程序員的數學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[日] 結城浩 著，管傑 譯

圖書標籤:

• 數學
• 編程
• 計算機科學
• 算法
• 離散數學
• 數據結構
• 程序員
• 技術
• 學習
• 基礎

齣版社： 人民郵電齣版社

ISBN：9787115293688

版次：1

商品編碼：11094250

包裝：平裝

叢書名： 圖靈程序設計叢書

開本：16開

齣版時間：2012-11-01

用紙：膠版紙

頁數：232

字數：264000

正文語種：中文

産品特色

編輯推薦

　　

　　如果數學不好，是否可以成為一名程序員呢？答案是肯定的。 《程序員的數學》適閤：數學糟糕但又想學習編程的你
　　沒有晦澀的公式，隻有好玩的數學題。
　　幫你掌握編程所需的“數學思維”。
　　日文版已重印14次！

內容簡介

　　《圖靈程序設計叢書：程序員的數學》麵嚮程序員介紹瞭編程中常用的數學知識，藉以培養初級程序員的數學思維。讀者無需精通編程，也無需精通數學，隻需具備四則運算和乘方等基礎知識，就可以閱讀《程序員的數學》。　　書中講解瞭二進製計數法、邏輯、餘數、排列組閤、遞歸、指數爆炸、不可解問題等許多與編程密切相關的數學方法，分析瞭哥尼斯堡七橋問題、高斯求和方法、漢諾塔、斐波那契數列等經典問題和算法。引導讀者深入理解編程中的數學方法和思路。　　《程序員的數學》適閤程序設計人員以及編程和數學愛好者閱讀。

作者簡介

　　結城浩（Hiroshi Yuki），生於1963年，日本專業技術作傢和程序員。在編程語言、設計模式、數學、加密技術等領域，編寫瞭很多深受歡迎的入門書。代錶作有《數學女孩》係列、《程序員的數學》等。

　　管傑，畢業於復旦大學日語係。現為對日軟件工程師，多年日語技術文檔編寫經驗。愛好日漢翻譯和日本文化史，譯有《明解C語言：入門篇》等。

內頁插圖

目錄

第1章 0的故事——無即是有
本章學習內容
小學一年級的迴憶
10進製計數法
什麼是10進製計數法
分解2503
2進製計數法
什麼是2進製計數法
分解1100
基數轉換
計算機中為什麼采用2進製計數法
按位計數法
什麼是按位計數法
不使用按位計數法的羅馬數字
指數法則
10的0次方是什麼
10-1是什麼
規則的擴展
對20進行思考
2-1是什麼
0所起的作用
0的作用：占位
0的作用：統一標準，簡化規則
日常生活中的0
人類的極限和構造的發現
重溫曆史進程
為瞭超越人類的極限
本章小結

第2章 邏輯——真與假的二元世界
本章學習內容
為何邏輯如此重要
邏輯是消除歧義的工具
緻對邏輯持否定意見的讀者
乘車費用問題——兼顧完整性和排他性
車費規則
命題及其真假
有沒有“遺漏”
有沒有“重復”
畫一根數軸輔助思考
注意邊界值
兼顧完整性和排他性
使用if語句分解問題
邏輯的基本是兩個分支
建立復雜命題
邏輯非——不是A
邏輯與——A並且B
邏輯或——A或者B
異或——A或者B（但不都滿足）
相等——A和B等
蘊涵——若A則B
囊括所有瞭嗎
德·摩根定律
德·摩根定律是什麼
對偶性
卡諾圖
二燈遊戲
首先藉助邏輯錶達式進行思考
學習使用卡諾圖
三燈遊戲
包含未定義的邏輯
帶條件的邏輯與（&&）
帶條件的邏輯或（||）
三值邏輯中的否定（！）
三值邏輯的德？摩根定律
囊括所有瞭嗎
本章小結

第3章 餘數——周期性和分組
本章學習內容
星期數的思考題（1）
思考題（100天以後是星期幾）
思考題答案
運用餘數思考
餘數的力量——將較大的數字除一次就能分組
星期數的思考題（2）
思考題（10100天以後是星期幾）
提示：可以直接計算嗎
思考題答案
發現規律
直觀地把握規律
乘方的思考題
思考題（1234567987654321）
提示：通過試算找齣規律
思考題答案
迴顧：規律和餘數的關係
通過黑白棋通信
思考題
提示
思考題答案
奇偶校驗
奇偶校驗位將數字分為兩個集閤
尋找戀人的思考題
思考題（尋找戀人）
提示：先試算較小的數
思考題答案
迴顧
鋪設草席的思考題
思考題（在房間裏鋪設草席）
提示：先計算一下草席數
思考題答案
迴顧
一筆畫的思考題
思考題（哥尼斯堡七橋問題）
提示：試算一下
提示：考慮簡化一下
提示：考慮入口和齣口
思考題答案
奇偶校驗
本章小結

第4章 數學歸納法——如何徵服無窮數列
本章學習內容
高斯求和
思考題（存錢罐裏的錢）
思考一下
小高斯的解答
討論一下小高斯的解答
歸納
數學歸納法——如何徵服無窮數列
0以上的整數的斷言
高斯的斷言
什麼是數學歸納法
試著徵服無窮數列
用數學歸納法證明高斯的斷言
求齣奇數的和——數學歸納法實例
奇數的和
通過數學歸納法證明
圖形化說明
黑白棋思考題——錯誤的數學歸納法
思考題（黑白棋子的顔色）
提示：不要為圖所惑
思考題答案
編程和數學歸納法
通過循環錶示數學歸納法
循環不變式
本章小結

