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內容簡介

　　 《經濟學中的數學》主要介紹高等數學在經濟學中的應用。主要包括八個部分。第一部分為導論（第1-5章），主要介紹一元微積分及其應用。第二部分（第6-11章）介紹綫性代數及其在經濟學中的應用，包括綫性方程組及其解法、矩陣代數、行列式等內容。第三部分（第12-15章）介紹多元微分並重點應用於比較靜態分析。第四部分（第16-22章）主要是優化方麵的內容，包括無約束優化和約束優化等問題。第五部分（第23-25章）介紹特徵值與動態學，引入差分方程解決動態經濟學的有關問題。第六部分（第26-28章）介紹高等綫性代數。第七部分（第29-30章）的高等數學分析是對前麵經濟學數學方法的進一步深化。第八部分重點介紹數學本身的方法論問題。在《經濟學中的數學》的最後，我們提供瞭部分習題的答案。

作者簡介

卡爾·P·西濛，密歇根大學數學、經濟學、製度經濟學、公共政策研究領域教授，記憶鳳凰能源研究所社會科學部副主任，製度經濟學研究中心創始主任（1999—2009年）。西濛畢業於西北大學，獲博土學位，曾在加利福尼亞大學、伯剋利大學和北卡羅來納大學任教過。他獲得過許多教學榮譽，包括密歇根大學最佳教授奬和教學卓越奬。

目錄

第Ⅰ篇 導論
第1章 引言
1.1 經濟理論中的數學
1.2 消費者選擇模型
消費者選擇的二維模型
消費者選擇的多維模型
第2章 一元微積分：基礎
2.1 r1上的函數
2.2 綫性函數
2.3 非綫性函數的斜率
2.4 求導
導數的運算法則
2.5 可微與連續
2.6 高階導數
2.7 微分近似
第3章 一元微積分：應用
3.1 用一階導數作圖
3.2 二階導數與凸性
3.3 有理函數作圖
3.4 尾部和水平漸近綫
3.5 極大值與極小值
3.6 經濟應用
第4章 一元微積分：鏈式法則
4.1 復閤函數與鏈式法則
4.2 反函數及其導數
第5章 指數與對數
5.1 指數函數
5.2 無理數e
5.3 對數
5.4 指數與對數的導數
5.5 指數與對數的導數
5.6 應用

第Ⅱ篇 綫性代數
第6章 綫性代數導論
6.1 綫性方程組
6.2 綫性模型舉例
第7章 綫性方程組
7.1 高斯消元法和高斯-約當消元法
7.2 初等行變換
7.3 多解或無解方程組
7.4 秩——基本準則
7.5 綫性隱函數定理
第8章 矩陣代數
8.1 矩陣的運算
8.2 幾種形式特殊的矩陣
8.3 初等矩陣
8.4 方陣的運算
8.5 投入-産齣矩陣
8.6 分塊矩陣（選學）
8.7 分解矩陣（選學）
第9章 行列式概論
9.1 矩陣的行列式
9.2 行列式的應用
9.3 剋萊姆法則的應用：is-lm模型分析
第10章 歐幾裏德空間
10.1 歐幾裏德空間的點和嚮量
10.2 嚮量
10.3 嚮量代數
10.4 rn中的長度和內積
10.5 綫
10.6 平麵
10.7 經濟應用
第11章 綫性無關
11.1 綫性無關
11.2 生成集
11.3 rn中的基和維數
11.4 結語

第Ⅲ篇 多元微分
第12章 極限和開集
12.1 序列和實數
12.2 rm中的序列
12.3 開集
12.4 閉集
12.5 緊集
12.6 附注
第13章 多元函數
13.1 歐幾裏德空間中的函數
13.2 函數的幾何作圖
13.3 幾類特殊的函數
13.4 連續函數
13.5 函數術語
第14章 多元微分
14.1 偏導數的定義和舉例
14.2 偏導數的經濟意義
14.3 偏導數的幾何意義
14.4 全導數
14.5 鏈式法則
14.6 定嚮導數和梯度嚮量
14.7 從rn到rm的顯函數
14.8 高階導數
14.9 附注
第15章 隱函數及其導數
15.1 隱函數
15.2 階層麯綫及其切綫
15.3 隱函數方程組
15.4 應用：比較靜態分析
15.5 反函數定理（可選）
15.6 應用：辛普森悖論

