实变函数解题指南(第2版21世纪数学规划教材)/数学基础课系列 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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周民强 著

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• 实变函数
• 数学分析
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• 微积分
• 函数

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301294154

版次：2

商品编码：12363706

包装：平装

丛书名： 21世纪数学规划教材·数学基础课系列

开本：32开

出版时间：2018-04-01

用纸：胶版纸

页数：360

字数：332000

编辑推荐

　　实变函数是学习近代分析数学的基础课程。为了适应现今大部分学校的课时安排，并设法降低学生学习实变函数课程的难度，作者于2016年对《实变函数论》一书进行了改版。在过去的一段时间，为了配套新的教材，作者针对这本习题指导进行了大量的调整和修改。
这一版的修改，主要目的是适当降低本书的难度、让更多不同层次的读者可以按本书来进行习题练习。因此，这一版的修改主要集中在以下两方面：一、去掉了每一节的“基本内容”。由于这些内容和教材中是完全重复的，作者认为没有必要在本书中重复叙述；二、对习题进行了调整。很多读者曾表示习题难度过大，因此作者在这一版中删去了一些习题，并对现有习题根据难易程度调整了顺序，这样更方便读者根据自己的实际水平进行练习。

内容简介

　　《实变函数解题指南（第二版）》是实变函数课程的学习辅导用书，其内容是在作者编写的普通高等教育“九五”教育部重点教材《实变函数论》（北京大学出版社，2001年）的基础上添加新题目后整理而成。全书共分六章，内容包括：集合与点集，Lebesgue测度，可测函数，Lebesgue积分，微分与不定积分，Lp空间等。
　　本次修订，主要添加了一些比较简单、利于学生掌握的习题，删去了许多过难的内容。同时，为了控制篇幅，删去了与配套教材中重复的知识内容。

作者简介

　　周民强，北京大学数学系函数论教研室主任、教授。曾任《数学学报》、《数学通报》杂志编委、副主编。北京市自学考试命题委员等职。
　　1956年大学毕业，从事调和分析（实变方法）的研究工作，并担任数学分析、实变函数、泛函分析、调和分析等课程的教学工作四十余年，具有丰富的教学经验。

