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丘維聲 著

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店鋪： 藍墨水圖書專營店

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302446040

商品編碼：1812443815

包裝：平裝

齣版時間：2018-01-01

頁數：1

字數：1

全套2冊 高等代數學習指導書 第二版 上冊+下冊 丘維聲

高等代數學習指導書（第二版：上冊）本書是“高等代數”課程的配套輔導書，是作者在北京大學進行高等代數課程建設和教學改革的成果。

作者：丘維聲

定價：78元

印次：2-1

ISBN：9787302483670

齣版日期：2017.12.01

印刷日期：2017.12.13

 

目錄

 

 

高等代數學習指導書（第二版:上冊）

 

引言高等代數的內容和學習方法1

 

 

 

第1章綫性方程組4

 

1.1綫性方程組的解法4

 

1.1.1內容精華4

 

1.1.2典型例題6

 

1.1.3提高10

 

習題1.112

 

 

1.2綫性方程組的解的情況及其判彆準則13

 

1.2.1內容精華13

 

1.2.2典型例題15

 

習題1.219

 

 

1.3數域21

 

1.3.1內容精華21

 

1.3.2典型例題22

 

習題1.323

 

補充題一23

 

 

 

第2章行列式24

 

2.1n元排列25

 

2.1.1內容精華25

 

2.1.2典型例題25

 

習題2.127

 

 

2.2n階行列式的定義28

 

 

2.2.1內容精華28

 

2.2.2典型例題30

 

習題2.231

 

 

2.3行列式的性質33

 

2.3.1內容精華33

 

2.3.2典型例題34

 

習題2.338

 

 

2.4行列式按一行（列）展開40

 

2.4.1內容精華40

 

2.4.2典型例題42

 

習題2.453

 

 

2.5剋拉默（Cramer）法則57

 

2.5.1內容精華57

 

2.5.2典型例題59

 

習題2.562

 

2.6行列式按k行（列）展開63

 

2.6.1內容精華63

 

2.6.2典型例題66

 

習題2��668

 

補充題二69

 

 

 

 

第3章n維嚮量空間Kn72

 

3.1n維嚮量空間Kn及其子空間73

 

3.1.1內容精華73

 

3.1.2典型例題76

 

習題3.179

 

 

3.2綫性相關與綫性無關的嚮量組80

 

3.2.1內容精華80

 

3.2.2典型例題83

 

習題3.291

 

...

 

 

 

高等代數學習指導書（第二版：下冊）名師力作，用心閱讀此書，有助於您在高等代數理論上和科學思考能力上得到進一步提升。

作者：丘維聲

定價：96元

印次：2-1

ISBN：9787302446040

齣版日期：2016.08.01

印刷日期：2016.08.19

 

第7章 一元和n元多項式環……………………………………………………………… 1

 

7.1 一元多項式環……………………………………………………………………… 1

 

7.2 整除關係,帶餘除法……………………………………………………………… 13

 

7.3 &大公因式……………………………………………………………………… 22

 

7.4 不可約多項式,唯一因式分解定理……………………………………………… 37

 

7.5 重因式…………………………………………………………………………… 43

 

7.6 一元多項式的根,復數域上的不可約多項式…………………………………… 49

 

7.7 實數域上的不可約多項式,實係數多項式的實根……………………………… 68

 

7.8 有理數域上的不可約多項式…………………………………………………… 79

 

7.9 n元多項式環…………………………………………………………………… 95

 

7.10 n元對稱多項式……………………………………………………………… 109

 

*7.11 結式…………………………………………………………………………… 127

 

7.12 域與域上的一元多項式環…………………………………………………… 142

 

補充題七……………………………………………………………………………… 169

 

第8章 綫性空間………………………………………………………………………… 173

 

8.1 域F 上綫性空間的基與維數………………………………………………… 174

 

8.2 子空間及其交與和,子空間的直和…...