第Ⅳ篇 最優化
第16章 二次型和定矩陣
16.1 二次型
16.2 二次型的定義
16.3 綫性約束與加邊矩陣
16.4 附錄
第17章 無約束最優化
17.1 定義
17.2 一階條件
17.3 二階條件
17.4 總體極大值和總體極小值
17.5 經濟應用
第18章 約束最優化i：一階條件
18.1 舉例
18.2 等式約束
18.3 不等式約束
18.4 混閤約束條件
18.5 約束條件下的最小化問題
18.6 庫恩-塔剋條件
18.7 舉例及應用
第19 章約束最優化ii
19.1 乘子的意義
19.2 包絡綫定理
19.3 二階條件
19.4 對參數的平滑依賴
19.5 約束限製條件
19.6 一階條件的證明
第20章 齊次函數和位似函數
20.1 齊次函數
20.2 函數的齊次化
20.3 基數效用與序數效用
20.4 位似函數
第21章 凹函數與準凹函數
21.1 凹函數與凸函數
21.2 凹函數的性質
21.3 準凹函數與準凸函數
21.4 假凹函數
21.5 凹函數的最優化
21.6 附錄
第22章 經濟應用
22.1 效用與需求
22.2 經濟應用：利潤與成本
22.3 帕纍托最優
22.4 福利理論基礎

第Ⅴ篇 特徵值與動態學
第23章 特徵值與特徵嚮量
23.1 定義與舉例
23.2 解綫性差分方程
23.3 特徵值的性質
23.4 重復特徵值
23.5 復數特徵值和特徵嚮量
23.6 馬可過程
23.7 對稱矩陣
23.8 二次型的定性
23.9 附錄
第24章 常微分方程：純量方程
24.1 定義和舉例
24.2 顯性解
24.3 綫性二階方程
24.4 解的存在性
24.5 r1上的相位圖與均衡
24.6 附錄：應用
第25章 常微分方程：方程組
25.1 平麵方程組介紹
25.2 綫性方程組與特徵值
25.3 替代法求解綫性方程組
25.4 穩態與穩定性
25.5 平麵方程組的相位圖
25.6 初積分
25.7 李雅普諾夫函數
25.8 附錄：綫性化

第Ⅵ篇 高等綫性代數
第26章 行列式：詳述
26.1 行列式的定義
26.2 行列式的性質
26.3 行列式的應用
26.4 經濟應用
26.5 附錄
第27章 矩陣的子空間
27.1 嚮量空間與子空間
27.2 子空間的基和維度
27.3 行空間
27.4 列空間
27.5 零空間
27.6 抽象嚮量空間
27.7 附錄
第28章 綫性無關的應用
28.1 方程組的幾何性質
28.2 資産組閤分析
28.3 投票悖論
28.4 活動分析：可行性
28.5 活動分析：有效性

第Ⅶ篇高等分析
第29章 極限和緊集
29.1 柯西序列
29.2 緊集
29.3 連通集
29.4 歐幾裏德範數
29.5 附錄
第30章 多變量微積分ii
30.1 威爾斯特拉斯定理和中值定理
30.2 r1上的泰勒多項式
30.3 rn上的泰勒多項式
30.4 二階最優化條件
30.5 約束條件下的最優化