目录

目录


第一章集合与点集



§1.1集合


1.1.1集合的概念与运算


1.1.2集合间的映射与集合的基数


§1.2点集


1.2.1Rn中点与点之间的距离与点集的极限点



1.2.2Rn中的基本点集： 闭集、开集


1.2.3Borel集、点集上的连续函数


1.2.4Cantor集

1.2.5点集间的距离




第二章Lebesgue测度


§2.1点集的Lebesgue外测度


§2.2可测集与测度


§2.3可测集与Borel集


§2.4正测度集与矩体的关系


§2.5不可测集


§2.6连续变换与可测集




第三章可测函数


§3.1可测函数的定义及其性质


§3.2可测函数列的收敛


§3.3可测函数与连续函数的关系


§3.4复合函数的可测性


§3.5等可测函数




第四章Lebesgue积分


§4.1非负可测函数的积分


§4.2一般可测函数的积分


§4.3控制收敛定理


§4.4可积函数与连续函数的关系


§4.5Lebesgue积分与Riemann积分的关系



§4.6重积分与累次积分的关系



第五章微分与不定积分



§5.1单调函数的可微性


§5.2有界变差函数


§5.3不定积分的微分


§5.4绝对连续函数与微积分基本定理



§5.5分部积分公式与积分中值公式



§5.6R上的积分换元公式



第六章Lp空间


§6��1Lp空间的定义与不等式


§6��2Lp空间的结构

§6.3L2内积空间

§6.4Lp空间的范数公式

《实变函数论：概念、方法与应用》 简介 实变函数论是现代数学分析的基石，也是通往更高等数学领域（如泛函分析、偏微分方程、概率论、微分几何等）不可或缺的桥梁。它系统地研究实数集上的函数，特别是那些具有良好分析性质的函数，如可测函数、积分函数和连续函数。本书旨在提供一个清晰、透彻且具有启发性的实变函数论学习体验，不仅涵盖了该领域的核心理论，更注重理解这些概念的内在联系、发展脉络以及它们在各个数学分支中的实际应用。 本书的目标读者包括但不限于数学专业的本科生、研究生，以及对实变函数论有深入需求的科研人员和工程技术人员。我们力求用严谨而易于理解的语言，引导读者掌握实变函数论的精髓，培养解决复杂数学问题的能力。 核心内容与特色 第一部分：预备知识与基础概念 在深入探讨实变函数论之前，我们首先回顾并系统地梳理了学习本书所需的基础数学知识。这包括： 实数系的性质： 深入讨论实数系的完备性、拓扑性质（开集、闭集、稠密集、康托尔集等），以及度量空间的基本概念。理解实数集的精细结构是后续讨论的基础。 集合论基础： 重点介绍集合运算、映射、计数法（可数集与不可数集）、基数等概念。特别是可测集合的构造，为Lebesgue测度的引入奠定基础。 拓扑空间初步： 介绍拓扑空间的基本定义，如邻域、开集、闭集、紧集、连通集等，以及它们在实数集上的具体体现。这有助于抽象化思考，并为理解更一般的度量空间和拓扑空间打下基础。 序列与极限： 严格定义序列的收敛性，包括点态收敛和一致收敛，并探讨它们之间的关系及其在函数空间中的重要性。 第二部分：测度论——构建新的积分世界 测度论是实变函数论的核心内容之一，它提供了一种比黎曼积分更为强大和普适的积分理论——Lebesgue积分。本部分将带领读者逐步构建这一理论： 外测度与Carathéodory构造： 从一个直观的外测度概念出发，通过Carathéodory定理，严谨地构造出Lebesgue测度。我们将详细讨论测度空间的性质，如可数可加性、单调性等，并分析一些常见的测度（如长度测度、面积测度）。 可测集与可测函数： 给出可测集的精确定义，并分析可测集的性质，如可测集的交、并、差等运算仍保持可测性。在此基础上，定义可测函数，并探讨可测函数的性质，例如它们的和、积、复合等仍是可测函数。我们将重点分析单调函数、阶梯函数、连续函数作为可测函数的例子，并引入Borel集和Baire集的概念。 Lebesgue积分的构造与性质： 详细介绍Lebesgue积分的构造过程，从非负可测函数到一般可测函数。重点讨论Lebesgue积分的优越性，包括其强大的收敛定理： 单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem)： 解释了单调递增的可测函数序列的极限函数是否可积，以及积分能否交换。 Fatou引理 (Fatou's Lemma)： 揭示了可测函数序列的积分与极限积分之间的不等式关系。 控制收敛定理 (Dominated Convergence Theorem)： 这是Lebesgue积分理论中最重要且应用最广泛的定理之一，它允许在特定的条件下交换积分和极限。我们将通过大量实例来展示其强大威力。 