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BerntφKsendal 著

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• 随机过程
• 随机微分方程
• 概率论
• 斯托卡斯蒂克分析
• 金融数学
• 偏微分方程
• 数值方法
• 伊藤积分
• 布朗运动
• 鞅理论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787506273084

版次：1

商品编码：10096096

包装：平装

开本：24开

出版时间：2006-05-01

用纸：胶版纸

页数：365

编辑推荐

　　《随机微分方程》(第6版)为全英文版，适合数学专业研究生阅读参考。

内容简介

　　随机微分方程在数学以外的许多领域有着广泛的应用，它对数学领域中的许多分支起着有效的联结作用。本书是《Universitext》丛书之一，是一部理想的研究生教材。我们曾影印出版了第2版和第4版，第6版与第4版相比，内容做了较大的修改和补充，增加了90页的篇幅(近1／3内容)，包括鞅表示论、变分不等式和随机控制等内容，书后附有部分习题解答和提示。

目录

Introduction
1.1 Stochastic Analogs of Classical Differential Equations
1.2 Filtering Problems
1.3 Stochastic Approach to Deterministic Boundary Value Problems
1.4 Optimal Stopping
1.5 Stochastic Control
1.6 Mathematical Finance
Some Mathematical Preliminaries
2.1 Probability Spaces， Random Variables and Stochastic Processes
2.2 An Important Example： Brownian Motion
Exercises
Ito Integrals
3.1 Construction of the It5 Integral
3.2 Some properties of the It5 integral
3.3 Extensions of the Ito integral
Exercises
The Ito Formula and the Martingale Representation
Theorem
4.1 The 1-dimensional It5 formula
4.2 The Multi-dimensional It5 Formula
4.3 The Martingale Representation Theorem
Exercises
Stochastic Differential Equations
5.1 Examples and Some Solution Methods
5.2 An Existence and Uniqueness Result
5.3 Weak and Strong Solutions
Exercises
6 The Filtering Problem
6.1 Introduction
6.2 The 1-Dimensional Linear Filtering Problem
6.3 The Multidimensional Linear Filtering Problem
Exercises
7 Diffusions： Basic Properties
7.1 The Markov Property
7.2 The Strong Markov Property
7.3 The Generator of an It5 Diffusion
7.4 The Dynkin Formula
7.5 The Characteristic Operator
Exercises
8 Other Topics in Diffusion Theory
8.1 Kolmogorovs Backward Equation. The Resolvent
8.2 The Feynman-Kac Formula. Killing
8.3 The Martingale Problem
8.4 When is an It5 Process a Diffusion?
8.5 Random Time Change
8.6 The Girsanov Theorem
Exercises
9 Applications to Boundary Value Problems
9.1 The Combined Dirichlet-Poisson Problem. Uniqueness
9.2 The Dirichlet Problem. Regular Points
9.3 The Poisson Problem
Exercises
10 Application to Optimal Stopping
10.1 The Time-Homogeneous Case
10.2 The Time-Inhomogeneous Case
10.3 Optimal Stopping Problems Involving an Integral
10.4 Connection with Variational Inequalities
Exercises
11 Application to Stochastic Control
11.1 Statement of the Problem
11.2 The Ha.milton-Jacobi-Bellman Equation
11.3 Stochastic control problems with terminal conditions
Exercises
12 Application to Mathematical Finance
12.1 Market， portfolio and arbitrage
12.2 Attainability and Completeness
12.3 Option Pricing
Exercises
Appendix A： Normal Random Variables
Appendix B： Conditional Expectation
Appendix C： Uniform Integrability and Martingale
Convergence
Appendix D： An Approximation Result
Solutions and Additional Hints to Some of the Exercises..
References
List of Frequently Used Notation and Symbols
Index