第Ⅷ篇附錄
附錄a1 集閤、數與證明
a1.1 集閤
a1.2 數
a1.3 證明
附錄a2 三角函數
a2.1 三角函數的定義
a2.2 三角函數麯綫
a2.3 畢達哥拉斯定理
a2.4 三角函數的值
a2.5 多角公式
a2.6 實值函數
a2.7 三角函數的微積分
a2.8 泰勒級數
a2.9 對定理a2.3的證明
附錄a3 復數
a3.1 背景
a3.2 多項式方程的解
a3.3 復數的幾何式
a3.4 復數的指數式
a3.5 差分方程
附錄a4 微積分
a4.1 反導數
a4.2 微積分基本定理
a4.3 府用
附錄a5 概率導論
a5.1 事件的概率
a5.2 期望和方差
a5.3 連續隨機變量
附錄a6 部分習題的答案
索引

精彩書摘

第Ⅰ篇 導論
3
第1章 引 言 1.1 經濟理論中的數學 近30年來，數學作為一門“經濟學語言”興起瞭。今天的經濟學傢在從事 經濟研究的時候都會把數學作為一種必備的工具，無論他們是在用統計數據來 錶達現實世界的變化發展趨勢，還是在發展完全抽象的經濟製度。本書將對數 學和經濟學之間的這種密切聯係進行更加深入的介紹。 從最基本的層麵上看，數學是我們圍繞相關的經濟變量得齣經驗性命題的 依據。我們可以說“汽油價格上升10 %將導緻汽油需求量下降5%”，用數學的 形式把這種關係錶達齣來就是需求函數。我們也可以把上述的觀察結論概括為 “汽油的需求彈性是-0.5”。為瞭瞭解汽油價格與汽油需求量之間的這種關係， 我們隻需使用統計技術，這種技術本身就是數學的一門分支。利用統計技術， 經濟學傢把來自現實世界的原始數據加工成上麵提到的需求函數和需求彈性那 樣的抽象數學錶達式。 進一步講，這種統計關係一旦形成，就能夠與同類型的其他關係相關聯。 這使經濟學傢逐步構建起瞭一個由各種相互聯結的關係組成的整體關係網，有 瞭這個關係網，經濟學傢就能對那些相互之間隻存在間接性關係的經濟變量進 行推斷。例如，從“汽油需求量（在某個特定的社會中）下降的百分比是它的 價格上升的百分比的一半”這樣的信息齣發，經濟學傢可以考察汽油的價格與 石油的價格、生活成本或電的需求之間的關係。 當然，統計技術僅僅是數學對於經濟學的重要性的一個錶現。例如， 為瞭更深入地瞭解現實中的市場和商品，經濟學傢構建瞭各種數學錶達式， 並以此建立模型將現實中的各種經濟關係用數學方式加以錶達。建模過程 一旦完成，就可以為進一步的研究提供基礎框架。畢竟，人無論在什麼時 候都不可能徹底地瞭解現實世界社會、文化和經濟等方麵的所有信息，而4
數學模型能幫助我們把現實世界的復雜性壓縮到可以對其進行分析處理的 比例上。 顯然，如果我們隻是把建模當作是對研究對象的壓縮和組織的話，模型不 是數學分析所特有的。即使是社會學和人類學這樣的社會科學也在很大程度上 依賴於某些類型的模型，無論它們是在考察還是在錶達它們的研究內容，盡管 它們的研究技術帶有更濃厚的“文學”色彩。不過，數學建模對經濟學來說是 特彆有用的，為什麼會這樣呢?這有很多原因。 首先，藉助數學模型，經濟學傢可以對經濟學術語進行更加精確的定 義。經濟學傢在從事復雜的思維工作之前，必須明確地錶達齣潛在的假設 前提條件。顯然，經濟學傢以抽象思維生成的精確內涵，不應該隻是為經 濟學傢本人所理解，還應該考慮到那些研讀他的研究成果的人。這使我們 很可能會集中在某一個方麵討論模型與現實世界的相關性，甚至可能會把 理論模型轉化為統計公式，好讓模型的有效性可以用現實世界的數據來加 以檢驗。 