數學分析基本問題與注釋-一元微分學研究式教學法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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韓茂安 著

圖書標籤:

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齣版社： 科學齣版社發行部

ISBN：9787030550466

商品編碼：28810169103

齣版時間：2018-01-01

基本信息

商品名稱： 數學分析基本問題與注釋-一元微分學研究式教學法探索與實踐	齣版社： 科學齣版社發行部	齣版時間：2018-01-01
作者：韓茂安	譯者：	開本： 16開
定價： 36.00	頁數：139	印次： 2
ISBN號：9787030550460	商品類型：圖書	版次： 1

數學分析進階與應用：聚焦復變函數、測度論與泛函分析 本書導讀 本書旨在為具備紮實數學分析基礎（尤其是實變函數與基礎拓撲知識）的讀者，提供一個深入理解現代數學分析核心分支的全麵導覽。內容聚焦於復變函數論的經典與現代視角、測度論的深刻洞察，以及泛函分析的初步構建。我們避開瞭基礎的一元微分與積分理論的重復論述，直接切入更高級、更抽象的數學結構，旨在培養讀者從純粹的計算思維嚮嚴格的結構化思維的轉變。 第一部分：復變函數論——解析性的力量與幾何直覺 本部分將全麵係統地介紹復變函數論的精髓，強調其在幾何學和物理學中的核心地位。 第一章：復數域的代數與拓撲基礎 在進入函數論之前，我們將快速迴顧$mathbb{C}$的拓撲性質，包括其作為二維實嚮量空間的結構，以及黎曼球的概念。重點將放在復數的乘法如何與二維鏇轉和縮放相關聯，為後續共形映射的幾何解釋打下基礎。 第二章：全純函數的局部性質與柯西積分理論 本章是復變函數論的基石。我們將嚴格證明柯西-黎曼方程的充分必要條件，並深入探討解析函數的一係列優美性質，如無窮可微性、泰勒級數展開的必然性。核心內容包括： 柯西積分定理與公式的嚴格推導： 不僅關注其應用，更側重於證明過程中使用的拓撲工具（如局部形 দেখলাম同倫不變性）。 留數定理及其在實積分中的應用： 展示如何利用留數計算超越實積分範圍的定積分，包括主值計算和分支割的應用。 冪級數的性質： 探討收斂域的確定，以及在邊界上的行為（如Abel定理的應用）。 第三章：全純函數的全局結構與映射性質 本章從全局角度審視解析函數，關注函數的“形狀”和“變換”能力。 朗勞斯級數與孤立奇點分類： 對去心鄰域內的函數進行精細刻畫，區分可去奇點、極點和本質奇點。 解析延拓的唯一性原理： 論證解析函數在連通域上的確定性，並簡要介紹施瓦茨對稱原理。 共形映射與莫比烏斯變換： 詳細分析莫比烏斯變換（作為$ ext{PSL}(2, mathbb{C})$的元素）如何保持角度，及其在黎曼球麵上的作用。 最大模原理、凸性與施瓦茨引理： 這些定理揭示瞭解析函數在度量上的約束力，是證明許多存在性定理的關鍵。 第四章：調和函數與位勢論的初步接觸 盡管調和函數是實變量函數，但它們與解析函數有著深刻的聯係。 拉普拉斯方程的解的性質： 引入平均值性質和極值原理。 泊鬆核與泊鬆積分公式： 探討狄利剋雷問題在圓盤上的解的構造。 --- 第二部分：測度論與勒貝格積分——現代積分理論的基石 本部分將摒棄黎曼積分的局限性，建立嚴格的測度空間和勒貝格積分的理論框架。 第五章： $sigma$-代數、測度和測度空間 從集閤論的角度，構建積分的數學環境。 可測集的構造： 從開集到博雷爾 $sigma$-代數，再到 $ ext{Lebesgue }sigma$-代數。重點討論非 Lebesgue 可測集的構造及其悖論（如Vitali集）。 測度的定義與性質： 強調可加性和正則性（內正則與外正則）。 測度論中的收斂性概念： 區分點態收斂、幾乎處處收斂和依測度收斂。 第六章：勒貝格積分的構建與核心定理 本章是概率論和泛函分析的直接前驅。 簡單函數的積分： 作為基本構件的建立。 非負可測函數的積分： 利用單調收斂定理（MCT）構造積分的極限。 一般可測函數的積分： 分解為正部與負部，定義 $L^1$ 空間。 積分的交換： 詳盡論述法圖引理（Fatou's Lemma）、占主導地位的收斂定理（DCT）及其在極限操作中的不可或缺性。 第七章： $L^p$ 空間與積分的完備性 將積分理論提升到函數空間的高度。 Minkowski 不等式與 Hölder 不等式： 證明這些不等式是構造 $L^p$ 空間的三角不等式的關鍵。 $L^p$ 空間的完備性： 證明 $L^p$ 空間（對於 $1 le p le infty$）是巴拿赫空間，這是泛函分析能夠成立的基礎。 測度論在概率論中的基礎應用： 簡要討論隨機變量和期望的勒貝格積分視角定義。 --- 第三部分：泛函分析導論——無限維空間的幾何 本部分將視角從實值函數拓展到抽象的函數空間，引入拓撲綫性空間的概念。 第八章：巴拿赫空間——完備性與綫性算子 本章是現代分析的“幾何學”。 賦範綫性空間與巴拿赫空間： 強調完備性是産生良好行為（如收斂性）的關鍵。 連續綫性泛函與有界綫性算子： 定義算子的範數，並探討其連續性的度量。 三大基本定理（核心）： 詳細證明並闡釋其深刻含義： Hahn-Banach 定理： 關於延拓綫性泛函的能力，是構造對偶空間的基礎。 開映射定理（Open Mapping Theorem）： 連續映射在開集上的保持性質。 閉圖像定理（Closed Graph Theorem）： 討論連續性與閉圖像之間的等價性。 均勻有界原理（Banach-Steinhaus Theorem）： 探討逐點收斂的算子序列與一緻有界性之間的關係，揭示無限維空間的“反直覺”現象。 第九章：希爾伯特空間與對偶空間 引入內積結構，恢復幾何直覺。 內積空間與正交性： 定義希爾伯特空間，並利用畢達哥拉斯定理。 Riesz 錶示定理： 揭示希爾伯特空間中連續綫性泛函與嚮量之間的完美對應關係，這是處理自伴隨算子的基礎。 正交分解定理： 將空間分解為子空間及其正交補，是求解投影和最小二乘問題的關鍵。 結論：分析的統一性 本書的結構旨在展示從一元分析的直覺，到復變函數對幾何結構的深刻洞察，再到測度論對積分的嚴格重構，最終在泛函分析中實現這些工具在無限維空間中的統一應用。讀者將體會到，現代分析的深度和廣度正是建立在對極限、收斂性和結構完備性的不懈追求之上。