第5章 排列組閤——解決計數問題的方法
本章學習內容
計數——與整數的對應關係
何謂計數
注意“遺漏”和“重復”
植樹問題——不要忘記0
植樹問題思考題
加法法則
加法法則
乘法法則
乘法法則
置換
置換
歸納一下
思考題（撲剋牌的擺法）
排列
排列
歸納一下
樹形圖——能夠認清本質嗎
組閤
組閤
歸納一下
置換、排列、組閤的關係
思考題練習
重復組閤
也要善於運用邏輯
本章小結

第6章 遞歸——自己定義自己
本章學習內容
漢諾塔
思考題（漢諾塔）
提示：先從小漢諾塔著手
思考題答案
求齣解析式
解齣漢諾塔的程序
找齣遞歸結構
再談階乘
階乘的遞歸定義
思考題（和的定義）
遞歸和歸納
斐波那契數列
思考題（不斷繁殖的動物）
斐波那契數列
帕斯卡三角形
什麼是帕斯卡三角形
遞歸定義組閤數
組閤的數學理論解釋
遞歸圖形
以遞歸形式畫樹
實際作圖
謝爾平斯基三角形
本章小結

第7章 指數爆炸——如何解決復雜問題
本章學習內容
什麼是指數爆炸
思考題（摺紙問題）
指數爆炸
倍數遊戲——指數爆炸引發的難題
程序的設置選項
不能認為是“有限的”就不假思索
二分法查找——利用指數爆炸進行查找
尋找犯人的思考題
提示：先思考人數較少的情況
思考題答案
找齣遞歸結構以及遞推公式
二分法查找和指數爆炸
對數——掌握指數爆炸的工具
什麼是對數
對數和乘方的關係
以2為底的對數
以2為底的對數練習
對數圖錶
指數法則和對數
對數和計算尺
密碼——利用指數爆炸加密
暴力破解法
字長和安全性的關係
如何處理指數爆炸
理解問題空間的大小
四種處理方法
本章小結

第8章 不可解問題——不可解的數、無法編寫的程序
本章學習內容
反證法
什麼是反證法
質數思考題
反證法的注意事項
可數
什麼是可數
可數集閤的例子
有沒有不可數的集閤
對角論證法
所有整數數列的集閤是不可數的
所有實數的集閤是不可數的
所有函數的集閤也是不可數的
不可解問題
什麼是不可解問題
存在不可解問題
思考題
停機問題
停機
處理程序的程序
什麼是停機問題
停機問題的證明
寫給尚未理解的讀者
不可解問題有很多
本章小結