數學不僅被用來對事實進行組織，而且被用來積極地生成和考察新的理 論觀點。有時候，往往為瞭獲取適用於各種經濟狀況而不隻是某個特定地區 或國民經濟體的定理，經濟學傢采用瞭邏輯演繹這樣的數學方法。例如，考 慮這樣一個定理———對資源進行競爭性的市場配置就是帕纍托最優，這是許 多中級微觀經濟學教材裏極為重要的定理。這個定理用一個簡化瞭的形式強 調，在一個競爭性的製度裏，當市場處於供求均衡的齣清狀態時，消費或生 産的任一可能的變動都會使某些人的境況改善，同時也會讓其他人的境況惡 化。不過，這個定理顯然與“汽油需求量下降的百分比是它的價格上升的百 分比的一半”這樣的錶達不同，它不是來自對日常世界的直接觀察，也並非 來自對日常世界的統計技術錶達。相反，它是一個在邏輯上産生於對各種市 場的理想化數學錶達的普遍適用的原理。由於被用來生成定理的數學與直接 觀察到的是如此的不同，以至於我們不可能對定理最終的正確性進行經驗測 試。隻有定理具有對於世界經濟或某個特定的國傢或地區經濟的可適用性， 纔可以拿來進行公開地檢驗和測試。 數學不僅能幫助我們從經濟模型中提取理論觀點，更是我們拓展經濟模型 的適用範圍所必需的，除非模型本身過於狹隘而不能普遍適用。例如，在初級 經濟學教材裏的習題，通常齣於簡化的目的把模型本身限定為兩物品的生産或 銷售。而高級微觀經濟學的學生或研究工作中的經濟學傢則用數學來拓展這些 初級教材裏的模型，好讓模型可以一次性地包含更多的信息———比如通貨膨 脹、附加産品、附加競爭者或任一數量的其他因素。從這一點齣發，我們接下 來將用一個具體的例子來說明，數學是如何被用來拓展那些我們所熟知的簡單 幾何模型的適用範圍的。 5
1.2 消費者選擇模型 消費者選擇的二維模型 當我們在中級微觀經濟學課程裏學習有關消費者選擇的新古典模型時，我 們通常假設消費者隻有兩種物品———比如齣於討論的目的，以小機件（gadget） 和小器具（widget）為例———可以選擇。如果用x 1 錶示消費者購買小機件的數 量，x 2 代錶消費者購買的小器具數量。那麼，（x 1 ，x 2 ）就代錶消費者對這兩 種物品購買量的各種可行的選擇，我們把（x 1 ，x 2 ）稱為“商品束”。如果再假 設x 1 和x 2 是任意的非負值，那麼我們就可以用幾何的形式把一個由所有可能 存在的商品束組成的集閤錶示在平麵的非負象限裏。我們把該象限稱為“商品 空間”。例如在圖1.1中，商品束裏的小機件的數量用水平坐標軸來錶示，小器 具的數量則用垂直坐標軸來錶示。 圖1.1 商品空間裏的兩物品商品束 消費者對商品空間裏的商品束有一定的偏好:給定任意兩個商品束，消費 者要麼認為其中的一個比另一個好，要麼覺得兩個商品束對他來說一樣好。如 果消費者的偏好滿足特定的一緻性假設，那麼這些偏好就可以用一個效用函數 來錶示。效用函數賦予每個商品束真實的數值。如果消費者認為（x 1 ，x 2 ）優 於（y 1 ，y 2 ），那麼效用函數將賦予（x 1 ，x 2 ）大於（y 1 ，y 2 ）的效用值。我們 用U x 1 ，x 2 錶示效用函數賦予（x 1 ，x 2 ）的效用值。我們通常把這些效用值 用一係列的無差異麯綫描繪在商品空間裏，就像圖1.2所顯示的。在效用函數 賦予給定的無差異麯綫上所有的商品束具有相同的效用值。換句話說，在同樣 一條無差異麯綫上，消費者會認為任 意兩個商品束對他來說都一樣好。圖1.2 裏的箭頭錶示偏好變動的方嚮:無差異麯綫上的商品束越是遠離坐標軸的原6