《高等代數新視野》 （一）本書內容概要 本書旨在為學習高等代數（通常指大學本科階段涉及綫代、多項式、群、環、域等內容）的學生提供一個深入理解和掌握核心概念的全新視角。我們摒棄瞭僅僅羅列定理和證明的傳統模式，而是著重於揭示高等代數思想的形成過程、內在邏輯聯係以及在解決實際問題中的強大生命力。本書內容涵蓋： 嚮量空間的抽象之美： 從幾何直觀齣發，逐步引入綫性無關、基、維數等核心概念，並通過豐富的實例，展現嚮量空間在幾何、物理、工程等領域的廣泛應用。我們將深入探討綫性變換的本質，理解其矩陣錶示背後的深刻含義，並講解特徵值、特徵嚮量在係統穩定性分析、數據降維等方麵的作用。 多項式世界的奧秘： 本部分將帶領讀者探索多項式的基本性質、整除性、根的分布等。我們將詳細講解多項式的分解理論，包括不可約多項式、最小多項式，以及它們在數域擴張、伽羅瓦理論等高等數學分支中的關鍵作用。此外，還會觸及數域的構造與性質，為理解抽象代數奠定基礎。 代數結構的探索： 在此基礎上，本書將正式引入抽象代數的概念，包括群、環、域等代數結構。我們將詳細闡述它們的定義、基本性質以及常見的例子（如對稱群、整數環、有理數域等）。通過對這些結構的深入分析，讀者將能理解數學對象的共性和普遍性規律，為進一步學習更高級的數學理論打下堅實基礎。 理論聯係實際的橋梁： 本書特彆強調理論與實踐的結閤。每章節都配有精心設計的例題和習題，這些題目不僅能幫助讀者鞏固所學知識，更能引導讀者思考如何將抽象的代數工具應用於解決實際問題。我們將展示高等代數在密碼學、編碼理論、計算機科學、優化問題等現代科技領域的實際應用案例，激發讀者的學習興趣和探索欲望。 （二）本書特色與亮點 1. “為什麼”與“怎麼做”並重： 不同於許多僅側重“怎麼做”的教材，本書深入挖掘高等代數概念提齣的曆史背景和思想源泉，幫助讀者理解“為什麼”這些概念是這樣定義的，“為什麼”它們是如此重要。這種探究式的學習方法，能顯著提升學習者的理解深度和知識的融會貫通能力。 2. 概念的層層遞進與邏輯清晰： 本書的知識體係構建遵循由淺入深、由具體到抽象的原則。每一個新概念的引入都建立在先前知識的基礎上，並通過清晰的邏輯鏈條與之關聯，力求使讀者在學習過程中感受到知識的自然流動和內在一緻性。 3. 幾何直觀與代數運算的有機結閤： 對於綫代等內容，本書特彆注重幾何直觀的引導，將抽象的代數運算與嚮量空間、綫性變換的幾何意義緊密聯係起來。例如，通過對嚮量投影、法嚮量、鏇轉等幾何概念的分析，加深對矩陣乘法、行列式等代數運算的理解。 4. 豐富多樣的例題與習題： 本書的例題設計旨在突齣核心概念的應用，從基礎運算到復雜證明，力求涵蓋不同難度和類型的題目。習題部分則力求全麵，包括概念辨析、計算驗證、證明推導以及部分具有探索性和挑戰性的題目，以滿足不同層次讀者的需求。部分習題還會給齣提示或簡要思路，幫助讀者剋服睏難。 5. 數學史的滲透與人文情懷： 在恰當的時機，本書會穿插一些與高等代數相關的數學傢小傳、重要定理的發現曆程等內容，讓讀者在學習知識的同時，也能感受到數學發展的曆史脈絡和先賢們的智慧光輝，培養對數學的人文關懷。 6. 麵嚮未來的視角： 在對經典理論進行係統闡述的同時，本書也會適當展望高等代數在當前和未來科技發展中的重要地位和潛在應用，例如在人工智能、大數據分析、量子計算等前沿領域的角色，以激發讀者對數學更深層次的探索興趣。 （三）適閤讀者群體 數學專業本科生： 作為高等代數課程的輔助學習材料，本書能幫助學生更深入地理解教材內容，拓展解題思路，提升數學思維能力。 其他理工科專業本科生： 對於需要學習高等代數作為基礎課程的非數學專業學生，本書提供瞭更直觀、更具啓發性的學習路徑，幫助其快速掌握核心概念並理解其應用價值。 研究生入學考試備考生： 本書的係統性、深入性以及對核心概念的強化講解，對準備相關專業研究生入學考試的考生具有極高的參考價值。 對高等代數有濃厚興趣的自學者： 任何希望係統學習或深入理解高等代數理論的自學者，都能從本書的嚴謹又不失趣味的闡述中獲益。 （四）學習建議 1. 循序漸進，打牢基礎： 務必按照章節順序進行學習，確保每個概念都理解透徹後再進入下一部分。 2. 勤於思考，多做練習： 數學學習離不開動手實踐，認真完成書中的例題和習題，並嘗試舉一反三。 3. 聯係幾何，加深理解： 在學習綫性代數時，積極利用幾何圖形來幫助理解抽象的代數概念。 4. 追溯本源，探究思想： 嘗試理解每個概念産生的背景和邏輯，而不是死記硬背定義和定理。 5. 廣泛閱讀，拓展視野： 除瞭本書，也可參考其他相關書籍和文獻，從不同角度獲取對高等代數知識的理解。 《高等代數新視野》緻力於成為您在高等代數學習旅程中的一位忠實而睿智的夥伴，引導您領略數學世界的嚴謹與美妙，掌握分析與解決問題的強大工具。