第9章 什麼是程序員的數學——總結篇
本章學習內容
何為解決問題
認清模式，進行抽象化
由不擅長催生齣的智慧
幻想法則
程序員的數學
……

精彩書摘

　　◎課前對話
　　老師：假設現在有一排多米諾骨牌。如何將它們全部推倒呢？
　　學生：這個簡單！隻要將它們排列成其中1 個一倒就能順次帶倒下一個的形狀就行瞭。
　　老師：這樣還不夠喔！
　　學生：啊？為什麼呢？
　　老師：因為還需要推倒第一個多米諾骨牌。
　　學生：那不是理所當然的嘛！
　　老師：正是！這樣你就能理解數學歸納法的兩個步驟瞭。
　　本章學習內容
　　本章我們要學習的是數學歸納法。數學歸納法是證明某斷言對於0 以上的所有整數（0，1，2，3…）都成立的方法。整數0，1，2，3…有無窮個，但若使用數學歸納法，隻需經過"2個步驟"，就能證明有關無窮的命題。
　　首先，我們以求齣1 到100 之和為例介紹數學歸納法。接著會穿插幾道思考題來看一下數學歸納法的具體實例。最後，我們會討論數學歸納法和編程的關係，一起瞭解一下循環不變式。
　　高斯求和
　　思考題（存錢罐裏的錢）
　　思考題（存錢罐裏的錢）
　　在你麵前有一個空存錢罐。
　　第1 天，往存錢罐裏投入1 元。存錢罐中總金額為1 元。
　　第2 天，往存錢罐裏投入2 元。存錢罐中總金額為1 + 2 = 3 元
　　第3 天，往存錢罐裏投入3 元。存錢罐中總金額為1 + 2 + 3 = 6 元
　　第4 天，往存錢罐裏投入4 元。存錢罐中總金額為1 + 2 + 3 + 4 = 10 元
　　那麼，每天都這樣往存錢罐裏投入硬幣的話，第100 天時的總金額為多少呢？
　　思考一下
　　本題要求算齣第100 天時存錢罐的總金額。要求齣第100 天的金額，隻要計算1 + 2 + 3+ … + 100 的值就行瞭。那麼，具體應如何計算呢？
　　一般來說，最先想到的肯定是機械地將它們逐個相加。1 加2，再加3，再加4，…再加99，再加100。隻要這樣加起來就能得齣答案瞭吧。如果說筆算比較花時間的話，也可以使用計算器或編程來計算。
　　不過，德國數學傢高斯在9 歲時遇到瞭同樣的問題，卻馬上得齣瞭答案。當時他既沒用計算器也沒用電腦。那麼，他究竟是如何做到的呢？
　　小高斯的解答
　　小高斯是這麼考慮的。
　　1 + 2 + 3 + …+ 100 順次計算的結果和100 + 99 + 98 + …+ 1 逆嚮計算的結果應該是相等的。那麼，就將這兩串數字像下麵那樣縱嚮地相加。
　　如此一來，就變成瞭101 + 101 + 101 + …+ 101 那樣100 個101 相加的結果。這樣的計算就非常簡單瞭。隻要將101 乘以100 即可，結果為10100。不過10100 是要求的數的2 倍，因此還得除以2，答案為5050。
　　答案：5050 元。
　　討論一下小高斯的解答
　　小高斯的方法可謂絕妙非凡!
　　為瞭便於大傢理解，我們將高斯的方法用圖來錶示。求1 + 2 + 3 + …+ 100 的結果，相當於計算圖4-1 所示的排列成階梯型的瓷磚塊數。
　　圖4-1 將高斯的方法圖形化
　　高斯則又做瞭一個一模一樣的階梯，並將兩者閤二為一，組成瞭一個長方形。
　　圖4-2 將2個階梯組閤成1個長方形
　　由2 個階梯組閤而成的長方形，縱嚮有101 塊瓷磚，橫嚮有100 塊瓷磚。因此，該長方形由101×100 = 10100 塊瓷磚構成。而所求的瓷磚塊數就是10100 的一半，即5050。
　　我們來說一說高斯的計算效率。使用他的方法不需要花費力氣逐個相加。隻要將兩端的1 和100 相加，結果乘以100 再除以2 就行瞭。
　　現在，假設我們不是從1 加到100，而是從1 加到10000000000（100 億）。這次我們就不能采用逐一相加的方法瞭。因為即使計算器1 秒能完成1 次加法計算，加到100 億也得花300 年以上的時間。
　　不過，如果使用高斯的方法，那麼從1 加到100 億也隻要1 次加法、1 次乘法、1 次除法運算即可完事。我們來實際計算一下。
　　高斯（Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855）後來成為瞭曆史上著名的數學傢。
　　歸納
　　高斯運用瞭以下等式。
　　這裏，使用變量n，將"1 到100"歸納為"1 到n"。這樣，上麵的等式就變為如下形式
　　那麼，這個等式對於0 以上的任意整數n 都成立嗎？即n 為100、200，或者100 萬、100 億時該等式也都成立嗎？如果成立的話，又如何來證明呢？
　　這種時候就要用到數學歸納法瞭。數學歸納法是證明"斷言對於0 以上的所有整數n都成立"的方法。
　　學生："對於所有整數n"，總覺得這種說法彆扭。
　　老師：彆扭？
　　學生：會感覺頭腦中充滿瞭整數。
　　老師：那麼，改為"對於任一整數n"怎麼樣？
　　學生：啊！那樣感覺稍微舒服些。
　　老師：其實說的是一迴事呢！
　　數學歸納法-- 如何徵服無窮數列
　　本節，我們就來討論一下數學歸納法的相關內容。首先，從"0 以上的整數的斷言"開始學起，然後使用數學歸納法來證明高斯的斷言 。
　　0以上的整數的斷言
　　0 以上的整數n 的斷言"，就是能夠判定0，1，2…等各個整數為"真"或"假"的斷言。這樣說明或許難以理解，下麵就舉幾個例子。.
　　● 例1
　　o 斷言A (n ) ：n ×2 為偶數。
　　A(n)，即"n×2 為偶數"的斷言。由於n 為0 時，0×2 = 0 為偶數，所以A(0) 為真。
　　A(1) 又怎麼樣呢？因為1×2 = 2 為偶數，所以A(1) 也為真。
　　那是否可以說斷言A(n)，對於0 以上的所有整數n 都為真（對於0 以上的任意整數n都成立）呢？
　　對！可以這麼說。因為0 以上的任意整數乘以2 的結果都為偶數，所以對於0 以上的所有整數，斷言A(n) 都為真。
　　● 例2
　　o 斷言B (n ) ：n ×3 為奇數
　　那麼，斷言B(n) 又將如何呢？該斷言對於0 以上的所有整數n 都成立嗎？
　　例如，假設n 為1，則斷言B(1) 就是"1×3 為奇數"，這個結果為真。但不能說對於0以上的所有整數n，斷言B(n) 都為真。因為假設n 為2，則n×3 的值為2×3 = 6。而6 是偶數，所以斷言B(2) 不為真（為假）。
　　n = 2 是推翻"斷言B(n) 對於0 以上的所有整數n 都成立"的反例。
　　● 其他例子
　　那麼請思考一下，在下麵4 個斷言中，對於0 以上的所有整數n 都成立的有哪些。
　　o 斷言C (n ) ：n +1 為 0 以上的整數。
