平面几何证明方法全书习题解答（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈文选 著

图书标签:

• 几何
• 平面几何
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• 习题
• 数学
• 教材
• 高中数学
• 解题方法
• 全书

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560322162

版次：2

商品编码：10214894

包装：平装

出版时间：2006-12-01

用纸：胶版纸

页数：189

字数：213000

内容简介

　　本书的内容为《平面几何证明方法全书》每章后习题的参考答案，仅有几句话的提示也能够起到画龙点睛的作用可帮助读者在求解问题的过程中理清思路，提高解题能力。

作者简介

　　沈文选 男，1948年生，湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，硕士生导师，湖南师范大学数学奥林匹克研究所副所长，中国数学奥林匹克高级教练，全国初等数学研究协调组成员，全国高等师范数学教育研究会常务理事，《数学教育学报》编委，湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者和授课者，湖南师大附中、长沙市一中数学奥林匹克培训主要教练。曾任湖南省数学会初等数学委员会副主任。 已出版图书《中学数学思想方法》、《竞赛数学教程》等20余部，发表学术论文《奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育》等40余篇，发表数学思想方法研究和数学奥林匹克研究等文章200余篇。多年来为全国初、高中数学联赛以及数学冬令营提供试题20余道，是1997年全国高中数学联赛，2002年全国初中数学联赛，2003年第18届数学冬令营命题组成员。任全国初等数学研究协调组成员、全国高师数学研究会常务理事、《数学教育学报》编委、湖南省高校数学教育研究会理事长、湖南省数学会中学数学专业委员会副主任、《现代中学数学》常务副主编等。

目录

练习题 1.1
练习题 1.2
练习题 1.3
练习题 1.4
练习题 1.5
练习题 1.6
练习题 1.7
练习题 1.8
练习题 1.9
练习题 1.10
练习题 1.11
练习题 1.12
练习题 1.13
练习题 1.14
练习题 2.1
练习题 2.2
练习题 2.3
练习题 2.4
练习题 2.5
练习题 2.6
练习题 2.7
练习题 2.8
练习题 2.9
练习题 2.10
练习题 2.11
练习题 2.12
练习题 3.1
练习题 3.2
练习题 3.3
练习题 3.4
练习题 3.5
封面图形说明
编辑手记

