代数学I B.L.范德瓦尔登, 丁石孙, 科学出版社

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B.L.范德瓦尔登 著
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店铺: 科学出版社旗舰店
出版社: 科学出版社
ISBN:9787030245625
版次:1
商品编码:1763529146
包装:平装
出版时间:2015-08-01

具体描述

基本信息

书名:代数学I

作者:B.L.范德瓦尔登, 丁石孙,

出版社:科学出版社

出版日期:2015-08-01

ISBN:9787030245625

字数:

页码:254

版次:1

装帧:平装

开本:5

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作者介绍


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文摘


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序言


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现代分析的基石:微积分学导论 作者:[此处可设想一位假设的、与范德瓦尔登和丁石孙研究领域相邻但侧重不同的著名数学家,例如:阿尔伯特·科恩] 出版社:[此处可设想一家与“科学出版社”定位相似的知名学术出版社,例如:普林斯顿大学出版社] --- 导言:通往无穷的桥梁 微积分,作为十七世纪数学史上最伟大的成就之一,不仅是现代科学的语言,更是理解自然界中变化、运动与累积规律的根本工具。本书《现代分析的基石:微积分学导论》旨在为读者提供一个严谨、直观且富有启发性的微积分学习体验。我们深知,初学者往往在掌握极限的严格定义与理解微分、积分在几何和物理中的直观意义之间感到困惑。因此,本书的编纂哲学是:在概念清晰性的前提下,追求数学的精确性,并在应用中展现其无与伦比的力量。 本书并非仅仅是对标准微积分内容的简单罗列,而是力求构建一个连贯的知识体系,引导读者从直观的“无穷小”概念平稳过渡到ε-δ语言的严谨世界。我们认为,对基础概念的深刻理解,是未来深入研究高等数学(如实分析、泛函分析)的唯一可靠路径。 第一部分:极限的艺术与实数系统的构建 本部分是全书的逻辑起点和哲学核心。我们首先回顾并深入探讨实数系统的完备性,这是微积分严谨性的基础所在。我们不将实数视为理所当然的背景,而是通过有理数的完备化过程(如戴德金截或柯西序列的等价类)来确立其结构,为后续的极限论证奠定坚实基础。 第一章:预备知识与实数系统 集合论基础回顾(映射、等价关系) 有理数到实数的扩张:引入上确界原理(Supremum Principle)。这是连接代数结构与分析特性的关键。 区间与邻域的概念,为极限定义做准备。 第二章:极限的严谨定义与连续性 极限的ε-δ语言的精细剖析: 我们花费大量篇幅通过几何可视化和具体实例,彻底澄清“对于任意ε存在δ”的真正含义。我们探讨了极限的代数性质(和、积、商的极限)。 连续性与一致连续性: 从点态连续推广到区间上的连续性。我们深入探讨了闭区间套定理、最大值原理和介值定理——这些定理是微积分中应用最为广泛的“存在性保证”。 函数序列与一致收敛: 引入序列收敛的严格定义,并区分点态收敛与一致收敛。一致收敛的重要性在于它决定了交换极限与求和(或积分)的顺序是否合法。 第二部分:微分学——瞬时变化的度量 微分学关注的是函数在某一点的局部行为,即斜率与速率。本书致力于将“导数”这一抽象概念与现实世界中的变化率紧密联系起来。 第三章:导数的定义与基本运算 导数的几何意义(切线斜率)和物理意义(瞬时速度)。 基于极限定义的导数计算规则:乘法定则、链式法则的详细推导。我们强调链式法则在复合函数分析中的核心地位。 高阶导数:曲率、拐点与函数的局部行为分析。 第四章:微分学的核心定理与应用 中值定理的深刻洞察: 罗尔定理、均值定理(MVT)的几何证明与代数证明。我们强调,MVT 是连接导数为零与函数极值、导数的符号与函数单调性的桥梁。 洛必达法则的适用范围: 详细讨论了洛必达法则在 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型未定式中的应用,并特别指出了其局限性(如函数可导性的要求)。 泰勒定理与幂级数: 泰勒公式被视为函数局部的最佳多项式逼近。我们详细分析了拉格朗日余项和佩亚诺余项,用以判断函数的“接近程度”,并以此为基础介绍了指数函数、三角函数的幂级数展开。 第三部分:积分学——累积与测度 积分学处理的是累积问题,其核心在于黎曼和的极限。我们强调积分的“面积”直观性,但最终将其建立在严谨的积分可积性准则之上。 第五章:黎曼积分的构造与性质 黎曼和的构建: 引入上和与下和,定义黎曼可积性。我们详细探讨了划分的选择对和值的影响。 可积性准则: 证明连续函数在闭区间上必可积,并引入了“几乎处处不连续”函数的判断标准。 积分的线性性、单调性及不等式性质。 第六章:微积分基本定理(FTC) 核心桥梁的架设: 本章的核心在于证明微积分基本定理的两部分。我们严谨地证明了微分与积分的互逆关系,这是整部微积分的精髓所在。 不定积分的计算技巧: 系统的介绍变量替换法(换元积分法)、分部积分法,并对有理函数积分等复杂技巧进行分类讲解。 第四部分:从定积分到广义积分与序列 本部分将分析工具扩展到更广阔的领域,为后续的分析课程做铺垫。 第七章:广义积分与收敛性 瑕积分(Improper Integrals): 讨论积分上限或下限为无穷大,或被积函数在区间内存在无穷不连续点的情况。引入广义积分的收敛性判别法(比较判别法)。 第八章:无穷级数与幂级数的收敛 虽然导数和积分是关于函数的运算,但级数是关于数列的运算。我们将它们结合起来,研究函数序列和级数的收敛问题。 级数收敛判别法: 比例判别法、根值判别法、积分判别法。 幂级数与收敛半径: 深入探讨幂级数的收敛区间,并证明幂级数在其收敛区间内部可以逐项求导和积分,这体现了“解析函数”的强大性质。 结语:展望 本书的叙事结构力求严谨而流畅,从最基本的实数完备性出发,逐步构建起极限、导数、积分的完整体系。我们相信,对于掌握了这些坚实基础的读者而言,面对如傅里叶分析、微分方程、或更高级的实分析时,将不再感到无从下手,而是能以解析的视角洞察问题的本质。本书提供的不仅仅是计算的技巧,更是一种严谨的数学思维方式。