評分☆☆☆☆☆

評價三： 這本書的裝幀和排版質量非常高，這在理工科教材中並不常見，但它極大地提升瞭閱讀體驗。紙張的質感很好，字體的選擇清晰易讀，而且關鍵的定理和推導步驟被清晰地分塊和著重顯示，使得復雜的數學邏輯鏈條一目瞭然。我特彆欣賞作者在處理某些容易混淆的細節時所花費的心思，那些細微之處的說明，往往是其他教材一筆帶過的地方，但恰恰是這些地方決定瞭學習者能否真正跨越“理解”的鴻溝。它不僅僅是一本教科書，更像是一份精心編輯的數學文獻匯編，其中包含瞭大量曆史上的思考脈絡，讓學習過程充滿瞭人文色彩。

評分☆☆☆☆☆

評價一： 這本書簡直是為那些在微積分學習中感到迷茫的學生量身定製的指南。我一直對那些抽象的、似乎空中樓閣般的數學概念感到頭疼，尤其是在涉及極限和連續性的時候。但這本書的敘述方式非常貼近實際應用，它沒有直接拋齣那些高深的定義，而是通過一係列精心設計的“基本問題”來引導讀者逐步深入。每一個問題都像是探險中的一個關卡，解開它，你會豁然開朗。作者的注釋部分更是精妙，它不是簡單的公式堆砌，而是深入剖析瞭概念背後的直覺和邏輯推導。讀起來，就像有一個經驗豐富、耐心十足的導師在你身邊，隨時為你點撥迷津。它成功地將枯燥的理論轉化成瞭一場引人入勝的思維遊戲，讓我在不知不覺中掌握瞭微積分的核心思想。

評分☆☆☆☆☆

評價二： 說實話，我原本對“研究式教學法”這個詞持保留態度的，總覺得這類書會偏重理論的艱深，閱讀體驗會比較差。然而，這本書徹底顛覆瞭我的看法。它的結構設計非常巧妙，仿佛在搭建一座宏偉的數學建築，地基打得極其牢固。在處理一元微分學中的關鍵概念，比如導數的定義、中值定理的應用時，作者沒有采用那種填鴨式的講解，而是鼓勵讀者自己去“發現”規律。這種主動探索的過程，極大地增強瞭我的理解深度和記憶持久性。書中的案例選取也很有代錶性，它們緊密圍繞著實際工程和物理中的問題展開，讓我清晰地看到瞭數學工具的強大威力。對於想真正理解數學而非僅僅記住公式的人來說，這本書絕對是不可多得的珍品。

評分☆☆☆☆☆

評價五： 這本書的語言風格非常獨特，它融閤瞭古典數學的嚴謹和現代教育學的靈活性。讀起來完全沒有那種傳統數學書籍的沉悶感。作者似乎深諳如何與讀者進行有效的“對話”，他提齣的問題往往是開放式的，引導你進行批判性思考，而不是簡單地接受既定的結論。這種互動式的學習模式，尤其適閤自學者。我發現，當我遇到一個難題時，查閱書中的相關“注釋”部分，往往能找到比標準答案更深刻、更具啓發性的解釋。它成功地在“知識的傳遞”和“能力的培養”之間找到瞭一個完美的平衡點，極大地激發瞭我對數學世界的探索欲。

評分☆☆☆☆☆

評價四： 我是一名高年級的學生，在準備研究生的入學考試時，很多基礎知識點需要快速迴顧和鞏固。我嘗試瞭市麵上幾本流行的參考書，但都因為講解過於淺顯或者過於側重應試技巧而效果不佳。直到我翻開這本“基本問題與注釋”，我纔找迴瞭對數學分析的敬畏之心。它不是教你怎麼快速解題，而是深挖瞭“為什麼”這樣解題。特彆是對於那些看似簡單的定理，比如羅爾定理的幾何意義，這本書提供的注釋簡直是哲學層麵的闡述，令人深思。它迫使我跳齣純粹計算的泥潭，重新審視每一個數學定義背後的嚴謹性和美感。對於希望從“會算”提升到“精通”的讀者，這本書的價值無可替代。