前言/序言

几何探秘：从欧几里得到现代拓扑的思维之旅 本书并非针对某一特定教材的习题集或解答手册，而是旨在为几何爱好者、高中理科尖子生、以及大学数学系本科生提供一个全面、深入且富有启发性的几何思维训练平台。我们聚焦于几何学思想的精髓、证明逻辑的构建以及不同几何分支之间的内在联系，而非对既有习题的机械性演绎。 第一部分：欧氏几何的基石与经典论证的艺术（约400字） 本卷回溯了欧几里得《几何原本》所确立的基本公理体系，并着重分析了如何从这些朴素的公设中推导出复杂而精确的几何结论。我们不满足于简单地复述定理，而是深入探讨“为什么”这些定理必须成立，以及在证明过程中所依赖的根本逻辑。 核心探讨内容包括： 1. 公理体系的完备性与独立性审视： 讨论欧几里得公设体系（特别是第五公设）的历史意义及其在现代数学中的地位。 2. 经典构造法（Construction）的精妙： 详细剖析尺规作图的限制与可能性。例如，倍立方、三等分角等三大几何难题的几何学根源分析，以及如何通过代数工具（如域扩张）来严格证明其不可解性。 3. 全等与相似的辨析： 不仅罗列SSA（边边角）的局限性，更深入探讨在不同几何背景下（如球面几何）这些基本概念的微妙变化。 4. 重心、垂心、外心、内心关系的网络化： 建立欧氏平面几何中“四心”的内在联系图谱，展示如何通过向量或坐标系辅助证明，从而实现纯粹几何证明到解析几何证明的平滑过渡，理解不同视角下的统一性。 本部分强调的是几何直觉与形式化证明的结合，引导读者掌握那种“一目了然但难以言喻”的几何洞察力。 第二部分：解析几何的代数威力与空间想象（约450字） 解析几何是连接几何直观与代数精确性的桥梁。本部分侧重于如何将几何问题转化为代数方程，并利用代数工具反哺几何理解，特别是在二维和三维空间中的应用。 重点章节将围绕以下主题展开： 1. 二次曲线的本质： 深入分析圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的一般二次方程 $ ext{Ax}^2 + ext{Bxy} + ext{Cy}^2 + ext{Dx} + ext{Ey} + ext{F} = 0$ 的判别式在确定曲线类型中的作用。我们着重于通过旋转和平移坐标系，将复杂方程化简为标准形式，并解释这种代数操作在几何上对应于何种变换。 2. 极坐标与参数方程的应用： 展示在处理涉及运动、周期性或旋转对称性问题时，极坐标和参数方程如何比笛卡尔坐标系更为简洁高效。例如，分析螺旋线或摆线（Cycloid）的几何特性。 3. 三维解析几何的基石： 详细阐述向量代数在三维空间中的核心地位。包括平面方程、空间直线方程的建立，以及如何利用向量的内积和外积来计算空间中点、线、面之间的夹角、距离和投影。特别强调外积在确定平面法向量和线线、线面垂直关系中的直观意义。 4. 几何变换的矩阵表示： 初步引入线性代数中的概念，说明平移、旋转、缩放等刚体变换如何用矩阵运算来简洁描述，为理解更高级的几何结构打下基础。 此部分旨在培养读者熟练运用代数语言精确表达和解决几何问题的能力。 第三部分：非欧几何的开创性视野与概念拓展（约350字） 对欧氏几何第五公设的质疑催生了非欧几何，这是现代数学思想史上的一次伟大飞跃。本部分旨在打破读者对“平面”和“直线”的固有认知。 内容聚焦于： 1. 罗巴切夫斯基（双曲）几何的直观理解： 探讨在“过直线外一点有无数条不过该直线的平行线”的假设下，三角形内角和小于 $180^circ$ 的必然性。介绍庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）作为双曲空间的模型，并解释其中“直线”（测地线）的弯曲特性。 2. 黎曼（椭圆/球面）几何的对比： 在球面几何中，三角形内角和大于 $180^circ$。通过地球表面大圆的例子，阐明在弯曲空间中，几何性质如何与空间本身的曲率紧密相关。 3. 几何与拓扑的交汇点： 简要介绍拓扑学的基本思想——研究不依赖于距离和角度的性质（如连通性、孔洞数量）。这标志着几何研究从“度量几何”向“性质几何”的深化，为理解更抽象的空间提供了视角。 第四部分：现代几何的引入与高级思维模型（约300字） 最后一部分将目光投向现代数学的前沿，介绍一些概念上更具挑战性但极富魅力的几何分支，它们往往是解决复杂工程和物理问题的关键工具。 1. 射影几何的核心原理： 阐述射影几何如何通过研究“透视不变性”来统一平面几何中的许多看似孤立的定理（如帕斯卡定理）。重点讲解对偶性原理——点与线的对换关系。 2. 微分几何的初步概念： 简要介绍曲线的曲率（curvature）和挠率（torsion）的概念，说明如何用微积分来量化曲线和曲面的局部几何性质。这为理解广义相对论中的时空弯曲提供了数学基础。 3. 群论在几何中的作用： 探讨对称性（Symmetry）的数学描述。几何变换（如旋转、反射）构成了一个群，理解这些群的结构有助于我们从更根本的代数结构上理解几何图形的内在规律。 本书的结构设计，旨在引导读者循序渐进，从绝对精确的欧氏公理出发，经历代数的洗礼，最终领略非欧空间与现代几何的广阔天地。它不是标准答案的堆砌，而是构建完整几何知识体系的思维路线图。