　　o 斷言D (n ) ：n -1 為 0 以上的整數。
　　o 斷言E (n ) ：n ×2 為 0 以上的整數。
　　o 斷言F (n ) ：n ÷2 為 0 以上的整數。
　　斷言C(n)，對於0 以上的所有整數n 都成立。因為若n 為0 以上的整數，則n + 1 肯定是0 以上的整數。
　　斷言D(n)，對於0 以上的所有整數n 不成立。例如，斷言D(0) 為假。因為0 -1 = -1，不是0 以上的整數。n = 0 是唯一的反例。
　　斷言E(n)，對於0 以上的所有整數n 都成立。
　　斷言F(n)，對於0 以上的所有整數n 不成立。因為當n 為奇數時，n÷2 的結果不是整數。
　　高斯的斷言
　　在討論瞭" 0 以上的整數n 的斷言"之後， 我們將話題轉迴高斯的斷言。
　　可以使用下述有關n 的斷言形式來錶現高斯的觀點。
　　o 斷言G(n) ：0 到n 的整數之和為 。
　　接下來要證明的是，"G(n) 對於0 以上的所有整數n 都成立"。可以通過描畫前麵的階梯狀的圖（圖4-1）來證明，但是有人可能會有這樣的疑問：0 以上的整數有0, 1, 2, 3，…等無窮個數字，而圖中錶現的隻是其中一種情況。 當G(1000000) 時也成立嗎？
　　確實，0 以上的整數有無窮個。這就要通過引入"數學歸納法"來證明瞭。使用數學歸納法能夠進行0 以上的所有整數的相關證明。
　　什麼是數學歸納法
　　數學歸納法是證明有關整數的斷言對於0 以上的所有整數（0、1、2、3…）是否成立時所用的方法。
　　假設現在要用數學歸納法來證明"斷言P（n）對於0 以上的所有整數n 都成立"。
　　數學歸納法要經過以下兩個步驟進行證明。這是本章的核心內容，請大傢仔細閱讀。
　　o 步驟1 ：
　　證明"P (0) 成立"。
　　o 步驟2 ：
　　證明不論k 為0 以上的哪個整數，"若P (k ) 成立，則P (k +1) 也成立"
　　在步驟1 中，要證明當k 為0 時斷言P(0) 成立。我們將步驟1 稱作基底（base）。
　　在步驟2 中，要證明無論k 為0 以上的哪個整數，"若P( k ) 成立，則P (k+1) 也成立"。
　　我們將步驟2 稱作歸納(induction)。該步驟證明斷言若對於0 以上的某個整數成立，則對於下一個整數也成立。
　　若步驟1 和步驟2 都能得到證明，就證明瞭"斷言P (n) 對於0 以上的所有整數n 都成立"。
　　以上就是數學歸納法的證明方法。
　　試著徵服無窮數列
　　數學歸納法通過步驟1（基底）和步驟2（歸納）兩個步驟，證明斷言P(n) 對於0 以上的所有整數n 都成立。
　　為什麼隻通過兩個步驟的證明，就能證明無窮的n 呢？請作如下思考。
　　o 斷言P (0) 成立。
　　理由：步驟1 中已經證明。
　　o 斷言P (1) 成立。
　　理由：P (0) 已經成立，並且步驟2 中已證明若P (0) 成立，則P (1) 也成立。
　　o 斷言P (2) 成立。
　　理由：P (1) 已經成立，並且步驟2 中已證明若P (1) 成立，則P (2) 也成立。
　　o 斷言P (3) 成立。
　　理由：P (2) 已經成立，並且步驟2 中已證明若P (2) 成立，則P (3) 也成立。
　　這樣循環往復，可以說斷言P(n) 對於任意數字n 都成立。無論n 為多大的數字都沒關係。因為即使設n 為10000000000000000，經過機械式地反復執行步驟2，終究可以證明P（10000000000000000）成立。
　　這種數學歸納法的思路可以比喻為"推倒多米諾骨牌"。
　　假設現在有很多多米諾骨牌排成一列。隻要保證以下兩個步驟，那麼無論多米諾骨牌排得有多長最終都能倒下。
　　o 步驟1
　　確保讓第0 個多米諾骨牌（排頭的多米諾骨牌）倒下。
　　o 步驟2
　　確保隻要推倒第k 個多米諾骨牌，那麼第k + 1 個多米諾骨牌也會倒下。推倒多米諾骨牌的兩個步驟和數學歸納法的兩個步驟一一對應。
　　數學歸納法並不像"推倒多米諾骨牌"那樣關注用時。數學歸納法和編程不同，往往使用的是忽略時間的方法。這就是數學和編程之間最大的差異。
　　用數學歸納法證明高斯的斷言
　　下麵我們就以證明高斯的斷言G(n) 為例具體看看數學歸納法。首先討論斷言G(n)。
　　o 斷言G(n) ：0 到n 的整數之和與 相等。
　　使用數學歸納法就需要通過步驟1（基底）和步驟2（歸納）來證明。
　　● 步驟1 ：基底的證明
　　證明G(0) 成立。
　　G(0) 就是"0 到0 的整數之和與 相等"。
　　這可以通過直接計算證明。0 到0 的整數之和是0，
　　至此，步驟1 證明完畢。
　　● 步驟2 ：歸納的證明
　　證明當k 為0 以上的任一整數時，"若G(k) 成立，則G(k + 1) 也成立"
　　現假設G(k) 成立。即假設"0 到k 的整數之和與 相等"。這時，以下等式成立。
　　假設成立的等式G(k)
　　下麵，我們來證明G(k + 1) 成立。
　　要證明的等式G(k+1)
　　G(k + 1) 的左邊使用假設的等式G(k) 可以進行如下計算。
　　而G(k + 1)的右邊可以進行如下計算。
　　G(k + 1) 的左邊和右邊的計算結果相同。
　　由此，從G(k) 到G(k + 1) 推導成功，步驟2 得到瞭證明。
　　至此，通過數學歸納法的步驟1 和步驟2 都證明瞭斷言G(n)。也就是說通過數學歸納法證明瞭斷言G(n) 對於0 以上的任意整數n 都成立。
　　求齣奇數的和--數學歸納法實例
　　本節，我們使用數學歸納法來證明另一個斷言。
　　奇數的和
　　請證明以下斷言Q(n) 對於1 以上的所有整數n 都成立。
　　o 斷言Q (n ) ：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2 × n -1） = n2
　　Q(n) 是比較有意思的斷言。按從小到大的順序將n 個奇數相加，得到n2，即平方數n ×n。
　　這對嗎？在證明之前，先通過較小的數n = 1、2、3、4、5 判斷Q(n) 的真假。
　　o 斷言Q (1) ：1 = 12
　　o 斷言Q (2) ：1 + 3 = 22
　　o 斷言Q (3) ：1 + 3 + 5 = 32
　　o 斷言Q (4) ：1 + 3 + 5 + 7 = 42
　　o 斷言Q (5) ：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
　　通過以上計算發現斷言確實是成立的。
　　……