积分收敛定理 (Uniform Integrability) 和Lp空间： 进一步探讨积分收敛的条件，并引入Lp空间的概念，这是泛函分析和概率论中的重要工具。我们将讨论Lp空间的完备性（Banach空间）和一些重要的对偶空间。 不同积分的比较： 详细对比黎曼积分与Lebesgue积分的联系与区别，阐述Lebesgue积分为何能够克服黎曼积分在处理不连续函数和奇异函数时的局限性。 第三部分：度量空间与Banach空间——走向更广阔的数学视野 本部分将读者从实数集和欧几里得空间进一步提升到更抽象但更普适的度量空间和Banach空间。 度量空间： 引入度量空间的定义，并讨论其基本性质，如开球、闭球、紧性、完备性等。我们将分析常见的度量空间，如欧几里得空间、函数空间等。 Banach空间与Hilbert空间： 详细介绍Banach空间（完备的赋范线性空间）和Hilbert空间（带有内积的Banach空间）的概念。我们将讨论线性算子、有界线性算子、紧算子等，并介绍一些重要的Banach空间（如C[a,b]空间、Lp空间）和Hilbert空间（如l2空间）。 函数逼近理论： 探讨在函数空间中进行逼近的问题，如Weierstrass逼近定理的推广，以及Fourier级数在L2空间中的收敛性。 第四部分：傅立叶级数与傅立叶变换——信号处理与分析的利器 傅立叶分析是实变函数论在应用数学中最闪耀的领域之一，它揭示了函数与其频率成分之间的深刻联系。 傅立叶级数： 详细介绍周期函数的傅立叶级数展开，包括收敛性（点态收敛、L2收敛）和一致收敛。我们将深入探讨Dirichlet条件，并分析傅立叶级数在热传导、波传播等问题中的应用。 傅立叶变换： 将傅立叶级数推广到非周期函数，引入傅立叶变换及其逆变换。我们将分析傅立叶变换的性质，如线性性、卷积定理、Parseval定理等，并讨论其在信号处理、图像分析、量子力学等领域的广泛应用。 Plancherel定理与Parseval定理： 强调L2空间上傅立叶变换的保范性，以及其在积分计算中的重要作用。 第五部分：应用实例与进阶话题 为了加深读者对实变函数论理论的理解和应用，本书还包含丰富多样的应用实例和进阶话题。 概率论中的测度论： 介绍概率测度、随机变量、期望、方差等概念如何用测度论的语言来精确描述，并讨论条件期望、鞅论等高等概率论概念。 偏微分方程中的应用： 阐述Lebesgue积分和Lp空间在弱解理论、Sobolev空间中的作用，以及它们在分析PDE解的存在性、唯一性和光滑性时的关键地位。 流形上的积分： 简要介绍将测度与积分推广到流形上的思想，为微分几何和拓扑学奠定基础。 多重积分与Fubini定理： 详细讨论多重Lebesgue积分，特别是Fubini定理（或Tonelli定理），它允许在特定条件下交换积分次序，是处理多变量积分的核心工具。 学习方法与建议 本书不仅提供了理论知识，更注重培养读者的数学思维和解题能力。我们鼓励读者： 1. 循序渐进： 按照章节顺序，扎实掌握每个概念的定义和性质。 2. 主动思考： 在阅读过程中，积极思考定理的证明思路，尝试自己推导关键步骤。 3. 勤于练习： 大量的习题是检验学习成果、加深理解的有效途径。本书配有不同难度和类型的习题，旨在帮助读者巩固知识，提升解题技巧。 4. 联系实际： 关注书中提供的应用实例，思考理论知识如何在实际问题中发挥作用，激发学习兴趣。 5. 小组讨论： 与同学或同行交流讨论，互相启发，共同解决疑难问题。 结语 《实变函数论：概念、方法与应用》是一本内容丰富、结构严谨、讲解深入的教材。我们希望通过本书，能够帮助读者建立起扎实的实变函数论知识体系，为他们在未来的数学学习和研究道路上打下坚实的基础，开启通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排简直是为我量身定做的！我一直觉得实变函数这门课概念多、证明难，但这本书就像一位经验丰富的老师，总能在关键时刻点拨我。一开始我对“测度”这个概念就觉得很模糊，不知道它到底在衡量什么。但书中用“长度”、“面积”、“体积”作为直观的引入，然后逐步引申到更一般的测度概念，我才真正理解了它的本质。特别是书中对 Borel 测度、Lebesgue 测度的构建过程，详细到每一个公式和每一步推导都解释得清清楚楚，让我感觉不再是自己在孤军奋战，而是有了一个坚实的后盾。然后是关于可测函数的定义和性质，以及 Lebesgue 积分的引入。我一直对积分的黎曼定义感到有些局限，而 Lebesgue 积分的强大之处在书中得到了充分的体现。书中对单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理的证明，清晰而富有逻辑，让我理解了这些强大工具是如何运作的。还有书中对 L^p 空间和泛函分析的初步介绍，也为我打开了新的视野，让我看到了实变函数在其他数学分支中的应用。这本书的难度曲线设置得非常合理，不会一开始就让人望而却步，也不会后期突然变得过于简单。

