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內容簡介

　　 《中學代數研究》是“數學教育係列教材”（普通高等教育“十五”國傢級規劃教材）之一，是關於中學代數內容及其教學理論與實踐的概述，包括數與數係，式、代數式與不等式，方程，函數，數列，算法以及中學代數問題精選等內容。本教材對中學代數內容用較高的數學觀點進行瞭分析，提齣瞭一些具有針對性的教學建議，並精選瞭一些典型的例題。在編寫思想上力求在注意形式化的同時，加強代數知識的直觀理解。
《中學代數研究》由來自全國十餘所高等師範院校的專傢、學者共同完成，其讀者對象是高等師範院校的數學係學生以及有誌於從事數學教育的大學生，也十分適閤作為中小學教師培訓和繼續教育用書。

目錄

第一章 數與數係
第一節 數係的曆史發展
第二節 自然數係和
第三節 從自然數係到整數環
第四節 有理數係
第五節 實數係
第六節 戴德金分割與實數係的連續性
第七節 復數係
第八節 關於數係教學的建議
第九節 一些例題
第十節 兩個附錄

第二章 式、代數式與不等式
第一節 數學符號簡史
第二節 數學符號語言代數式
第三節 字母錶示數
第四節 解析式
第五節 絕對不等式的證明
第六節 條件不等式的求解

第三章 方程
第一節 方程的曆史發展及其科學價值
第二節 方程的定義
第三節 同解方程
第四節 幾種常見方程的變形
第五節 解方程的常用方法
第六節 一元三次、四次以及高次方程
第七節 韋達公式、方程根的性質
第八節 不定方程與中國剩餘定理

第四章 函數
第一節 函數的發展及其科學價值
第二節 函數概念的三種定義
第三節 初等函數
第四節 函數的圖像與函數的特徵
第五節 函數概念的教學

第五章 數列
第一節 數列簡史
第二節 中學數學裏的數列及其求和
第三節 等差數列與等比數列
第四節 數列的差分與高階等差數列
第五節 綫性遞歸數列
第六節 數列應用舉例
第七節 數列與數學歸納法

第六章 算法
第一節 算法概述
第二節 標準程序流程圖的符號及使用約定
第三節 算法舉例
第四節 算法設計的基本方法
第五節 可計算性與算法復雜性
第六節 中學算法內容的教學分析

第七章 中學代數問題精選
第一節 有關數係的數學題
第二節 不等式的有關問題
第三節 有關方程的問題求解
第四節 有關函數的問題
第五節 有關數列的問題

精彩書摘

四、與實體不能直接對應的“理想數”
在19世紀，數學産生瞭兩個方麵的變化。一方麵，齣現瞭拉普拉斯方程，熱傳導方程，流體力學方程，以及影響深遠的電磁學方程，數學大舉進入應用性的科學範疇。另一方麵，數學更加抽象化、形式化。非歐幾何的誕生，群論的創立，四元數的齣現，使得數學傢在建立“人類理性王國”的道路上不斷前進。
希爾伯特完全求助於理性的想像力，用“理想元”來概括數學中的“虛數”、“無限”這類並不直接與實體對應的數學概念。希爾伯特說：“在重要而富有成效的理想元方法中，我們遇到瞭關於無限性概念的一個全然不同且很獨特的想法。……兩條直綫總能交於一點這樣的結論是不成立的，因為兩條直綫也可以互相平行。然而我們知道，在引入理想元，即無限遠點和無限遠直綫之後，我們能使兩條直綫總在一點而且隻在一點相交這條定理普遍為真。……采用理想元的另一個例子是代數學中大傢熟悉的復虛量，它們使那些有關一個方程的根的存在性和根的數目的定理得以簡化。”“因為在數學中和在其他場閤一樣，成功是最高法庭，任何人都得服從它的裁決。”
希爾伯特的“理想元”想法，在20世紀引發瞭數係的另一個重大的進步，那就是非標準實數係。1960年，魯賓遜（A。Robinson）用數理邏輯的方法證明瞭，通常的實數係R，可以擴充為一種包括“無窮小”與“無窮大”在內的數係R*。在R*內，普通的實數稱為標準實數。在標準實數0附近，有許多錶示“無窮小”的非標準實數。這些“無窮小”非標準實數的倒數，就是“無窮大”非標準實數。魯賓遜證明：這樣擴充之後，數係R*定義的各種運算和通常實數係中的運算，不會發生矛盾。同時，原來標準實數的極限過程就可以用非標準實數的四則運算加以代替。“無窮小”終於成為R*中一個“數”瞭，不必再是一個過程。
無窮小成為一個理想的數，得到瞭普遍的承認。不過，當初魯賓遜等數學傢曾經預言，非標準分析將取代現今通用的“標準分析”。這至今沒有實現。
……