前言/序言

　　 大傢好！我是結城浩。歡迎閱讀《程序員的數學》。
　　 本書是為程序員朋友們寫的數學書。編程的基礎是計算機科學，而計算機科學的基礎是數學。因此，學習數學有助於鞏固編程的基礎，寫齣健壯的程序。有的讀者可能會說“但我數學不好啊”。特彆是很多讀者“一碰到算式就跳過不讀”。坦率而言，我自己遇到書中的算式也想跳過不看。本書盡可能減少瞭“大傢不想看的算式”，也沒有過多的定義、定理和證明。這是為幫助程序員更容易理解編程而寫的書。希望你能通過本書學到有助於編程的“數學思維”。
　　 數學思維示例
　　 學習“數學思維”說起來太抽象瞭，我們來舉些具體的例子。
　　 【條件分支和邏輯】
　　 在編程時，我們按照條件將處理方法分為多個“分支”。C 語言和Java 語言中使用的是if 語句。處理方法為： 當滿足條件時執行這條語句，不滿足條件時執行另一語句。這時，我們就使用瞭數學領域的“邏輯”來控製程序。因此，編程時必須熟練掌握“ 與”“、或”“、非”、“蘊涵”等邏輯構成元素。
　　 【循環和數學歸納法】
　　 我們在處理大量的信息時，使用程序進行“循環”操作。比如使用for 語句可以循環處理大量數據。循環中使用的就是“數學歸納法”。
　　 【分類和計數方法】
　　 在將許多條件和數據“分類”時，程序員必須注意不能有遺漏。這時加法法則、乘法法則、排列、組閤等“計數方法”將助你一臂之力。這是程序員應該熟記於心的數學工具。通過本書，也可以學到遞歸、指數、對數、餘數等重要的基礎思維方式。
　　 人類和計算機的共同戰綫
　　 我們寫程序是為瞭解決人類解決不瞭的問題。程序員理解問題，編寫程序；計算機運行程序，解決問題。人類不擅長重復勞動，很容易厭倦，有時還會齣錯，但人類擅長解決問題。與此相對，計算機擅長重復勞動，但不能自行解決問題。於是，人機閤力，如虎添翼。遇到難題，光靠人類不能解決，光靠計算機也不能解決。而人機閤力就能解決問題。這也是本書要傳達的主旨之一。不過，編寫程序也非易事，無論人類和計算機如何齊心閤力，總有解決不瞭的問題。本書也對人類和計算機的極限進行瞭分析。希望你在讀完本書後能對以程序為媒介的人機閤作有更深刻的理解。
　　 本書麵嚮的讀者
　　 本書主要麵嚮的讀者是程序員。不過若你對編程或數學感興趣，讀起來也會一樣有意思。你不需要精通數學。書中不會齣現Σ和等很難的算式，因此自認為數學不太好的讀者也完全可以閱讀。閱讀本書隻需具備四則運算（＋－ ×÷）和乘方（23=2×2×2）等基礎知識。除此以外的知識在書中皆有說明。
　　 如果你對數字和邏輯感興趣，可能會更喜歡本書。你也不需要精通編程。不過如果稍有一些編程經驗，可能會更容易理解本書內容。書中有個彆例子是用C 語言寫的程序，不過即使不懂C 語言也不妨礙理解。
　　 本書結構
　　 本書各章內容可以按任意順序閱讀，但筆者推薦從第1 章開始按順序閱讀。第1 章對0 進行討論。以按位計數法為核心，學習如何用0 來簡化規則，並對“無即是有”的意義進行瞭思考。
　　 第2 章學習使用邏輯來整理繁瑣的內容。介紹邏輯錶達式、真值錶、德·摩根定律、三值邏輯、卡諾圖等。
　　 第3 章討論餘數。我們要記住“餘數就是分組”的觀點。對於一些難題，有時隻要找到周期性規律就能解決。
　　 第4 章學習數學歸納法。數學歸納法隻需要兩個步驟就能證明無窮的斷言。本章還會舉例介紹使用循環不變式寫齣正確的循環。
　　 第5 章學習排列組閤等計數方法。計數的關鍵在於“認清對象的性質”。
　　 第6 章學習自己定義自己的遞歸。通過漢諾塔、斐波那契數列、分形圖形等，練習從復雜事物中發現遞歸結構。
　　 第7 章學習指數爆炸。計算機也很難解決含有指數爆炸的問題。我們將在這裏思考研究如何將指數爆炸為我所用，解決大型問題。另外本章還將以二分法檢索為例，學習將問題空間一分為二的意義。
　　 第8 章以停機問題為例，來說明許多程序上的問題是計算機如何發展都解決不瞭的。本章也會學到反證法和對角論證法。
　　 第9 章迴顧本書學習內容，思考人類全麵把握結構的能力對解決問題有多大幫助，以及人機協作具有何種意義。
　　 緻謝
　　 首先要感謝馬丁·伽德納。小時候我癡迷於閱讀您所著的《數學遊戲》，至今仍記憶猶新。此外，還要感謝支持我的廣大讀者和為我祈禱的基督教朋友們。以下各位為本書提齣瞭寶貴建議並給予瞭極大幫助，在此深錶謝意（按日語五十音圖順序）：天野勝、石井勝、岩澤正樹、上原隆平、佐藤勇紀、武笠夏子、前原正英、三宅喜義。特彆感謝在本書編寫過程中給予我極大關懷和支持的SoftBank 齣版有限公司的野澤喜美男主編。
　　 感謝一直鼓勵我的愛妻和兩個兒子。
　　 本書獻給在餐桌上教我方程式乃至微積分的父親。父親，謝謝您！
　　 2005 年2 月
　　 結城 浩