评分☆☆☆☆☆

这本书的设计理念非常人性化，它充分考虑到了读者的学习过程。每一个章节的开始都会有一个清晰的引言，概括本章将要学习的内容，以及它们在整个课程体系中的位置。章节的结尾则会有一个总结，回顾本章的要点，并给出思考题，引导读者进一步深入思考。我特别喜欢书中对定理证明的编排方式，它通常会先给出定理的结论，然后逐步展示证明的思路和关键步骤，并在必要时提供一些辅助性的引理或推论。这种“先总后分，分步讲解”的方式，让复杂的证明变得易于理解。而且，书中还为读者提供了许多“提示”和“注意”的小方框，用来强调一些重要概念、容易出错的地方或者是一些更深层次的理解。这些细节的处理，让这本书显得格外用心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计都非常出色，让我阅读起来非常舒适。清晰的字体、合理的行距、恰当的章节划分，都为我的学习提供了良好的外部条件。书中对数学符号的运用也非常规范，并且在首次出现时都做了详细的解释，这对于初学者来说非常友好。我特别喜欢书中在引入新的概念时，都会先给出直观的解释，然后再给出严格的数学定义，这种方式让我能够更好地理解概念的本质。例如，在讲解测度时，书中先从长度、面积等直观概念入手，然后才引出测度的公理化定义。这种由具象到抽象的过渡，让我的学习过程更加自然流畅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值远不止于理论知识的传授，它更在于培养了我严谨的数学思维和解决问题的能力。书中大量的例题和习题，涵盖了从基础概念的理解到复杂定理的应用，让我能够不断地巩固和深化所学知识。我特别喜欢书中对一些经典难题的分析，作者会从不同的角度出发，提供多种解题思路，并对每种方法的优缺点进行分析，这对我启发很大。而且，书中还对一些容易出错的地方进行了详细的提示和解释，让我能够避免走弯路。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的导师，陪伴我走过了实变函数学习的道路，让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的逻辑结构非常严谨，层层递进，让我能够一步步建立起对实变函数的完整认识。从基础的集合论、拓扑论，到核心的测度论、积分论，再到应用性的泛函分析初步，每一个部分都紧密衔接，构成了一个完整的知识体系。我尤其欣赏书中在讲解测度论时，对几个重要测度的构建过程的详细阐述，例如 Lebesgue 测度、Borel 测度等。这些构建过程不仅展示了数学的严谨性，也让我对测度的性质有了更深入的理解。而且，书中对 Lebesgue 积分的讲解，也让我认识到它在处理更广泛的函数时的强大威力。那些经典的收敛定理，如单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理，书中都给出了清晰而完整的证明，让我能够深刻理解它们的含义和应用。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对数学有浓厚兴趣但基础相对薄弱的读者，一直以来对实变函数都感到有些畏惧。直到我遇到了这本书，才真正感受到了数学的魅力。书中对基本概念的解释，比如集合、函数、极限等，都做了非常详细的回顾和梳理，让我能够迅速进入学习状态。对于实变函数的核心内容，比如测度、可测集、可测函数等，书中采用了由浅入深、由具体到抽象的讲解方式。我特别喜欢书中对于 Lebesgue 测度的构造过程的详细描述，让我能够理解为什么需要 Lebesgue 测度，以及它相比于 Jordan 测度的优越性。而且，书中对 Lebesgue 积分的引入，也让我深刻体会到了它在处理更广泛的函数时的威力。那些精妙的收敛定理，如单调收敛定理、Fatou 引理和控制收敛定理，书中都给出了清晰的证明，并且还配有一些辅助性的例子，让我能够更好地理解它们的含义和应用。