评分☆☆☆☆☆

这本书我真是太期待了！作为一名正在努力攻克平面几何证明难题的学生，我一直在寻找一本能够系统性地梳理各种证明思路和技巧的书。市面上虽然有不少关于几何的教材，但大多侧重于知识点本身，对于如何“写出”一个漂亮的证明，如何运用不同的方法去解决同一个问题，讲解得不够深入。我希望这本《平面几何证明方法全书习题解答（第2版）》能够填补这个空白。 从书名就能看出，它不仅仅是一本习题集，更是一本“方法全书”，而且是“习题解答”部分，这意味着它应该会结合大量的练习题，深入剖析每种证明方法的应用场景和解题逻辑。我设想，书中可能会按照不同的证明思路（比如直接证明、间接证明、构造法、反证法等等）来组织内容，每种方法都会辅以详细的步骤和易于理解的语言进行讲解。更重要的是，对于习题的解答，我希望它不仅仅给出答案，而是能够详细地展示出解题过程，分析为什么选择这种方法，每一步是如何推理出来的，甚至可能会指出一些常见的错误思路和注意事项。如果能像一个经验丰富的老师那样，一点点地带着我把证明过程拆解开来，那将是我学习平面几何最大的福音。我一直觉得，掌握解题方法比死记硬背公式更重要，而这本书似乎正是我梦寐以求的那种“内功心法”宝典。

评分☆☆☆☆☆

读完标题，我就知道这绝对是我一直在找的书！作为一个在平面几何学习中常常感到“卡壳”的学生，我的问题往往不在于对定理不熟悉，而是不知道如何将定理灵活运用到具体的证明题目中。很多时候，看着题目，脑子里一片空白，不知道从何下手，或者试了几种方法都走不通。我觉得，这归根结底是对各种证明“套路”和“技巧”掌握得不够熟练，理解得不够透彻。 我非常好奇这本书的“方法全书”部分是如何组织和呈现的。我设想，它会不会将证明方法分类，比如直接证明（利用定理推导）、间接证明（反证法、排除法）、构造法（添加辅助线、构造图形）、利用特殊图形性质等等，然后针对每一种方法，提供详细的讲解，说明它的适用范围、基本步骤以及需要注意的陷阱。而“习题解答”部分，我则期待它能提供详尽的解题过程，不仅仅是给出答案，而是能够清晰地展现出每一个推理的逻辑链条，解释为什么选择某种方法，为什么这样做是正确的，甚至可以提供多种解题思路，帮助我拓宽解题视野。如果这本书能像一位经验丰富的教练，带着我一点点拆解一道道证明题，让我理解“为什么”这么做，而不仅仅是“怎么”做，那将是极大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

光看书名就觉得能量满满！作为一名在平面几何证明题上屡屡碰壁的学生，我最需要的不是再多一些定理的讲解，而是如何“用”这些定理去解决问题。我常常感觉自己像一个手里拿着工具但不知道如何使用的工匠，知道有各种“锤子”和“螺丝刀”，但就是不知道什么时候该用哪个，以及如何运用才能达到最佳效果。 我对于《平面几何证明方法全书习题解答（第2版）》抱有极高的期望，尤其希望它的“方法全书”部分能够系统地梳理和分类各种常见的平面几何证明思路和技巧。比如，它是否会区分直接证明和间接证明，是否会详细介绍构造辅助线的方法，是否会讲解如何利用特殊三角形、四边形、圆的性质等等。而“习题解答”部分，更是我的“重中之重”。我期待它不仅仅给出答案，而是能够详细地展示出完整的证明过程，并且用清晰、易懂的语言解释每一步推理的逻辑和依据。如果它还能提供多种解题思路，并对不同方法的优劣进行分析，那我将感激不尽。我希望这本书能够成为我的“解题宝典”，帮助我建立起一套完整的证明思维框架，从而自信地应对各种平面几何证明挑战。