前言/序言

常言說，教師要給學生一杯水，自己先要有一桶水。高等師範院校設置的大量數學課程，就是這樣的一桶水。本書是這桶水的一部分，一個中學數學教師最直接使用的一部分。
本書定名為《中學代數研究》。早些年，通用的名稱是《初等代數研究》。我們覺得這個名字不甚確切，請看大百科全書對“初等代數學”的界定：
“初等代數學，研究數字和文字的代數運算（加法、減法、乘法、除法、乘方、開方）的理論和方法；更確切點說，研究實數和復數和以它們為係數的多項式的代數運算的理論和方法。它的研究方法是高度計算性的。它的中心問題是實或復係數的多項式方程（或稱代數方程）和方程組的解（包括解的公式和數值解）的求法及其分布的研究，因此它也可簡稱方程論。”（見《中國大百科全書（數學捲）》，第111頁。）
迴顧我國1949年以前的中學數學課程，中學裏設置的代數課程，其核心內容就是上述意義的“初等代數”。簡單地說，中學裏的代數學“以方程為綱”。翻開譯自美國數學傢Fine所著的《範氏大代數》，最高水平的內容是“高次方程式論”。進入20世紀50年代，中國的數學教學全麵學習前蘇聯，中學數學課程改為“以函數為綱”。方程的教學要求隨之降低：隻學習一元二次方程的求解，高次方程式論全部刪去。經過半個世紀的教學實踐，逐步形成瞭中國傳統的“中學代數”體係，主要內容有：數和數係，方程，函數，不等式，數列。這顯然超齣瞭上述的“初等代數”的含義。進入21世紀之後，中學代數的內容又有瞭變化。2002年公布的《高中數學課程標準（實驗稿）》，必修課部分新增加瞭“算法”，選修課中的代數內容則更加廣泛。由此看來，“中學代數”不同於“初等代數”，中學代數是一個不斷發展變化的學科。正因為如此，我們將本書定名為《中學代數研究》。

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“那是在夏末，我住在老瓦斯利我爸爸那兒。”

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那時候，我的玩伴是艾米、巴剋沙、勒貝卡、塔絲曼和弗伊納。他們都又髒又瘦，像鰻魚一樣靈活。他們中有些和我一樣說俄語，有些不會說俄語。可孩子們什麼時候需要語言來互相理解呢？我們跑得上氣不接下氣，奔下樓梯，藏在廁所裏，躲到晾在披簷下的床單後麵來嚇老太婆漢斯卡夫人。我們的陣陣笑聲傳遍大廈，比空氣流動還快。

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書內頁很乾淨，沒有褶皺，物流很快。

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其他的東西都亂七八糟地堆在房間裏：我們的衣服，我的綠色地圖冊，被子，炊具，沒瞭弦的小提琴，收音機，還有瓦斯利的能加熱的茶炊。如果有一天我聽到大鍾響.襲知譜該焦麼登子.抓件行率貸.飛快柏把我們的東西塞進去。有時，我在腦海裏演練這些緊急行動——凳子，行李，我們的東西——我想象著大廈一下子就空瞭的情形，有點像拔瞭塞的浴缸一樣。我問葛洛麗婭我們接著做什麼。她聳瞭聳肩：

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華師的初等數學研究課本，老師要求要用的，其實各網站價錢都差不多，看在京東很快，就在京東買瞭

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“做我們一直做的事情，庫瑪，朝著更遠的地平綫嚮前走。”

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“是的，庫瑪。那時候，瓦斯利擁有高加索最美麗的果園。嘖嘖，你真應該看看！蘋果樹、梨樹、桃樹、杏樹，成畝成畝的樹林！一邊是河流，另一邊是鐵路……”

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