此外，书中还对一些重要的空间，如 L^p 空间，进行了介绍，让我对函数空间有了初步的认识。这本书的语言通俗易懂，排版清晰，让我阅读起来感到非常愉快。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受就是它的“实操性”和“指导性”。我曾经因为看其他教材而感到迷茫，不知道如何下手去解决实变函数中的问题，但这本书真的不一样。它在讲解每一个概念之后，都会紧接着给出大量的例题和习题，并且很多例题的解答都非常详尽，一步步展示了如何运用所学的知识来解决问题。我尤其喜欢书中对一些经典问题的分析，比如求解一个复杂函数的 Lebesgue 积分，或者证明一个函数的可测性。书中提供的解题思路和技巧，对我来说简直是宝贵的财富。还有就是书中对一些容易混淆的概念，比如测度与测度空间的区别，可测函数与普通函数的区别，都做了非常清晰的辨析，让我避免了不少误区。书中的附录部分，对于一些基础知识的回顾和补充，也非常实用。总的来说，这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，时刻引导我前进的方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直就像是我通往实变函数这座巍峨高峰的向导，每一个章节都仿佛是精心设计的阶梯，引领我一步步攀登。开篇的集合论基础，虽然我之前接触过一些，但作者用一种全新的视角重新审视，让我对测度、可测集这些核心概念有了前所未有的深刻理解。特别是关于不可数集和康托尔集的部分，书中提供的详细推导和直观解释，让我这个曾经望而却步的难题变得豁然开朗。然后是 Lebesgue 测度和 Lebesgue 积分，这部分绝对是实变函数的灵魂所在。作者并没有直接丢给我一大堆抽象的定义，而是循序渐进，从仿测度、外测度开始，一步步构建起 Lebesgue 测度的完整体系。当我看到书上关于测度空间公理化定义的阐述时，那种数学的严谨和简洁让我感到无比震撼。而且，作者在讲解积分部分时，采用了分步逼近的思想，从阶梯函数积分到可测函数积分，再到 Lebesgue 积分的定义，每一步都衔接得天衣无缝，让我清晰地看到了积分概念的演变和升华。我尤其喜欢书中对一些经典例子（比如狄利克雷函数）的深入剖析，这让我能够将抽象的概念与具体的例子联系起来，加深记忆和理解。总而言之，这本书不仅教授了知识，更重要的是培养了我严谨的数学思维方式，让我从“知道”变成了“理解”和“掌握”。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像一位耐心的老师，总是能够站在我的角度去思考问题。当我遇到一些难以理解的概念时，比如 Radon-Nikodym 定理，书中不仅给出了严格的数学证明，还试图用更直观的方式来解释它的含义和应用，让我能够触类旁通。书中的一些例子，比如如何构造一个非 Lebesgue 可测集，或者如何利用 Fatou 引理来证明积分的收敛性，都非常具有启发性。我特别喜欢书中在讲解一些“陷阱”性问题时的处理方式，它会提前指出这些潜在的困难，并给出相应的解决方法，让我能够有效避免犯错。而且，书中对于一些高级概念的介绍，比如紧集上的连续函数空间，都做得很清晰，为我后续的学习打下了良好的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度都让我感到惊喜。它不仅仅满足于讲解实变函数的基本理论，还触及了一些更高级的内容，比如 L^p 空间、测度的弱收敛等。这些内容虽然有些难度，但作者的讲解非常有条理，让我能够理解这些概念的来龙去脉。我尤其欣赏书中在讲解概率论与测度论联系的部分，这让我看到了实变函数更广泛的应用场景。例如，书中对于随机变量的期望和方差的 Lebesgue 积分解释，就让我对概率论有了更深刻的理解。此外，书中还对一些实变函数在傅里叶分析、泛函分析等领域中的应用进行了简要介绍，这让我对接下来的学习有了更清晰的规划。这本书的数学语言非常严谨，但又不失清晰，让我能够感受到数学的美。