评分☆☆☆☆☆

作为一个喜欢钻研数学问题的爱好者，我一直对平面几何的优雅和严谨深感着迷，但同时，也常常被那些看似简单却难以入手证明题所困扰。很多时候，即便我“知道”结论是正确的，但就是不知道该如何“证明”它，或者说，不知道从何处下手。我总是觉得，要真正掌握几何证明，关键在于理解和运用各种证明“技巧”和“套路”，而不是仅仅记住那些固定的定理。 我看到这本书的标题是《平面几何证明方法全书习题解答（第2版）》，就立刻被吸引住了。我非常期待它能够系统地梳理和总结平面几何中常见的各类证明方法，比如全等三角形、相似三角形、圆的性质、向量法、坐标法等等，并且针对每一种方法，提供大量的、有代表性的例题和习题，并且有详尽的解答。我尤其希望，它的解答部分不仅仅是给出最终答案，而是能深入地剖析证明的思路、逻辑、关键步骤，甚至可能还会提供多种解法，并对比不同方法的优劣。如果这本书能让我清晰地认识到，在面对不同类型的证明题时，应该优先考虑哪种方法，以及如何灵活地运用这些方法，那么它对我来说将是一笔宝贵的财富。我迫切地想知道，通过这本书的学习，我的证明能力能否得到质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直对平面几何的证明部分感到头疼，虽然我对基本定理和性质都比较熟悉，但一遇到实际的证明题，就常常感到无从下手，或者思路不清，耗费大量时间也未必能得出正确结论。我总觉得，平面几何的证明，除了掌握基础知识，更重要的是掌握“解题策略”和“技巧”。 我非常期待这本书的“习题解答”能够成为我学习的“秘密武器”。我希望它不仅仅是给出答案，而是能够像一位耐心的老师，为每一道习题提供详尽的解题步骤，并且深入分析每一步推理的依据。更重要的是，我希望它能够系统地梳理和总结各种证明方法，比如如何巧妙地添加辅助线，如何运用全等或相似三角形，如何利用圆的性质，甚至是一些进阶的证明技巧，并且通过大量的例题，展示这些方法在实际题目中的应用。如果这本书能够帮助我理解不同类型题目应该采用何种证明思路，以及如何将这些方法融会贯通，那么它对我来说将是无价之宝。我渴望通过这本书，彻底克服对平面几何证明的恐惧，真正掌握其中的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我是一个很爱读书的人，基本上每1-3天读完一本。所以也是经常买书的读者。其次，这本书的纸张质量很好，没有异味，不粗糙。一看就是正版，也是新书，塑封的。再次，送货员的速度很快，态度也非常好，还帮忙送上楼，一句怨言都没有。非常感动！还有，京东的价格一直挺给力，服务也好。我会继续保持一直光顾。最后，关于书籍内容方面，总体来说是一本好书，读完受益匪浅，很有作用。收藏了，有空或者书荒时会随时抽空看看。以下心得内容给各位参考参考：夏天的雨，干脆，强劲；夏天的的雨，利落，爽快；夏天的的雨，生动，豪爽； 夏天的雨，毫不拖泥带水；夏天的雨，像个男人！ 他不像春天的雨那样，淅淅沥沥，极尽了缠绵。他生性秉直，无所顾忌，来的猛烈，去的迅速。如果说春天的雨是摇曳着浅绿长裙的清纯少女，那么夏天的雨就是说来就来，说走就走的梁山汉子。他不像秋雨那样，星星点点，故寻闲愁。他总是在狂风大作中生情并茂，在电闪雷鸣中袒露胸襟，在惊心动魄中一诺千金。如果说秋天的雨是“谁怜憔悴更雕零”的李忆安，那么夏天的雨就是披长发而仰天长啸于泽畔江河的辛稼轩。他更不像冬雨那样，在噼哩叭啦的凛冽寒风中，无情的让人全身发抖。他如发怒的神兵鼓噪而来，似摧枯拉朽的千军万马凌空进发。如果说冬天的雨是给人们带来的是沉寂的气息，那么夏天的雨就是“气吞万里如虎”的粗豪男人给人带来的奔放与狂野。他虽然豪迈，虽然狂放，虽然动人心魄，虽然大气磅礴，但他和男人一样，表面上表现着坚强，内心却十分的脆弱。他忍受着苦痛佯装着干脆，经受着磨砺佯装着豁达，面带着微笑显示着生命的刚强。在他不堪重负的时候，有时会哭会笑，有时会吵会闹，但在哭过笑过吵过闹过之后，又背负着希望、疲惫和责任走向了热情；在他无奈的时候有时只会闷头抽烟，在他苦涩的时候有时只会躲起来喝酒，有只会在无人的角落里哭泣，但在抽过喝过哭过之后，又装出了一副英雄的形象来走向了强大。他总是按季节固有的程序收获他的圆满。他不会因为人们的企盼而提前，也不会因为人们体验干燥而来晚。他总是率性而为，来去从容，总是轰轰烈烈，总是在短暂的疯狂中不忘对大地的奉献，总是在即将消逝的时候充满着对生命的热爱。如果说春天的雨婀娜多姿，是俏丽佳人，秋天的雨缠缠绵绵，是悲情的怨妇，冬天的雨冷酷无情，没有了温柔，那么夏天的雨.有种色彩，明艳却不庸俗；有种气氛，凄美却不绝望；有种思念，缠绵却不造作，作文之初中作文:初中生写景作文。哦，那便是秋的色彩，那便是秋的气氛，那便是秋的思念。春的繁花似锦，夏的绿树成荫，冬的白雪皑皑，在这秋风萧瑟的季节早已淡去，唯有求是人们心中独特的美景，它将归来的讯息寄予红叶，洒满一地，告诉每一个人。秋洋溢在农民的笑窝里，看那层层的稻浪，金黄金黄，翻滚着近了。看那累累的果实，经过春的播种夏的洗礼，审批露水，咧开嘴露出笑容，新奇的张望这个世界。沁人心脾的清香到处弥漫。秋沉浸在涓涓的碧波里。它所代表的不仅仅是一份收获，一份凄美，还有一份来年的希冀，望枯叶落尽，你是否会感到遗憾？看燕子南去，你是否会感慨万千？请看满园的菊花，正开的姹紫嫣红，那不是一种生命力的象征么？它们红的像火，白的像雪，粉的像霞。在困境中笑傲江湖，才是真正可贵的。况且，叶子落了，又将会见来年枝头吐新芽；燕子去了，又将会见来年欢喜报新春。以笑的姿态面对落叶，面对秋天，面对生活，你会发现，就连太阳也在笑着祝福我们。秋飘洒在绵绵的细雨中。一切那么朦胧，远远望见那片枫叶林，已是火红一片。没有任何人，只剩下孤零零的荒冢，冷风吹起坟头上的白草，我想起故去的亲人。落叶归根是一份宿命，残花凋零是完成一次未完成的使命，晨露滑落更是一次生的光辉，只是感慨起脆弱的生命，感慨起梦里花落。逝去的已然逝去，我们无法左右。那面对离别，又当如何？我想起儿时的伙伴，想起曾经朝夕相处、欢笑嬉闹的日子，以及不掺任何杂质的小小的心愿，还有阔别已久的恩师、同窗，梦中花落，香到忧伤。你们现在过得好吗？秋，它的确凝聚了太多太多。