《算法的奧秘：數據結構與效率的進階之旅》 序言 在這個信息爆炸的時代，計算的效率和數據的組織方式直接決定瞭我們解決問題的能力和技術的邊界。從微小的嵌入式係統到龐大的雲計算平颱，算法和數據結構的精妙設計是驅動一切的基石。本書並非關於那些抽象的數學概念本身，而是聚焦於如何將數學思維轉化為切實可行的代碼，如何用最優雅、最高效的方式處理海量數據，以及如何在每一次計算中榨取極緻的性能。《算法的奧秘》將帶領您踏上一段深入探索算法世界、理解數據結構精髓的旅程，旨在為每一位有誌於提升編程技藝的開發者提供一套紮實、實用的理論框架和實踐指導。 第一部分：算法的基石——理解效率的衡量 在計算機科學的浩瀚星空中，算法是閃耀的星辰，指引我們走嚮解決方案的光明。然而，並非所有算法都具有同等的價值。理解算法的效率，是選擇最優解的關鍵。本部分將深入剖析算法效率的衡量標準，讓你告彆“差不多就行”的編程思維，走嚮嚴謹和精確。 時間復雜度與空間復雜度：性能的雙刃劍 我們首先要建立一套統一的語言來描述算法的性能，這便是“復雜度分析”。本書將詳細講解大O符號（O-notation）的含義，它並非一個精確的數值，而是描述算法運行時間或所需空間隨輸入規模增長的趨勢。我們將通過大量的實例，從最簡單的綫性搜索、二分搜索，到更復雜的遞歸和分治算法，逐步揭示不同復雜度等級的含義。例如，O(1)的常數時間復雜度意味著無論輸入多大，操作都可以在恒定時間內完成，這是我們追求的極緻。O(n)的綫性時間復雜度錶示算法的運行時間與輸入規模成正比，在許多場景下仍是高效的。而O(n log n)的對數綫性時間復雜度，則代錶瞭許多排序算法的優秀錶現。 空間復雜度同樣至關重要。一個算法可能在時間上非常快，但需要消耗海量的內存，這在資源受限的環境下是不可接受的。我們將分析遞歸深度帶來的棧空間開銷，以及各種數據結構存儲數據所需的空間。通過比較不同算法的時間和空間復雜度，你將學會如何在兩者之間做齣權衡，找到最適閤特定應用場景的解決方案。 漸進分析與最壞、最好、平均情況 我們關注的並非算法在極小輸入規模下的錶現，而是它在大規模輸入下的“漸進”行為。這就像預測一個火車的速度，我們更關心它在長途運行中的平均速度，而不是剛啓動時的瞬時加速。本書將深入講解為什麼漸進分析是衡量算法優劣的根本。 同時，我們將區分算法在不同輸入情況下的錶現：最好情況（Best Case）、最壞情況（Worst Case）和平均情況（Average Case）。例如，對於簡單的綫性搜索，最好情況是目標元素就在數組的第一個位置（O(1)），最壞情況是目標元素在數組的最後一個位置或不存在（O(n)）。理解這些不同情況，能幫助我們更全麵地評估算法的健壯性和適用範圍。平均情況的分析通常更為復雜，需要引入概率論的思想，本書也將為此打下基礎。 常數因子與實際性能考量 雖然大O符號忽略瞭常數因子，但在實際工程中，這些因子有時會影響最終的性能。本書將探討何時需要關注常數因子，例如，某些算法雖然同為O(n)，但一個算法的常數因子可能是另一個的百倍。我們將引導讀者思考，在特定硬件平颱和實際負載下，哪些優化是真正有效的。這包括緩存局部性、指令集效率等更底層的因素，讓你的算法分析更貼近現實。 第二部分：數據組織的藝術——高效的數據結構 算法的運行離不開數據的支撐，而數據結構的優劣直接決定瞭算法能否高效地訪問、修改和組織數據。《算法的奧秘》將帶領你深入理解各種經典數據結構的內部機製，以及它們在不同場景下的適用性，讓你掌握數據組織的核心藝術。 綫性數據結構：數組、鏈錶、棧與隊列的精妙 數組（Array）與動態數組（ArrayList/Vector）：我們從最基本、最熟悉的數組開始，理解其連續內存存儲帶來的快速隨機訪問優勢，以及在插入和刪除操作時的潛在成本。我們將分析動態數組（如Java的ArrayList或C++的std::vector）如何通過動態擴容來平衡插入效率和內存開銷，並探討其擴容策略的優劣。 鏈錶（Linked List）：單嚮鏈錶、雙嚮鏈錶和循環鏈錶，它們提供瞭在任意位置進行高效插入和刪除的能力，彌補瞭數組的不足。本書將深入解析指針的運用，以及鏈錶在內存分配上的靈活性。我們將對比數組和鏈錶在不同操作上的時間復雜度，讓你明晰何時應該選擇鏈錶。 棧（Stack）：遵循“後進先齣”（LIFO）原則的棧，是函數調用棧、錶達式求值等諸多場景的核心。我們將講解基於數組和鏈錶實現的棧，並分析其操作的O(1)時間復雜度。 隊列（Queue）：遵循“先進先齣”（FIFO）原則的隊列，在任務調度、廣度優先搜索等領域扮演著重要角色。本書將介紹綫性隊列、循環隊列，以及它們在內存使用和操作效率上的不同。 非綫性數據結構：樹、圖與哈希錶的強大 樹（Tree）： 二叉搜索樹（Binary Search Tree, BST）：掌握其查找、插入、刪除的O(log n)平均時間復雜度，同時也要理解其在最壞情況下退化成鏈錶（O(n)）的問題。 平衡二叉搜索樹（Balanced BST）：AVL樹、紅黑樹（Red-Black Tree）等，它們通過自平衡機製保證瞭查找、插入、刪除操作始終維持O(log n)的時間復雜度，是實現高效動態集閤的關鍵。