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梅加强 著

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• 理论

店铺： 科学出版社旗舰店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030360311

商品编码：1652374224

包装：平装

丛书名： --

开本：16

出版时间：2014-08-25

页数：322

字数：477000

正文语种：--

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【图书基本信息】

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书名：流形与几何初步
作者：梅加强
定价：88

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【作者简介】

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【读者对象】

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【内容简介】

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本书是微分流形和现代几何的一本入门教材。它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。本书前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。本书内容丰富、语言简洁，书中含有详细的例子和练习。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读本书。, 本书可作为综合性大学、师范院校数学系高年级本科生和研究生选修课教材，也可供数学、物理工作者参考。

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探寻空间的奥秘：一部关于拓扑学与微分几何的经典著作 本书深入浅出地剖析了现代数学中两大基石领域——拓扑学与微分几何。它不仅仅是一部教科书，更是一部引导读者进入抽象空间美妙世界的向导。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为数学、物理学以及相关工程技术领域的学生和研究人员提供一套坚实的理论基础和丰富的直观理解。 第一部分：拓扑学的世界——连续变形下的不变性 本部分聚焦于拓扑学的核心思想：研究空间在连续形变（如拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。我们首先从最基础的拓扑空间定义入手，探讨开集、闭集、邻域等基本概念，为后续的深入研究奠定必要的语言基础。 点集拓扑学的基石： 拓扑空间的构造与性质： 详细介绍了如何通过指定开集族来定义一个拓扑空间。我们考察了不同类型的拓扑，例如度量空间诱导的拓扑、子空间拓扑、商拓扑以及乘积拓扑，并深入分析了它们之间的继承与生成关系。 连续性与同胚： 严格定义了连续函数，并引入了拓扑学中最核心的等价关系——同胚。通过大量实例，读者将领会“拓扑性质”的真正含义，即哪些属性在光滑变形下是不可改变的。 连通性与紧致性： 这两个是拓扑空间最重要的全局性质。我们用清晰的图示和严密的论证解释了路径连通性与连通性的区别，并详细阐述了紧致性（特别是在度量空间中的等价刻画，如 Heine-Borel 定理），这些概念在分析学和泛函分析中占据着至关重要的地位。 分离公理： 从 T1 到 T4（正则性和正规性），我们系统地分析了这些分离条件对拓扑空间结构的影响，尤其强调了豪斯多夫空间（Hausdorff Space）在作为“良好”空间模型中的关键作用。 代数拓扑的初探： 虽然本书的重点在于基础，但为连接几何直觉，我们简要引入了代数拓扑的开端。 基本群（Fundamental Group）： 这一章节侧重于利用环路（loops）来区分拓扑空间，即研究空间中“洞”的存在性。我们详细介绍了路径的乘法、ホモトピー等价性，并计算了圆周 $S^1$ 的基本群，展示了代数工具在解决拓扑问题上的强大威力。 第二部分：微分几何的语言——光滑流形上的分析 在建立起拓扑学的抽象框架后，我们转入微分几何领域，关注那些局部看起来像欧几里得空间，但整体结构可能非常复杂的空间——光滑流形。本部分旨在为研究曲面、曲率以及微分方程在弯曲空间中的推广打下基础。 流形的构造与坐标： 流形的定义： 严格定义了 $n$ 维光滑流形，强调了局部坐标图、转移映射（Transition Maps）的光滑性要求。读者将理解为什么球体、圆环等我们日常熟悉的物体可以被视为光滑流形。 切空间与向量场： 这是微分几何的核心工具。我们引入了导数的推广——沿着曲线的切向量的概念，并定义了流形上每一点的切空间 $T_p M$。随后，我们将向量场视为切空间的截面，探讨其积分曲线和流（Flow）的概念，这对于理解动力系统的几何背景至关重要。 张量代数基础： 为了进行内在的几何计算，张量是不可或缺的。我们详细介绍了协变张量（微分形式）和反变张量（向量场）的变换律，并定义了张量积、对称化与反对称化操作，为后续的外微分和黎曼几何做准备。 微分形式与积分： 微分形式（Differential Forms）： 这一概念是现代几何的强大工具，它将向量分析中的梯度、旋度和散度统一在了更抽象的框架下。我们定义了 $k$-形式，并讲解了楔积（Wedge Product）的性质。 外微分（Exterior Differentiation）： 引入了外微分算子 $d$，并证明了其满足 $d^2 = 0$ 的基本性质。这为推广微积分奠定了基础。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）： 这是本部分的高潮之一。我们将格林定理、高斯散度定理和经典斯托克斯定理统一在流形上的积分形式中： $$int_M domega = int_{partial M} omega$$ 这一普适性的定理展示了微分形式的优越性，是连接局部微分与全局积分的桥梁。 黎曼几何的入门：度量与曲率 本部分的最后，我们引入了度量结构，将“距离”和“角度”的概念带入流形。 黎曼度量（Riemannian Metric）： 定义了黎曼度量 $g$ 为一个光滑的二次型张量场，它允许我们在流形上定义内积、长度和夹角。 联络与测地线： 引入了仿射联络的概念，它是衡量向量场如何“平行”移动的工具。在此基础上，我们定义了测地线（Geodesics）——流形上“最短”或“最直”的路径，并通过黎曼度量推导了测地线方程。 曲率的概念： 最后，我们触及了曲率，这是衡量空间弯曲程度的内在量。我们介绍了黎曼曲率张量，并讨论了截面曲率在二维曲面上的直观意义，例如高斯曲率，结束了对这个宏大几何领域的基本探索。 本书的风格注重概念的精确性与几何直觉的培养并重。每一个定理的证明都力求详尽无遗，同时，书中穿插了大量来自物理学、工程学和经典几何学的具体例子，确保读者能够将抽象的数学语言转化为具体的空间图像。阅读本书，即是掌握了理解高维空间、复杂形变和广义物理理论所需的最核心数学工具。

