数学分析基本问题与注释-一元微分学研究式教学法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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韩茂安 著

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出版社： 科学出版社发行部

ISBN：9787030550466

商品编码：28810169103

出版时间：2018-01-01

基本信息

商品名称： 数学分析基本问题与注释-一元微分学研究式教学法探索与实践	出版社： 科学出版社发行部	出版时间：2018-01-01
作者：韩茂安	译者：	开本： 16开
定价： 36.00	页数：139	印次： 2
ISBN号：9787030550460	商品类型：图书	版次： 1

数学分析进阶与应用：聚焦复变函数、测度论与泛函分析 本书导读 本书旨在为具备扎实数学分析基础（尤其是实变函数与基础拓扑知识）的读者，提供一个深入理解现代数学分析核心分支的全面导览。内容聚焦于复变函数论的经典与现代视角、测度论的深刻洞察，以及泛函分析的初步构建。我们避开了基础的一元微分与积分理论的重复论述，直接切入更高级、更抽象的数学结构，旨在培养读者从纯粹的计算思维向严格的结构化思维的转变。 第一部分：复变函数论——解析性的力量与几何直觉 本部分将全面系统地介绍复变函数论的精髓，强调其在几何学和物理学中的核心地位。 第一章：复数域的代数与拓扑基础 在进入函数论之前，我们将快速回顾$mathbb{C}$的拓扑性质，包括其作为二维实向量空间的结构，以及黎曼球的概念。重点将放在复数的乘法如何与二维旋转和缩放相关联，为后续共形映射的几何解释打下基础。 第二章：全纯函数的局部性质与柯西积分理论 本章是复变函数论的基石。我们将严格证明柯西-黎曼方程的充分必要条件，并深入探讨解析函数的一系列优美性质，如无穷可微性、泰勒级数展开的必然性。核心内容包括： 柯西积分定理与公式的严格推导： 不仅关注其应用，更侧重于证明过程中使用的拓扑工具（如局部形 দেখলাম同伦不变性）。 留数定理及其在实积分中的应用： 展示如何利用留数计算超越实积分范围的定积分，包括主值计算和分支割的应用。 幂级数的性质： 探讨收敛域的确定，以及在边界上的行为（如Abel定理的应用）。 第三章：全纯函数的全局结构与映射性质 本章从全局角度审视解析函数，关注函数的“形状”和“变换”能力。 朗劳斯级数与孤立奇点分类： 对去心邻域内的函数进行精细刻画，区分可去奇点、极点和本质奇点。 解析延拓的唯一性原理： 论证解析函数在连通域上的确定性，并简要介绍施瓦茨对称原理。 共形映射与莫比乌斯变换： 详细分析莫比乌斯变换（作为$ ext{PSL}(2, mathbb{C})$的元素）如何保持角度，及其在黎曼球面上的作用。 最大模原理、凸性与施瓦茨引理： 这些定理揭示了解析函数在度量上的约束力，是证明许多存在性定理的关键。 第四章：调和函数与位势论的初步接触 尽管调和函数是实变量函数，但它们与解析函数有着深刻的联系。 拉普拉斯方程的解的性质： 引入平均值性质和极值原理。 泊松核与泊松积分公式： 探讨狄利克雷问题在圆盘上的解的构造。 --- 第二部分：测度论与勒贝格积分——现代积分理论的基石 本部分将摒弃黎曼积分的局限性，建立严格的测度空间和勒贝格积分的理论框架。 第五章： $sigma$-代数、测度和测度空间 从集合论的角度，构建积分的数学环境。 可测集的构造： 从开集到博雷尔 $sigma$-代数，再到 $ ext{Lebesgue }sigma$-代数。重点讨论非 Lebesgue 可测集的构造及其悖论（如Vitali集）。 测度的定义与性质： 强调可加性和正则性（内正则与外正则）。 测度论中的收敛性概念： 区分点态收敛、几乎处处收敛和依测度收敛。 第六章：勒贝格积分的构建与核心定理 本章是概率论和泛函分析的直接前驱。 简单函数的积分： 作为基本构件的建立。 非负可测函数的积分： 利用单调收敛定理（MCT）构造积分的极限。 一般可测函数的积分： 分解为正部与负部，定义 $L^1$ 空间。 积分的交换： 详尽论述法图引理（Fatou's Lemma）、占主导地位的收敛定理（DCT）及其在极限操作中的不可或缺性。 第七章： $L^p$ 空间与积分的完备性 将积分理论提升到函数空间的高度。 Minkowski 不等式与 Hölder 不等式： 证明这些不等式是构造 $L^p$ 空间的三角不等式的关键。 $L^p$ 空间的完备性： 证明 $L^p$ 空间（对于 $1 le p le infty$）是巴拿赫空间，这是泛函分析能够成立的基础。 测度论在概率论中的基础应用： 简要讨论随机变量和期望的勒贝格积分视角定义。 --- 第三部分：泛函分析导论——无限维空间的几何 本部分将视角从实值函数拓展到抽象的函数空间，引入拓扑线性空间的概念。 第八章：巴拿赫空间——完备性与线性算子 本章是现代分析的“几何学”。 赋范线性空间与巴拿赫空间： 强调完备性是产生良好行为（如收敛性）的关键。 连续线性泛函与有界线性算子： 定义算子的范数，并探讨其连续性的度量。 三大基本定理（核心）： 详细证明并阐释其深刻含义： Hahn-Banach 定理： 关于延拓线性泛函的能力，是构造对偶空间的基础。 开映射定理（Open Mapping Theorem）： 连续映射在开集上的保持性质。 闭图像定理（Closed Graph Theorem）： 讨论连续性与闭图像之间的等价性。 均匀有界原理（Banach-Steinhaus Theorem）： 探讨逐点收敛的算子序列与一致有界性之间的关系，揭示无限维空间的“反直觉”现象。 第九章：希尔伯特空间与对偶空间 引入内积结构，恢复几何直觉。 内积空间与正交性： 定义希尔伯特空间，并利用毕达哥拉斯定理。 Riesz 表示定理： 揭示希尔伯特空间中连续线性泛函与向量之间的完美对应关系，这是处理自伴随算子的基础。 正交分解定理： 将空间分解为子空间及其正交补，是求解投影和最小二乘问题的关键。 结论：分析的统一性 本书的结构旨在展示从一元分析的直觉，到复变函数对几何结构的深刻洞察，再到测度论对积分的严格重构，最终在泛函分析中实现这些工具在无限维空间中的统一应用。读者将体会到，现代分析的深度和广度正是建立在对极限、收敛性和结构完备性的不懈追求之上。