本書將深入剖析紅黑樹的平衡規則和插入/刪除後的調整過程，理解其精妙設計。 堆（Heap）：最小堆和最大堆，它們提供瞭高效獲取最大/最小元素（O(1)）以及插入/刪除元素（O(log n)）的能力，是優先隊列（Priority Queue）的常見實現方式。我們將講解堆的二叉樹結構及其數組錶示的便利性。 圖（Graph）：錶示實體之間關係的強大工具。本書將介紹圖的鄰接矩陣和鄰接錶兩種錶示方法，並探討它們在存儲空間和遍曆效率上的權衡。我們將為後續的圖算法打下堅實的基礎。 哈希錶（Hash Table）：通過哈希函數將鍵映射到數組索引，實現平均O(1)的查找、插入和刪除操作。本書將深入講解哈希函數的選擇原則、衝突處理方法（如鏈地址法、開放尋址法）以及其在實際應用中的廣泛性。 Trie（前綴樹）與B樹 Trie（前綴樹）：一種專門用於存儲字符串的樹形數據結構，在字符串查找、自動補全等場景下錶現齣色。我們將展示Trie如何通過共享前綴來高效存儲和查詢字符串集閤。 B樹與B+樹：多路查找樹，廣泛應用於數據庫和文件係統，它們能夠有效地減少磁盤I/O次數，提升大型數據集的訪問效率。我們將分析B樹的結構特性，理解其在平衡查找效率和存儲密度的作用。 第三部分：算法設計範式——解決問題的通用策略 掌握瞭算法效率的衡量標準和數據結構的精髓，我們還需要學習解決問題的通用設計範式。《算法的奧秘》將引領你領略各種經典的算法設計思想，讓你能夠以更宏觀的視角去思考和構建高效的解決方案。 分治法（Divide and Conquer）：將一個大問題分解成若乾個相互獨立且相似的子問題，分彆解決子問題，然後閤並子問題的解得到原問題的解。我們將通過經典的歸並排序（Merge Sort）、快速排序（Quick Sort）和矩陣乘法（如Strassen算法）來闡述分治法的威力。 動態規劃（Dynamic Programming, DP）：當一個問題可以分解成重疊的子問題，並且最優子結構性質存在時，動態規劃就能夠大顯身手。本書將通過斐波那契數列、背包問題（Knapsack Problem）、最長公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）等經典問題，深入講解動態規劃的“狀態定義”、“狀態轉移方程”和“填錶法/記憶化搜索”等核心思想，讓你掌握如何避免重復計算，實現高效求解。 貪心算法（Greedy Algorithm）：在每一步選擇當前看起來最優的方案，從而期望得到全局最優解。我們將通過活動選擇問題（Activity Selection Problem）、霍夫曼編碼（Huffman Coding）和最小生成樹（Minimum Spanning Tree, MST）算法（如Prim算法和Kruskal算法）來展示貪心算法的應用，並分析其何時能夠保證得到最優解。 迴溯法（Backtracking）：一種係統地搜索問題的解的搜索算法。當搜索到某一步時，如果發現當前路徑不可能得到解，就“迴溯”到上一步，嘗試其他路徑。我們將通過N皇後問題、數獨求解等問題來演示迴溯法的搜索過程，理解其深度優先搜索（DFS）的特性。 分支限界法（Branch and Bound）：與迴溯法類似，但增加瞭“限界”的概念，通過評估當前搜索節點的上下界來剪枝，從而更有效地縮小搜索空間。本書將簡要介紹分支限界法的思想，並與迴溯法進行對比。 第四部分：圖論算法的探索——連接與路徑的奧秘 圖論是計算機科學中一個極其重要的分支，它為我們理解和分析網絡、關係以及結構提供瞭強大的工具。《算法的奧秘》將深入圖論的核心，為你揭示圖算法的精妙之處。 圖的遍曆：深度優先搜索（DFS）與廣度優先搜索（BFS） DFS：通過遞歸或棧實現，沿著圖的深度方嚮探索。我們將分析DFS在連通性判斷、拓撲排序、尋找迴路等問題上的應用。 BFS：通過隊列實現，一層一層地探索圖。我們將講解BFS在最短路徑（無權圖）、連通分量查找等問題上的優勢。 最短路徑算法 Dijkstra算法：用於求解單源最短路徑（邊權重非負）。我們將詳細解析Dijkstra算法的貪心策略，以及如何使用優先隊列優化其效率。 Bellman-Ford算法：用於求解單源最短路徑，能夠處理邊權重為負的情況，並且能檢測負權迴路。 Floyd-Warshall算法：用於求解所有頂點對之間的最短路徑，是一種動態規劃的應用。 最小生成樹（MST）：在連通的無權無嚮圖中，找到一棵連接所有頂點且邊權之和最小的樹。我們將深入解析Prim算法和Kruskal算法的工作原理，理解它們如何構建最小生成樹。 拓撲排序（Topological Sort）：對於有嚮無環圖（DAG），找到一種綫性排序，使得對於圖中任意一條有嚮邊 (u, v)，u 都在 v 之前。我們將介紹基於DFS和BFS的拓撲排序方法，並分析其在任務調度等實際問題中的應用。 結語 《算法的奧秘：數據結構與效率的進階之旅》不僅僅是一本技術手冊，更是一份對計算智慧的緻敬。通過對本書內容的學習和實踐，你將不僅僅是編寫代碼的“碼農”，更能成為理解問題本質、設計高效解決方案的“工程師”。我們鼓勵讀者在閱讀過程中，勤於思考，勇於實踐，將書中的知識內化為自己的能力，在編程的道路上不斷前行，發掘屬於自己的“算法奧秘”。

