变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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欧斐君 著

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• 变分法
• 物理
• 力学
• 工程
• 建模
• 数学物理
• 经典力学
• 连续介质力学
• 数值方法
• 优化原理

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040365566

版次：1

商品编码：11187521

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-02-01

用纸：胶版纸

页数：198

字数：240000

正文语种：中文

内容简介

　　变分法是研究泛函极值问题的一门科学，是古典数学的一个分支。
　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》共分六章。第一章介绍泛函分析的一些基本概念和符号；第二章、第三章提出四个古典的变分模型，讨论泛函取得极值的必要条件、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍物理学、力学中的变分原理，二次泛函极小与特征值的关系，正定算子的极小泛函；第五章介绍变分学中的直接方法；第六章介绍极值的充分条件。
　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》可作为应用数学、应用物理及应用力学等专业本科生、研究生的教材，也可作为科技工作者的参考书。

内页插图

目录

第一章 预备知识
§1.1 n维向量与无穷维向量
§1.2 函数空间
§1.3 映射、泛函与泛函极值的概念

第二章 极值的必要条件——欧拉方程
§2.1 经典的变分问题
§2.2 欧拉方程
§2.3 欧拉方程的积分法与退化情形
§2.4 变分的概念及其运算
§2.5 含有多个函数的情形
§2.6 含有高阶导数的情形
§2.7 两个以上的独立变量的情形
§2.8 参数表示式
§2.9 欧拉方程的不变性

第三章 条件变分与变动边界问题
§3.1 等周问题
§3.2 短程线问题
§3.3 微分方程作为附加条件
§3.4 自由边界和自然边界条件
§3.5 -阶变分的一般形式
§3.6 变动边界问题与横截条件
§3.7 隐泛函取得极值的必要条件
§3.8 标枪投掷的数学模型

第四章 物理学、力学中的变分原理和数学物理中的微分方程
§4.1 费马原理
§4.2 哈密顿原理
§4.3 正则方程及其雅可比——哈密顿方程
§4.4 最小势能原理s
§4.5 二次泛函的极小问题及其与特征值问题的关系
§4.6 正定算子的极小泛函
§4.7 泛函的极值与微分方程

第五章 变分学中的直接方法
§5.1 里茨方法
§5.2 伽辽金方法
§5.3 化为常微分方程的解法——半解析法
§5.4 有限元方法简介

第六章 极值的充分条件
§6.1 极值问题的分类
§6.2 魏尔斯特拉斯函数与勒让德条件
§6.3 雅可比条件与共轭点
§6.4 极值曲线场与极值曲线的嵌入概念
§6.5 希尔伯特积分及充分性定理

附录 关于转子强度的半解析计算法
部分习题答案
参考文献

前言/序言

　　20世纪80年代，我开始在西安交通大学给应用数学、应用力学、应用物理专业的学生讲授变分法。与之同时，萧树铁教授在全国高校推广数学建模。是萧先生带我走上数模之路，以后我也把数学建模作为学习、教学与研究的方向。1986年，我在西安交通大学筹办了“第二期全国数模教师培训班”；1988年，在南华大学筹办了“全国数学模型教学经验交流会”；1991年8月，又在张家界筹办了“全国数学建模学术会议”。2011年12月22日，我作为特邀代表，出席了在北京人民大会堂召开的“全国大学生数学建模竞赛20周年庆典暨2011‘高教社杯’颁奖仪式”，遂激励我把在高校教书到70岁的心得写书成册。
　　在经济建设中，常常会遇到这样一类问题，在一定条件下，怎样设计制造产品，使其用料最省，或成本最低，或投资最小等。在自然现象中，也存在着许多极值规律。例如，光在通过介质的光路时，使其所需时间最小（费马原理）；物体在它所容许的位置中，将自然地处于使其势能为最小的位置（最小势能原理）等。这些都是极值问题。极值问题的研究十分重要，它一直是推动数学、物理、力学发展的主要动力。
　　变分法是研究极值的重要理论与方法，然而它的研究对象与微分学不一样，变分法是研究泛函的极值。
　　在自然科学中，变分法的应用极为广泛。一方面，它常用来推导描述自然现象的控制微分方程；另一方面，物理、力学中的多种变分原理的发展，使变分原理本身已成为某些学科理论的组成部分。值得指出的是变分法在计算方法中的应用。20世纪开创的变分法的直接方法有里茨方法与伽辽金方法等，到1943年由柯朗创立、50年代首先由建筑结构工程师使用的有限元方法，已成为重要的计算方法，而有限元的数学基础是变分法。
　　本书共分六章。第一章简单介绍泛函分析的基本概念；第二、三章介绍变分法的四个经典模型及基本理论、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍费马原理、哈密顿原理、最小势能原理、二次泛函的极小与特征值问题的关系、正定算子的极小泛函：第五章介绍变分法的直接方法：里茨方法、伽辽金方法、半解析方法；第六章介绍变分法极值的充分条件。全书各章配有习题，并附有参考答案。