評分☆☆☆☆☆

“矩陣論”部分是高等代數的核心內容之一，也是許多同學學習的難點。丘維聲先生的原著在這部分的內容深度和廣度上都非常可觀。而這本學習指導書，則在此基礎上，為我們提供瞭一個更加清晰的學習路徑。它並沒有迴避原著的深度，而是巧妙地將復雜的概念進行分解和梳理。例如，在講解矩陣的秩時，指導書不僅給齣瞭多種計算方法，更深入地闡釋瞭秩的幾何意義——它代錶瞭矩陣所對應的綫性變換能夠“張成的空間”的維度，以及它與方程組解的個數之間的深刻聯係。對於矩陣的特徵值和特徵嚮量，指導書的處理更是細緻入微，它不僅詳細講解瞭計算方法，還深入探討瞭特徵值和特徵嚮量的幾何意義，以及它們在矩陣對角化、綫性係統穩定性分析等方麵的應用。我尤其欣賞指導書中對相似矩陣和特徵值關係的講解，它清晰地展示瞭相似變換如何保持特徵值不變，這對於理解矩陣的本質屬性至關重要。

評分☆☆☆☆☆

提到《高等代數》中的“行列式”章節，相信很多同學都會感到頭疼。它的定義繁復，計算量巨大，而且性質眾多，常常讓人記不住，也用不好。然而，這本學習指導書卻給瞭我全新的視角。它並非直接羅列定義和性質，而是從行列式的幾何意義——空間體積的伸縮因子——齣發，循序漸進地引入瞭代數定義。這種“知其所以然”的學習方式，讓我不再覺得行列式是枯燥的符號遊戲，而是與空間幾何緊密相連的有力工具。指導書對行列式計算的技巧講解也極其到位，它不僅提供瞭常用的方法，如行變換、列變換、代數餘子式展開等，更重要的是，它深入分析瞭這些方法的適用場景以及如何選擇最優策略，大大提高瞭我的計算效率。書中還對行列式的各項重要性質進行瞭深入的推導和闡釋，每一個步驟都清晰明瞭，邏輯嚴密，讓我能夠真正理解這些性質的由來，而非死記硬背。我尤其喜歡書中對 Cramer 法則的講解，它不僅僅給齣瞭公式，還解釋瞭其背後的思想，以及它在某些特定情況下的應用局限性。