前言/序言

随机微分方程（第6版） 导论：随机世界的数学之钥 本书深入探讨随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs）这一在现代科学与工程领域占据核心地位的数学工具。自布朗运动被正式描述以来，对随机过程的研究一直是理解自然界中不确定性现象的关键。随机微分方程，作为描述随时间演化的随机系统的数学框架，提供了一种精确而强大的方法来建模金融市场的价格波动、物理学中的扩散过程、生物学中的种群动态，乃至工程学中的噪声驱动系统。 本版是这一经典著作的最新修订版，它不仅继承了前几版在基础理论上的严谨性与深度，更融入了近几十年来随机分析领域取得的重大进展，特别是与应用数学和量化金融的交叉前沿。我们旨在为读者——无论是数学、物理、工程、金融、生物科学的研究人员还是高年级本科生和研究生——提供一个全面、深入且易于理解的入门与进阶指南。 第一部分：基础理论与随机微积分的构建 随机微分方程的理论建立在坚实的概率论和测度论基础之上。本部分将系统地回顾和构建这些必需的数学工具，为后续深入理解SDEs铺平道路。 第1章 概率论与测度论回顾：随机性的量化 本章首先复习了勒贝格积分、测度空间、$sigma$-代数和条件期望等核心概念。我们强调这些工具在定义随机变量和随机过程中的不可或缺性。随后，重点介绍布朗运动（维纳过程）的严格定义、路径性质（如连续性、二次变差）以及它作为基本随机驱动力的地位。对布朗运动的深刻理解是掌握SDEs的基石。 第2章 随机过程与鞅论：时间演化的随机性 随机过程是随时间变化的随机现象的数学模型。本章详细介绍了各类重要的随机过程，包括马尔可夫过程、平稳过程等。核心内容聚焦于鞅论。鞅（Martingale）的概念因其在条件期望的无偏性中的重要作用而被引入，它构成了随机积分理论的理论支柱。我们详细阐述了上鞅、下鞅和半鞅的性质，以及它们在停时理论中的应用。 第3章 伊藤积分：随机驱动下的积分 这是随机分析的里程碑。传统黎曼或勒贝格积分无法处理由布朗运动驱动的随机函数的积分。本章专注于伊藤积分（Itô Integral）的构造。我们通过对简单过程的积分逐步推广到更一般的随机过程，严格证明了伊藤积分存在的条件和基本性质，如鞅性质。本章将细致阐述伊藤等距性质，它在计算积分的方差和期望时至关重要。 第4章 伊藤引理：随机微积分的核心法则 如果说经典微积分的核心是微积分基本定理，那么随机微积分的核心便是伊藤引理（Itô's Lemma）。本章详尽地推导了伊藤引理，并展示了它如何将关于随机过程的函数微分问题转化为确定性的微分方程问题。通过大量的示例，包括复合函数的微分和随机变量的函数演化，读者将掌握使用伊藤引理进行随机分析的强大技巧。本章还将介绍Stratonovich积分与伊藤积分之间的转换公式，拓宽处理随机微分方程的视角。 第二部分：随机微分方程的解、性质与经典模型 在奠定了随机微积分的基础后，本部分将转向随机微分方程本身的求解、存在性、唯一性以及其重要的性质。 第5章 随机微分方程（SDEs）的定义与解的存在性 本章正式引入随机微分方程的一般形式： $$dX_t = f(X_t, t) dt + g(X_t, t) dW_t$$ 其中，$f$ 是漂移项（确定性部分），$g$ 是扩散项（随机性部分），$W_t$ 是布朗运动。我们将探讨SDEs的积分形式（伊藤积分形式）。随后，我们将严格证明在Lipschitz和线性增长条件下，SDE解的存在性与唯一性（Picard迭代法在随机环境下的应用）。 第6章 重要的SDE模型：从物理到金融 本章介绍并分析了几种在实际应用中具有里程碑意义的标准SDE模型： 1. 几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）：这是金融学中描述股票价格或资产回报率波动的基础模型，是布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型的随机驱动力。 2. Ornstein-Uhlenbeck (OU) 过程：用于描述具有均值回归特性的随机系统，广泛应用于利率模型和某些物理扩散模型。 3. 随机振荡器模型：涉及二阶随机微分方程，用于描述受噪声影响的力学系统。 我们将探讨这些模型的平稳分布、矩的计算及其作为马尔可夫过程的性质。 第7章 解的性质：稳定性、矩与平稳分布 本章深入分析了SDE解的长期行为。我们研究矩的迭代，特别是期望值和方差的演化，这通常需要借助与原SDE相关的确定性ODE（常微分方程）。随后，讨论SDE解的渐近稳定性和吸引子的概念，这对于理解系统的长期均衡状态至关重要。对于特定的SDEs（如某些线性SDEs），我们将推导出其精确的平稳概率密度函数。 第8章 停时与随机控制：在随机环境中做决策 停时（Stopping Time）是随机过程理论中的一个关键概念，指的是一个随机变量，其值表示过程达到某个特定状态的时间点。本章探讨了可选停止定理（Optional Stopping Theorem）及其对期望计算的意义。进一步地，我们引入随机控制理论的初步概念，探讨如何通过选择一个适当的“控制”过程来影响或优化SDEs的演化路径，这在最优投资策略或最优滤波问题中具有直接的应用价值。 第三部分：数值方法与高级主题 现代计算能力使得我们能够模拟和近似复杂的SDEs。本部分将介绍求解SDEs的数值技术，并触及更前沿的研究方向。 第9章 随机微分方程的数值解法 解析解在大多数SDEs中是不可得的。本章专注于构建和分析数值逼近方案。我们将详细介绍欧拉-伊藤法（Euler-Maruyama Method），并推导其收敛性和误差估计。随后，介绍更精确的高阶方法，例如Milstein方案。数值稳定性和误差分析是本章的重点，旨在为实际模拟提供可靠的理论依据。 第10章 分支过程与随机偏微分方程（SPDEs）的初步接触 为了展望未来，本章将涉及两个重要的拓展方向： 1. 分支过程（Branching Processes）：描述种群数量随时间随机增长和衰退的模型，它与某些类型的SDEs有深刻的联系。 2. 随机偏微分方程（SPDEs）：将随机性引入到偏微分方程中，用于描述空间上连续的随机场，如随机热方程或波方程的噪声驱动版本。我们将用福库-什洛斯（Fokker-Planck）方程的随机形式来展示如何从SDEs推导出描述概率密度演化的偏微分方程。 结语 《随机微分方程（第6版）》力求平衡理论的严格性与应用的广度。通过对布朗运动、伊藤积分、伊藤引理以及各类经典SDE模型的深入剖析，本书为读者提供了一套完整的工具箱，使他们能够自信地分析、建模和解决现实世界中遇到的各种随机动态问题。本书的内容覆盖了从概率论基础到高级数值逼近的完整路径，确保读者不仅理解“如何解”，更能理解“为何解”以及“解的含义”。