经典数学工具与现代科学挑战的交汇 《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》 这部著作，是一部深入探讨变分原理在众多科学与工程领域中核心作用的权威性教材与参考书。它不仅仅是对高等数学中一个分支的纯粹理论阐述，更是一座连接抽象数学结构与实际物理世界问题的桥梁。本书聚焦于如何利用变分法这一强大的数学框架，来构建、分析和解决从经典力学到现代场论、从材料科学到控制理论中的一系列关键问题。 全书的结构严谨而富有逻辑性，旨在引导读者从最基本的概念出发，逐步深入到变分问题的求解技术及其在不同学科中的具体应用。它清晰地阐明了变分法在物理直觉与数学严谨性之间所扮演的关键角色，即物理定律往往可以通过寻找某个“作用量”的极小值或平稳点来简洁而优雅地表达出来。 理论基石的奠定：从欧拉-拉格朗日方程到泛函分析 本书的第一部分致力于构建坚实的理论基础。它从对泛函（函数的函数）的定义和微分开始，系统地引入了变分法的核心工具——欧拉-拉格朗日方程。通过对简单系统的最小化问题（如最短路径、最速降线等）的探讨，读者能够迅速掌握变分法的基本思想。 随后，内容扩展到更复杂的约束条件和边界条件。这包括处理积分约束、等周问题，以及引入拉格朗日乘子法来处理依赖于速度的高阶导数项或附加约束的泛函。书中详细剖析了勒让德变换在哈密顿力学中的作用，展示了如何从拉格朗日形式自然过渡到描述系统能量和时间演化的哈密顿形式。 更进一步，本书深入探讨了泛函分析中的相关概念，如函数空间（包括希尔伯特空间和索伯列夫空间的基础知识），这对于处理偏微分方程（PDEs）的变分形式至关重要。它不仅介绍了必要的变分不等式的基础，也为理解现代优化理论和有限元方法的数学背景做了充分铺垫。 经典力学的数学化表达 变分法被誉为“理论力学的精髓”，本书对此进行了详尽的阐述。它系统地展示了牛顿力学如何被拉格朗日力学所取代，后者基于最小作用量原理（哈密顿原理）。通过详细推导，读者将理解为何势能、动能、虚功等概念能够被统一在单一的能量泛函之下。 本书特别强调了诺特定理在变分框架下的深刻意义。它不仅清晰地证明了守恒量（如能量、动量、角动量）与系统作用量在时间和平移对称性之间的直接联系，还通过具体的物理模型（如保守系统、场论中的对称性）来阐释这些守恒定律的来源，极大地深化了对物理守恒律的理解。 在刚体动力学和分析力学的高级主题中，本书还涉及了使用广义坐标和约束力处理复杂运动的变分方法，为深入研究振动分析和稳定性问题打下了基础。 