評分☆☆☆☆☆

“張成、基與維數”是理解綫性空間結構最核心的概念。在丘維聲先生的原著中，這部分的內容非常精煉，但對於初學者來說，可能需要更多的引導。這本學習指導書恰恰彌補瞭這一點。它從最基本的嚮量組的綫性組閤開始，逐步引導讀者理解“張成”的概念，即一個嚮量組能夠“生成”的子空間。接著，指導書清晰地闡釋瞭“綫性無關”的含義，即一個嚮量組中不存在冗餘的嚮量。最終，通過將這兩個概念結閤，它完美地引齣瞭“基”的概念——一個綫性無關的嚮量組，並且它能夠張成整個空間。指導書對“維數”的講解也十分到位，它強調瞭維數是空間的內在屬性，與基的選擇無關。書中大量的例題，涵蓋瞭從二維、三維空間到更高維度的各種情況，幫助我牢固掌握瞭如何求一個嚮量空間的一組基以及確定其維數。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學係的本科生，我曾經被“包郵高等代數學習指導書第二版 上下冊 高等代數 丘維聲”這本書深深吸引。丘維聲先生的《高等代數》本來就是經典中的經典，其嚴謹的邏輯、深刻的洞察力以及宏大的體係早已令我敬佩。然而，當我拿到這本學習指導書時，我纔真正領略到，原來理解和掌握如此深奧的數學理論，還可以有如此循序漸進、撥雲見日的路徑。這本書不僅僅是習題的解答，它更像是一位經驗豐富的導師，耐心細緻地引導我一步一步走嚮真理的殿堂。 指導書在“綫性空間與綫性變換”這一章節的處理上，著實讓我眼前一亮。原著中抽象的概念和復雜的證明，初讀之下確實令人望而生畏。但在這本指導書中，作者通過大量精選的例題，從最基礎的嚮量空間入手，層層遞進，將綫性空間的定義、性質、基、維度等核心概念，用通俗易懂的語言和形象的比喻一一闡釋。例如，在解釋綫性無關和基的概念時，指導書巧妙地將它們與實際生活中的“不重復的描述”和“最精簡的說明”類比，一下子就拉近瞭抽象概念與我的認知距離。更讓我驚喜的是，書中對綫性變換的講解，不僅僅停留在定義和計算層麵，而是深入剖析瞭其幾何意義和代數結構，比如通過矩陣錶示、核與像空間、特徵值與特徵嚮量等，為我構建瞭一個清晰而立體的理解框架。每一道例題的解析都詳盡無比，不僅僅給齣答案，更重要的是詳細地展示瞭思考過程、解題思路，甚至包括瞭可能齣現的誤區和需要注意的細節，讓我受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

“二次型”作為高等代數中的一個重要且相對獨立的章節，常常讓初學者感到睏惑。其定義、化簡方法、正定性判斷等概念，都顯得比較抽象。這本學習指導書在這一部分的講解，可以說是“化繁為簡”的典範。它首先從幾何角度，將二次型與橢圓、雙麯綫等二次麯綫和二次麯麵聯係起來，使得抽象的代數錶達式立刻有瞭直觀的幾何形象，大大降低瞭理解門檻。接著，指導書係統地介紹瞭將二次型化為標準型的各種方法，包括正交變換法和配方法，並且對每種方法的原理、步驟、優缺點都做瞭詳細的比較和分析。最讓我印象深刻的是，指導書中對於如何判斷二次型的正定性，提供瞭多種判彆方法，如 Sylvester 判據、特徵值法等，並結閤大量的實例，演示瞭如何靈活運用這些方法。書中的每一個例題都精心設計，從簡單到復雜，層層遞進，幫助我鞏固知識，掌握技巧。

評分☆☆☆☆☆

“嚮量組的綫性相關與綫性無關”是理解嚮量空間和綫性映射的基礎，也是許多後續知識點的基石。丘維聲先生的原著在這部分的內容深度和嚴謹性上都堪稱典範，但對於初學者而言，可能存在一定的理解難度。這本學習指導書的齣現，無疑為我們打開瞭一扇理解的窗戶。它並沒有簡單地羅列定義，而是從“嚮量組能否用其中一部分嚮量錶示”這一直觀的問題入手，層層遞進地引齣瞭綫性相關和綫性無關的概念。指導書通過大量的幾何類比，例如二維空間中的點共綫、三維空間中的點共麵，幫助讀者建立起對這些抽象概念的直觀認識。更重要的是，指導書深入地分析瞭判定嚮量組綫性相關與否的各種方法，包括通過行階梯矩陣、利用行列式等，並且對每種方法的原理和適用範圍進行瞭詳細的闡釋。我尤其喜歡書中對“極大綫性無關組”的講解，它清晰地揭示瞭綫性無關組在嚮量空間生成子中的“骨架”作用，以及它與基的概念之間的緊密聯係。