點，就越被消費者認為優於那些靠近原點的無差異麯綫上的商品束，這體現瞭 消費者“越多越好”的偏好觀。 圖1.2 商品空間裏的無差異麯綫 我們用效用函數這種錶達式來描述消費者的選擇行為。假如一個消費者麵 對商品束的集閤B，並被要求在B中選擇他想要的商品束。消費者將根據他或 她在集閤B上的效用函數的最大化原則來選擇商品束。在特定的集閤上最大化 特定的函數是一個數學問題。 到此為止，我們隻是描述瞭一個非常簡單的有關消費者選擇的數學模型。 這個模型把消費者選擇的許多方麵的因素都抽象或忽略掉瞭，而這些因素在某 些情況下被認為是非常重要的。例如，消費者如何“瞭解”到足夠多的信息? 如何利用這些信息來做齣諸如購買多少數量物品等抉擇?消費者的偏好來自哪 些方麵?它們又是如何受到決策所處環境的影響?能夠肯定的是，某些選擇活 動可能是習慣養成的，例如點燃香煙的方式，而我們在模型裏卻忽略瞭習慣方 麵的所有信息。某些選擇受社會習俗影響，例如公司管理者選擇工作服的款 式，而社會習俗的作用在我們的模型中沒有被明確地指齣。通過略去這些和其 他方麵的選擇因素，我們構建瞭一個簡單、容易理解的行為選擇模型。然而， 潛在的重要因素被忽略的事實可能會讓這個模型的適用性受到限製，因為對某 些應用來說，一個更加復雜的模型可能是必需的。 所幸的是，我們無意用這個簡單的模型去解釋所有的選擇行為。我們隻想瞭 解那些産生於市場的選擇。我們把這些選擇的情況描述如下:與每個商品相聯係 的是商品束裏的商品價格，其中p 1 代錶小機件的價格，p 2 代錶小器具的價格。 我們的消費者有M美元的收入在這兩種物品中進行支齣。消費者的支齣不能超過 他或她所擁有的收入。 具體來說，商品束（x 1 ，x 2 ）的成本是p 1 x 1 +p 2 x 2 ，這個 成本不能超過M。我們的簡單模型隻需適用於如下形式的集閤選擇: B= x 1 ，x 2 :x 1 ≥0，x 2 ≥0，p 1 x 1 +p 2 x 2 ≤M 這就是消費者所能想象得到的可能要麵對的 預算集閤 。 ①
7
預算集閤易於直觀分析。在商品空間裏，我們可以根據方程p 1 x 1 +p 2 x 2 = M畫一條預算綫。在這條預算綫中或下麵的點都是消費者可以用他或她的收入 M支付得起的商品束。這些點位於圖1.3中的三角形OAD裏。 圖1.3 預算集閤 OAD和無差異麯綫 最大化問題同樣也可以直觀地進行分析。消費者將從預算集閤裏選擇那些 能讓他或她的無差異麯綫盡可能高的商品束。例如在圖1.3裏，c點代錶消費 者可以在OAD裏選擇的能夠給他或她帶來最大效用的商品束。它構成瞭消費 者的最優商品束，該商品束———有時候也被稱為消費者在價格p 1 和p 2 上的 需 求束 ———的主要特點是，包含c點的無差異麯綫u除瞭c點以外，完全位於預 算集閤的外麵，而在c點上，無差異麯綫u與預算綫相切。這通常可以錶述為: 在c點，消費者的邊際替代率（無差異麯綫在c點的斜率）正好等於兩種物品 的價格比（預算綫的斜率）。 在這個二維的框架下，我們可以做如下的各種實驗:當小機件的價格上升 時，小器具的需求量將發生怎樣的變化?當消費者的收入增加或小器具的價格 上升時，情況又會怎樣?這些實驗有時候也被稱為 比較靜態 問題。增加消費者
的收入M和提高小機件的價格p 1 所産生的效應見圖1.4和圖1.5。 圖1.4 M的增長效應 8
圖1.5 p 1 的增長效應

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