场的变分原理：从电磁学到连续介质力学 将变分法从离散系统推广到连续介质和场论是本书的另一个核心贡献。这里，泛函不再是关于坐标和速度的函数，而是关于场函数及其空间导数的函数（场作用量）。 在电磁学方面，本书详细推导了麦克斯韦方程组的拉格朗日密度形式，展示了电磁场能量泛函的最小化如何自然地导出所有的麦克斯韦方程。这为从统一的理论框架出发处理电磁波传播和相互作用提供了强大的工具。 在固体力学与弹性理论中，本书侧重于应变能密度泛函。它解释了线弹性、超弹性材料的本构关系是如何通过最小化总势能（弹性势能减去外力做功）来导出的。这为求解结构静力平衡问题提供了变分基础，也为理解应力场的自然分布状态提供了视角。对于非线性弹性理论，书中探讨了更复杂的能量泛函形式。 在流体力学领域，书中介绍了拉格朗日形式的流体运动描述，以及基于速度势或流函数构建的泛函，尽管在实际应用中常有挑战，但它揭示了流体运动的内在变分特性。 求解技术与工程应用 理论的强大必须依赖于有效的求解方法。本书的后半部分侧重于将变分原理应用于实际工程问题的求解技术，尤其是当解析解难以获得时。 直接法是重点介绍的内容之一，包括瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz Method）和伽辽金法（Galerkin Method）。书中详细说明了如何选择合适的试函数（形函数），将无限维的变分问题转化为有限维的代数方程组。这部分内容是有限元方法（FEM）的直接数学前驱和理论支撑。通过具体的梁、板、桁架结构的例子，读者可以看到一个物理问题是如何被离散化并转化为矩阵方程 $mathbf{K}mathbf{u} = mathbf{f}$ 的。 此外，书中还探讨了权函数法和最小二乘法在求解边界值问题中的变分解释，它们本质上也是在寻求一个误差泛函的最小点。 在控制理论的范畴内，本书触及了最优控制问题，如最小时间控制或最小燃料消耗问题。通过引入辅助变量和构建泛函，利用庞特里亚金最大值原理（其根源在于变分法的思维），可以确定最优控制律的条件。 总结 本书的价值在于其全面性和深度。它成功地将抽象的数学概念（如泛函微分、变分不等式）与具体的、可测量的物理现象（如最小作用量、弹性平衡、场方程）紧密联系起来。它不仅是物理学和工程力学专业学生的高级教材，也是从事计算建模、数值分析以及理论物理研究人员案边不可或缺的参考工具。读者将通过本书掌握的不仅仅是一种求解方法，更是一种看待和描述自然规律的深刻思维方式——万物皆趋于极值。

