2019考研数学汤家凤考研数学全国硕士研究生招生考试线性代数辅导讲义 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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汤家凤 著

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• 考研数学
• 线性代数
• 汤家凤
• 2019
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店铺： 文都教育官方旗舰店

出版社： 原子能出版社

ISBN：9787502286675

商品编码：21776941384

开本：16开

出版时间：2017-12-05

《穿越线性之海：征服考研数学的利器》 第一章：向量空间与线性变换——搭建数学的骨架 向量空间的基石： 本章将带你深入理解向量空间的本质。我们不再满足于将向量仅仅看作是具有方向和大小的箭头，而是将其升华为一个充满结构和规律的抽象集合。我们将从基本定义出发，详细阐述向量空间的线性组合、线性无关、基与维数等核心概念。你将学会如何辨识一个集合是否构成向量空间，如何寻找向量空间的基，以及如何度量向量空间的“大小”——维度。我们将通过大量精心设计的例题，帮助你理解这些抽象概念的几何意义和代数特性，例如 $mathbb{R}^n$ 空间、多项式空间、函数空间等，让你在脑海中构建起清晰的向量空间模型。 线性变换的魔力： 在理解了向量空间之后，线性变换的引入将为你打开一扇通往更高维度数学世界的大门。我们将揭示线性变换如何将一个向量空间映射到另一个向量空间，并且保持向量加法和标量乘法的结构不变。你将学习到线性变换的充要条件，如何表示线性变换的矩阵，以及矩阵与线性变换之间的深刻联系。我们将深入探讨线性变换的核（Kernel）和像（Image），理解它们在刻画变换性质中的重要作用。通过对不同类型线性变换（如旋转、伸缩、投影）的分析，你将领略到线性变换在几何和代数领域的强大表现力，并为后续理解更复杂的数学模型打下坚实基础。 矩阵与向量空间的关系： 本章的重点之一在于揭示矩阵作为线性变换的载体，在向量空间中的具体体现。你将学习如何通过矩阵来描述和实现线性变换，以及如何通过矩阵的运算来研究线性变换的性质。我们将讲解矩阵的秩与向量空间的维数之间的关系，理解列空间、行空间和零空间如何反映矩阵的本质。通过对矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵等运算的深入剖析，你将掌握用矩阵这一强大工具来分析和解决线性代数问题的核心方法。 第二章：行列式与矩阵——解析数的精密工具 行列式的定义与性质： 行列式，作为刻画方阵“大小”和“方向”的强大工具，在本章中将得到详尽的介绍。我们将从最基本的二阶、三阶行列式开始，逐步引入n阶行列式的代数定义，并详细阐述其各项重要性质，如行（列）交换、倍乘、相加对行列式值的影响，以及行列式与矩阵可逆性的关联。你将学习到通过展开定理、行（列）变换等方法高效计算行列式，并理解行列式的几何意义——它表示由矩阵的列向量（或行向量）构成的平行多面体的有向体积。 矩阵的逆与伴随矩阵： 逆矩阵是线性方程组求解和矩阵分析的基础。本章将深入讲解矩阵可逆的充要条件，并介绍多种求解逆矩阵的方法，包括初等行变换法、伴随矩阵法等。你将深刻理解伴随矩阵的构造及其与逆矩阵的关系，掌握如何通过伴随矩阵快速求得逆矩阵。这将极大地提升你解决涉及矩阵求逆问题的能力，为后续的方程组求解和特征值分析奠定基础。 矩阵的秩与线性方程组： 矩阵的秩是衡量矩阵“有效性”的关键指标。本章将详细阐述矩阵秩的定义，并介绍通过初等行变换等方法来求解矩阵秩。更重要的是，我们将把矩阵秩与线性方程组的解的存在性及解的个数联系起来。你将学习如何利用增广矩阵的秩和系数矩阵的秩来判断线性方程组是否有解、有唯一解还是有无穷多解，并掌握求出所有解（包括通解和特解）的系统方法。这将是你解决考研数学中绝大多数线性方程组问题的核心依据。 第三章：特征值与特征向量——揭示矩阵的内在规律 特征值与特征向量的定义与计算： 特征值和特征向量是理解矩阵内在结构和性质的关键。本章将严谨地定义特征值和特征向量，并详细讲解如何通过求解特征方程来计算一个矩阵的特征值。你将学习到如何根据特征值计算对应的特征向量，并理解特征向量的几何意义——它们是经过线性变换后方向不变的向量（只发生伸缩）。我们将通过大量实例，让你熟练掌握特征值与特征向量的求解技巧。 