评分☆☆☆☆☆

这本《随机微分方程（第6版）》绝对是一部值得反复研读的经典之作。我之所以这么说，是因为它不仅仅是一本传授知识的书，更是一本激发思考的书。作者在阐述随机微分方程理论的同时，也穿插了许多关于概率论、随机过程和动力系统的前沿研究成果，这让我能够站在巨人的肩膀上，更全面地认识这个领域。我特别喜欢书中对不同随机微分方程模型在实际应用中的比较分析，比如在金融风险管理、生物种群模型以及地球科学中的应用。这些案例的引入，不仅丰富了本书的内容，也让我看到了随机微分方程在解决现实世界问题中的强大能力。我感觉这本书就像一座知识的宝库，每一次翻阅，都能从中汲取新的养分。作者深厚的学术造诣和高超的写作技巧，使得这本书即使在面对复杂的数学概念时，也能保持清晰流畅的语言风格，这对于非专业读者来说，无疑是一大福音。我强烈推荐这本书给任何对随机性及其在科学和工程中的应用感兴趣的人。

评分☆☆☆☆☆

《随机微分方程（第6版）》对我而言，是一次意义非凡的学术探索。这本书的严谨性和深度是我所见过的同类书籍中最出色的。作者在构建理论体系时，逻辑链条清晰，层层递进，让人在不知不觉中就掌握了复杂的概念。我特别欣赏书中关于非线性随机微分方程的探讨，这让我看到了随机性在更复杂的系统中所扮演的关键角色。书中对住友公式、Girsanov定理等重要工具的详细讲解，为我后续进行更深入的研究提供了必要的理论支撑。我感觉这本书就像一幅精美的数学画卷，每一笔都凝聚着作者的心血和智慧。它不仅传授了知识，更培养了我严谨的数学思维和解决问题的能力。读完这本书，我仿佛觉得自己的数学视野得到了极大的拓展，对随机微分方程这个领域也有了更宏观的认识。这本书的价值，远不止于其内容本身，更在于它能够引导读者进行更深入的思考和探索，对于任何希望在随机微分方程领域有所建树的研究者来说，这绝对是一本不可或缺的参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本《随机微分方程（第6版）》简直是打开了我对数学世界的一扇新窗户！我一直以来都对那些描绘不确定性如何影响动态系统的理论感到好奇，而这本书恰恰满足了我的求知欲。从最初接触到的基础概念，比如马尔科夫链和布朗运动，到后来深入理解伊藤引理和随机积分的精妙之处，每一步都让我惊叹于作者清晰的逻辑和严谨的表述。我特别喜欢书中通过大量具体的例子来阐释抽象概念的做法，比如在金融建模中如何运用随机微分方程来描述资产价格的波动，或者在物理学中如何模拟粒子在随机力场下的运动。这些实例不仅让理论变得生动有趣，也让我看到了数学工具的强大实际应用价值。此外，本书的排版也非常舒适，公式的推导过程一步步都很清晰，即使是对于我这样的初学者，也能相对容易地跟上思路。我尤其欣赏作者在处理复杂概念时，总能找到一种既深入又不失易懂的平衡点，这对于学习一本如此前沿的学科来说，无疑是一项巨大的挑战，但这本书做得非常出色。我感觉自己就像在一位经验丰富的向导的带领下，一步步探索着随机微分方程的奥秘，每克服一个难关，都充满了成就感。