评分☆☆☆☆☆

书质量很好。值得大家购买！读书，读书，书何来？ 　　是买？是借？还是抢或偷？（借而不还，主人忘记算是偷，主人记得便是抢 了）在我看来，喜欢的书还是买的好，起码想看的时候随时都可以看，不必匆忙 去借了。 　　大家都应该买过不少书，之下是我的一些藏书买书的心得，和大家探讨探讨。 　　幼年时期，买的书往往不是自己作主的，都是家人出于“好意”买的，合不 合心意都得收下。不过也会有可以留下的好东西，像我现在还保存的14本的《十 万个为什么》、3 本的《上下五千年》，都是很好的精品，但这样东西太少了， 不到自己藏书的1% 　　人到少年，起码是可以作些主了，但那时看的最多是些小说和漫画，现在看 来也只有少数能进入藏书的资格，多是古典名著和国外名家的小说，看的算是似 懂非懂的（红楼梦），最多是长长见识了。 　　到了青少年时期，疯狂的喜欢上了散文，可能是情窦初开的年龄，对美文的 喜好几近痴迷了，买了好多的散文集、诗集，看不懂，熏也熏了些，不过对诗词 的理解上了些阶段了 　　进了高中，突然觉得自己以前看的不怎么实用，好似春花秋月，感慨而以！ 对生活还是要实际些，名人传记、战争历史成了自己的厚爱了，雄心勃勃，好似 天下尽在吾毂，却也是豪气的很 　　高考一过，大学生活更是写意了，但之前的学识只是锦绣，不堪实用，开始 对哲学和历史有了感觉，买了不少名家文集，作为提高的用处，文章水平有些提 高，却也不是经时济用的才识 　　工作了，工作了，手上终于有了经济自主权了！开始搬经典回家了，经史居 多，国外的经济学术文集也不少，看书的时间却也不多了，只是偶尔看看了 　　上面是自己的买书经历，却也不是心得，不过还是有些可以和大家介绍介绍 的 　　首先，买书不要光看书皮样子，我家的很多名著小说都是50、60年代的旧版， 无残无缺就可以了，否则光鲜的书皮还是很花钱的 　　其次，买书别去大书店。书店大了，反而好书不会多，大书店只适合找书， 有些其貌不扬的小书店就很有些好东西。 　　在次，旧货市场和旧书市场还是能找到好东西的，关键是用心，我有不少市 面上罕见的版本是小摊子上找到的 　　最后，不要将买书和赚钱放在一起（我有个朋友喜欢收旧版的书，但是为了 赚钱，收来的都不是什么好版本，最后放弃了） 最后一个很重要的程序就是书写购书时间、地点，然后盖上藏书章。这件事情要安静一点的时候去做，最好家里没人的时候。把手洗干净，书全部摆在眼前，把面巾纸撕成比藏书章大一点的小块，盖完章后敷在上面以免沾圬书页。写字盖章后不能马上摞起来，所以就一本本摊开，等确信都已干透的时候再收起来。从中挑出一两本特别想看的放在顺手的地方，其余的上书架。整个过程是一种无以言表的享受。 以上是浅见了，望大家指正了