評分☆☆☆☆☆

“多項式的根與因式分解”是高等代數中的另一個經典主題，它涉及到復數、域、代數閉包等深奧的概念。這本學習指導書在處理這一部分時，展現瞭其獨到的教學智慧。它沒有一開始就拋齣抽象的代數閉包理論，而是從實數域和復數域上多項式的根的性質入手，逐步引入瞭代數基本定理。指導書通過大量的例子，生動地展示瞭如何利用多項式的性質，如韋達定理、因式定理等，來求解多項式的根以及進行因式分解。我特彆欣賞書中對“環”和“域”這兩個抽象代數結構的初步介紹，它為理解多項式的根的性質提供瞭必要的代數背景，並且為後續學習更高級的代數理論打下瞭基礎。書中對多項式在不同域上的因式分解的比較分析，也讓我深刻體會到瞭域的性質對多項式性質的影響。

評分☆☆☆☆☆

“置換與群”是抽象代數的核心內容之一，也是許多數學分支的基石。這本學習指導書在這一部分的講解，堪稱“化抽象為具象”的傑作。它並沒有一開始就引入抽象的群定義，而是從“置換”這一具體的數學對象入手，通過置換的復閤運算，自然而然地引齣瞭群的概念。指導書用大量的生動例子，解釋瞭群的封閉性、結閤律、單位元和逆元等基本性質，並通過對對稱群、循環群等具體群的研究，幫助讀者建立起對群這一抽象結構的直觀認識。我尤其喜歡書中對“子群”、“陪集”以及“正規子群”的講解，它通過具體的例子，將這些抽象的概念形象化，並且闡明瞭它們在研究群結構中的重要作用。這本書的講解方式，讓我對抽象代數不再感到畏懼，而是充滿瞭探索的興趣。

評分☆☆☆☆☆

“內積空間”是歐幾裏得空間的一種推廣，它引入瞭“長度”和“角度”的概念，使得幾何直觀與代數運算更加緊密地結閤。丘維聲先生的原著在這部分對內積的定義、性質以及其推導齣的重要概念，如正交性、度量張量等，都有深刻的闡述。這本學習指導書在此基礎上，為我們提供瞭更易於理解的學習路徑。它首先通過對嚮量點積的類比，直觀地引入瞭內積的概念，並且詳細講解瞭內積的各種性質，如綫性性、對稱性（或共軛對稱性）以及正定性。指導書對“正交基”和“標準正交基”的講解尤為精彩，它通過Schmidt正交化等方法，演示瞭如何將任意一組基轉化為正交基，並且闡明瞭正交基在簡化計算、研究嚮量投影等方麵的優勢。書中對度量張量的介紹，也讓我領略到瞭內積在不同基下的錶達形式，以及它在幾何和代數中的重要作用。

評分☆☆☆☆☆

“綫性方程組”是高等代數中最基礎也是最重要的概念之一。雖然概念看似簡單，但其背後蘊含的深刻理論，以及與矩陣、嚮量空間等概念的緊密聯係，往往讓初學者感到迷茫。這本學習指導書在這部分的處理，可以說是“化抽象為具體”的絕佳範例。它沒有停留在僅僅求解方程組的機械方法上，而是從嚮量的綫性組閤、嚮量空間的生成子空間等角度，深刻地揭示瞭綫性方程組解的存在性和唯一性條件的幾何和代數意義。指導書通過大量精心設計的例題，引導讀者理解係數矩陣的秩、增廣矩陣的秩與解的數量之間的關係，以及自由變量和基本變量的概念。我特彆喜歡書中對高斯消元法和初等行變換的講解，它不僅僅是展示瞭操作步驟，更深入地分析瞭每一步變換的原理，以及為何它能夠保持方程組的解集不變。書中的一些例題，甚至涉及到瞭同次綫性方程組的非零解空間的維度與係數矩陣的零空間的關係，這讓我對綫性方程組的理解上升到瞭一個新的高度。