評分☆☆☆☆☆

第五段評價 《程序員的數學》這本書，簡直是我一直以來尋找的“寶藏”。作為一個程序員，我常常會遇到一些需要嚴謹邏輯和精確計算的場景，比如在開發遊戲引擎時處理3D圖形變換，或者在設計分布式係統時分析並發衝突的可能性。而這些，都離不開數學的支持。我一直覺得，如果隻停留在“知其然”的層麵，很難在技術上取得突破。這本書的齣現，正好彌補瞭我在這方麵的知識短闆。我非常期待它能夠用通俗易懂的方式，講解那些我曾經在大學裏一知半解的數學概念，並將其與實際的編程任務緊密結閤。我希望它能提供一些關於綫性代數在計算機圖形學中的具體應用，比如矩陣變換、嚮量運算等，讓我能夠理解計算機是如何繪製齣逼真的三維世界的。我也期待它能在概率論和統計學方麵，給我帶來一些啓發，讓我能夠更好地理解數據，進行有效的預測和建模。這本書，對我來說，不僅僅是一本技術書籍，更像是一把鑰匙，能夠幫助我解鎖更多高級的編程技能，讓我能夠用更紮實的理論基礎去解決更復雜、更具挑戰性的問題。

評分☆☆☆☆☆

第三段評價 《程序員的數學》這本書，就像我在漫漫編程之路上遇到的一位良師益友。我一直對那些能夠寫齣高性能、高並發、高可用性係統的“大神”們心生敬佩，深知他們背後一定有著紮實的數學功底。而我，總感覺自己像是在“搬磚”，雖然也能完成任務，但總覺得少瞭些“靈魂”。這本書的到來，仿佛點醒瞭我，讓我意識到，想要成為一名更優秀的程序員，數學是繞不過去的一道坎。我特彆期待它能在邏輯和算法分析方麵，給我帶來耳目一新的啓發。比如說，理解算法的時間復雜度和空間復雜度，除瞭背誦一些公式，如果能從數學原理上理解，那將是完全不同的境界。我希望書中能有關於證明的章節，哪怕是簡單的證明，也能幫助我理解邏輯的嚴謹性。我也期待它能涉及一些概率論在數據分析和算法設計中的應用，比如濛特卡洛方法，或者貝葉斯定理在模式識彆中的作用。這本書，對我來說，不僅僅是學習知識，更是為瞭打通我編程思維的“任督二脈”，讓我能夠從更高的維度去審視我的代碼，寫齣真正優雅、高效的解決方案。

評分☆☆☆☆☆

第二段評價 拿到《程序員的數學》這本書，我的第一感覺是它非常厚實，拿在手裏沉甸甸的，這讓我對其中內容的深度和廣度充滿瞭信心。我一直覺得，作為一個程序員，如果隻停留在API的調用和框架的使用上，就如同隻看到瞭大廈的外觀，而沒有瞭解其堅固的地基。數學，無疑就是構建這些地基的關鍵要素。這本書的封麵設計簡潔大氣，沒有花哨的裝飾，反而透著一股沉穩的書捲氣，這讓我對它的內容更加肅然起敬。我希望它能夠像一位循循善誘的老師，能夠將那些看似高深的數學概念，轉化為我這個普通程序員能夠理解和應用的語言。我期待它能夠涵蓋從基礎的離散數學，到更高級的微積分、概率統計，甚至是涉及一些優化理論的內容。我希望它能在每一個章節都提供足夠多的實際編程案例，讓我能夠立刻將學到的知識應用到我的日常開發中，去解決那些曾經睏擾我的性能瓶頸，去設計那些更巧妙的數據結構。我渴望通過這本書，能夠真正提升我的編程思維，讓我能夠從更本質的層麵去理解和解決問題，寫齣更具“技術含量”的代碼。

評分☆☆☆☆☆

第四段評價 我拿到《程序員的數學》時，心中充滿瞭一種“終於等到你”的喜悅。作為一名正在努力提升自己技術棧的開發者，我常常在麵對一些復雜的算法問題時感到力不從心，總覺得缺瞭點什麼。很多時候，我都能通過查閱資料或者模仿彆人的代碼來解決問題，但這種“治標不治本”的方式讓我感到不安。我相信，數學是計算機科學的底層語言，掌握瞭它，纔能真正理解許多技術背後的原理，纔能寫齣更具創造性的代碼。我希望這本書能為我打開一扇通往更深層次理解的大門。我期待它能詳細講解離散數學中的一些核心概念，例如集閤論、圖論、組閤數學等，並且能告訴我這些概念是如何在實際的編程場景中發揮作用的，比如如何用圖論來解決路徑查找問題，如何用組閤數學來計算排列組閤。我也希望書中能涉及一些關於數據結構和算法的數學分析，讓我能夠更清晰地理解不同算法的優劣，從而做齣更明智的選擇。這本書，我將它視為一次自我投資，相信通過深入學習，我能夠從一個“代碼搬運工”蛻變為一個真正的“工程師”。

評分☆☆☆☆☆

第一段評價 捧起《程序員的數學》，我心裏就湧起一股莫名的期待。作為一個入瞭行幾年的程序員，我深知理論基礎的重要性，而數學，恰恰是支撐起無數高效算法和優化策略的基石。這本書的標題直接擊中瞭我痛點，仿佛是一盞指路明燈，照亮瞭我一直想深入但又無從下手的領域。我腦海中勾勒齣的畫麵是，一本嚴謹又不失趣味的教材，它不會像大學課本那樣枯燥乏味，而是用生動的例子和清晰的邏輯，將復雜的數學概念一一拆解，讓我能夠融會貫通。我期待它能幫助我理解那些隱藏在框架和庫背後的數學原理，比如圖論在網絡優化中的應用，綫性代數在圖形渲染中的魔力，概率論在機器學習中的預測能力。我渴望通過這本書，能讓我的代碼不僅僅是功能的實現，更能蘊含著優雅的數學之美，寫齣更具性能和可擴展性的程序。這不僅僅是一本書，更像是我職業生涯中一次重要的“能力升級”，我迫不及待地想進入書中的世界，與那些偉大的數學思想來一場深入的對話。

評分☆☆☆☆☆

好好看看好好好好學習天天嚮上

評分☆☆☆☆☆

多學習 讀好書

評分☆☆☆☆☆

Python基礎教程（第2版 修訂版）

評分☆☆☆☆☆

簡潔明瞭，簡潔明瞭，簡潔明瞭，嗯說三遍，書的質量確實不錯

評分☆☆☆☆☆

物流也很用心 沒有磕碰的 好評！ 下次還來買

評分☆☆☆☆☆

很喜歡這一類圖解的書籍，作為入門和參考書都不錯

評分☆☆☆☆☆

印刷質量不錯，可以復習一下基礎數學知識

評分☆☆☆☆☆

希望可以提高自己數學思維！

評分☆☆☆☆☆

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