特征值与特征向量的应用： 特征值与特征向量的应用极其广泛。本章将着重介绍它们在对角化、二次型化简等方面的应用。你将学习到如何判断一个矩阵是否可以对角化，以及如何找到相似对角矩阵。对角化不仅能简化矩阵运算，还能揭示矩阵的本质。此外，我们还将深入探讨特征值与特征向量在二次型化简中的作用，学习如何通过正交变换将二次型化为标准型，从而分析二次型的正定性等性质。 齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法： 在前几章的基础上，本章将集中解决线性方程组的求解问题。我们将系统梳理齐次线性方程组的解空间概念，理解零空间与齐次线性方程组解集的关系，并掌握求出所有解（基础解系）的方法。对于非齐次线性方程组，我们将结合矩阵的秩和增广矩阵的秩，以及特征值与特征向量的知识，系统讲解求出特解和通解的完整步骤。你将学会如何清晰地表达线性方程组的解集，并能灵活运用各种方法应对不同类型的线性方程组。 第四章：向量空间与子空间——线性代数的抽象世界 向量空间的基与维数： 向量空间的基是描述该空间的最简洁、最基本的一组向量。本章将深入探讨向量空间的基的概念，理解基向量的线性无关性和张成性。你将学会如何寻找给定向量集合的基，并计算向量空间的维数。维数是衡量向量空间“大小”的重要概念，你将通过具体例子来理解不同类型向量空间的维数，例如 $mathbb{R}^n$ 的维数，多项式空间的维数等。 子空间的性质与运算： 子空间是向量空间内部的“小世界”。本章将详细介绍子空间的定义及其重要性质，例如子空间自身的线性组合、线性无关等。你将学习如何判断一个子集是否构成一个向量空间，以及如何求解子空间的基和维数。我们将深入研究向量空间的和、交、差等运算，理解这些运算如何构建出新的子空间，并分析它们的维度关系。 同构与同态： 抽象的向量空间之间可能存在着深刻的联系。本章将引入同构和同态的概念，帮助你理解不同向量空间之间的结构相似性。你将学习到如何判断两个向量空间是否同构，以及同构在研究向量空间性质上的重要作用。这将帮助你从更宏观的视角去理解线性代数的结构，发现不同数学领域之间的共性。 第五章：二次型——多项式的几何解读 二次型的定义与矩阵表示： 二次型是描述多元二次函数的重要工具。本章将从最基本的定义出发，为你清晰地阐述二次型的概念，并重点讲解如何将其写成矩阵乘法的形式。你将学习到如何根据二次项系数和交叉项系数构建二次型矩阵，以及矩阵的对称性在二次型中的重要意义。 标准型与规范型： 将二次型化为标准型是理解其性质的关键步骤。本章将详细介绍如何通过正交变换将二次型化为标准型，即消去交叉项。你将学习到特征值与特征向量在二次型化简中的核心作用，以及如何通过求解矩阵的特征值来得到标准型中的系数。我们还将介绍规范型，即进一步化为只含平方项且系数为±1或0的形式，这有助于我们更直观地理解二次型的性质。 二次型的正定性判断： 二次型的正定性是其在优化、稳定性分析等领域的重要性质。本章将为你提供多种判断二次型正定性的方法，包括通过标准型中系数的正负号、顺序主子式的符号以及矩阵的特征值符号。你将深刻理解这些方法之间的联系，并能熟练地运用它们来判断二次型的正定性、半正定性等。 本书特色： 概念清晰，层层递进： 我们遵循从具体到抽象、由浅入深的原则，力求将每一个概念都讲透彻，并辅以丰富的几何直观和实际例子，帮助你建立起坚实的数学模型。 方法系统，技巧精炼： 在讲解理论知识的同时，我们高度重视解题方法的训练。书中汇集了大量经典例题和易错点分析，并提炼出高效的解题技巧，帮助你做到举一反三，快速准确地解决各类考研数学难题。 逻辑严谨，体系完整： 本讲义的编排严格遵循线性代数知识体系的内在逻辑，确保知识点之间的衔接自然流畅，前后呼应。学习完本书，你将对线性代数有一个全面、系统的认识。 紧扣考纲，直击要点： 所有内容均紧密围绕考研数学线性代数科目的考试大纲进行编写，重点突出考查频率高、难度大的知识点和题型，助你精准备考，事半功倍。 本书目标读者： 所有参加全国硕士研究生招生考试的考生，特别是对线性代数感到吃力，需要系统梳理、深入理解并掌握解题技巧的考生。无论你是初次接触线性代数，还是希望巩固和提升现有水平，本书都将是你不可或缺的学习伙伴。 使用建议： 在学习过程中，请务必动手演算例题，尝试独立完成练习题。将理论与实践相结合，才能真正将知识内化为自己的能力。遇到困难时，不要气馁，多回顾前面章节的知识点，尝试从不同角度去理解。 相信通过本书的学习，你一定能够克服线性代数的挑战，自信地迈向考研成功的彼岸！