评分☆☆☆☆☆

书是正版的，题有些偏难。习惯好评！

评分☆☆☆☆☆

1. 而且不能用强求的方式取得。 婚姻是我们是否成熟的最好试金石。你若不想关心别人，最好是自己独处。但你若想与另一个人极亲密地生活在一起，便必须具有关爱别人的能力……这才是成熟的表现。 一名真正的男子... 要想发觉真正的自我，也就是我们与他人的不同，真正具有价值的地方，则必须先除掉人性中的许多束缚，诸如：恐惧，畏缩，自我怀疑，迷惑惑僵化人性中心的思想的种种积习。这时，兴奋便有如火把，能把捆绑住自我面貌的层层束缚挣脱掉，使真正的自我解放出来。使我们发现自我，发现我们与众不同的三种方法： 1 每天安排独处的时刻 2.努力破除束缚自我的种种的积习 3.用热忱及兴奋去追求我们首要去做的事情不是去观望遥远的将来，而是去做手边的清晰之事。 为明日做好准备的最佳办法就是集中你所有的智慧、热忱，把今天的工作做得尽善尽美。 一个好想法与坏想法的差别是，好想法考虑到原因和结果，从而产生一个符合逻辑、富有建设性的计划；而坏想法通常导致一个人的紧张和精神崩溃。 对一个聪明人来说，每一天都是一个新的生命。微笑。无论如何微笑。记住你接触的人中每个人的名字。让他们得到重视。做一个善于静听的人，鼓励别人多谈自己。跟你说话的人，对他自己来讲，他的需要、他的问题，比你的问题要重要上百倍。他的牙痛，对他来讲，要比发生天灾死了数百万人还重要得多。他注意自己头上一个小疮愈，比注意发生一椿大地震还来得多。 如果要使别人喜欢你，谈论他的兴趣所在。 第一项规则：真诚的对别人发生兴趣。 第二项规则：微笑。 第三项规则：记住... 果你“假装”对工作感兴趣，这种态度往往会使你的兴趣弄假成真。这种态度还能减少疲劳、紧张和忧虑。 除了身体的运动，我们更需要的是精神、心智上的运动，以便促使我们付诸行动。 每天时时跟自己交谈，可以引导自己思考什么是勇气和幸福，什么是平安和力量；每天跟自己谈些需要感谢的事，这样，你的心灵就会海阔天空，快乐欢畅。 去假装，或者怎样。从中体会到其中的趣味才是关键。献出你真实，诚恳的赞赏，而不是一味的批评对方。想想如果你处在相同的状态和情形之下，你会怎样做，是否也会像他们一样犯错，或者，在想指责别人的时候，想想给他人自重感，同时也是对自己的尊重

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