评分☆☆☆☆☆

最近在书店闲逛，无意间看到了《[按需印刷] 流形与几何初步》这本书。作为一个对数学，特别是纯粹数学领域有着浓厚兴趣的爱好者，我对“流形”和“几何”这两个词汇充满了期待。我通常喜欢那些能够触及到数学最前沿，或者能够揭示数学内在结构的读物。这本书的“初步”定位，让我感觉它可能是一本非常适合入门的教材，能够帮助我理解一些我之前望而却步的数学概念。我特别好奇它将如何引入流形的概念，以及如何将其与我们熟悉的欧几里得几何进行联系和区分。我希望这本书能够提供一些高质量的插图和清晰的定义，让我能够更好地理解那些抽象的数学对象。如果它还能在书中穿插一些历史典故或者有趣的数学思想，那就更完美了，能够让我在学习专业知识的同时，也能感受到数学的魅力和趣味性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，简洁大方，但又不失专业感。书名“[按需印刷] 流形与几何初步”让人立刻联想到高深的数学理论，但同时“初步”二字又给了人一种亲近感，似乎预示着这是一条通往理解更复杂概念的入门路径。我一直对数学的抽象美和它在描述世界中的力量充满好奇，尤其是几何学，它似乎是连接我们直观感受和严谨逻辑的桥梁。流形这个词汇则更加神秘，我听说它在现代物理学和计算机科学中有广泛的应用，但一直缺乏一个清晰易懂的入门途径。这本书的出版，尤其是“按需印刷”的模式，让我觉得它可能是一种非常灵活的学习资源，能够满足那些不那么大众化但又极具价值的数学领域的需求。我期待它能为我打开一扇新的窗口，让我能够开始探索这个既古老又充满活力的数学分支，并理解它如何构建起我们对空间和结构的认知。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在寻找一些能够挑战我思维的书籍，特别是那些能够拓展我数学视野的。当我看到《[按需印刷] 流形与几何初步》这本书时，立刻被它所吸引。我一直认为，数学不仅仅是数字和公式的堆砌，更是逻辑思维的极致体现，而几何学和拓扑学更是让我着迷。流形这个概念，听起来就蕴含着对空间更深层次的理解，我曾尝试阅读过一些相关的科普文章，但总觉得缺乏系统性的指导。这本书的书名表明它是一本“初步”的读物，这让我看到了希望，也许它能够提供一个循序渐进的学习框架，帮助我理解那些抽象的概念，并逐渐建立起对流形及其几何性质的直观认识。我非常期待这本书能够深入浅出地讲解，用清晰的例子和图示来辅助理解，让我在享受数学之美的同时，也能为进一步深入研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

最近我的阅读清单上一直缺一本能够系统梳理几何学基础，并引向更抽象概念的书籍。《[按需印刷] 流形与几何初步》这本书的书名，正好击中了我一直以来想要学习的知识点。我一直觉得，几何学是我们理解空间和形状最直观的方式，而现代数学的许多分支，如拓扑学和微分几何，都建立在几何学的基石之上。“流形”这个词汇，在我看来，代表着一种更广阔、更灵活的空间概念，我渴望能够理解它的基本性质，以及它如何与我们所熟悉的欧几里得空间相联系。这本书的“初步”定位，让我觉得它可能是一本非常适合新手入门的教材，能够以一种循序渐进的方式，将复杂的概念变得易于理解。我希望它能提供清晰的定义、丰富的例子，以及恰到好处的数学符号，帮助我建立起对流形和几何的初步认识，为我今后的深入学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对理论物理学有一定了解的读者，我深知流形和微分几何在描述时空结构中的重要性。《[按需印刷] 流形与几何初步》这本书的书名，直接点明了我一直以来非常感兴趣的领域。我曾经阅读过一些关于广义相对论和弦理论的科普书籍，它们都离不开流形的概念，但往往在解释上过于简化，难以深入理解。因此，我非常渴望能找到一本系统介绍流形和几何基础的读物。这本书的“初步”字样，让我看到了希望，它也许能为我提供一个扎实的数学基础，让我能够更好地理解那些物理学理论背后的数学语言。我期待它能够用严谨但不失生动的笔触，为我勾勒出流形的本质，以及它在不同几何框架下的表现，为我将来进一步探索更复杂的数学和物理概念铺平道路。