评分☆☆☆☆☆

评价二： 说实话，我原本对“研究式教学法”这个词持保留态度的，总觉得这类书会偏重理论的艰深，阅读体验会比较差。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它的结构设计非常巧妙，仿佛在搭建一座宏伟的数学建筑，地基打得极其牢固。在处理一元微分学中的关键概念，比如导数的定义、中值定理的应用时，作者没有采用那种填鸭式的讲解，而是鼓励读者自己去“发现”规律。这种主动探索的过程，极大地增强了我的理解深度和记忆持久性。书中的案例选取也很有代表性，它们紧密围绕着实际工程和物理中的问题展开，让我清晰地看到了数学工具的强大威力。对于想真正理解数学而非仅仅记住公式的人来说，这本书绝对是不可多得的珍品。

评分☆☆☆☆☆

评价三： 这本书的装帧和排版质量非常高，这在理工科教材中并不常见，但它极大地提升了阅读体验。纸张的质感很好，字体的选择清晰易读，而且关键的定理和推导步骤被清晰地分块和着重显示，使得复杂的数学逻辑链条一目了然。我特别欣赏作者在处理某些容易混淆的细节时所花费的心思，那些细微之处的说明，往往是其他教材一笔带过的地方，但恰恰是这些地方决定了学习者能否真正跨越“理解”的鸿沟。它不仅仅是一本教科书，更像是一份精心编辑的数学文献汇编，其中包含了大量历史上的思考脉络，让学习过程充满了人文色彩。

评分☆☆☆☆☆

评价一： 这本书简直是为那些在微积分学习中感到迷茫的学生量身定制的指南。我一直对那些抽象的、似乎空中楼阁般的数学概念感到头疼，尤其是在涉及极限和连续性的时候。但这本书的叙述方式非常贴近实际应用，它没有直接抛出那些高深的定义，而是通过一系列精心设计的“基本问题”来引导读者逐步深入。每一个问题都像是探险中的一个关卡，解开它，你会豁然开朗。作者的注释部分更是精妙，它不是简单的公式堆砌，而是深入剖析了概念背后的直觉和逻辑推导。读起来，就像有一个经验丰富、耐心十足的导师在你身边，随时为你点拨迷津。它成功地将枯燥的理论转化成了一场引人入胜的思维游戏，让我在不知不觉中掌握了微积分的核心思想。

评分☆☆☆☆☆

评价四： 我是一名高年级的学生，在准备研究生的入学考试时，很多基础知识点需要快速回顾和巩固。我尝试了市面上几本流行的参考书，但都因为讲解过于浅显或者过于侧重应试技巧而效果不佳。直到我翻开这本“基本问题与注释”，我才找回了对数学分析的敬畏之心。它不是教你怎么快速解题，而是深挖了“为什么”这样解题。特别是对于那些看似简单的定理，比如罗尔定理的几何意义，这本书提供的注释简直是哲学层面的阐述，令人深思。它迫使我跳出纯粹计算的泥潭，重新审视每一个数学定义背后的严谨性和美感。对于希望从“会算”提升到“精通”的读者，这本书的价值无可替代。

评分☆☆☆☆☆

评价五： 这本书的语言风格非常独特，它融合了古典数学的严谨和现代教育学的灵活性。读起来完全没有那种传统数学书籍的沉闷感。作者似乎深谙如何与读者进行有效的“对话”，他提出的问题往往是开放式的，引导你进行批判性思考，而不是简单地接受既定的结论。这种互动式的学习模式，尤其适合自学者。我发现，当我遇到一个难题时，查阅书中的相关“注释”部分，往往能找到比标准答案更深刻、更具启发性的解释。它成功地在“知识的传递”和“能力的培养”之间找到了一个完美的平衡点，极大地激发了我对数学世界的探索欲。