评分☆☆☆☆☆

读完《随机微分方程（第6版）》后，我感觉自己对许多看似随机的现象有了更深刻的理解。这本书并没有简单地堆砌公式和定理，而是巧妙地将复杂的数学思想融入到了引人入胜的叙述中。我尤其对书中关于随机过程的演化轨迹如何受到微小扰动影响的探讨留下了深刻印象。它让我意识到，即使在看似混乱的系统中，也可能隐藏着深刻的数学规律。书中对不同随机微分方程的分类和性质的详细分析，也极大地扩展了我对这类方程的认识。从简单的奥恩斯坦-乌伦贝克过程，到更为复杂的退化随机微分方程，作者都给予了细致的讲解和推导。我特别喜欢书中关于随机微分方程与偏微分方程之间联系的讨论，这让我看到了不同数学分支之间的内在关联。这本书的数学严谨性毋庸置疑，但同时又不乏启发性，它鼓励读者思考，并尝试将所学的知识应用到新的问题中。我感觉这本书不仅是一本教科书，更像是一位智者在与我进行一场关于混沌与秩序的深度对话。

评分☆☆☆☆☆

《随机微分方程（第6版）》给我带来了前所未有的学习体验。我一直认为，要真正掌握一门学科，不仅要理解其理论框架，更要能够领会其内在的精髓。这本书在这方面做得非常出色。作者在讲解伊藤积分和随机微分方程的定义时，并没有止步于形式上的给出，而是深入剖析了其背后的思想渊源和数学意义，让我对这些看似抽象的概念有了更直观的认识。我特别欣赏书中关于解的存在性、唯一性和稳定性等问题的详细论述，这为我后续的学习和研究打下了坚实的基础。此外，本书在介绍各种求解方法和近似技巧时，也显得非常系统和全面。无论是解析方法还是数值方法，作者都给予了足够的关注，并提供了大量的实例来演示这些方法的应用。我感觉自己就像在进行一场数学的“寻宝”之旅，每一次深入，都能发现新的宝藏，每一次解开一个疑团，都充满了喜悦。这本书让我真正体会到了数学的魅力，以及如何用严谨的逻辑来描述和理解复杂的世界。

评分☆☆☆☆☆

6 两轮机器人的LQ调节

评分☆☆☆☆☆

读了这本书之后，我发现作者在做班主任工作的时候也有很多的无奈，她曾经这样说过：“‘只有不会教的老师，没有教不好的学生’——在我看来，这句话和‘人有多大胆，地有多大产’是一路的。如果是教师之外的人这样说的，那他就是在恶意地欺负人，把教师往绝路上逼；如果教师自己这样说，那他不是幼稚就是自大狂，迟早要碰个头破血流。我曾经属于后一类。那时，我处于极度危险的境地。”看薛老师这些话，你能觉得这是一个真实的老师，她说的话就象是邻居唠家常那样真诚自然。对于书中她大胆、直率的言辞，我很钦佩，不是每个人都有这种胆识、思维的。她能把一件看似简单惯常的事情剖析提头头是道，透过了表象看到了它的内在根源。她有勇气把一些不同与大家都说的话写在纸上，让别人看，虽然多数人心理或许也如她所想。但凭这一点儿，就让人佩服至极。比如，她对“老师象蜡烛、春蚕”，“没有教不好的学生，只有教不好的老师”这些话的评析，一针见血，道出了我们老师的共同心声。之所以造就了她感说真话，敢于抵制一切不利于学生成长和进步的制度。因为薛老师的人生信念就是：缺乏真诚、理性和趣味的日子是不值得过的。教育教学中有了平衡愉悦的心态，正确的定位和良好的策略，才能在饱满热情中，在正确策略中扶植学生向上。

