: 系统梳理平面几何的基本概念、公理、定理,强调证明的逻辑严谨性。重点讲解三角形、四边形、圆等基本图形的性质与判定,以及相似、全等的应用。通过几何画板等工具辅助,可视化几何关系,加深理解。 立体几何的空间构架: 介绍点、线、面在空间中的位置关系,掌握空间向量的基本概念和运算。重点讲解平行、垂直的判定与性质,以及几何体的表面积和体积计算。通过三视图、剖面图等,培养空间想象能力。 解析几何的代数表达: 将几何图形与代数方程联系起来,学习直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本平面曲线的方程及其性质。重点掌握点到直线、点到平面的距离公式,以及两直线、直线与圆等的位置关系。 概率与统计: 概率的随机世界: 讲解古典概型、几何概型,以及条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等。重点在于理解概率的意义,掌握事件的关系,并能解决实际问题中的概率计算。 统计的描述与推断: 学习数据的收集、整理、描述(均值、方差、标准差等)和分析。重点讲解抽样方法、统计图表(直方图、箱线图等)的应用,以及统计推断的基本思想(点估计、区间估计、假设检验)。 模块二:数学思维的进阶训练 逻辑推理与证明: 演绎推理与归纳推理: 学习数学证明的基本逻辑结构,掌握直接证明(直接证法、反证法)和间接证明(同一法、比较法、分析法、综合法)的适用场景和方法。 数学归纳法: 深入理解数学归纳法的原理和应用,掌握使用数学归纳法证明与自然数相关的命题。 数学建模与应用: 从实际问题到数学模型: 学习如何将现实生活中的问题抽象成数学模型,包括确定变量、建立方程或不等式、选择合适的数学工具求解。 模型的分析与解释: 掌握对数学模型求解结果的解读,并将其反馈到实际问题中,评估模型的有效性。 化归与转化思想: “化未知为已知”的策略: 学习如何将复杂问题转化为相对简单的问题,例如将高次问题降次,将复杂图形转化为简单图形,将空间问题转化为平面问题等。 等价转化与构造性思想: 掌握利用等价条件进行问题转化,以及通过构造辅助元素(如辅助线、辅助角、辅助方程)来解决问题的技巧。 数形结合思想: 几何直观与代数求解的融合: 深入理解利用几何图形的直观性来分析代数问题,或利用代数方法来解决几何问题。重点讲解函数图像与方程根、不等式解集的关系,以及解析几何在解决几何问题中的应用。 分类讨论思想: 穷尽所有可能的情况: 学习在面对具有多种可能性的问题时,如何进行科学的分类,确保不遗漏,不重复,并对每一种情况进行独立分析和求解。 模块三:高阶数学概念与方法(部分涉及) 集合论基础: 深入理解集合的概念、运算(并、交、补、差)、关系(子集、真子集、相等)及其在数学中的应用。 极限与连续: 引入数列极限和函数极限的概念,理解连续性的基本思想,为微积分的学习打下基础。 导数与积分初步: (此部分根据读者接受程度,可能为选修或初步介绍)介绍导数的几何意义和物理意义,以及简单函数的求导法则。初步了解积分的概念和基本应用(如求面积)。 线性代数初步(矩阵、向量空间等概念的初步介绍): 介绍向量的基本概念、运算,以及矩阵的意义和简单运算,为解决多变量问题提供新的视角。 三、 学习方法指导 主动思考,而非被动接受: 阅读过程中,遇到概念、定理,先尝试自己理解,再对照书本;遇到例题,先独立思考解题思路,再对照解析。 动手实践,勤于练习: 每章后配有大量精心设计的练习题,覆盖基础题、中等题和难题,旨在巩固知识,提升能力。鼓励读者多动笔,多尝试。 反思总结,建立联系: 做完练习后,及时回顾错题,分析错误原因,总结解题思路和方法。尝试将不同章节的知识点联系起来,形成知识网络。 善用工具,辅助学习: 鼓励读者利用几何画板、函数绘图软件等工具,可视化数学概念和关系,加深理解。 交流讨论,共同进步: 鼓励读者与同学、老师或在线社区进行交流讨论,分享解题心得,解决疑难问题。 四、 适用人群 初高中学生: 帮助学生夯实数学基础,建立良好的数学思维习惯,为中考、高考数学备考打下坚实基础。 中学数学教师: 作为教学参考和教研素材,帮助教师深化对数学知识的理解,掌握更有效的教学方法,提升课堂教学质量。 准备教师资格考试及相关专业考试的考生: 提供系统、全面的数学知识复习,帮助考生顺利通过考试。 对数学有浓厚兴趣的各类学习者: 引导读者深入探索数学世界的奥秘,提升数学素养和逻辑思维能力。 五、 结语 数学是一门充满逻辑美和抽象智慧的学科。掌握数学,不仅是为了应对考试,更是为了培养一种解决问题的能力,一种分析世界的思维方式。本书的编写,正是希望能够成为您探索数学奥秘、提升数学思维的得力助手。我们相信,通过系统的学习和不懈的努力,您一定能在数学的世界里,找到属于自己的精彩。 本书不包含以下内容: 任何特定年份(如2018年)的考试大纲、考点分析、真题解析。 特定地区(如福建省)的教师招聘考试相关的政策、报考指南、招聘信息。 针对特定考试的应试技巧、模板、押题预测。 非数学学科的教育学、心理学、公共知识等内容。 关于教师职业道德、教育法律法规等方面的知识。 本书专注于数学学科专业知识的深度讲解与思维能力的培养,旨在为读者提供一套高质量、系统化的数学学习资源。