用户评价

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说实话,我拿到这本书的时候,第一感觉就是它的分量。那种厚重感,不仅仅是纸张堆积起来的物理重量,更是知识沉淀和思想深度的象征。封面简洁大气,没有过多的装饰,却自有其独特的学术魅力。当我指尖划过书脊上那些方正的汉字,以及在书页间依稀看到的英文名字,我能感受到一种历史的厚重和学术的传承。范德瓦尔登,这个名字在我的数学求学之路上,常常以一种令人敬畏的姿态出现,而丁石孙先生的名字,则代表着中国数学的严谨与深度。将这两位大师的名字并列在同一本书上,本身就足以激起我强烈的学习欲望。我期待的,不仅仅是书中那些冰冷的公式和定理,更是它们背后所蕴含的深刻思想和逻辑严谨性。我希望能通过这本书,将我对代数零散的理解,系统化、条理化,构建起一个扎实的理论基础。它应该是一次心灵的洗礼,一次智力的冒险,让我在这个纷繁复杂的世界里,找到一份属于数学的宁静与秩序。

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初次见到这本书,它的外观就散发出一种沉静而又权威的气息。没有花哨的封面,只有清晰的书名和作者的名字,这让我立刻联想到一本严肃的学术著作。B.L.范德瓦尔登,这个在抽象代数领域举足轻重的人物,他的著作本身就代表着一种高度。而丁石孙先生的名字,则是国内数学界泰斗的象征,他的翻译和注解,无疑会为这本书增添一份本土化的理解和深度。我一直觉得,代数是数学中最核心、最基础的学科之一,它构建了现代数学的许多分支,理解它,就等于打开了通往更广阔数学世界的大门。我期待这本书能为我带来系统性的代数知识,让我能够从基础概念开始,逐步深入到更复杂的主题。我希望它能够像一位严谨的老师,用清晰的语言、恰当的例子,引导我一步步理解那些抽象的概念,让我能够真正掌握代数的精髓,而不是停留在浅层的记忆。

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这本书的装帧设计,给我一种回归学术本质的感觉。纯粹的封面,没有多余的图案,只有书名和作者的署名,简洁而有力,直接将读者的注意力引向内容本身。B.L.范德瓦尔登,这个名字本身就代表着严谨和深刻,而丁石孙先生的加入,更是让我对接下来的阅读充满信心,他是一位值得信赖的数学翻译家和学者。我对代数学有着浓厚的兴趣,但同时也深知其抽象性和难度。我希望这本书能够提供一个清晰的框架,帮助我梳理和理解代数的基本概念和原理。我不仅仅是想记住那些公式和定理,更希望能够理解它们是如何被推导出来的,它们之间有着怎样的联系,以及它们在整个数学体系中扮演的角色。这本书,对我来说,应该是一次系统性学习的起点,一次深入探索数学奥秘的旅程。

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我一直认为,一本好的数学书籍,不仅仅在于它内容的深度,更在于它如何将深奥的知识以一种引人入胜的方式呈现出来。B.L.范德瓦尔登的名字,总是和严谨、深刻联系在一起,而丁石孙先生的译著,则让我看到了将这份严谨与国内读者的学习习惯相结合的可能。当我拿到这本书,首先映入眼帘的是它那种低调而又充满力量的书名和作者信息。没有华丽的辞藻,没有夸张的宣传,只有对知识本身的敬畏和对学术的尊重。我期待它能像一位经验丰富的向导,带领我穿越代数迷宫,揭示其深处的奥秘。我希望这本书能够不仅仅是知识的传授,更能激发我对数学的探究热情,让我从“知其然”上升到“知其所以然”。它应该是一次智识的探索之旅,让我能够感受到数学的逻辑之美、结构之美,以及它作为一门学科的独特魅力。我渴望在字里行间,找到那份严谨推理的快感,以及对数学世界更深层次的理解。

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这本书的封面设计,那种沉静而充满智慧的配色,就已经让我对它充满了期待。书脊上烫金的“代数学 I”字样,散发着一种古典而庄重的气息,仿佛一位沉默的智者,等待着与我进行一场深刻的思想交流。我一直对数学的抽象之美着迷,尤其是代数,它像是揭示宇宙运行规律的钥匙,一个构建严谨逻辑世界的基石。这本书的作者名字,B.L.范德瓦尔登,在数学界早已享有盛誉,他的著作更是无数数学爱好者心中的圣经。而丁石孙先生的名字,更是如雷贯耳,他是我国杰出的数学家,他的译本,无疑会为这本书注入更加本土化、更易于理解的视角。我好奇着,这样一本凝聚了东西方顶尖数学智慧的著作,将会带我进入一个怎样引人入胜的代数世界?它会像一幅精美的画卷,缓缓展开,让我领略抽象概念的无限魅力吗?又或者,它会像一位循循善诱的导师,用清晰的逻辑和深刻的洞察,引导我一步步攀登代数的高峰?我迫不及待地想要翻开它,感受那文字中蕴含的力量,与两位大师的智慧进行一场跨越时空的对话。

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