评分☆☆☆☆☆

恕我直言，这本书的“辅导”功能几乎等同于零，它更像是一本乏味的、缺乏人情味的参考书汇编。作者在讲解理论时，语气极其学术化，充满了各种晦涩的专业术语，却没有用读者能够理解的“人话”来解释背后的直观意义。线性代数本身对很多文科或基础薄弱的同学来说就是一座大山，关键在于如何用生动形象的方式将其“翻译”过来。这本书在这方面做得非常失败，它假设读者已经具备了相当高的数学悟性，可以自行领悟那些复杂的抽象概念。比如，对于那些需要几何直觉来辅助理解的知识点，书中完全没有提供任何有助于建立图像的辅助说明，通篇都是冰冷的符号演算。我期待的是一种循序渐进的引导，而不是直接把我们扔到高深的理论海洋里自生自灭。这种高高在上的讲解姿态，对于想要“攻克”这门学科的考生来说，起不到任何有效的“辅导”作用。

评分☆☆☆☆☆

我用了好几个月时间，感觉这本书的例题选择和难度设置与实际的考研真题风格存在明显的脱节。它似乎更偏向于展示一些理论上的完美推导，却忽略了当前出题趋势中更注重灵活应用和跨章节综合考察的特点。很多例题的思路非常直接，一步到位就能得出结论，缺少了那种需要多层次思考、步步为营才能攻克的“陷阱”式题目。举个例子，在涉及到特征值和特征向量的应用题时，书中给出的解法过于教科书化，没有体现出针对性训练的价值。反观我对比的其他资料，它们会专门设置一些“易错点分析”或者“变式训练”，能够有效地帮助考生在实战中避免失分。这本书在基础概念的讲解上还算可以，但一旦进入到拔高和冲刺的阶段，内容的深度和广度明显不足，感觉就像停留在基础知识点串讲的层面，无法真正构建起一个应对高难度试卷的知识体系框架。对于目标是顶尖院校的学生来说，这本书提供的训练量和质量显然是不够的。

评分☆☆☆☆☆

关于配套资源的缺失，是我使用这本书过程中感到最失望的一点。一本现代的考研辅导资料，理应提供线上或线下的答疑支持，或者至少附带一些在线的习题解析视频。然而，这本书除了纸质内容之外，似乎没有任何延伸的服务。当我们遇到那些非常刁钻或者确实无法理解的题目时，唯一的出路就是原地打转，或者去寻求其他渠道的帮助，这无疑增加了学习的摩擦成本。更令人不解的是，一些关键的习题甚至连详细的解题步骤都没有给出，只有一个冷冰冰的最终答案。要知道，对于需要精炼解题技巧的考研数学而言，过程比结果重要得多！如果连过程都缺失了，那么这道题目的学习价值就大打折扣了。这种“交卷式”的出版模式，完全不符合当前辅导材料市场对用户体验和增值服务的普遍要求。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计简直是一场灾难，每一次翻阅都像在跟一本印刷粗糙的杂志较劲。封面设计毫无吸引力，色彩搭配令人昏昏欲睡，仿佛直接从上世纪九十年代的复印机里出来的。更要命的是内页的字体和行距，字号小得可怜，间距挤得像沙丁鱼罐头里的鱼，阅读起来眼睛酸痛得厉害，别说深入理解复杂的线性代数概念了，光是盯着这些密密麻麻的符号就能让人产生强烈的逃避心理。更别提那些公式的印刷质量了，有些地方墨迹不均，关键的符号边缘模糊不清，这对于需要精确理解数学表达的学习者来说，简直是致命的疏忽。翻到后面章节，发现有些插图和图表的清晰度也大打折扣，完全无法起到辅助理解的作用，反而成了视觉上的干扰源。整体而言，这本书在“阅读体验”这个维度上彻底失分，让人不禁怀疑编者是否真的关心读者的学习过程，还是仅仅为了应付考试季而匆忙赶工的产品。一个好的辅导资料，不仅内容要扎实，外在的呈现方式也同样重要，这本书在这方面完全没有展现出任何专业性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构组织逻辑混乱得让人抓狂，找个知识点简直像在做寻宝游戏。章节之间的衔接非常生硬，前一节还在讲向量空间的基础定义，下一节可能就直接跳到了矩阵的秩，中间完全没有必要的过渡和铺垫。我尤其对它处理“知识点聚合”的方式感到不满，很多相互关联的内容被分散在不同的章节中，需要反复翻阅才能把零散的知识点拼凑起来形成一个完整的认识。例如，正交变换和二次型的对角化理论，这是线性代数中非常核心且需要系统理解的部分，但在这本书里，相关的定理和性质被割裂开来，分散在至少三个不同的单元中讲述。这种“碎片化”的编排方式极大地增加了考生的认知负担，使得学习效率大打折扣。我不得不自己准备一个笔记本，把这些分散的知识点重新梳理和归类，才能勉强跟上学习的步伐，这本书本身提供的结构化指导作用微乎其微。