评分☆☆☆☆☆

我对结构动力学的研究情有独钟，尤其是利用变分原理来分析和优化结构的动态响应。这本书的书名听起来非常契合我的需求，但实际阅读后，我发现它对于这一领域的覆盖程度并不如我所愿。书中虽然涉及了一些弹性力学的基本原理，并且提到了虚功原理，这是结构动力学分析的重要基础，但对于如何将变分法应用于求解结构的振动方程、模态分析、以及阻尼效应的建模，并没有进行充分的展开。我特别希望能够看到关于如何利用伽辽金法（Galerkin method）等变分法技术来离散化并求解大规模结构动力学方程的详细步骤，以及如何处理非线性的材料模型和几何非线性对结构动力特性的影响。书中对这些高级主题的讨论，例如如何通过变分法来设计减振装置、或者如何分析复杂结构的地震响应，都显得比较初步，缺乏足够的深度和具体的技术细节。

评分☆☆☆☆☆

我一直对材料科学领域的建模抱有浓厚兴趣，特别是如何利用变分法来研究材料的相变、缺陷行为以及力学性能。这本书的书名《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》让我对其寄予厚望，但实际阅读后，我发现它在这方面的覆盖面并不广泛。书中虽然触及了一些热力学和力学模型，并且提到了最小势能原理，这在材料科学中至关重要，但对于如何利用变分法来推导并求解与材料微观结构相关的复杂方程，例如相场模型（phase-field models）中的演化方程，或者如何利用变分原理来分析和预测材料的断裂力学行为，则显得不够深入。我期待书中能够包含更多关于如何利用变分法来模拟材料的织构演化、界面能的计算、以及如何通过变分方法来设计具有特定性能的新型材料。目前书中对于这些前沿和复杂问题的论述，更偏向于基础理论的介绍，缺乏将变分法与具体材料科学研究相结合的实际案例和技术细节。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的出版质量和内容深度，并未完全达到我的预期。我购买这本书的初衷，是希望能够深入理解变分法在精密仪器设计中的应用，例如如何利用变分原理来优化光学系统的成像质量，或者如何设计高精度传感器的测量机制。书中提到了某些与优化相关的内容，也涉及到了泛函分析的一些基础概念，但对于如何将这些数学工具转化为实际的工程设计优化流程，却显得有些模糊。我渴望看到的是，如何利用变分法来解决例如光学透镜的曲面设计、微机电系统（MEMS）的器件布局优化、甚至是精密机械传动机构的运动轨迹规划等具体问题。书中对此类应用的阐述，更多的是泛泛而谈，缺少具体算法的介绍和实际案例的分析。我希望能够从中找到一些关于如何通过变分法求解最优控制问题，或者如何利用其来推导并优化特定工程系统的性能指标的详细指导，但目前的内容，对于我来说，还不足以提供这样的支持。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名是《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》，但我仔细翻阅后，发现它并没有深入探讨我一直期待的某些方面。例如，我对计算流体动力学（CFD）在航空航天领域的变分法应用非常感兴趣，特别是如何利用有限元方法（FEM）来解决复杂的边界条件和湍流模型。这本书虽然提到了FEM，但更多的是从数学原理出发，对于实际工程应用中的细枝末节，例如网格生成策略、网格收敛性分析、以及如何选择合适的插值函数以提高计算精度，都显得有些泛泛而谈。我尤其希望看到一些关于非结构网格或自适应网格技术的具体案例分析，以及在这些复杂网格下，如何有效地应用变分原理来求解 Navier-Stokes 方程。然而，书中对于这部分内容的阐述，更多的是停留在一级近似或者理想化模型上，对于真实世界中数值模拟所面临的挑战，比如病态矩阵的处理、稳定性分析等，并没有给出足够详尽的解答。如果能加入更多实际工程问题的剖析，哪怕是简化版的案例，都会极大地提升这本书的实用价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的定价相当不菲，我抱着极大的期望购入，希望能从中找到一些关于量子力学中路径积分的深刻洞见，尤其是它与变分法的联系。一直以来，我对于如何用变分原理来推导并理解路径积分的量子效应充满好奇。书中确实提到了拉格朗日量和哈密顿量在量子力学中的作用，也涉及到了泛函导数等概念，但离我期望的“路径积分”这一核心概念似乎还差了那么一点点。我期待这本书能够详细阐述如何将变分法应用于量子场论中的正则化和重整化过程，或者如何利用变分原理来近似求解薛定谔方程的特定解，尤其是在有复杂势场存在的情况下。目前书中的内容，更多的是在经典力学层面，对于如何将这些思想迁移到量子世界，缺乏具体的桥梁和深入的讨论。如果书中能够提供一些关于费曼路径积分与变分法之间数学上的严谨推导，以及在解决实际量子物理问题（例如多体问题或凝聚态物理中的某些模型）时的应用实例，那将会是一次非常宝贵的学习经历。

评分☆☆☆☆☆

送货快，属正版，挺好的书，希望能够发挥作用

评分☆☆☆☆☆

－

评分☆☆☆☆☆

真的很好用，真的很好用

评分☆☆☆☆☆

深入浅出，好书

评分☆☆☆☆☆

早就想买了。

评分☆☆☆☆☆

62

评分☆☆☆☆☆

作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：

评分☆☆☆☆☆

还可以

评分☆☆☆☆☆

物流迅速，价格合理