评分☆☆☆☆☆

φ写的的书都写得很好，[]还是朋友推荐我看的，后来就非非常喜欢，他的书了。除了他的书，我和我家小孩还喜欢看郑渊洁、杨红樱、黄晓阳、小桥老树、王永杰、杨其铎、晓玲叮当、方洲，他们的书我觉得都写得很好。随机微分方程（第6版），很值得看，价格也非常便宜，比实体店买便宜好多还省车费。书的内容直得一读随机微分方程(第6版)为全英文版，适合数学专业研究生阅读参考。，阅读了一下，写得很好，随机微分方程在数学以外的许多领域有着广泛的应用，它对数学领域中的许多分支起着有效的联结作用。本书是丛书之一，是一部理想的研究生教材。我们曾影印了第2版和第4版，第6版与第4版相比，内容做了较大的修改和补充，增加了90页的篇幅(近1／3内容)，包括鞅表示论、变分不等式和随机控制等内容，书后附有部分习题解答和提示。，内容也很丰富。，一本书多读几次，。快递送货也很快。还送货上楼。非常好。随机微分方程（第6版），超值。买书就来来京东商城。价格还比别家便宜，还免邮费不错，速度还真是快而且都是正版书。随机微分方程(第6版)为全英文版，适合数学专业研究生阅读参考。，买回来觉得还是非常值的。我喜欢看书，喜欢看各种各样的书，看的很杂，文学名著，流行小说都看，只要作者的文笔不是太差，总能让我从头到脚看完整本书。只不过很多时候是当成故事来看，看完了感叹一番也就丢下了。所在来这里买书是非常明智的。然而，目前社会上还有许多人被一些价值不大的东西所束缚，却自得其乐，还觉得很满足。经过几百年的探索和发展，人们对物质需求已不再迫切，但对于精神自由的需求却无端被抹杀了。总之，我认为现代人最缺乏的就是一种开阔进取，寻找最大自由的精神。中国人讲虚实相生，天人合一的思想，于空寂处见流行，于流行处见空寂，从而获得对于道的体悟，唯道集虚。这在传统的艺术中得到了充分的体现，因此中国古代的绘画，提倡留白、布白，用空白来表现丰富多彩的想象空间和广博深广的人生意味，体现了包纳万物、吞吐一切的胸襟和情怀。让我得到了一种生活情趣和审美方式，伴着笔墨的清香，细细体味，那自由孤寂的灵魂，高尚清真的人格魅力，在寻求美的道路上指引着我，让我抛弃浮躁的世俗，向美学丛林的深处迈进。合上书，闭上眼，书的余香犹存，而我脑海里浮现的，是一个皎皎明月，仙仙白云，鸿雁高翔，缀叶如雨的冲淡清幽境界。愿我们身边多一些主教般光明的使者，有更多人能加入到助人为乐、见义勇为的队伍中来。社会需要这样的人，世界需要这样的人，只有这样我们才能创造我们的生活，随机微分方程在数学以外的许多领域有着广泛的应用，它对数学领域中的许多分支起着有效的联结作用。本书是丛书之一，是一部理想的研究生教

评分☆☆☆☆☆

彭实戈教授说，假使我们为将来设定了某个目标，那么根据现在的能力、财力能否达到？如何达到？解决这个问题的关键，实际上不是从现在向将来分析，而是由将来向现在推导，这就是倒向随机分析。而通过策略的制定逐步把不确定性抵消，把风险规避掉，就是倒向随机微分方程所要解决和计算的问题。围绕这个主题，十多年来，他在概率论、随机控制理论和金融数学领域获得四项研究成果，这些成果都是在国际上具有突破性的基础研究成果。

评分☆☆☆☆☆

一般而言，随机微分方程的解是一随机过程函数，但解方程需要先定义随机过程函数的微分。最常见的定义为根据伊藤清所创，假设B为布朗运动，则对于某函数H，作以下定积分之定义：

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不错的书，比较适合自己，内容很详细

评分☆☆☆☆☆

想看看随机的书，而这本算是比较好的书

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质量很好，购买方便！

评分☆☆☆☆☆

随机微分方程的概念最早以布朗运动的形式，由Einstein在他的那篇著名的论文中提出。这项研究随后由Langevin继续。此后伊藤清和Stratonovich完善了随机微分方程的数学基础，使得这门领域更加的科学严谨。